16 wyprowadzić układ ciśnienia wzdłuż długiego rurociągu Równanie ruchu płynu lepkiego: dV
r
r
D
r
= F − grad p +υ ⋅∇ V + grad( divV ) dt
s
gdzie υ=µ/ ρ – liniowy współczynnik lepkości
2
2
2
dV
1
µ
1 µ
x
∂ p
∂ Vx ∂ Vx ∂ V
x
∂ ∂ V
∂ V
y
x
∂
= x −
+
Vz
+
+
2
2
2
+
+
+
dt
ρ ∂ x ρ ∂ x
∂ y
∂ z 3 ρ∂ x ∂ x
∂ y
∂ z
2
2
2
dV
1
µ
1 µ
y
∂ p
∂ Vy ∂ Vy ∂ V
y
∂ ∂ V
∂ V
y
x
∂
= y −
+
+
+
+
Vz
2
2
2
+
+
dt
ρ ∂ y ρ ∂ x
∂ y
∂ z 3 ∂
ρ y ∂ x
∂ y
∂ z
2
2
2
dV
1
µ
1 µ
z
∂ p
∂ Vz ∂ Vz ∂ Vz
∂ ∂ V
∂ V
y
x
∂
= z −
+
V
+
+
2
2
2
+
+
+
z
dt
ρ ∂ z ρ ∂ x
∂ y
∂ z 3 ∂
ρ z ∂ x
∂ y
∂ z
Rozwiązania te są rozwiązaniami ruchu płynów lepkich i ściśliwych przy założeniu, że r
r
dV
r
r
µ=const. Dla płynu nieściśliwego divV = 0
= F − grad p + V∇ V
dt
Równanie ruchu płynu nieściśliwego i lepkiego można przedstawić w jednej postaci po rozwiązaniu wyrażenia na przyśpieszenie całkowite.
∂ Vx
∂ V
∂ V
2
2
2
y
x
∂ V
1
z
∂ p
∂ Vx ∂ Vx ∂
+ V
υ
x
+ Vy
+ Vz
= x −
+
Vx
+
+
2
2
2
∂ t
∂ x
∂ y
∂ z
ρ ∂ x
∂ x
∂ y
∂ z
2
2
2
∂ Vy
∂ V
∂ Vy
x
∂ V
1
z
∂ p
∂ Vy ∂ Vy ∂
Vy
+ V
υ
x
+ Vy
+ Vz
= y −
+
+
+
2
2
2
∂ t
∂ x
∂ y
∂ z
ρ ∂ y
∂ x
∂ y
∂ z
∂ Vz
∂ V
∂ V
2
2
2
y
x
∂ V
1
z
∂ p
∂ Vz ∂ Vz ∂
+ V
υ
x
+ Vy
+ Vz
= z −
+
V
+
+
z
2
2
2
∂ t
∂ x
∂ y
∂ z
ρ ∂ z
∂ x
∂ y
∂ z