Odwrotna transformata Laplace’a, rozwiązywanie obwodów elektrycznych w stanie nieustalonym 1. Wyznaczyć odwrotne transformaty Laplace’a: 1
s −1
s + 2
2 s +1
1.
2.
3.
4.
2
2
2
s( s +1)
s +1
s + 2 s + 2
2 s + 2 s +1
2
2
s + s + 2
s
s + 3
3 s +12 s +11
5.
6.
7.
8.
3
2
2
2
3
2
s + s + s +1
s + 4 s + 8
s + 3 s + 2
s + 6 s +11 s + 6
2 s +1
1
− s
+ e
9.
10.
2
2
( s + 2)
s + 2 s + 2
Od .
p :
1. f ( t) = (1 − t
− e )1( t),
2. f ( t) = (cos t − sin t )⋅1( t), 3. f ( t)
− t
= e (cos t −sin t)⋅1( t), t
−
t
4. f ( t) = e
⋅cos ⋅1( t),
5. f ( t) = ( − t
e + sin t )
2
2
⋅1( t),
6. f ( t)
− t
= e (cos2 t −sin 2 t)⋅1( t), 2
7. f ( t) = ( − t
−2
2
t
e − e
)1( t), 8. f ( t) =( − t 2− t 3− t e + e
+ e )1( t),
−
−
− −
9. f ( t) = (2 − t
e − 3
t
te )
t
( t )1
1( t),
10. f ( t) = e sin t ⋅1( t) + e sin ( t − )
1 ⋅1( t −1).
2. Wyznaczyć prąd i(t). Warunki początkowe zerowe. Dane: L = 0.5, C = 1, R = 1.
iz(t)
iz(t)
i(t)
2
C
L
1
R
1
2
3
t
1
I ( s) =
⋅(
− s
3
2 − 3
− s
e
+ e )
− t
−( t 1
− )
−( t−3)
,
i( t) = 2 e sin t ⋅1( t) − 3 e sin( t −1) ⋅1( t −1) + e sin( t − 3) ⋅1( t − 3).
2
s + 2 s +
2
3. Wyznaczyć napięcie u(t). Warunki początkowe zerowe. Dane: L = 1, C = 0.5, R = 1.
u(t)
e(t)
2
C
1
L
e(t)
R
1
2
3 t
1
U ( s) =
⋅(
2
− s
3
1− 3 e
+ 2 − s
e
)
− t
−( t−2)
−( t−3)
, i( t) = e sin t ⋅1( t) − 3 e sin( t − 2) ⋅1( t − 2) + 2 e sin( t − 3) ⋅1( t − 3).
2
s + 2 s +
2
4. Wyznaczyć napięcie u(t). Warunki początkowe zerowe. Dane: 1
R = 5, L = 1, C =
.
4
iz(t)
3
2
1
iz(t)
L
R
0
1
2
3
t
-1
-2
u(t)
-3
-4
C
-5
-6
60
U ( s) =
⋅(
2
− s
3
1− 3 e
+ 2 − s
e
,
2
)
s( s + 5 s + 4)
− t
4
− t
−( t−2)
4
− ( t−2)
−( t−3)
4
− ( t−3)
i( t) = 5⋅ (3 − 4 e + e ) ⋅1( t) −15⋅ (3 − 4 e
+ e
) ⋅1( t − 2) +10 ⋅ (3 − 4 e
+ e
) ⋅1( t − 3).
5. Wyznaczyć napięcie u(t). Warunki początkowe zerowe. Dane: 1
R = 5, C =
, L = 1.
6
iz(t)
2
i
1
z(t)
L
t
R
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
C
u(t)
-3
-4
60
U ( s) =
⋅(
−2 s
6
−2 + 3
− s
e
− e
,
2
)
s( s + 6 s + 5)
− t
5
− t
−( t−2)
5
− ( t−2)
−( t−6)
−5( t−6)
u( t) = −6 ⋅ (4 − 5 e +10 e ) ⋅1( t) + 9 ⋅ (4 − 5 e
+10 e
) ⋅1( t − 2) − 3⋅ (4 − 5 e
+10 e
) ⋅1( t − 6).
6. Wyznaczyć prąd i(t). Warunki początkowe zerowe. Dane: R = 3, R = 1, L = 2, C = 2.
1
2
iz(t)
L
1
i
R
z(t)
i(t)
2
R
1
2
3
t
1
-1
C
-2
3
9
− s
−
e
2
3 s
2
I ( s) =
(1− e
) −
,
2
2
s( s +1)
( s +1)
3
− t
− t
3
− t−
− t−
9
(
3)
(
3)
−( t 1
− )
i( t) =
(1− e − te )1( t) − (1− e
− ( t − 3) e
)1( t − 3) − ( t −1) e 1( t −1).
2
2
2
7. Wyznaczyć prąd i(t). Warunki początkowe zerowe. Dane: R = 3, R = 1, L = 1 4, C = 1 4.
1
2
iz(t)
C
1
i(t)
i
L
1
2
3
t
z(t)
R
-1
1
R2
-2
−2
3
−
e
s
9
s
3
I ( s) =
( e
−1) +
,
2
2
s( s + 2)
( s + 2)
3
− t
− t
3
2
2
−2( t−3)
−2( t−3)
2
− ( t−2)
i( t) = − (1− e
− 2 te )1( t) + (1− e
− 2( t − 3) e
)1( t − 3) + 9( t − 2) e 1( t − 2).
