Metody probabilistyczne i statystyka Wykład

8

Estymacja przedziałowa

Dr Joanna Banaś

Zakład Matematyki Stosowanej

Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej Wydział Informatyki Zachodniopomorskiego Uniwersytetu Technologicznego w Szczecinie

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

22. Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa – metoda wyznaczenia takiego przedziału liczbowego, aby z prawdopodobieństwem bliskim 1 można było oczekiwać, że prawdziwa wartość interesującego nas parametru rozkładu cechy X znajduje się wewnątrz tego przedziału

θ – nieznany parametr zmiennej losowej X, ( X ,…, X ) – próba losowa 1

n

Jeżeli α

α ∈

∈ (

0 ,

1 )

i

U n =

=

U

n

(

X

1

, . . . ,

X n )

o

r

a

z

U

n =

=

U n (

X 1

, . .

. ,

X

n

) są

dwiema statystykami takimi, że

U

U

n

< n oraz

(22.1)

P ( U n < θ < U n ) = 1− α

to przedział losowy

(22.2)

( U n , U n )

nazywamy przedziałem ufnoś ci dla parametru θ na poziomie ufności 1−α

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

Realizacja przedziału ufności

(22.3) Uwagi

a)

Jeżeli ( x ,…, x ) jest próbk

1

n

ą wartości cechy X i obliczymy wartości

statystyk

un = U n ( 1

x ,..., xn ) oraz un = U n ( 1

x ,..., xn ),

to

t o

tr

t zy

z m

y a

m m

a y

m

y prze

z d

e zi

z a

i ł

a

ł r

ze

z c

e z

c y

z w

y is

i ty

t

y

( u n, un )

n

,

u

n

) , k

tó

t ry

y j

es

e t

t j

ed

e ną

z wielu realizacji przedziału ufności (22.2) Liczby

u

u

n

i n nazywamy odpowiednio ocenami dolną i górną parametru θ

b)

Dla różnych próbek wartości cechy X będziemy otrzymywać różne realizacje przedziałów ufności, lecz np. dla α = 0.01 parametr będzie do nich należał w 99 przypadkach na 100 próbek Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Wykład 8

Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej

– model 1

(22.4) Wartość oczekiwana

Model 1 (rozkład normalny, znana wariancja)

X – zmienna losowa o rozkładzie normalnym N( m,σ), wariancja σ2 = D 2 X jest znana

Średnia z próby

X

= 1 X +

+ X

N ( ,

m σ n ),

n (

X

1

+ . . .

+

X n ) ma rozkład N ( ,

m σ

Średnia z próby ma rozkład

)

zatem statystyka

X − m

X − m

U =

=

n

σ

σ

n

f ( x)

ma rozkład N(0,1) i dla dowolnego α∈(0,1)

N (0,1)

istnieje u takie,

α

α

2

α

że

2

1 0−.1α

P( u

− α < U < uα ) = 1− α

− u

0

u

α

α

Rys.22.1. Gęstość rozkładu N(0,1)

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej

– model 1

Dalej dostajemy

Φ( u ) = 1 α

−

α

,

2

zatem u jest kwantylem rozkładu normalnego N(0,1) α

rzędu , odc

1 α

−

zytywanym z tablic, który będziemy

2

oznaczać pr

zez u (1 α

(1− 2 )

W rezultacie 



X − m

1− α = P  − u(1 α

− ) <

< u(1 α

− ) 

2

σ

2







n



P ( u(1 α) σ

X

m

u(1 α ) σ

=

−

−

<

−

<

−

2

2

n

n )

P ( X u(1 α) σ

m

X

u(1 α ) σ

=

−

−

<

<

+

−

2

2

n

n )

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej

– model 1

Otrzymujemy przedział ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie ufności 1−α

( X u(1 α) σ , X u(1 α) σ

−

−

+

−

2

2

n

n )

z realizacją dla próbki ( x ,…, x )

1

n

( x − u(1 α

(1 − ) σ

)

, x + u(1 α

(1− ) σ

−

−

+

−

(

)

2

2

n

n )

Przykład (do modelu 1)

Dokonano 100 pomiarów ciśnienia wody pewnym przyrządem

Wielkość pomiaru to zmienna losowa X o rozkładzie normalnym N( m,σ), gdzie odchylenie standardowe σ jest dla tego przyrządu znane i wynosi 2.1

Przyrząd mierzy bez błędu systematycznego, tzn. EX = m

Średnia z próbki wynosi 2.21

Oszacować nieznane średnie ciśnienie wody przedziałem ufności na poziomie ufności 0.95

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Wykład 8

Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej

– model 2

Model 2 (rozkład normalny, wariancja nieznana)

