1. Obliczenie płyty swobodnie podpartej na obwodzie Schemat podstawowy
11
12
13
14
15
21
22
23
24
25
Gdzie:
a = 5 m
a
31
32
3 3
34
35 → P = 15 kN
kN
→ q = 2
2
m
41
42
43
44
45
51
52
53
54
55
a
Dyskretyzacja układu wraz z obciążeniem zastępczym 11
12
13
14
15
∆ x
q
~
21
22
23
24
25
5
x
∆ = = ,
1 25 m
∆ x
4
q
~
31
32
33
34
35
P
15
~
kN
q =
∆ x
(
=
=
x
∆ )
,
9 6
2
( ,125)2
2
m
42
q
~
41
43
44
45
∆ x
51
52
53
54
55
∆ x
∆ x
∆ x
∆ x
Sformułowanie zagadnienia brzegowego
∂4 (
w x, y)
∂4 (
w x, y) ∂4 (
w x, y)
q( x, y)
+ 2
+
=
4
2
2
4
∂ x
∂ x ∂ y
∂ y
D
x = const.
w = ,
0
M x = 0
y = const.
w= ,0 My =0
M
→ w
= − w oraz w
= − w
x = 0
k '
1
,
k ,2
k ,5'
k ,4
M
→ w
= − w oraz w = − w y = 0
,'
1 j
2, j
5 ,' j
4, j
w
w
w
w
j =
k
=
j =
k
= 0
,
1
1
,
5,
,5
gdzie: k, j ∈ N ∧ k, j ∈ 1: 5 (współrzędne punktu płyty) Ilorazy różnicowe dla węzłów wewnętrznych i leżących w pobliżu krawędzi Ilorazy różnicowe
4
∂ (
w x, y)
1
≅
w
w
w
w
w
k j
− 4 k j + 6 k j − 4 k j +
4
4 (
, −2
,
1
−
,
,
1
+
k , j +2 )
∂ x
∆ x
4
∂ (
w x, y)
2
2
≅
w
w
w
w
w
w
w
w
w
k
j
− 2 k j + k j − 2 k j + 4 k j − 2 k j + k j − 2 k j +
2
2
4 (
− ,
1
1
−
− ,
1
− ,
1
1
+
,
1
−
,
,
1
+
+ ,
1
1
−
+ ,
1
k + ,
1 j 1
+ )
∂ x ∂ y
∆ x
4
∂ (
w x, y)
1
≅
− 4
+ 6
− 4
+
4
4 ( w
w
w
w
w
k −2, j
k − ,
1 j
k , j
k + ,
1 j
k +2, j )
y
∂
x
∆
Po zsumowaniu:
1
w
2 w
8 w
2 w
w
8 w
20 w
8 w
w
4 (
k −2, j +
k − ,
1 j−1 −
k − ,
1 j +
k − ,
1 j +1 +
k , j −2 −
k , j −1 +
k , j −
k , j +1 +
k , j 2 +
∆
+
x
q( x, y)
+ 2 w + − − 8 w + + 2 w + + + w +
=
,
k
,
1 j 1
k
,
1 j
k
,
1 j 1
k 2, j
D
czyli:
20 w
− 8 − +
− +
+ +
+
+ 2 − − + − + + + − + + + +
k , j
( w
w
w
w
k
,
1 j
k , j 1
k , j 1
k
,
1 j )
( w
w
w
w
k
,
1 j 1
k
,
1 j 1
k
,
1 j 1
k
,
1 j 1 )
q ⋅ x 4
∆
+ w − + w − + w + + w + =
k 2, j
k , j 2
k , j 2
k 2, j
D
Równania różnicowe dla węzłów siatki dyskretyzacyjnej 3
Sztywność płyty :
=
Eh
D
12 ⋅ (
2
1 −ν )
Przyjęto: E = 3 G
0 Pa (B25), ν = ,
0 2 , h =
a
1
,
0
= 5
,
0 m
Eh 3
6
3
30 ⋅10 ⋅ 5
,
0
D =
=
=
⋅
12 ⋅ (
,
3 2552 10
2
1−ν ) 12⋅(
2
1− ,
0 2 )
5 kNm
o Węzeł 22
⋅ ∆ 4
20 w
22 −
(8 w 12 + w 21 + w 23 + w 32)+ (2 w 11 + w 13 + w 31 + w 33) q
x
+ w '12 + w 2 '1 + w 24 + w 42 = 4⋅ D
4
⋅
20 w − w + w
+ w − w − w + w + w =
22
(8 23 32)
2 ,
1 25
2 33
22
22
24
42
4 ⋅ 325520
18 w − 8 w − 8 w + 2 w + w + w
−5
= 3
,
0 75 ⋅10 m
22
23
32
33
24
42
o Węzeł 23
4
~
,
0 25 +
+ ∆
⋅
20 w − 8
+
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+
+
=
23
( w w w w
13
22
24
33 )
( w w w w
12
14
32
34 )
( q q) x
w
w
w
w
'
1 3
21
25
43
D
4
⋅ +
⋅
20 w − w + w + w
+ w + w − w + w =
23
(8 22 24 33) 2( 32 34)
( ,025 2 ,96) ,125
23
43
325520
19 w − 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + w
−5
= 7 5
, 75 ⋅10 m
23
22
24
33
32
34
43
o Węzeł 24
4
0 ⋅ ∆
20 w − 8
+
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+
+
=