4
4
1
4
8. Wyznaczyć napięcie u
=
=
=
=
= α =
= ⋅
L(t). Warunki początkowe zerowe. Dane: R
1, R
3, R
, L
1, C
1,
, i ( t)
2 1( t).
1
2
3
3
9 z
C
α u(t)
R2
R3
u(t)
L
uL(t)
iz(t)
R1
3 s +1
U ( s) =
,
u ( t)
− t
= e (3cos t − 2sin t)⋅1( t).
L
2
s + 2 s +
2
L
3
2
1
11
9. Wyznaczyć napięcie u
=
=
=
=
= α =
= ⋅
L(t). Warunki początkowe zerowe. Dane R
, R
, R
, L
1, C
1,
, i ( t)
6 1( t).
1
2
3
2
3
2
9
z
L
α u(t)
uL(t)
R1
R2
u(t)
C
R3
iz(t)
9 s + 2
U ( s) =
,
u ( t)
− t
= e (9cos t − 7sin t)⋅1( t).
L
2
s + 2 s +
2
L
1
10. Wyznaczyć napięcie u(t). Warunki początkowe zerowe. Dane: R = 1, R = 1, C =
, L = .
1
2
4
4
e(t)
R
R
2
1
2
u(t)
e(t)
1
L
1
2
3
t
C
-1
2
1
3
( s + 4)
s +
e−
− s
(
4)
s
2
3
2
U ( s) =
(1− e
) −
,
2
2
s( s + 4 s + 8)
s + 4 s + 8
1
− t
3 − t−
1
2
2(
2)
−2( t−3)
i( t) =
(1− e
cos(2 t)) ⋅1( t) − e
(cos 2( t − 2) + sin 2( t − 2)) ⋅1( t − 2) − (1− e cos 2( t − 3)) ⋅1( t − 3).
4
2
4
11. Wyznaczyć napięcie u(t). Warunki początkowe zerowe. Dane: R = 1, R = 1, C = 1, L = 1.
1
2
e(t)
C
R
2
2
1
e(t)
u(t)
R1
1
2
3
L
t
-1
s +1
s + e−
− s
3(
1) s
3
U ( s) = −
(1− e
) −
,
2
2
s( s + 2 s + 2)
s + 2 s + 2
1
− t
− t−
1
(
1)
−( t−3)
i( t) = − (1− e (cos t − sin t)) ⋅1( t) − 3 e cos( t −1) ⋅1( t −1) + (1− e (cos( t − 3) − sin( t − 3))) ⋅1( t − 3).
2
2
12. W obwodzie panował stan ustalony. W chwili t=0 rozwarto klucz, wyznaczyć prąd i(t) dla t≥ 0.
2
1
1
12
Dane: R =
, R = , L = , C =
, i ( t) = 9.
1
2
3
3
3
5
z
uC(o-)/s
C
t≥ 0
t=0
R
C
2
L
I ( )
s
z
L
R
R
1
I(s)
LiL(0-)
1
i ( t)
i(t)
z
u (0 )
I ( s)
C
⋅ R
−
−
+ Li (0 )
z
1
L
−
(0 ) = 6,
(0 ) = 2,
( )
s
i
u
I s =
,
L
−
C
−
1
R + sL +
1
sC
6 s +12
− t
1
1
I ( s) =
, i( t) = 6 e (cos t − 2sin t) ⋅1( t).
5
2
2
2
s + 2 s + 4
13. W obwodach panował stan ustalony, chwili t=0 zwarto klucz, wyznaczyć u(t) dla t≥ 0.
a). Dane: e( t) = const = 5, R = 1, R = R = 2, C = 1.
1
2
3
R
R
1
2
C
t=0
R
e( t )
3
u(t)
E ⋅ R
Cu (0 )
2
3
Od .
p : u (0 ) =
= 2, U ( s)
C
−
=
=
, u( t) = 2 − t
e ⋅1( t).
C
−
R + R + R
1
1
s +1
1
2
3
+
+ sC
R
R
2
3
b). Dane:
1
e( t) = const = 5, R = 3, R = 2, C =
, L = 1.
1
2
4
L
R 1
C
t=0
R
e( t)
2
u(t)
E ⋅ R
E
2
Od .
p : u (0 ) =
= 2, i (0 ) =
=1,
C
−
L
−
R + R
R + R
1
2
1
2
i (0 )
Cu (0 )
L
−
+
C
−
2 s + 4
( )
s
U s =
=
, u( t) = 2 − t
e
cos t + sin t ⋅1( t).
2
(
)
1
1
s + 2 s + 2
+
+ sC
R
sL
2
14. W obwodzie panował stan ustalony. W chwili t=0 rozwarto klucz, wyznaczyć u(t) dla t≥ 0.
I(s) uC(o-)/s C
t≥ 0
t=0
C
e(t)
L
E(s)
u(t)
R 2
R 2
UC(s)
R
L
1
i ( t)
Li
z
L(0-)
1
e( t) = 5 = const, i ( t) = 2 = const, R = 2, R = 3, C = , L = 1.
z
1
2
2
u (0 )
E( s)
C
−
−
+ Li (0 )
L
−
(0 ) = 2,
(0 ) = 5,
( )
s
i
u
I s =
,
L
−
C
−
1
R + sL +
2
sC
1
u (0 )
4
5
C
−
− t
−2
U ( s) = I ( s) ⋅
+
=
+ , u ( t) = (4 e − 4 t e
+ 5)⋅1( t).
C
2
sC
s
s + 3 s + 2
C
s