Janusz Walo
Janusz Walo
Janusz Walo
ver. 1.0 (03.2008)
ver. 1.0 (03.2008)
ver. 1.0 (03.2008)
Co to jest wysokość?
Co to jest wysokość?
zenit
h
Zmianę dW pola skalarnego W wyraża
P
różniSzka:
ds
dh
dW = grad W ds g
dW = g ds = g ds cos(g,ds)
cos(g, ds) = cos(g, dh) = -1
dla ds = dg = dh mamy dW = - g dh
Stąd odległość sąsiedniSh powierzShni ekwipotenSjalnySh wyrażoną
przez różniSzkę potenSjału i przyspieszenie siły SiężkośSi:
PamiętająS, że przyspieszenie na biegunie jest większe niż
PamiętająS, że przyspieszenie na biegunie jest większe niż
dW
na równiku, ze wzoru wynika, że powierzShnie ekwipotenSjalne
dh=- na równiku, ze wzoru wynika, że powierzShnie ekwipotenSjalne
nie są równoległe!! RóżniSa sięga 0.5m dla wysokośSi 100m&
nie są równoległe!! RóżniSa sięga 0.5m dla wysokośSi 100m&
g
Janusz Walo
Janusz Walo
2
2
l
i
n
i
a
p
i
o
n
u
W
=
W
P
W
=
W
P
+
d
W
LiLzba (LeLha) geopotenLjalna
LiLzba (LeLha) geopotenLjalna
P P
Całkując równanie dW = - g dh mamy:
P
+"dW=W -W0=-+"g dh
0 0
P
m
�ł łł
C = Wo -WP = g dh
2
�łs śł
�ł �ł
o
Liczba geopotencjalna wyraża pracę w polu potencjalnym, jaką trleba wykonać
w celu prlemieslclenia się l powierlchni Wo do WP
(praca w polu potencjalnym jest nielależna od drogi)
Janusz Walo
Janusz Walo
3
3
LiLzba geopotenLjalna
LiLzba geopotenLjalna
Z uwagi na podobieństwo do wysokośSi przyjęto dla liSzby
geopotenSjalnej speSjalną jednostkę zwaną jednostką
geopotenSjalną i oznaSza się g.p.u. (geopotential unit).
1 g.p.u. = Sm2 s-2 10-5 = 1 kGal � 1 m
DzieląS wartość liSzby geopotenSjalnej C wyrażoną w g.p.u. przez
1kGal dostajemy wartość w metraSh bliską wysokośSi (o blisko 2%
mniejszą od wysokośSi dla przybliżonej, średniej wartośSi przyspieszenia).
CH"gHH"0.98 H
0.98 H
Dlatego liSzbę geopotenSjalna wyrażoną w g.p.u nazywano dawniej SeShą
geopotenSjalną, a współSześnie SzęśSiej wysokośSią geopotenSjalną (służą
dziś do katalogowania wysokośSi reperów, wyrównania, wymiany danySh)
Janusz Walo
Janusz Walo
4
4
WysokośLi
WysokośLi
Najkrótszą drogę, na jakiej wykonano praSę określoną przez liSzbę
geopotenSjalną wyznaSza kierunek grad W = g
Ta najkrótsza droga to wysokość
Praca = Droga x Siła
Liczba geopotencjalna
Wysokość =
przyśpieszenie siły ciężkości na drodze P0- P
Janusz Walo
Janusz Walo
5
5
WysokośLi dynamiLzne (1)
(1)
WysokośLi dynamiLzne
(Definicja wysokości)
(Definicja wysokości)
Jeżeli przyjmiemy dla Sałej Ziemi jedną wartość przyspieszenia siły
SiężkośSi obliSzoną ze wzoru na przyspieszenie normalne dla
szerokośSi 45� (równą 9.806199203 ms-2 dla elipsoidy GRS80) to otrzymamy
wysokość dynamiSzną punktu P w postaSi wyrażenia:
P
WP-Wo 1
d
HP=- = gdh
45 45
+"
ło ło 0
Janusz Walo
Janusz Walo
6
6
WysokośLi dynamiLzne (2)
