Miernictwo i techniki eksperymentu
Kolokwium 2
11 czerwca 2014 r.
1. Czas pracy elementu jest zmienną losową o funkcji gęstości:
f
(
x
) =
αβx
α
−
1
e
−
βx
α
dla x
>
0
0
poza
gdzie α jest znanym dodatnim parametrem, zaś β nieznaną dodatnią stałą. Wy-
znaczyć na podstawie prostej próbki losowej x
1
, x
2
, . . . , x
n
estymator największej
wiarygodności dla parametru β.
2. Zmierzono wytrzymałośc n
=
12 losowo wybranych elementów walcowanych i
otrzymano wyniki: x
1
, x
2
, . . . , x
n
. Zakładając, że wytrzymałość jest zmienną lo-
sową o rozkładzie normalnym N
(
µ
, σ
)
, wyznaczyć przedział ufności dla parame-
tru µ na poziomie ufności 1
−
α
=
0.98, jeżeli
(a) wartość σ jest znana i wynosi σ
0
,
(b) wartość σ jest nieznana,
(c) jak zmieni się wynik dla przypadku (b), jeżeli estymator wariancji S przy-
jąłby wartość σ
0
? Odpowiedź uzasadnij, podając odpowiednie granice prze-
działu ufności.
3. Rozważmy podpunkt (b) zadania 2. Zweryfikować hipotezę statystyczną H
0
: µ
=
µ
0
przeciwko hipotezie:
(a) H
1
: µ
6=
µ
0
,
(b) H
1
: µ
<
µ
0
,
dla poziomu istotności α
=
0.02. Podać granice odpowiednich przedziałów kry-
tycznych dla obu przypadków.
4. Podać estymator wariancji otrzymany metodą momentów empirycznych. Czy jest
to estymator nieobciążony? Odpowiedź uzasadnić.
Na odwrocie znajdowały się kwantyle rozkładu normalnego oraz wartości krytyczne rozkładu t-Studenta.