Proste równania ruchu punktu materialnego Ruch swobody
2 r
d r ( t)
m
= 0
r
2
dt
p
d ( t)
= 0
r
r
r
r
r ( t) = r + v t dt
r
r
⇒
p( t) = p
dr( t)
r
r
0
0
0
= v ( t = 0) = v ⇒
0
r
r
r
r
dt t=0
p( t = )
0 = p
v( t) = v 0
0
r
r
r ( t = 0) = r 0
r 2
Energia całkowita:
p
E =
0
= const
2 m
Ruch pod działaniem stałej siły
r
r
d 2 r t
( )
F
r
=
= a
2
r
dt
m
dp( t
r
)
=
F
r
r
r
1 r
r
r
r t
( ) = r + v t +
at 2
dt
r
r
dr t
( )
r
r
⇒
p( t) = p + t F
0
0
= v t
( = 0) = v ⇒
2
0
0
r
r
dt t=0
p( t = 0) = p
r
r
r
0
v t
( ) = v +
at
r
r
0
r t
( = 0) = r 0
r
Energia potencjalna:
r
r
V ( r ) V
=
− F r V
=
− F x − F y − F z
0
0
x
y
z
Energia całkowita:
r
r
r
r
p 2 ( t)
r
m( v + at 2
)
r r
r
1 r
mv 2
r r
E =
+ V ( r ) =
0
+ V − ma r + v t +
at 2 =
0 + V − mar = const
2 m
0
2
0
0
2
0
0
2
Ruch harmoniczny siła działa wzdłu r
ż kierunku x, r ( t) = ( x( t), y( t), z( t))
2 r
d r ( t)
2
r
d x( t)
m
= − k x e
m
= − k x
2
x
2
dt
dt
w kierunkach y i z mamy ruch swobodny, wzdłuż x
r
dr ( t)
r
r
v ( t = 0) =
=
v
v( t = 0) = v
x
0
0
dt
t=0
x( t = 0) = x
r
r
0
r ( t = 0) = r
0
2
k
d x( t)
2
x t
( = )
0 = B
ω2 ≡
= −ω x
2
v
dt
0
m
x( t) =
sin( t
ω ) + x cos( t
ω )
v t( = 0) = ω A
0
x
ω
x( t) = A sin(ω t) + B cos(ω t) Energia potencjalna:
1
1
2
2
2
V ( x) V
=
+ k x
V
=
+ mω x
0
0
2
2
2
2
2
Energia całkowita:
p ( t)
mv
kx
E =
+ V ( x) =
0 +
0
= const
2 m
2
2
1
Hamowanie tracie – siła niepotencjalna
2
d x( t)
dx( t)
− γ t
m
= −λ
v t
( ) = v e
2
0
dt
dt
dv( t)
= −γ v( t)
(γ ≡ λ / m)
t
v( t = 0) = v
dt
v
0
x t
( ) = x +
' ( ')
1
0
∫ dt v t = x + 0
0
( − −γ t
e
)
v( t = )
0 = v
γ
x( t = 0) = x
0
0
0
Pr
v
ędkość spada do zera po nieskończonym czasie, ale zasięg jest skończony x( t = ∞) = x + 0 .
0
γ
Spadanie z tarciem
1
dv
−
= dt
γ v − g / γ
2
d x( t)
dx( t)
g
g
m
= mg − λ
dv( t)
−γ t
2
v t
( ) =
+ v −
0
e
dt
dt
= g − γ v( t)
1
− ln( v − g / γ) = t + C
γ
γ
dt
γ
v( t = 0) = v 0
v( t = 0) = v
g
v − g / γ
x t
( ) = x +
t + 0
0
(1− −γ t
e
)
0
g
x( t = 0) = x
v( t) =
+ Ae− tγ
γ
γ
0
γ
g + A = v 0
γ
Jeśli v < g / γ , spadający obiekt przyspiesza, gdy zaś czy też v > g / γ hamuje.
0
0
g
v t
( ) ≈
Po czasie t >> 1/ γ mamy ruch jednostajny:
γ
v − g / γ
g
0
x t
( ) ≈ x +
+
t
0
γ
γ
Ruch pod działaniem siły Lorentza1
r
qB
B = (
,
0
,
0
B)
ω = m
2 r
d r ( t)
r
r
2
m
= q v( t) × B
d x( t)
2
2
m
= q v ( t) B
d x t
( )
dy t
( )
dt
2
y
= ω
dt
dt 2
dt
r
dr ( t)
r
r
= v( t = 0) = v
2
0
d y( t)
2
dt
t=0
m
= − q v ( t) B
d y t
( )
dx t
( )
2
x
= −ω
dt
2
r
r
dt
dt
r ( t = 0) = r = ( x , y , z )
0
0
0
0
2
d z( t)
m
= 0
z t
( ) = z + v xt
0
0
2
dt
1 Hendrik Antoon Lorentz 1853-1928
2
Wykład III cd. Mechanika
dv ( t)
2
d v ( t)
x
2
x
= ω v ( t)
= − ω v ( t)
dt
y
2
dt
x
v ( t) = A sin(ω t) + B cos ω
( t) = C sin(ω t + ϕ) x
dv ( t)
2
v ( t) = A cos ω
( t) − B sin(ω t) = C cos ω
( t + ϕ)
y
d v ( t)
y
= −ω v ( t)
y
= −ω2
v ( t)
dt
x
2
dt
y
v
( t)
y
= v sin( t
ω )
x
+ v cos( t
ω )
T
= v sin(ω t + )
ϕ
x
0
0
0
T
x
2
y
2
v ≡ ( v ) + ( v )
0
0
0
v
( t)
y
= v cos(ω t)
x
− v sin(ω t)
T
= v cos(ω t + )
ϕ
y
0
0
0
v y
v x
v y
v y
v x
x( t) = C − 0 cos ω
( t) + 0 sin(ω t)
x( t) = x + 0 − 0 cos(ω t) + 0 sin(ω t)
ω
ω
0
ω
ω
ω
v y
v x
v x
v y
v x
y( t) = D + 0 sin(ω t) + 0 cos(ω t) y( t) = y − 0 + 0 sin(ω t) + 0 cos(ω t)
ω
ω
0
ω
ω
ω
y
x
T
2
2
v
v
v
Równanie toru: (
~
x − x ) + (
~
y − y )
2
= R x~ ≡ x − 0
y
~
,
≡ y + 0 ,
R ≡ 0
0
ω
0
ω
ω
r
m v 2
r
( t)
m v 2
Energia kinetyczna: E =
=
0
= const
2
2
r 2
r
d m v ( t)
r
dp( t)
r
r
r
r
r
= v( t)
= v( t) F ( t) = q v( t)
( v( t)× B) = 0
dt
2
dt
r
r
r
r
r
r
Pole magnetyczne nie wykonuje pracy ( W = ∫ d F r =∫ v
F dt ), gdyż F ⊥ v .
3