24
( w w w w
14
23
25
34 )
( w w w w
13
15
33
35 )
x
w
w
w
w
'
1 4
22
25'
44
D
20 w − w + w
+ w − w + w − w + w =
24
(8 23 34) 2
0
33
24
22
24
44
18 w − 8 w − 8 w + 2 w + w + w = 0
24
23
34
33
22
44
o Węzeł 32
~
4
5
,
0
+ ⋅∆
20 w − 8
+
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+
+
=
32
( w w w w
22
31
33
42 )
( w w w w
21
23
41
43 )
( q q) x
w
w
w
w
12
3 '
1
34
52
D
( 5,
0 ⋅ 2 + ,
9 6)⋅ ,
1 254
20 w − 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w − w + w =
32
22
33
42
23
43
32
34
325520
19 w − 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + w 5
= 7 9
, 50 10−
⋅
m
32
22
33
42
23
43
34
o Węzeł 33
4
5
,
0
⋅ ∆
20 w − 8
+
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+
+
=
33
( w w w w
23
32
34
43 )
( w w w w
22
24
42
44 )
q
x
w
w
w
w
13
31
35
53
D
5
,
0 ⋅ 2 ⋅ ,
1 254
20 w − 8 w − 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + 2 w + 2 w =
33
23
32
34
43
22
24
42
44
325520
20 w − 8 w − 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + 2 w + 2 w
−5
= ,
0 750 ⋅10 m
33
23
32
34
43
22
24
42
44
o Węzeł 34
4
0 ⋅ ∆
20 w − 8
+
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+
+
=
34
( w w w w
24
33
35
44 )
( w w w w
23
25
43
45 )
x
w
w
w
w
14
32
35'
54
D
20 w − w + w + w
+ w + w + w − w =
34
(8 24
33
44 )
2( 23
43 )
0
32
34
19 w − 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + w = 0
34
24
33
44
23
43
32
o Węzeł 42
4
5
,
0
⋅ ∆
20 w − 8
+
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+
+
=
42
( w w w w
32
41
43
52 )
( w w w w
31
33
51
53 )
q
x
w
w
w
w
22
4 '
1
44
5'2
D
4
⋅ ⋅
20 w − w + w
+ w + w − w + w − w =
42
(8 32
43 )
5
,
0
2 ,
1 25
2 33
22
42
44
42
325520
18 w − 8 w − 8 w + 2 w + w + w
−5
= ,
0 750 ⋅10 m
42
32
43
33
22
44
4
5
,
0
⋅ ∆
20 w − 8
+
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+
+
=
43
( w w w w
33
42
44
53 )
( w w w w
32
34
52
54 )
q
x
w
w
w
w
23
41
45
5'3
D
4
⋅ ⋅
20 w − w + w + w
+ w + w + w − w =
43
(8 33 42 44) 2( 32 34)
5
,
0
2 ,
1 25
23
43
325520
19 w − 8 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + w 5
= ,
0 750 10−
⋅
m
43
33
42
44
32
34
23
o Węzeł 44
~
4
⋅∆
20 w − 8
+
+
+
+ 2
+
+
+
+
+
+
+
=
44
( w w w w
34
43
45
54 )
( w w w w
33
35
53
55 )
q
x
w
w
w
w
24
42
45'
5'4
D
4
⋅
20 w − w + w
+ w + w + w − w − w =
44
(8 34
43 )
,
9 6 ,
1 25
2 33
24
42
44
44
325520
18 w − 8 w − 8 w + 2 w + 2 w + w + w
−5
= 7,200 ⋅10 m
44
34
43
33
35
24
42
Układ równań algebraicznych
18 w − 8 w + w − 8 w + 2 w + w
−5
= 3
,
0 75 ⋅10 m
22
23
24
32
33
42
2 w − 8 w + w − 8 w + 19 w + 2 w − 8 w
−5
= 7 5
, 75 ⋅10 m
23
24
32
33
34
43
44
w − 8 w + 18 w + 2 w − 8 w + w = 0
22
23
24
33
34
44
− 8 w + 2 w +19 w − 8 w + w − 8 w + 2 w
−5
= 9
,
7 50 ⋅10 m
22
23
32
33
34
42
43
2 w − 8 w + 2 w − 8 w + 20 w − 8 w + 2 w − 8 w + 2 w
−5
= ,
0 750 ⋅10 m
22
23
24
32
33
34
42
43