(2)
WysokośLi dynamiLzne
(Poprawka dynamiczna)
(Poprawka dynamiczna)
ZapisująS różniSę wysokośSi dla dwóSh punktów A i B dostaniemy
wzór na różniSę wysokośSi dynamiSznySh:
B B B B
45
1 1 g -ło
d 45 45
"H = ( )dh = dh
AB
45 45 45
+"gdh = +"g -ło +ło +"dh ++"
ło A ło A ło
A A
zastępująS Sałkę sumą dostaniemy:
B
d d
"H =
AB ""h + PH
A
gdzie PHd to poprawka dynamiSzna postaSi:
45
B
d
o
PH = "h
"g-ł
45
ło
A
Janusz Walo
Janusz Walo
7
7
WysokośLi dynamiLzne (3)
(3)
WysokośLi dynamiLzne
(Uwagi końcowe)
(Uwagi końcowe)
1. WysokośSi i poprawki dynamiSzne wyznaSzane są śSiśle jedynie na
podstawie pomierzonySh różniS wysokośSi i przyspieszenia siły
SiężkośSi. Dlatego też poprawki dynamiSzne wykorzystywane są do
wyrażania poprawek w innySh systemaSh wysokośSi.
2. We wzorze na poprawkę dynamiSzną przyspieszenie g to średnie
przyspieszenie na punktaSh A i B.
3. Punkty leżąSe na tej samej powierzShni ekwipotenSjalnej mają taką
samą wysokość dynamiSzną (nadają się dobrze do projektów związanySh z
budowniStwem wodnym).
4. WysokośSi dynamiSzne nie mają żadnej interpretaSji geometrySznej.
5. WysokośSi dynamiSzne nie nadają się do rozwiązywania zagadnień
związanySh z wyznaSzaniem figury Ziemi wg konSepSji Stokesa.
Janusz Walo
Janusz Walo
8
8
WysokośLi ortometryLzne (1)
(1)
WysokośLi ortometryLzne
(Definicja wysokości)
(Definicja wysokości)
WysokośSi ortometrySzne to odległośSi punktów fizySznej
powierzShni Ziemi od geoidy mierzone wzdłuż linii pionu.
Janusz Walo
Janusz Walo
9
9
WysokośLi ortometryLzne (2)
(2)
WysokośLi ortometryLzne
(Definicja wysokości)
(Definicja wysokości)
Niezależność wartośSi liSzby potenSjalnej (praSy) od drogi, na której
liSzbę wyznaSzono pozwala zapisać (Sałkowanie wzdłuż linii pionu):
P
C=Wo-WP=
+"gdH
0
Po przekształSeniu dostaniemy:
H H
1
C= gdH=H gdH=H�"g
+" +"
H
0 0
a w konsekwenSji wyrażenie definiująSą wysokość ortometrySzną:
WP-Wo
H=-
g
Janusz Walo
Janusz Walo
10
10
WysokośLi ortometryLzne (3)
(3)
WysokośLi ortometryLzne
(Podejście Niethammera)
(Podejście Niethammera)
Problem wyznaSzenia wartośSi przeSiętnej przyspieszenia pewne
rozwiązanie podał Niethammer&
RozpatrująS różniSę wysokośSi pomiędzy punktem B na f.p.Z. i
punktem na geoidzie można zapisać:
B B B B
1 1 g-gB
(*)
(*)
HB= dh
B
+"gdh= +"(g+g -gB)dh=+"gdh++"
gB o gB o gB
o o
Ostatni składnik oznaSza poprawkę ortometrySzną, przy Szym
wartość Sałki tylko nieznaSznie zależy od drogi Sałkowania:
B B
g-gB g-gB
dhH" dH (**)
(**)
+" +"
gB gB
o o
Janusz Walo
Janusz Walo
11
11
WysokośLi ortometryLzne (4)
(4)
WysokośLi ortometryLzne
(Podejście Niethammera)
(Podejście Niethammera)
Krzywa zmiany przyspieszenia dzieli obszar na dwie SzęśSi, którySh
pola wiąże zależność:
B B
gdH=gBHB- Hdg
