Egzamin z Analizy 1, 9 V 2007, grupa B
1. Wyznaczyć parametry a i b tak, aby funkcja f była ciągła i różniczkowalna w punkcie x = 0 , jeśli
( ax + b dla x < 0
f ( x) =
cos x
dla x 0
Po wyznaczeniu a i b narysować wykres funkcji f .
Rozwiązanie:
Funkcja będzie ciągła w punkcie x = 0 , gdy wartość f (0) (równa granicy prawostronnej w x = 0) będzie równa granicy lewostronnej w x = 0.
f (0) = 1
lim f ( x) = lim ax + b = b x→ 0 −
x→ 0 −
Dostajemy równanie:
b = 1
Funkcja będzie różniczkowalna w punkcie x = 0 , gdy jej pochodna lewostronna w x = 0 będzie równa pochodnej prawostronnej w x = 0 .
f 0(0 −) = a
f 0(0+) = − sin 0 = 0
a = 0
2. Obliczyć granicę
x cos x − sin x lim
x→ 0
sin x − x
Rozwiązanie:
Stosujemy 3 razy regułę del’Hospitala (za każdym razem granica jest typu 0) 0
x cos x − sin x cos x − x sin x − cos x
−x sin x
− sin x − x cos x lim
= lim
= lim
= lim
=
x→ 0
sin x − x
x→ 0
cos x − 1
x→ 0 cos x − 1
x→ 0
− sin x
− cos x − cos x + x sin x lim
= 2
x→ 0
− cos x
x − 9
3. Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej y =
, która tworzy z osią Ox kąt α = π
x + 7
4
Rozwiązanie:
Ponieważ styczna tworzy z osią Ox kąt α = π , więc jej współczynnik kierunkowy jest 4
równy k = 1 (gdyby traktować kąt jako nieskierowany, wtedy trzeba też uwzględnić dodatkowo k = − 1). Współczynnik ten jest równy pochodnej y0.
x + 7 − ( x − 9) 16
y0 =
=
( x + 7)2
( x + 7)2
16
= 1
( x + 7)2
( x + 7)2 = 16
x + 7 = ± 4
x 1 = − 11
x 2 = − 3
y 1 = 5
y 2 = − 3
Są więc dwie proste styczne spełniające podany warunek.
Równanie pierwszej stycznej:
y − 5 = x + 11
y = x + 16
Równanie drugiej stycznej:
y + 3 = x − 3
y = x
4. Za pomocą odpowiedniego przekształcenia obliczyć całkę Z
cos3 x
I =
d x
1 + sin2 x
Rozwiązanie:
Stosujemy podstawienie:
t = sin x
d t = cos x d x
Z cos2 x cos x
Z (1 − sin2 x) cos x Z 1 − t 2
Z −t 2 + 1
I =
d x =
d x =
d t =
d t
1 + sin2 x
1 + sin2 x
1 + t 2
t 2 + 1
Jest to całka z funkcji wymiernej. Dzielimy licznik przez mianownik Z
2
I =
( − 1 +
) d t = −t + 2 arc tg t + C = − sin x + 2 arc tg(sin x) + C
t 2 + 1
5. Obliczyć całkę niewłaściwą
∞
Z
√
I =
e− 4 x d x
0
Rozwiązanie:
∞
Z
b
√
Z
√
I =
e− 4 x d x = lim e− 4 x d x
b→∞
0
0
Stosujemy podstawienie
x = t 2
d x = 2 t d t
Dla x = 0 jest t = 0
√
Dla x = b jest t =
b
√b
Z
I = lim 2
e− 4 tt d t
b→∞
0
Całkujemy przez części:
f = t
f 0 = 1
e− 4 t
g0 = e− 4 t
g =
− 4
√
b
Z
"
# √
b
√
√
"
# √
√
√
√
te− 4 t
b
Z e− 4 t
be− 4 b
e− 4 t
b
be− 4 b
e− 4 b
1
e− 4 tt d t = −
−
d t = −
−
= −
−
+
4
− 4
4
16
4
16
16
0
0
0
0
√
√
√
be− 4 b
e− 4 b
1
1
1
√
√
I = lim −
−
+ =
−
lim
be− 4 b
b→∞
2
8
8
8
2 b→∞
Granicę liczymy stosując regułę del’Hospitala
√
1
√
√
√
b
1
lim
be− 4 b = lim
2 b
√
= lim
√
= lim
√
= 0
b→∞
b→∞ e 4 b
b→∞ 4 e 4 b
b→∞ 4 e 4 b
√
2 b
A więc
I = 18
6. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót obszaru D dookoła osi Ox D : 9 x 2 + 4 y 2 ¬ 36
Rozwiązanie:
Przekształcamy równanie obszaru
x 2
y 2
+
¬ 1
4
9
Obszar D to elisa o półosiach 2 i 3. Równanie brzegu obszaru: s
x 2
y = ± 3 1 − 4
Objętość bryły (elipsoidy obrotowej) jest równa: 2
Z
2
Z
"
#
x 2
x 3 2
2
2
V = π
y 2 d x = π
9(1 −
) d x = 9 π x −
= 9 π(2 −
− ( − 2 + )) = 24 π
4
12
3
3
− 2
− 2
− 2