X – zmienna losowa o rozkładzie normalnym N( m,σ), wariancja σ2 = D 2 X nie jest znana n

Jeśli

X

= X +

+ X

S = ∑

X − X

n (

. . .

n

) i i

,

n

i 1

= (

)2

2

1

1

1

to statystyka

X − m

t =

n −1

S

ma rozkład Studenta z n – 1 stopniami swobody Obszar ufności jest konstruowany

f ( x)

analogicznie do Modelu 1

t

α

Z tablic kwantyli rozkładu Studenta z n – 1

α

2

2

1 0−.1α

stopniami swobody odczytujemy kwantyl

α

α

t(1 α

− , n −1) rzędu

1

α

− taki, że

− t(1− , n −1)

0

t(1− , n −1)

2

2

2

2

Rys.22.2. Gęstość rozkładu t

P ( t(1 α , n 1) t t(1 α

−

−

−

< <

− , n −1) = 1− α

2

2

)

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej

– model 2

Po przekształceniach otrzymujemy przedział ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie ufności 1−α

( X − t(1 α

− , n −1) S , X + t(1 α

− , n −1) S

2

2

n 1

−

n 1

− )

z realizacją dla próbki ( x ,…, x )

1

n

( x − t(1 α

(1− , n −1) s

1)

, x + t(1 α

(1 − , n −1) s

(

1)

2

2

n 1

−

n 1

− )

2

2

n 1

−

n 1

−

Przykład (do modelu 2)

Przeprowadzono 10 niezależnych pomiarów wartości przyspieszenia ziemskiego w pewnym punkcie, otrzymując (w cm/s2): 980,1 978,9 977,3 979,2 978,2

981,0 980,5 976,9 979,3 978,6

Wielkość pomiaru to zmienna losowa o rozkładzie normalnym N( m,σ)

Przyrząd pomiarowy mierzy bez błędu systematycznego

Wyznaczyć 99 % realizację przedziału ufności dla wartości przeciętnej przyspieszenia ziemskiego

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej

– model 3

Model 3 (rozkład nieznany, duża próba n ≥ 100 ) X – zmienna losowa o nieznanym rozkładzie, istnieją wartość oczekiwana EX = m i wariancja σ2 = D 2 X > 0

Jeśli próba jest duża ( n ≥ 100 ), to statystyka X − m

U =

n

σ

ma rozkład w przybliżeniu normalny N(0,1)

n

Ponieważ próba jest duża, przyjmujemy σ ≈ S = ∑

−

= ( X

X

i

n

i

)2

2

2

1

1

Powtarzając przekształcenia analogicznie do Modelu 1, otrzymujemy na poziomie ufności przedział

( X u(1 α) S , X u(1 α

−

−

+

− ) S

2

2

n

n )

z realizacją

( x u(1 α) s , x u(1 α

−

−

+

− ) s

2

2

n

n )

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Wykład 8

Przedziały ufności dla wariancji

i odchylenia standardowego – model 1

(22.5) Wariancja i odchylenie standardowe

Model 1 (rozkład normalny, parametry nieznane)

X – zmienna losowa o rozkładzie normalnym N( m,σ), parametry m i σ nie są znane

n

Jeś

e li

l

i

S

2

=

1

∑ X − X

n ∑

i

,

i 1

= (

X

−

X )2

2

1

) to

t s

ta

t t

a y

t s

y ty

t k

y a

2

2

nS

χ =

2

σ

f ( x)

2

χ

ma rozkład χ2 z n – 1 stopniami swobody

Dla dowolnego α∈(0,1) istnieją kwantyle

α

1− α

α

2

rzędu

α i

1

α

− rozkładu χ2 z n – 1

2

2

2

stopniami swobody takie, że

2

2

0

( α

χ

, n −1)

(1 α

χ

− , n −1)

2

x

2

P ( 2 α

2

2

( , n 1)

(1 α

χ

−

< χ < χ

− , n −1) = 1− α

Rys.22.3. G

2

2

)

ęstość rozkładu χ2

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

Przedziały ufności dla wariancji

i odchylenia standardowego – model 1

Dalej dostajemy

2





2

nS

2

1− α = P  χ (α , n −1) <

< χ (1 α

− , n −1)

2



2

2



σ



2





1

σ

1

σ

= P 

<

<



2

2

2

 χ (1 α

− , n −1)

nS

χ ( α , n −1) 

2

2

2

2



nS



2

nS

= P 

< σ <



2

2

 χ (1 α

− , n −1)

χ ( α , n −1) 