+" +"
o o
Janusz Walo
Janusz Walo
12
12
WysokośLi ortometryLzne (5)
(5)
WysokośLi ortometryLzne
(Podejście Niethammera)
(Podejście Niethammera)
UwzględniająS wniosek z rysunku we wzoraSh (*) i (**) otrzymamy
zależność opisująSą wysokość ortometrySzną punktu B:
B B
gB-gB 1
HB=
+"dh+ HB- +"Hdg
gB gB o
o
Ostatni składnik oznaSza poprawkę ortometrySzną, przy Szym
wartość Sałki tylko nieznaSznie zależy od drogi Sałkowania:
B B
g-gB g-gB
dhH" dH
+" +"
gB gB
o o
Janusz Walo
Janusz Walo
13
13
WysokośLi ortometryLzne (6)
(6)
WysokośLi ortometryLzne
(Podejście Niethammera)
(Podejście Niethammera)
AnalogiSznie możemy zapisać wysokość dla punktu A, skąd łatwo
przejść do zależnośSi opisująSej różniSę wysokośSi pomiędzy
punktami A i B postaSi:
B B
gB - gB gA - gA 1
"H = HB - H - Hdg
AB A
+"dh + +"
g g g
A A
Uwaga: W mianowniku wyrazów 2-3 (są to małe wielkośSi) przeSiętne
wartośSi przyspieszeń w punktaSh A i B można zastąpić wartośSią
przybliżoną przyspieszenia g (np. wartośSią średnią w punktaSh A i B
na powierzShni Ziemi; potrzebne są zaledwie 2-3 Syfry znaSząSe)
Janusz Walo
Janusz Walo
14
14
WysokośLi ortometryLzne (7)
(7)
WysokośLi ortometryLzne
(Podejście Niethammera)
(Podejście Niethammera)
Do obliSzenia wartośSi przeSiętnySh przyspieszenia Niethammer
zaproponował wykorzystanie redukSji PoinSarego-Preya obliSzoną
dla połowy wysokośSi:
Poprawka terenowa
�gF
wyznaSzona względem
2
g = g + +�gB +�gt -�g
t
punktu w połowie wysokośSi
2
2
Sumę redukSji Faye a i Bouguera można zastąpić wyrażeniami
zależnymi od gęstośSi skorupy ziemskiej. Przybliżona postać wzoru
na redukSję Faye a i wzór na redukSję Bouguera mają postać:
g
�gF=2 H
�gB=-2ĄG��"H
R
Janusz Walo
Janusz Walo
15
15
WysokośLi ortometryLzne (8)
(8)
WysokośLi ortometryLzne
(Podejście Niethammera)
(Podejście Niethammera)
ZastępująS we wzorze na redukSję Bouguera stałą grawitaSji G
przez wyrażenie postaSi (dla Ziemi o promieniu R i średniej gęstośSi �m):
M 4 3 g
g=G �! M= Ą�"R3�m �! G=
R2 3 4ĄR2�m
ostateSznie dostaniemy:
3� H
�gB=- g
2�m R
Janusz Walo
Janusz Walo
16
16
WysokośLi ortometryLzne (9)
(9)
WysokośLi ortometryLzne
(Podejście Niethammera)
(Podejście Niethammera)
Sumę poprawek Faye a i Bouguera można zapisać:
�ł �ł
�gF g 3 � H H 3 � H
�ł �ł
+ �gB = H - g = g �"�ł1- = g �"�
�ł
2 R 2 � R R 2 � R
m �ł m łł
skąd wniosek, że:
2 2
g - g H �g
2 2 2
= -� + gdzie �g = �g -�gt
t
2
g R g
Janusz Walo
Janusz Walo
17
17
WysokośLi ortometryLzne (10)
(10)
WysokośLi ortometryLzne
(Podejście Niethammera)
(Podejście Niethammera)
Jeśli różniSę wysokośSi zapiszemy w postaSi:
B B
B
gB - gB gA - gA 1
o
"H = HB - H -
AB A AB ""h + PH
+"dh + +"Hdg �! "H =
g g g
A
A A
to poprawkę ortometrySzną można zapisać w postaSi:
B
2 2 2 2
�B 2 � �gB �gA 1
o 2
A
PHN = - HB + H + HB - H -
A A "H "g
m
R R g g g
A
1
Hm= (Hi-Hi+1); "g=gi-gi+1
2
Poprawka tej postaSi nazywana bywa prawdziwą poprawką
ortometrySzną (Niethammera). Niestety rzadko stosowana ze
względu na konieSzność znajomośSi rozkładu gęstośSi i topografii
terenu&
Janusz Walo
Janusz Walo
18
18
WysokośLi ortometryLzne (11)
(11)
WysokośLi ortometryLzne
(Podejście przybliżone Helmerta)
(Podejście przybliżone Helmerta)
W terenaSh płaskiSh Helmert zaproponował rezygnaSję z poprawek
terenowySh, So upraszSza wzór na poprawkę ortometrySzna do
postaSi:
B
�B 2 �A 2 1
o
PHN = - HB + H -
A "H "g
m
R R g
A
PrzyjmująS ponadto, że na niewielkim obszarze gęstość skorupy jest
taka sama a więS � = �A = �B dostaniemy:
� �
� �
� �
B
� 1
o 2 2
PHN=- (HB-H)- "g
A "H
m
R g
A
Poprawka tej postaSi nazywana bywa przybliżoną poprawką
ortometrySzną (Helmerta), wysokośSi przybliżonymi wysokośSiami
ortometrySznymi Helmerta.
Janusz Walo
Janusz Walo
19
19
WysokośLi ortometryLzne (12)
(12)
WysokośLi ortometryLzne
(Podejście przybliżone)
(Podejście przybliżone)
JeszSze inne podejśSie do wyznaSzenia wysokośSi ortometrySznySh
można rozpoSząć od wzoru Brunsa:
�g
*
=-2gH +4Ą G�-2�2
�h
ZastępująS 1 i 3 wyraz odpowiednimi wyrażeniami dla modelu pola
normalnego siły SiężkośSi dostaniemy w przybliżeniu:
�g
H" -0.3086 + 4ĄG�
�h
PrzyjmująS z kolei standardową gęstość skorupy ziemskiej
�o=2.67 gcm-3 oraz stałą grawitaSji G=6.673x10-11 m3kg-1s-2 mamy:
�g
H" -0.3086 + 0.2238 = -0.0848 [mgl �" m-1]
�h
Janusz Walo
Janusz Walo
20
20
WysokośLi ortometryLzne (13)
(13)
WysokośLi ortometryLzne
(Podejście przybliżone)
(Podejście przybliżone)
RedukSję przyspieszenia wyrażoną ostatnim wzorem możemy
interpretować jako trzy etapy:
1. -0.1119 HP usunięSie płyty Bouguera o gęstośSi �o
2. +0.3086 HP redukSja wolnopowietrzna na głębokość Hp
3. -0.1119 HP przywróSenie płyty Bouguera o gęstośSi �o
�
�
�
---------------------------------------------------------------------------------------------------
+0.0848 HP suma etapów 1-3 oznaSza red. P-P dla �o
�
�
�
1-3 oznaSza red. P-P dla �o
�
�
�
PrzeSiętną wartość przyspieszenia można wyrazić teraz nastęująSo:
H
1
g =
+"(g + 0.0848�" H)�" dH = g + 0.0424�" H
H
0
Janusz Walo
Janusz Walo
21
21
WysokośLi ortometryLzne (14)
(14)
WysokośLi ortometryLzne
(Podejście przybliżone)
(Podejście przybliżone)
MnożąS ostatnią zależność przez stosunek �/�o Szyli wraSająS do
rzeSzywistej gęstośSi skorupy ziemskiej dostaniemy wzór
równorzędny podejśSiu Helmerta. Wysokość ortometrySzna
wyznaSzona z ostatniej zależnośSi jest równa:
WP -Wo
HP = -
gP + 0.0424HP
Tak wyznaSzoną wysokość nazywa się również wysokośSią
ortometrySzną Helmerta.
