SYSTEMY WYSOKOÅšCI
1. DLACZEGO NALEZY STOSOWAĆ SYSTEMY WYSOKOŚCI.
Rozważmy pracę w polu potencjalnym kuli jednorodnej. Z fizyki wiemy, że
Praca = SiÅ‚a Å" PrzesuniÄ™cie
W polu potencjalnym Ziemi siłą będzie siła grawitacji a elementarnym przesunięciem dr.
P = g Å" dr
dla kuli jednorodnej otrzymujemy
"
"
1 GM GM GM
îÅ‚ Å‚Å‚
P = GM dr = - = - - =
+" ïÅ‚0 R śł
r2 r R
ðÅ‚ ûÅ‚
R R
Zauważamy że praca w polu potencjału siły ciężkości jest równa potencjałowi. Zatem
przemieszczenie punktu z powierzchni ekwipotencjalnej Wo do powierzchni poziomej
przechodzącej przez punkt na fizycznej powierzchni Ziemi WP będzie wiązało się z
wykonaniem pracy równej
"W = Wo - WP
Długość odcinka na którym ta praca jest wykonywana (CZYLI WYSOKOŚĆ) jest zależna
od siły towarzyszącej przemieszczeniu punktu.
Prosta zależność pokazuje to dobitniej
"W C
dh = =
g g
dh  elementarny odstęp między dwoma powierzchniami ekwipotencjalnymi między
którymi różnica potencjału wynosi "W (czasem nazywany liczbą geopotencjalną i
oznaczany C).
P
CP = W0 - WP = g dh
+"
0
Dlatego właśnie pojawiły się cztery systemy wysokości, które różnią się sposobem
określenia wartości g.
2. POPRAWKI SYSTEMOWE DO PRZEWYŻSZEC

2.1. System wysokości geopotencjalnej.
Wysokość geopotencjalną otrzymujemy przez podzielenie liczby geopotencjalnej przez ło
= 1000Gali.
Wysokość geopotencjalna punktu A wyniesie
CP
Hgeop. =
P
Å‚
k
poprawkę geopotencjalną do pomierzonego przewyższenia obliczymy ze wzoru.
B
gi - Å‚
k
P.G. = Å" "hi
"
Å‚
A
k
gdzie
Å‚k = 1000 Gal
gi  średnia wartość przyspieszenia rzeczywistego na odcinku AB gi = (gA+gB)/2.
"hi  pomierzone przewyższenie
Wartość poprawki dodajemy do pomierzonych w niwelacji przewyższenie geopotencjalne
między punktami AB.
"Hgeop. = "Hpom. + P.G.
AB AB
2.2. Wysokości dynamiczne.
W systemie wysokości dynamicznych podobnie jak w systemie geopotencjalnym dzielimy
liczbę geopotencjalną przez wartość modelową. Jednak w tym przypadku modelem siły
przyciągania jest ło45 , obliczane jako normalne przyśpieszenie siły ciężkości na sferoidzie,
Helmertowskim wzorem rozkÅ‚adu przyspieszenia, dla szerokoÅ›ci 45°. Jest wiÄ™c
CP
Hdyn. =
P
45
Å‚
0
Podobnie jak poprzednio pomierzone niwelacyjnie przewyższenie uzupełnia się poprawką
dynamicznÄ… obliczanÄ… ze wzoru
45
B
gi - Å‚
0
P.D. = Å" "hi
"
45
Å‚
A
0
gdzie
gi - średnia wartość przyśpieszenia na i-tym odcinku niwelacyjnym.
Å‚o45  wartość przyspieszenia normalnego dla równoleżnika 45o Å‚o45 = Å‚o (Õ = 45o)
"Hdyn. = "Hpom. + P.D.
AB AB
2.3. Wysokości ortometrycze.
Wysokość ortometrycza określa wzniesienie punktu ponad geoidę mierzone po
rzeczywistej linii pionu. Obliczamy jÄ… przez podzielenie liczby geopotencjalnej przez
przeciętną wartość rzeczywistego przyśpieszenia siły ciężkości wzdłuż linii pionu od
geoidy do punktu na fizycznej powierzchni ziemi.
CP
Hort. =
P
g
Przeciętną wartość przyśpieszenia obliczamy z wzoru
H H HA HA
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
gA = gpom + R + 2 Å" RB Å" = gpom + 0.3086 Å" - 2 Å" 0.0419 Å" ÃA Å"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
wp
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
natomiast poprawkÄ™ ortometrycznÄ…
45 45 45
B
gi - Å‚ gA - Å‚ gB - Å‚
0 0 0
P.O. = Å" "hi + Å" HA - Å" HB
"
45 45 45
Å‚ Å‚ Å‚
A
0 0 0
w którym
gi - średnia wartość przyśpieszenia na i-tym odcinku niwelacyjnym.
Å‚o45  wartość przyspieszenia normalnego dla równoleżnika 45o Å‚o45 = Å‚o (Õ = 45o)
gA - przeciętna wartość rzeczywistego przyspieszenia siły ciężkości dla punktu A
(zredukowana redukcją P-P na połowę wysokości).
Ortometryczne przewyższenie obliczamy jako:
"Hort. = "Hpom. + P.O.
AB AB
2. 4. Wysokości normalne.
Wysokość normalna określa wzniesienie punktu ponad quasigeoidę mierzone po
normalnej linii pionu. Obliczamy jÄ… przez podzielenie liczby geopotencjalnej przez
przeciętną wartość normalnego przyśpieszenia siły ciężkości wzdłuż normalnej linii pionu
od quasigeoidy do punktu na fizycznej powierzchni ziemi.
CP
Hnorm. =
P
Å‚
P
gdzie ł to przeciętna wartość przyspieszenia normalnego obliczana ze wzoru
HP
Å‚ =Å‚ (ÕP ) - 0.3086 Å"
P 0
2
PoprawkÄ™ normalnÄ… obliczamy ze wzoru
45 45 45
B
gi - Å‚ Å‚ - Å‚ Å‚ - Å‚
0 A 0 B 0
P.N. = Å" "hi + Å" HA - Å" HB
"
45 45 45
Å‚ Å‚ Å‚
A
0 0 0
gdzie
- ł to wartość przeciętna przyspieszenia normalnego dla środka odcinka AB.
A
gi - średnia wartość przyśpieszenia na i-tym odcinku niwelacyjnym.
Å‚o45  wartość przyspieszenia normalnego dla równoleżnika 45o Å‚o45 = Å‚o (Õ = 45o)
Obliczoną z powyższego wzoru poprawkę normalną należy dodać do pomierzonej
wartości "h aby uzyskać przewyższenie w systemie wysokości normalnych.
"Hnorm. = "Hpom. + P.N.
AB AB
3. PORÓWNANIE WYSOKOŚCI W RÓŻNYCH SYSTEMACH.
Wykorzystując zależność.
45
C = HG Å" 1kiloGal = HD Å" Å‚ = HO Å" g = HN Å" Å‚
o
można otrzymać można szereg równań wiążących różne systemy między sobą.
Np. między wysokością normalną i geopotencjalną istnieje zależność
Å‚
HG = Å" HN
1kGal
związując zaś wysokość ortometryczną z normalną
Å‚
HO = Å" HN
g
i wreszcie dla wysokości dynamiczej i normalnej
Å‚
HD = Å" HN
Å‚o 45