Nazwisko i Imię
……………………………...
Nazwisko i Imię
Kolokwium 1 A 16.04.2014
Kolokwium 1 B 16.04.2014
Zad.1 (str.1)17p
Zbadać zbieżność jednostajną podanych ciągów funkcyjnych: Zad.1 (str.1) 17p
2
nx
Zbadać zbieżność jednostajną podanych ciągów funkcyjnych: a) { f ( x
w zbiorze R,
n
})=
nx
1 + 4 4
n x
a) { f ( x
w zbiorze R,
n
})=
1 + 4 2
n x
cos x
b) { f ( x
x ∈< ,
0 2 > .
n
n
})=
+
2
4
nx
x
b) { f ( x)
arctg
dla x ∈< ,
0 2 > .
n
}=
2
Zad.2 (str.2) 13p
∞ arctg( 3
n x)
Zad.2 (str.2) 13p
Zbadać zbieżność szeregu ∑
w zbiorze R . Sprawdzić, czy
n
4
∞ cos( 2
n x)
n=1
4 + n
Zbadać zbieżność szeregu ∑
w zbiorze R . Sprawdzić, czy
funkcja określona tym szeregiem jest ciągła w rozważanym przedziale.
n
3
n=1
3 n
dla tego szeregu są spełnione założenia Twierdzenia o całkowaniu Zad.3 (str.3) 10p
szeregów funkcyjnych w przedziale < ,
0 π > .
Wyznaczyć trygonometryczny szereg Fouriera odpowiadający funkcji f ( x) = 2 x dla x ∈< −π ,π > . Narysować wykres sumy S( x) tego Zad.3 (str.3) 10p
szeregu.
Wyznaczyć trygonometryczny szereg Fouriera odpowiadający funkcji f ( x) = −2 x dla x ∈< −π ,π > . Obliczyć S(0), S (π ), S 1
( 21π ) , gdzie
Zad.4 (str.4) 10p
S ( x) jest sumą tego szeregu.
Uzasadnić, że w przypadku funkcji nieparzystej f ( x) odpowiadający jej trygonometryczny szereg Fouriera jest odpowiedniej postaci (podać Zad.4 (str.4) 10p
tę postać).
Uzasadnić, że w przypadku funkcji parzystej f ( x) odpowiadający jej trygonometryczny szereg Fouriera jest odpowiedniej postaci (podać tę postać).
………………………... 28.05.2014
Nazwisko i Imię
Nazwisko i Imię
Kolokwium 2 A
Kolokwium 2 B
Arkusz 1 – strony 1,2,3,4. Arkusz 2 – strony 5,6,7,8.
Arkusz 1 – strony 1,2,3,4. Arkusz 2 – strony 5,6,7,8.
Zad.1 (str.1 i 2) 12p.
Zad.1 (str.1 i 2) 12p.
r
r
r
r
r
r
r r
Dana jest operacja (
A x) = x × ( a + b) , gdzie Dana jest operacja (
A x) = a( x o b ) , gdzie r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
a = 3 e + 2 e − e , b = 4 e + 4 e − 2 e . Sprawdzić, czy jest to operacja a = 3 e + 2 e − e , b = 4 e + 4 e − 2 e . Sprawdzić, czy jest to operacja 1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
liniowa, jeżeli tak to wyznaczyć macierz tej operacji, korzystając z obrazów liniowa, jeżeli tak to wyznaczyć macierz tej operacji, korzystając z obrazów wektorów bazowych.
wektorów bazowych.
Zad.2 (str.3 i 4) 12p.
Zad.2 (str.3 i 4) 12p.
2
−1 −
1
2
−1 −
1
Dana jest operacja A o macierzy w bazie β Αβ = −1 4 −
1 , której
Dana jest operacja A o macierzy w bazie β Αβ = −1 4 −
1 , która ma
−1 −1 4
−1 −1 4
wartościami własnymi są między innymi 1 oraz 5, ponadto jednym z
1
0
− 2
−
następujące wektory własne
1
, 1 . Wyznaczyć trzeci wektor własny
wektorów własnych jest 2 .Wyznaczyć bazę ortonormalną β ′ , w której
−
1
−
1
2
oraz bazę ortonormalną β ′ , w której macierz operacji A jest macierzą macierz operacji A jest macierzą diagonalną. Podać postać macierzy diagonalną. Podać postać macierzy diagonalnej Αβ′ . Podać macierz przejścia diagonalnej Αβ′ .
Ρ z bazy β do bazy β ′ .
Zad.3 (str.5 i 6) 14p.
