Egzamin z analizy matematycznej 23.6.2010r
KAŻDE ZADANIE PROSZĘ ROWZIĄZAĆ NA OSOBNEJ KARTCE
ŻYCZYMY POWODZENIA!!!
Zadanie 1 [4 pkt]
Proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej
∞
∫ ∣cos∣ dx
3
0
x x 3
Zadanie 2 [6 pkt]
a) Proszę sformułować twierdzenie o funkcji uwikłanej z x , y opisanej przez równanie F x , y , z = 0 .
b) Proszę wykazać, że równanie
x 2 x z − y 2 2 z − x y − 4 = 0
wyznacza dokładnie jedną funkcję uwikłaną z x , y w otoczeniu punktu 1, 2, 3 .
2 z
c) Proszę obliczyć
1, 2 .
x y
Zadanie 3 [4 pkt]
Proszę metodą mnożników Lagrange'a znaleźć ekstrema funkcji f x , y , z = 2 x 2 y 2 2 z 2
pod warunkiem xy yz − 1 = 0 .
Zadanie 4 [5 pkt]
Niech odwzorowanie f : ℝ2 ℝ2 będzie dane wzorem f x , y = ex cos y , ex sin y .
Proszę
a) sprawdzić, czy f jest lokalnie odwracalne w każdym punkcie płaszczyzny, b) sprawdzić, czy f jest globalnie odwracalne, c) obliczyć pochodną odwzorowania f −1 w punkcie f 0, .
2
Zadanie 5 [6 pkt]
a) Proszę podać definicję róniczkowalności funkcji f : ℝ n ℝ w punkcie x 0 ∈ ℝ n .
b) Proszę zbadać różniczkowalność funkcji f
, dla
x , y = { x 5 y 4
x , y ≠ 0, 0
x 2 y 2
}
0, dla x , y = 0, 0
w punkcie 0, 0 .