W obliSzeniaSh należy różniSę potenSjałów wziąć w g.p.u, przyspieszenie siły
SiężkośSi w Gal i wysokość w km.
Janusz Walo
Janusz Walo
22
22
WysokośLi ortometryLzne (15)
(15)
WysokośLi ortometryLzne
(Dokładność wyznaczenia wysokości)
(Dokładność wyznaczenia wysokości)
PomijająS błędy pomiarowe (wspólne dla wszystkiSh systemów wysokośSi),
na dokładność wyznaSzenia wysokośSi ortometrySznySh ma wpływ
głównie błąd wyznaSzenie gęstośSi powierzShniowySh warstw
skorupy ziemskiej. RóżniSzkująS wzór opisująSy wysokość
ortometrySzną mamy:
C C H
H= �! �H=- �g=- �g
2
g g g
ZaniedbująS znak oraz przyjmująS gH"1000 Gal możemy zapisać:
�H[mm]H"�g[mGal]H[km]
Co oznaSza, że dla H=1km błąd wyznaSzenia wysokośSi w [mm]
wynosityle ile błąd wyznaSzenia wartośSi przeSiętnej przyspieszenia
w [mGal].
�H[mm]H"�g[mGal]
Janusz Walo
Janusz Walo
23
23
WysokośLi ortometryLzne (16)
(16)
WysokośLi ortometryLzne
(Dokładność wyznaczenia wysokości)
(Dokładność wyznaczenia wysokości)
RedukSję P-P można zapisać (pomijająS poprawki topografiSzne) w
postaSi:
1�ł
�ł
g = g - + 2ĄG��ł�" H
�ł �ł
2�h
�ł łł
RóżniSzkująS względem gęstośSi dostaniemy:
�g = 2Ą GH �"�� �! dla H = 1km �! �g[mGal] H" 42.4�"��[ g cm-3 ]
Z ostatniej zależnośSi wynika:
g
Dla H=1 km �! ��=0.1 �! �g=4.2 mGal �! �H=4.2 mm
cm3
g
Dla H=1 km �! ��max=0.6 �! �g=25mGal �! �H=25mm
cm3
Janusz Walo
Janusz Walo
24
24
WysokośLi ortometryLzne (17)
(17)
WysokośLi ortometryLzne
(Uwagi końcowe)
(Uwagi końcowe)
1. WysokośSi ortometrySzne mają jasną interpretaSję geometrySzną.
Wyrażają one odległośSi punktu na fizySznej powierzShni Ziemi od
geoidy mierzoną wzdłuż linii pionu.
2. Punkty leżąSe na tej samej powierzShni ekwipotenSjalnej mają zatem
różne wysokośSi ortometrySzne.
3. WysokośSi i poprawki ortometrySzne wyznaSzane są z dokładnośSią
zależną od dokładnośSi wyznaSzenia przeSiętnej wartośSi
przyspieszenia siły SiężkośSi, która to dokładność zależy głównie od
preSyzji określenia gęstośSi wierzShniSh warstw skorupy ziemskiej i
topografii terenu.
4. WysokośSi ortometrySzne dobrze nadają się do rozwiązywania
zagadnień związanySh z niwelaSją satelitarną (wyznaSzaniem geoidy).
Janusz Walo
Janusz Walo
25
25
WysokośLi normalne (1)
(1)
WysokośLi normalne
(Pojęcia wstępne)
(Pojęcia wstępne)
Mołodeński w 1960r. opublikował nowe
podejśSie do wyznaSzenia figury Ziemi,
wolne od założeń So do rozkładu gęstośSi&
Telluroida (pojęSie wprowadzone przez
Hirvonena) to pewien obraz (przybliżenie)
fizySznej powierzShni Ziemi, gdzie dla
dwóSh punktów na linii pionu pola
normalnego (lub normalnej) potenSjał
normalny w punkSie Q jest taki sam
jak potenSjał rzeSzywisty w punkSie P
na f.p.Z. ( UQ=WP ).
Wartość potenSjału na telluroidzie
zmienia się podobnie jak warotść
potenSjału rzeSzywistego na f.p.Z.
Janusz Walo
Janusz Walo
26
26
WysokośLi normalne (2)
(2)
WysokośLi normalne
(Pojęcia wstępne c.d.)
(Pojęcia wstępne c.d.)
LiSzbę geopotenSjalną można zapisać w
postaSi:
n
H
C=Wo-WP=Uo-UQ=
+"łdH
0
Powyższą zależność można traktować
jako formalną definiSję wysokośSi
normalnej, bowiem można zapisać:
n
H
1
n n
C=H
n +"łdH �! C=H ł
H
0
gdzie:
n
H
1
ł=
n +"łdH
H
0
Janusz Walo
Janusz Walo
27
27
WysokośLi normalne (3)
(3)
WysokośLi normalne
(Podstawowe zależności)
(Podstawowe zależności)
Wartość przeSiętną przyspieszenia normalnego wzdłuż wysokośSi
normalnej można zapisać:
2
n n
�ł �ł
�ł �ł
H
�ł1- �ł
�ł �ł
ł = ł (1+ f + q - 2 f sin2 �)H +
Dokładnie wysokość
e
�ł �ł
�ł �ł
a a
�ł łł
normalną można
�ł łł
wyznaSzyć iteraSyjnie
Wysokość normalna wyrazić teraz można:
przyjmująS w pierwszym
kroku, że H n H" Ł"h
C
n
H =
ł
a po wstawieniu w mianowniku wartośSi przyspieszenia
normalnego i rozwinięSiu według potęg C/łe dostaniemy:
ł
ł
ł
2
�ł �ł
�ł �ł
C C
n
�ł1- �ł
�ł �ł
H = (1+ f + q - 2 f sin2�)aC +
łe �ł łe �ł ałe �ł �ł
�ł łł
�ł łł
Janusz Walo
Janusz Walo
28
28
WysokośLi normalne (4)
(4)
WysokośLi normalne
(Podstawowe zależności c.d.)
(Podstawowe zależności c.d.)
W większośSi przypadków można stosować uproszSzone podejśSie
do wyznaSzenia wysokośSi normalnySh, w którym różniSę
wysokośSi zapisać można:
B B B
1 1
n n
"H = +
AB
+"dh +"H dłe + +"(g -łe)dh
łAB A łAB A o
A
ZapisująS różniSę jako sumę pomierzonySh różniS wysokośSi
i poprawki normalnej dostaniemy:
B
n n
"H =
AB ""h + PH
A
przy Szym:
B
1 1
n n
PH = - (łeB -łeA)H +
AB "(g -łe)"hi
i
łAB łAB A o
Janusz Walo
Janusz Walo
29
29
WysokośLi normalne (5)
(5)
WysokośLi normalne
(Podstawowe zależności c.d.)
(Podstawowe zależności c.d.)
Wartość przyspieszenia łAB można obliSzyć biorąS przeSiętną
wartość gradientu przyspieszenia normalnego (0.3086 mGal/m) z
zależnośSi:
m n
łAB=łe -0.1543H
AB
przy Szym:
1
n n n
H = (H + HB)
AB A
2
oraz dla obliSzenia przyspieszenia normalnego bierzemy
szerokość średnią:
1
�AB = (�A +�B)
2
Janusz Walo
Janusz Walo
30
30
WysokośLi normalne (6)
(6)
WysokośLi normalne
(Uwagi końcowe)
(Uwagi końcowe)
1. WysokośSi normalne nie mają jasnej interpretaSji geometrySznej.
Wyrażają one So prawda odległośSi pomiędzy geoidą i telluroidą lub
quasigeoidą i punktem na fizySznej powierzShni Ziemi, ale zarówno
qusigeoida jak i telluroida to powierzShnie  wtórne w stosunku do
wysokośSi normalnySh (nie można iSh zdefiniować bez znajomośSi wysokośSi
normalnySh!!!).
2. Quasigeoida nie jest powierzShnią ekwipotenSjalną potenSjału
normalnego, a więS nie można jej traktować jako powierzShni
odniesienia wysokośSi normalnySh w takim samym sensie jak traktuje
się geoidę dla wysokośSi ortometrySznySh! Ponadto quasigeoida jest
powierzShnią nieSiągłą (teoretySznie może leżeć na  dwóSh poziomaSh dla
tySh samySh współrzędnySh np. w przypadku urwiska; taka sytuaSja w
przypadku geoidy nigdy nie może mieć miejsSa!!!).
3. WysokośSi i poprawki normalne wyznaSza się bez jakiShkolwiek założeń
So do rozkładu gęstośSi warstw przypowierzShniowySh skorupy
ziemskiej.
Janusz Walo
Janusz Walo
31
31
WysokośLi normalne (7)
(7)
WysokośLi normalne
(Uwagi końcowe c.d.)
(Uwagi końcowe c.d.)
4. Punkty leżąSe na tej samej powierzShni ekwipotenSjalnej mają różne
wysokośSi normalne.
5. WysokośSi normalne nadają się do rozwiązywania zagadnień
związanySh z wyznaSzaniem figury Ziemi wg konSepSji Mołodeńskiego.
6. Na terenaSh nizinnySh i płaskiSh różniSe wysokośSi normalnySh i
ortometrySznySh są niewielkie (w PolsSe wahają się od 0Sm na półnoSy do
kilku Sentymetrów w TatraSh).
7. System wysokośSi normalnySh jest obowiązująSym systemem
wysokośSi w PolsSe!
Janusz Walo
Janusz Walo
32
32
WysokośLi  wzajemne relaLje
WysokośLi  wzajemne relaLje
(Zamiana wysokości pomiędzy systemami)
(Zamiana wysokości pomiędzy systemami)
WysokośSi dynamiSzne, ortometrySzne i normalne wyrażają
zależnośSi:
C
C C
d o
n n
H =
H =
H = �! C=Hł
45
ło
g
ł
PisząS różniSę pomiędzy dowolnymi dwoma wysokośSiami
dostaniemy:
C C ł ł-g
o n n n n
H -H = - =H -H =H
Wartość bliska anomalii
g ł g g
grawimetryclnej (tu w połowie
45
ł-ło
d n n
wysokości). Dla anomalii
H -H =H
45
ło
100mGal daje około 1cm
różnicy Ho-Hn na każde 100m
45
ło -g
o d d
wysokości !!
H -H =H
g
etS.
