Egzamin z analizy matematycznej 23.6.2010r

KAŻDE ZADANIE PROSZĘ ROWZIĄZAĆ NA OSOBNEJ KARTCE

ŻYCZYMY POWODZENIA!!!

Zadanie 1 [4 pkt]

Proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej

∞

∫ ∣cos∣ dx

3

0

 x  x 3

Zadanie 2 [6 pkt]

a) Proszę sformułować twierdzenie o funkcji uwikłanej z  x , y  opisanej przez równanie F  x , y , z = 0 .

b) Proszę wykazać, że równanie

x 2  x z − y 2  2 z − x y − 4 = 0

wyznacza dokładnie jedną funkcję uwikłaną z  x , y  w otoczeniu punktu 1, 2, 3 .

2 z

c) Proszę obliczyć

1, 2 .

 x  y

Zadanie 3 [4 pkt]

Proszę metodą mnożników Lagrange'a znaleźć ekstrema funkcji f  x , y , z = 2 x 2  y 2  2 z 2

pod warunkiem xy  yz − 1 = 0 .

Zadanie 4 [5 pkt]

Niech odwzorowanie f : ℝ2  ℝ2 będzie dane wzorem f  x , y =  ex cos y , ex sin y .

Proszę

a) sprawdzić, czy f jest lokalnie odwracalne w każdym punkcie płaszczyzny, b) sprawdzić, czy f jest globalnie odwracalne, c) obliczyć pochodną odwzorowania f −1 w punkcie f 0,  .

2

Zadanie 5 [6 pkt]

a) Proszę podać definicję róniczkowalności funkcji f : ℝ n  ℝ w punkcie x 0 ∈ ℝ n .

b) Proszę zbadać różniczkowalność funkcji f

, dla

 x , y = { x 5 y 4

 x , y  ≠ 0, 0

x 2  y 2

}

0, dla  x , y = 0, 0

w punkcie 0, 0 .