Miernictwo i techniki eksperymentu

Kolokwium 2

11 czerwca 2014 r.

1. Czas pracy elementu jest zmienną losową o funkcji gęstości:

f

(

x

) =



αβx

α

−

1

e

−

βx

α

dla x

>

0

0

poza

gdzie α jest znanym dodatnim parametrem, zaś β nieznaną dodatnią stałą. Wy-
znaczyć na podstawie prostej próbki losowej x

1

, x

2

, . . . , x

n

estymator największej

wiarygodności dla parametru β.

2. Zmierzono wytrzymałośc n

=

12 losowo wybranych elementów walcowanych i

otrzymano wyniki: x

1

, x

2

, . . . , x

n

. Zakładając, że wytrzymałość jest zmienną lo-

sową o rozkładzie normalnym N

(

µ

, σ

)

, wyznaczyć przedział ufności dla parame-

tru µ na poziomie ufności 1

−

α

=

0.98, jeżeli

(a) wartość σ jest znana i wynosi σ

0

,

(b) wartość σ jest nieznana,

(c) jak zmieni się wynik dla przypadku (b), jeżeli estymator wariancji S przy-

jąłby wartość σ

0

? Odpowiedź uzasadnij, podając odpowiednie granice prze-

działu ufności.

3. Rozważmy podpunkt (b) zadania 2. Zweryfikować hipotezę statystyczną H

0

: µ

=

µ

0

przeciwko hipotezie:

(a) H

1

: µ

6=

µ

0

,

(b) H

1

: µ

<

µ

0

,

dla poziomu istotności α

=

0.02. Podać granice odpowiednich przedziałów kry-

tycznych dla obu przypadków.

4. Podać estymator wariancji otrzymany metodą momentów empirycznych. Czy jest

to estymator nieobciążony? Odpowiedź uzasadnić.

Na odwrocie znajdowały się kwantyle rozkładu normalnego oraz wartości krytyczne rozkładu t-Studenta.