Zad.3 (str.5 i 6) 14p.
Stosując metodę Fouriera separacji zmiennych , wyznaczyć niezerowe Stosując metodę Fouriera separacji zmiennych , wyznaczyć niezerowe 2
u
∂
∂ u
2
rozwiązanie u( x, t) spełniające równanie
= 9
z warunkami
u
∂
∂ u
2
t
∂
x
∂
rozwiązanie u( x, t) spełniające równanie
= 4
z warunkami
2
t
∂
x
∂
u( ,
0 t) = 0 , u ,
3
( t) = 0 , u( x,0) = ϕ( x).
u( ,
0 t) = 0 , u( ,
2 t) = 0 , u( x,0) = ϕ( x).
Zad.4 (str.7) 12p .(2p.+6p.+4p.)
Zad.4 (str.7) 12p .(6p.+4p.+2p.)
1. Podać definicję operacji symetrycznej.
1. Podać i udowodnić twierdzenie dotyczące wyznacznika macierzy 2. Podać i udowodnić twierdzenie o wektorach własnych operacji ortogonalnej.
symetrycznej , odpowiadających różnym wartościom własnym.
2. Zapisać wzór na zmianę współrzędnych wektora przy zmianie bazy 3. Podać własność macierzy ortogonalnej dotyczącą jej kolumn i zapisać korzystając z umowy sumacyjnej Einsteina.
ją korzystając z umowy sumacyjnej Einsteina.
3. Podać definicję macierzy podobnych.
……………………………... 10.05.2014
Nazwisko i Imię
Nazwisko i Imię
Kolokwium 2 pop
Kolokwium 1 D pop
Arkusz 1 – strony 1,2,3,4. Arkusz 2 – strony 5,6,7,8.
Zad.1 (str.1 i 2) 12p.
r
Zad.1 (str.1)10p
r
r r
Dana jest operacja (
A x) = a( x o b ) , gdzie
2
nx
r
r
r
r
r
r
r
r
Zbadać zbieżność jednostajną ciągu funkcyjnego { f ( x n
})=
a = 3 e + 2 e − e , b = e + 2 e − e . Sprawdzić, czy jest to operacja 1 + 4 4
1
2
3
1
2
3
n x
liniowa, jeżeli tak to wyznaczyć macierz tej operacji, korzystając z obrazów w zbiorze R.
wektorów bazowych.
Zad.2 (str.3 i 4) 12p.
Zad.2 (str.2) 10p
2
−1 −
1
∞
− nx
e
<
Dana jest operacja A o macierzy w bazie β Α
Zbadać zbieżność szeregu ∑
w zbiorze
,
0 ∞) .
β = −1
4
−
1 , która ma
4
n=1 n
+ 5 n
−1 −1 4
Zad.3 (str.2) 10p
2
0
Podać definicje iloczynu skalarnego funkcji , oraz sprawdzić czy
funkcje f ( x) = −3 x, g( x) = cos x są ortogonalne na przedziale następujące wektory własne − 2 , 3 . Wyznaczyć trzeci wektor
−
< ,12 > .
2
−
3
własny oraz bazę ortonormalną β ′ , w której macierz operacji A jest macierzą Zad.4 (str.3) 10p
diagonalną. Podać postać macierzy diagonalnej Αβ′ . Podać macierz przejścia Wyznaczyć trygonometryczny szereg Fouriera odpowiadający funkcji Ρ z bazy β do bazy β ′ .
1 for x∈< ,02 >
Zad.3 (str.5 i 6) 14p.
f ( x) =
. Obliczyć wartość sumy tego szeregu
Stosując metodę Fouriera separacji zmiennych , wyznaczyć niezerowe
0
for
x ∈ ( ,
2 4 >
2
u
∂
∂ u
rozwiązanie u( x, t) spełniające równanie
= 4
z warunkami
x =
2
dla
4 .
t
∂
x
∂
u( ,
0 t) = 0 , u( ,
2 t) = 0 , u( x,0) = sin 3π .
x Sprawdzić, czy wyznaczone
Zad.5 (str.4) 10p
rozwiązanie spełnia dane równanie i warunki.
Sformułować i udowodnić twierdzenie o sumie jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych.
Zad.4 (str.7) 12p .(6p.+4p.+2p.)
1. Podać i udowodnić twierdzenie o wartościach własnych operacji symetrycznej.
2. Podać definicję równania różniczkowego cząstkowego drugiego rzędu i jego typy.
3. Podać definicję macierzy ortogonalnej.