W 4
Z2007/8
Interpolacja
Interpolacja funkcjami sklejanymi
Niech w przedziale [a,b] danych będzie (n+1) punktów x0, x1, ... , xn , przy czym a = x0 < x1 < ... < x n-1 < xn = b.
Funkcję s(x) określoną na przedziale [a,b] nazywamy funkcją sklejaną stopnia m , jeżeli 1) s(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej m na każdym podprzedziale (xi , xi+1) , i = 0,1,... , n-1
2) s(x) jest funkcją klasy C(m-1) ([a,b]) .
Punkty xi nazywamy wę złami funkcji sklejanej.
W najprostszym przypadku m = 1, funkcja sklejana jest łamaną. Także wielomiany na [a,b]
są szczególnym przypadkiem funkcji sklejanej.
Zbiór wszystkich funkcji sklejanych stopnia m o węzłach xi ( i = 0,1,...,n) oznaczymy Sm .
Funkcja sklejana stopnia m zależy od n (m+1) - m (n-1) = n+m parametrów.
Funkcję s(x) z Sm nazywamy interpolacyjną funkcją sklejaną stopnia m dla funkcji f , jeżeli s(xi) = yi , i = 0,1,...,n
Na funkcję sklejaną zostało nałożone (n+1) warunków interpolacji. W najprostrzym przypadku interpolacyjnej funkcji sklejanej stopnia pierwszego, czyli łamanej, jest ona jednoznacznie wyznaczona przez te warunki. Dla m > 1 interpolacyjna funkcja sklejana zależy od (m-1) parametrów i należy na nią nałożyć dodatkowe warunki.
Do najczęściej rozważanych funkcji sklejanych należą funkcje stopnia trzeciego. Interpolacyjna funkcja sklejana stopnia trzeciego zależy od dwóch parametrów, wobec czego nakładamy na nią dwa dodatkowe warunki. Warunki te najczęściej nakładamy w węzłach krańcowych a i b.
Np. mogą mieć one postać
s'(a + 0) = α oraz s'(b - 0) = β ,
gdzie α,β są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Jeżeli funkcja f ma pochodne w punktach a i b oraz znamy ich wartości, to możemy je przyjąć jako liczby występujące po prawych stronach powyższych warunków. Natomiast, jeżeli znamy tylko wartości funkcji f w węzłach - mogą to być przybliżenia pochodnych.
TWIERDZENIE. Istnieje dokładnie jedna interpolacyjna funkcja sklejana stopnia trzeciego spełniająca podane wyżej dodatkowe warunki.
Opracowano szereg algorytmów wyznaczających interpolacyjne funkcje sklejane. Postać funkcji sklejanej w dużym stopniu zależy od zagadnienia. Często wygodnie jest przedstawić poszukiwaną funkcję w postaci kombinacji liniowej elementów bazy przestrzeni S3, która jest przestrzenią liniową o wymiarze (n+3).
Omówimy teraz wyznaczanie interpolacyjnej funkcji w postaci kombinacji liniowej elementów bazy S3, w przypadku węzłów równoodległych
xi = x0 +ih, h = (b-a)/n , i = 0,1, ... ,n
Określamy (n+3) funkcje Φ =Φ (x) , i = -1, 0, 1, ... , n , n+1 , które stanowią bazę przestrzeni i
i
funkcji sklejanych trzeciego stopnia S3.
str 2
str 2
Z2007/8
MATHCAD _______________________________________________________
Oznaczenia : x = x(i), Φ (t) = Φ(i,t)
a
i
i
:= 1
−
b := 1
b − a
n := 4
h :=
x(i) := a + i⋅h
węzły interpolacji
n
Φ
1
3
(i , t) :=
⋅(t − x(i − 2)) if [(t ≥ x(i − 2))⋅(t ≤ x(i − 1))]
funkcje bazowe
3
h
1
3
3
⋅(t − x(i − 2)) − 4⋅(t − x(i − 1)) if [(t > x(i − 1))⋅(t ≤ x(i))]
3
h
1
3
3
⋅(x(i + 2) − t) − 4⋅(x(i + 1) − t) if [(t > x(i))⋅(t ≤ x(i + 1))]
3
h
1
3
⋅(x(i + 2) − t) if [(t > x(i + 1))⋅(t ≤ x(i + 2))]
3
h
0 otherwise
Mamy 7 funkcji bazowych : Φ(-1,t), Φ(0,t), Φ(1,t) , Φ(2,t) , Φ(3,t) , Φ(4,t) , Φ(5,t) t := a , a + 0.001. b
4
3
Φ (− 1, t)
Φ (0, t)
2
Φ (2, t)
Φ (5, t)
1
0 1
0.5
0
0.5
1
t
4
Φ (− 1, t)
3
Φ (0, t)
Φ (1, t)
Φ (2, t)
2
Φ (3, t)
Φ (4, t)
1
Φ (5, t)
0 1
0.5
0
0.5
1
t
MATHCAD _______________________________________________________
W 4
Z2007/8
Interpolacyjnej funkcji sklejanej poszukiwać będziemy w postaci kombinacji liniowej n+1
s(x) =
c ⋅Φ
∑
,
≤ ≤
i
i(x)
a
x
b
i = − 1
gdzie ci są pewnymi liczbami rzeczywistymi, które należy wyznaczyć.
Nakładamy warunki interpolacji: s(xi) = yi , i = 0, 1, ... ,n.
.
xi−2 xi−1 xi xi+1 xi+2
Φ
i(x)
0
1
4
1
0
d
Φ
3
3
−
i(x)
0
0
0
dx
h
h
Funkcja s(x) jest interpolacyjną funkcją sklejaną dla f, gdy (n+3) niewiadomych ci (i = -1, 0, 1, ... , n+1) spełnia następujący układ (n+1) równań ci-1 +4ci + ci+1 = yi , i = 0,1, ...., n
Do powyższego układu należy dołączyć dwa równania, wynikające z nałożenia na funkcję sklejaną s dwóch dodatkowych warunków
-c + c = hα/3 i -c + c
= hβ/3
-1
1
n-1
n+1
Tak określony układ (n+3) równań posiada jednoznaczne rozwiązanie.
Uwaga. Z układu tego można łatwo wyeliminować współczynniki c-1 i cn+1 .
y + α h
⋅
0
4 2 0 . . . . .. c0
3
1 4 1 0 .
.
.
.
c1
y1
0 1 4 1 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
⋅
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 1 4 1 0
.
.
.
.
.
. 0 1 4 1
cn−1 yn−1
.
.
.
.
. 0 2 4 cn y − β h
⋅
n
3
TWIERDZENIE. Niech α = f ' (a) i β = f ' (b). Jeżeli funkcja f jest klasy C4([a,b]), to dla a ≤ x ≤ b
5⋅M4
4
f (x) − s(x) ≤
⋅h
384