Maria Kotełko
Mechanika
i Wytrzymałość
Materiałów
                                       
Zadanie nr 32 - Dostosowanie kierunku Automatyka i Robotyka
do prowadzenia studiów niestacjonarnych
Część II  Wytrzymałość Materiałów
Wykład 7.
" Wprowadzenie
" Siła krytyczna pręta ściskanego
" Warunki podparcia  długość wyboczeniowa
" Smukłość pręta
" Wyboczenie niesprÄ™\
yste  smukłość graniczna
2
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Przy ściskaniu prętów krępych (krótkich) naprę\
enia na ściskanie obliczamy wg wzoru:
P
à = d" kc
c
F
Natomiast przy ściskaniu prętów smukłych obserwujemy zjawisko wyboczenia. Polega ono na tym, \
e przy
wzroście siły ściskającej po przekroczeniu pewnej siły zwanej krytyczną pręt ulega wyboczeniu (ugięciu), a
następnie zniszczeniu. W chwili wyboczenia pręt traci stateczność, tzn. przechodzi ze stanu równowagi stałej do
stanu równowagi chwiejnej.
3
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Rodzaje równowagi
´  =0  = max
Równowaga chwiejna
Równowaga stała Równowaga obojętna
´  =0  = const.
´  =0  = min
4
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Przykłady zniszczenia prętów ściskanych w wyniku wyboczenia:
5
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
P
Siła krytyczna pręta ściskanegoa) P y
x
x
y P
y
Równanie linii ugięcia:
l
2
d y
EJ + P y = 0
Mg= PÅ"y
dx2
2
d y
2
+Ä… y = 0
(1)
dx2
P
2
Ä… =
EJ
Rozwiązania równania (1)
poszukujemy w postaci:
y = Acos(Ä…x) + Bsin(Ä…x) (2)
Ä… Ä…
Ä… Ä…
Ä… Ä…
y = 0 dla x=0 *
Funkcja (2) jest rozwiÄ…zaniem
y = 0 dla x=l **
ogólnym równania (1).
6
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
y = AÅ"sin Ä…x
Poniewa\
dla x=0 y=0, zatem A=0 oraz
Dla A = 0 mamy rozwiązanie trywialne (y=0) , niezgodne z rzeczywistością, zatem
sin (Ä…l) = 0 Ä… Ä„ / l.
ą = nĄ
Ä… Ä„
Ä… Ä„
P 2
2
Ä„ Å" EJmin
Ä… =
Pkr = n2
EJ

l2 (3)
Wyboczenie powstaje zawsze w płaszczyz
nie prostopadłej do osi głównej, względem której moment bezwładności jest
najmniejszy (Jmin). Minimalną wartość siły krytycznej otrzymujemy dla n = 1, wówczas kształt linii ugięcia odpowiada
jednej półfali sinusoidy. Otrzymujemy wzór Eulera dla pręta ściskanego, który ulega wyboczeniu:
2
Ä„ EJmin
Pkr
= (4)
l2
7
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
 W ogólnym przypadku warunków podparcia pręta kształt linii ugięcia mo\
e być wielokrotnością pólfali sinusoidy.
Wówczas we wzorze (4) długość l zastępujemy długością wyboczeniową lw (długością jednej półfali).
długości wyboczeniowe lw
a)
0.7l
l l/2
2l
lw=l/2 lw=0.7l lw=2l
2
Ä„ EJmin
Pkr =
lw2
8
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
NaprÄ™\
enie krytyczne. Smukłość pręta
Zakres stosowania wzoru Eulera.
2 2 2
2
Pkr Ä„ Å" EJmin Ä„ Å" E Ä„ Å" E
Ä„ Å" EJmin
à = = = =
kr
2 2
Pkr =
2 F lw Å" F lw Å" F s2
lw
Jmin
lw
Smukłość pręta:
s =
Jmin
F
Przy zało\
eniu stosowalności prawa Hooke a naprę\
enia krytyczne nie
mogą przekroczyć granicy proporcjonalności, tj. s> sgr
E
Smukłość
sgr = Ä„
à Ãkr=Ãprop
prop
graniczna:
9
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Zakres stosowania wzoru Eulera
Wykres rzeczywisty:
b)
Ãkr Ãkr=a-bÅ"s
Ã
prosta Tetmajera-
hiperbola Eulera
Jasińskiego
Ãplast
s > sgr
Ãprop
S
Pręty  krępe Pręty smukłe
hiperbola Eulera
(nie stosujemy wzoru Eulera) (wzór Eulera)
S
Sgr
10
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Prosta Tetmajera  Jasińskiego
b)
Ãkr Ãkr=a-bÅ"s
à = a - b Å" s
kr
prosta Tetmajera-
Jasińskiego
Ãplast
a = Ã
plast
s > sgr
Ãprop
à -Ã
plast prop
b =
hiperbola Eulera
sgr
S
Sgr
à -Ã
plast prop
à = à - Å" s
kr pl
sgr
11
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
ObciÄ…\
enie dopuszczalne
ObciÄ…\
enie u\
ytkowe musi być znacznie mniejsze od sił krytycznych, poniewa\
wyboczenie
pręta jest w większości przypadków równoznaczne z utratą jego nośności. Zatem we
wszystkich przypadkach obliczeń prętów ściskanych po wyznaczeniu obcią\
enia krytycznego
określamy dopuszczalne wartości sił stosując odpowiednie współczynniki bezpieczeństwa.
Pkr
Pdop =
n
12
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Przykład obliczeniowy
Dla pręta pokazanego na rys. obliczyć siłę krytyczną.
Dane: t= 10, l=1000 [mm]
Ãprop = 220 MPa, Ãpl = 300 MPa, E=200000 MPa
3t
P
t
3t
t
13
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów