Zagadnienia na egzamin z matematyki semestr zimowy 2012/13
1. Wykresy funkcji cyklometrycznych.
2. De…nicja liczby e oraz jej przybli·
zona wartość, logarytm o podstawie e.
3. Kryteria zbie·
zności szeregu liczbowego o wyrazach dodatnich (Cauchy’ego, d’Alemberta, ilo-razowe, ca÷
kowe).
4. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie.
5. Zastosowanie ró·
zniczki zupe÷
nej do obliczania przybli·
zonej wartości funkcji (podać wzór).
6. Warunek konieczny i wystarczaj ¾
acy istnienia ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej.
7. Warunek konieczny i wystarczaj ¾
acy istnienia punktu przegi ¾
ecia wykresu funkcji jednej zmiennej.
8. Symbole nieoznaczone (wymienić), rozstrzyganie symboli oznaczonych.
9. Regu÷
a del’Hospitala (podać w postaci twierdzenia).
10. Wzór Taylora.
11. De…nicje asymptot wykresu funkcji.
12. Sposoby opisywania krzywych na p÷
aszczyźnie za pomoc ¾
a równań, rodzaje uk÷
adów wspó÷
rz ¾
ed-
nych i zwi ¾
azki mi ¾
edzy nimi.
13. Twierdzenie o zamianie zmiennej w ca÷
ce oznaczonej.
14. Zastosowania geometryczne ca÷
ki oznaczonej (wymienić).
15. De…nicja ca÷
ki niew÷
aściwej (przynajmniej jednego rodzaju).
16. Pochodne cz ¾
astkowe n-tego rz ¾
edu funkcji dwóch zmiennych (wymienić wszystkie dla zadanego n 2 N).
17. De…nicja pola wektorowego oraz de…nicja potencja÷
u pola wektorowego.
18. De…nicja liczby zespolonej, postacie liczby zespolonej (algebraiczna, trygonometryczna, wyk÷
ad-
nicza).
Zadania domowe:
1. Wykazać, ·
ze ci ¾
ag liczbowy ma co najwy·
zej jedn ¾
a granic ¾
e w÷
aściw ¾
a.
1 n
2. Wykazać, ·
ze ci ¾
ag an =
1 +
jest rosn ¾
acy i ograniczony.
n
1
P 1
3. Wykazać (z de…nicji), ·
ze szereg
jest rozbie·
zny.
n=1 n
4. Wykazać z de…nicji, ·
ze je·
zeli funkcje f i g s ¾
a ró·
zniczkowalne w punkcie x0, to ((f g) (x0))0 =
f 0 (x0) g (x0) + f (x0) g0 (x0).
5. Wyprowadzić i indukcyjnie udowodnić wzór na n-t ¾
a pochodn ¾
a funkcji sin x oraz ln x.
!
!
6. Wykazać, ·
ze je·
zeli F = [P; Q; R] jest ró·
zniczkowalnym polem wektorowym, to div rot F
= 0.