44
2 w
− 8 w + w − 8 w + 19 w + 2 w − 8 w = 0
23
24
32
33
34
43
44
w − 8 w + 2 w + 18 w − 8 w + w
−5
= ,
0 750 ⋅10 m
22
32
33
42
43
44
w + 2 w − 8 w + 2 w − 8 w + 19 w − 8 w
−5
= 7
,
0 50 ⋅10 m
23
32
33
34
42
43
44
w + 2 w − 8 w + w − 8 w + 18 w
−5
= 7,200 ⋅10 m
24
33
34
42
43
44
Postać macierzowa:
18 − 8
1
− 8 2
0
1
0
0 w
−
⋅
22
3
,
0 75 10 5
− 8 19 − 8 2 − 8 2
0
1
0
w
−
⋅
23
7 5
, 75 10 5
1
− 8 18
0
2
− 8 0
0
1 w
24
0
− 8 2
0
19
− 8 1 − 8 2
0
w
−
⋅
32
7
9
, 50 10 5
2 − 8 2 − 8 20 − 8 2 − 8 2 ⋅ w =
⋅ −
33
7
,
0 50 10 5 , [ m]
0
2
− 8 1 − 8 19
0
2
− 8 w 34
0
1
0
0
− 8 2
0
18
− 8 1
w
⋅ −
42
7
,
0 50 10 5
0
1
0
2
− 8 2 − 8 19 − 8 w
−
⋅
43
7
,
0 50 10 5
0
0
1
0
2
− 8 1 − 8 18
w
−
⋅
44
,
7 200 10 5
Rozwiązanie układu równań (z programu lineq):
w
1
,6258
22
w
3
,
2 045
23
w 3
,
1 670
24
w
3
,
2 751
32
w
5
= 8
,
2 488 10−
⋅
m
33
w
8
,
1 929
34
w ,
1 4818
42
w
9
,
1 869
43
w
6
,
1 496
44
Momenty zginające
Na kierunku x
2
∂ w
2
∂ w
D
M = − D ⋅
+ν
≅ −
⋅ w
− 2 w + w
+ ,
0 2 w
− ,
0 4 w
+ ,
0 2 w
x
2
2
2
( k, j 1−
k , j
k , j 1
+
k − ,
1 j
k , j
k + ,
1 j )
x
∂
y
∂
( x
∆ )
D
M = −
⋅ w
− ,
2 4 w
+ w
+ ,
0 2 w
+ ,
0 2 w
x
2
( k, j 1−
k , j
k , j 1
+
k − ,
1 j
k + ,
1 j )
( x
∆ )
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= ,
4 646
x 32
(
2
31
32
33
22
42
,
1 25)
( w
w
w
w
w )
kNm
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= 5
,
3 64
x 33
(
2
32
33
34
23
43
,
1 25)
( w
w
w
w
w )
kNm
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= ,
2 273
x 34
(
2
33
34
35
24
44
,
1 25)
( w
w
w
w
w )
kNm
o Wykres momentu w przekroju X 3-3
3
3
Mx [kNm]
2,273
3,564
4,646
Na kierunku y
2
2
∂ w
∂ w
D
M
D
ν
w
w
w
w
w
w
y = −
⋅
+
≅ −
⋅ k j − 2 k j + k j + , 0 2 k j − ,
0 4 k j + ,
0 2
2
2
2
( − ,1
,
+ ,
1
,
1
−
,
k , j 1
+ )
∂ y
∂ x
(∆ x)
D
M
w
w
w
w
w
y = −
⋅ k j − ,
2 4 k j + k j + ,
0 2 k j + ,
0 2
2
( − ,1
,
+ ,
1
,
1
−
k , j 1
+ )
(∆ x)
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= 3
,
4 41
y 23
(
2
13
23
33
22
24
,
1 25)
( w
w
w
w
w )
kNm
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= 5
,
3 25
y 33
(
2
23
33
43
32
34
,
1 25)
( w
w
w
w
w )
kNm
325520
M
= −
⋅
− ,
2 4
+
+ ,
0 2
+ ,
0 2
= ,
2 695
y 43
(
2
33
43
53
42
44
,
1 25)
( w
w
w
w
w )
kNm
3
o Wykres momentu w przekroju Y 3-3
3
My [kNm]
2,695
3,525
4,341
2. Wnioski.
W ćwiczeniu projektowym przedstawiono obliczenie płyty swobodnie podparta na obwodzie. Wykresy ukazują w przybliżeniu prawidłowy przebieg momentów zginających, jednak należy pamiętać, że metoda różnic skończonych nie oddaje poprawnych wyników przy tak dużej dyskretyzacji. Aby uzyskać prawidłowe wartości i dokładny przebieg wykresów sił wewnętrznych należy zagęścić siatkę dyskretyzacji.
Mimo to pozostaną błędy zaokrągleń, które przy łatwych schematach nie mają większego wpływu na obliczone wyniki.