2

2

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

Przedziały ufności dla wariancji

i odchylenia standardowego – model 1

W rezultacie otrzymujemy przedział ufności dla wariancji 2

2



nS

nS





,



2

α

2

 χ (1− , n −1) χ ( α , n −1) 

2

2

i dla odchylenia standardowego na poziomie ufności 1−α



2

2

nS

n

nS



nS



,





2

α

2

(1

, n 1)

( α , n 1) 

χ

−

−

χ

−



2

2



Przykład (do modelu 1)

W celu oszacowania dokładności przyrządu pomiarowego, dokonano nim 9

niezależnych pomiarów pewnej wielkości fizycznej

Otrzymano odchylenie standardowe z próbki 0.5

Wielkość pomiaru to zmienna losowa o rozkładzie normalnym N( m,σ) Na poziomie ufności 0.9 oszacować przedziałem ufności odchylenie standardowe, które przyjmujemy za miarę dokładności przyrządu

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

Przedziały ufności dla wariancji

i odchylenia standardowego – model 2

Model 2 (rozkład normalny, parametry nieznane, duża próba n ≥ 50) X – zmienna losowa o rozkładzie normalnym N( m,σ), parametry m i σ nie są znane

Jeśli próba jest duża ( n ≥ 50 ), to statystyka 2

2

nS

n

S

2χ =

2

=

2 n

2

σ

σ

ma w przybliżeniu rozkład normalny N ( 2 n − 3, ) 1 ,

a więc statystyka

2

U =

2χ − 2 n − 3

ma rozkład normalny N(0,1)

Wtedy dla α∈(0,1) otrzymujemy

P (

2

u(1 α )

2

2 n 3

u(1 α

−

−

<

χ −

− <

− ) = 1− α

2

2

)

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

Przedziały ufności dla wariancji

i odchylenia standardowego – model 2

Dalej dostajemy



S



1− α = P  2 n − 3 − u(1 α

− ) <

2 n < 2 n − 3 + u(1 α

− ) 

2

2



σ



3

u(1 α

− )

S

3

u(1 α



− ) 

2

2

= P  1−

−

<

< 1−

+





2 n

2 n

σ

2 n

2 n 

0





S

S

P 



≈

< σ <

u (1 α )

u (1 α

−

− )





2

2

1+

1−



2 n

2 n



Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

Przedziały ufności dla wariancji

i odchylenia standardowego – model 1

W rezultacie otrzymujemy przedział ufności dla

odchylenia standardowego





S

S





α

,

u (1

( − )

u (1 α

−

( −

1

)





2

2

2

1+

1−



2 n

2 n



i dla wariancji na poziomie ufności 1−α

2

2







 





S

S





 



α

,



u (1

)

u (1 α

−

− )



 

 

2

2

 1+

1−





2 n

 

2 n







Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

Przedział ufności dla wskaźnika struktury

(22.6) Wskaźnik struktury

Model (rozkład 0-1, parametr p nieznany, duża próba n ≥ 100) X – zmienna losowa o rozkładzie 0-1, parametr p nie jest znany Jeśli próba jest duża ( n ≥ 100 ), to statystyka M

p = n

gdzie M oznacza zmienną losową, której wartościami są liczby wyróżnionych elementów w n-elementowej próbce, ma w przybliżeniu rozkład normalny N (

(1− )

p,

p

p

n

)

Wtedy statystyka

M − p

n

U =

p (1− p)

ma rozkład N(0,1)

n

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

Przedział ufności dla wskaźnika struktury

Dla α∈(0,1) otrzymujemy





M − p

1− α = P  u

− (1 α

− )

n

<

< u(1 α

− ) 

2

2



p (1− p)





n



P (

p (1

( −

1 p)

p (1

( −

1 p)

M

α

M

α

=

− u(1− )

< p <

+ u(1−

(

=

−

−

<

<

+

)

n

2

n

n

2

n

)

Końce przedziału zależą od p, które nie jest znane, ale wobec n ≥ 100, można dla uproszczenia przyjąć

p

≈

m

n

Otrzymujemy realizację przedziału ufności dla próbki ( x ,…, x ) 1

n

m



(1 m

− )

m (1 m

− ) 

m

 − u(1 α

− ) n

n

m

< p <

+ u(1 α

− ) n

n



n

2

n

n

2

n





Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 8

Przedział ufności dla wskaźnika struktury

Przykład

350 losowo wybranych wyrobów

Znaleziono 31 wyrobów wadliwych

Wykorzy

z stując

ą

c w

y

w nik b

ad

a an

a ia

a k

ontrolneg

e o

podać 99 % realizację przedziału ufności dla

frakcji wyrobów dobrych w całej partii

produkowanych wyrobów

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład

8

Dziękuję za uwagę

Opracowała Joanna Banaś