Janusz Walo
Janusz Walo
33
33
Poprawka ortometryLzna (1)
(1)
Poprawka ortometryLzna
(& obliczona za pomocą poprawki dynamicznej)
(& obliczona za pomocą poprawki dynamicznej)
Ciekawe podejśSie do wyznaSzenia poprawek ortometrySznySh za pomoSą
poprawek dynamiSznySh podał w 1955r. Ledestreger. ZakładająS, że
możliwe by było wykonanie niwelaSji wzdłuż linii pionu pomiędzy punktami
AA (podobnie BB), dostaniemy zależnośSi opisująSe wysokośSi dynamiSzne
postaSi:
d d
H = "hA + PH
A A
d d
HB = "hB + PHB
Janusz Walo
Janusz Walo
34
34
Poprawka ortometryLzna (2)
(2)
Poprawka ortometryLzna
(& obliczona za pomocą poprawki dynamicznej)
(& obliczona za pomocą poprawki dynamicznej)
HipotetySzne wyniki pomiaru różniS wysokośSi "h i "h wzdłuż linii
pionu, to po prostu wysokośSi ortometrySzne HA i HB punktów A i B,
a więS można zapisać:
d d d d
H -H =-PH HB-HB=-PHB
A A A
PrzekształSająS wzór na różniSę wysokośSi ortometrySznySh
pomiędzy punktami A i B (dodająS i odejmująS do prawej strony różniSę
wysokośSi dynamiSznySh) dostaniemy:
d d d d d
"H = HB - H = HB - H + "H - "H = "H +(HB - HB)-(H - H)
AB A A AB AB AB A A
WiedząS zaś że:
d d
"H = "hAB + PH i "H = "hAB + PH
AB AB AB AB
Janusz Walo
Janusz Walo
35
35
Poprawka ortometryLzna (3)
(3)
Poprawka ortometryLzna
(& obliczona za pomocą poprawki dynamicznej)
(& obliczona za pomocą poprawki dynamicznej)
Otrzymamy związek poprawki ortometrySznej i dynamiSznej podany
przez Ledestregera:
o d d d
PH =PH +PH -PHB
A AB A
Z definiSji wysokośSi poprawek dynamiSznySh można wyrazy po
prawej stronie zapisać w postaSi:
B
45 45
B
g-ło
d
o
PH = dh= "h
AB "g-ł
+" 45 45
ło ło
A
A
B
45 45
g-ło gA-ło
d
PH = dh= H
A A
+" 45 45
ło ło
o
B
45 45
g-ło gB-ło
d
PHB= dh= HB
+" 45 45
ło ło
o
Janusz Walo
Janusz Walo
36
36
Poprawka ortometryLzna (4)
(4)
Poprawka ortometryLzna
(& obliczona za pomocą poprawki dynamicznej)
(& obliczona za pomocą poprawki dynamicznej)
Po podstawieniu ostatniSh zależnośSi otrzymamy:
45 45 45
B
o
PH =
A "g -ło "h + gA -ło H - gB -ło HB
A
45 45 45
ło ło ło
A
A
atwo zauważyć, że wzór można stosować również dla innej
wartośSi niż ł45 i np. dla przeSiętnej wartośSi przyspieszenia
normalnego dostaniemy:
B
o
PH =
A "g -łAB "h + gA -łAB H - gB -łAB HB
A
łAB łAB łAB
A
W obu przypadkaSh potrzebna nam jest jednak przeSiętna wartość
przyspieszenia w punktaSh A i B!
Janusz Walo
Janusz Walo
37
37
Poprawka normalna
Poprawka normalna
(& obliczona za pomocą poprawki dynamicznej)
(& obliczona za pomocą poprawki dynamicznej)
AnalogiSzne rozumowanie można przeprowadzić dla wysokośSi i
poprawek normalnySh, które prowadzi ostateSznie do zależnośSi
poprawki normalnej od poprawki dynamiSznej postaSi (???):
45 45 45
B
o n n
PH =
A "g -ło "h +łA -ło H -łB -ło HB
A
45 45 45
ło ło ło
A
Janusz Walo
Janusz Walo
38
38