NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW.ZADANIA.INFO
POZIOM PODSTAWOWY
29 MARCA 2014
CZAS PRACY: 170 MINUT
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)
" "
6
Liczba 3 · 3 jest równa
" " " "
3 6 18 9
A) 9 B) 27 C) 3 D) 3
ROZWI
ZANIE
Liczymy
"
" " "
1 1 1 1 4 2
3
6 3
3 · 3 = 36 · 32 = 36 + 2 = 36 = 33 = 32 = 9.
Odpowiedz
: A
ZADANIE 2 (1 PKT)
Ilustracją graficzną zbioru rozwiązań nierówności x2 16x jest przedział:
A) B)
x x
0 4 -4 4
C) D)
x x
0 16 16
ROZWI
ZANIE
Rozwiązujemy daną nierówność
x2 16x
x2 - 16x 0
x(x - 16) 0
x " (-", 0 *" 16, +").
Odpowiedz
: C
Materiał pobrany z serwisu
1
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 3 (1 PKT)
Liczby a i b są dodatnie oraz 14% liczby a jest równe 21% liczby b. Stąd wynika, że a jest
równe
A) 103% liczby b B) 125% liczby b C) 150% liczby b D) 153% liczby b
ROZWI
ZANIE
Wiemy, że
14%a = 21%b / : 14%
21 3 150
a = b = b = b = 150%b.
14 2 100
Odpowiedz
: C
PodobajÄ… Ci siÄ™ nasze rozwiÄ…zania?
Zadania.info
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
ZADANIE 4 (1 PKT)
Liczba log3 log64(log"3 9) jest równa
1
A) B) -1 C) 1 D) -1
2 2
ROZWI
ZANIE
Liczymy
"
4
log3 log64(log"3 9) = log3 log64 log"3 3 =
1 1
= log3 log64 4 = log3 log64 643 = log3 = log3 3-1 = -1.
3
Odpowiedz
: D
ZADANIE 5 (1 PKT)
2x
Funkcja f jest określona wzorem f (x) = dla x = 1. Wartość funkcji f dla argumentu
1-x
x = 2 jest równa
A) 2 B) -4 C) 4 D) -2
ROZWI
ZANIE
Liczymy
4
f (2) = = -4.
1 - 2
Odpowiedz
: B
Materiał pobrany z serwisu
2
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 6 (1 PKT)
Wykres funkcji liniowej f (x) = (1 - m)x + m przechodzi przez I, III i IV ćwiartkę układu
współrzędnych wtedy i tylko wtedy, gdy
A) m " (-", 0) B) m " (-", 1) C) m " (0, +") D) m " (0, 1)
ROZWI
ZANIE
Szkicujemy wykres funkcji liniowej przechodzący przez I, III i IV ćwiartkę układu współ-
rzędnych.
y
II I
x
III IV
Widać z obrazka, że jeżeli wykres nie ma przechodzić przez II ćwiartkę układu, to musi
to być wykres funkcji rosnącej oraz musi on przecinać oś Oy poniżej osi Ox. Muszą więc być
spełnione nierówności
(1 - m) > 0 Ò! m < 1
m < 0.
Zatem m " (-", 0).
Odpowiedz
: A
ZADANIE 7 (1 PKT)
Liczbami spełniającymi równanie |3 + x| = 8 są
A) 11 i 5 B) 3 i 8 C) -11 i 5 D) -3 i 8
ROZWI
ZANIE
Przekształcamy dane równanie
|3 + x| = 8
3 + x = -8 lub 3 + x = 8
x = -11 lub x = 5.
Odpowiedz
: C
Materiał pobrany z serwisu
3
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 8 (1 PKT)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y = f (x).
y
5
4
3
2
1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale -1, 1 jest równa
A) 3 B) 1 C) -2 D) -3
ROZWI
ZANIE
Z rysunku odczytujemy, że najmniejsza wartość w przedziale -1, 1 to
f (-1) = 1.
Odpowiedz
: B
ZADANIE 9 (1 PKT)
Wierzchołek paraboli o równaniu y = (x - 1)2 - 2c leży na prostej o równaniu y = 6. Wtedy
A) c = -6 B) c = -3 C) c = 3 D) c = 6
ROZWI
ZANIE
Wierzchołek paraboli w postaci kanonicznej
y = a(x - xw)2 + yw
ma współrzędne (xw, yw). Zatem w naszej sytuacji jest to punkt (1, -2c).
Materiał pobrany z serwisu
4
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
y
y=(x-1)2-2c
+10
y=6
+5
+1
-5 -1 +5 x
-1
Z drugiej strony wiemy, że punkt ten ma drugą współrzędną równą 6. W takim razie
-2c = 6 Ò! c = -3.
Odpowiedz
: B
ZADANIE 10 (1 PKT)
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f .
y
4
3
2
1
x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
Maksymalnym zbiorem, w którym funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne, jest
A) (-2, 2) B) (-2, 5 C) (-2, 2) *" (4, 5 D) -4, 0)
ROZWI
ZANIE
Wykres funkcji znajduje się poniżej osi Ox na zbiorze: (-2, 2) *" (4, 5 .
Odpowiedz
: C
Materiał pobrany z serwisu
5
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 11 (1 PKT)
3 2
Prosta o równaniu y = x + 1 jest prostopadła do prostej o równaniu y = x - 1. Stąd
m 3
wynika, że
2 3
A) m = -2 B) m = C) m = D) m = 2
3 2
ROZWI
ZANIE
Proste y = ax + b i y = cx + d są prostopadłe jeżeli ac = -1. Mamy zatem
3 2
· = -1
m 3
2
= -1
m
m = -2.
Odpowiedz
: A
ZADANIE 12 (1 PKT)
Iloczyn wielomianów 2x + 3 oraz -4x2 + 6x - 9 jest równy
A) -8x3 + 27 B) -8x3 - 27 C) 8x3 + 27 D) 8x3 - 27
ROZWI
ZANIE
Sposób I
Liczymy
(2x + 3)(-4x2 + 6x - 9) = -(2x + 3)(4x2 - 6x + 9) =
= -(8x3 - 12x2 + 18x + 12x2 - 18x + 27) =
= -(8x3 + 27) = -8x3 - 27.
Sposób II
Korzystamy ze wzoru
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
na sumę sześcianów. Mamy zatem
(2x + 3)(-4x2 + 6x - 9) = -(2x + 3)(4x2 - 6x + 9) =
= -((2x)3 + 33) = -8x3 - 27.
Odpowiedz
: B
Materiał pobrany z serwisu
6
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 13 (1 PKT)
Liczby 3, x, 4x sÄ… odpowiednio pierwszym, trzecim i piÄ…tym wyrazem ciÄ…gu geometryczne-
go. Wtedy
A) x = -6 B) x = 8 C) x = 6 D) x = 12
ROZWI
ZANIE
Niech an = a1qn-1, n 1 będzie ciągiem geometrycznym, o którym mowa w treści zadania.
Mamy zatem
Å„Å‚
ôÅ‚ =
1
òÅ‚a 3
a3 = a1q2 = x
ôÅ‚
óła a1q4 4x.
= =
5
Z dwóch ostatnich równości mamy
4x = a1q4 = a1q2 · q2 = x · q2.
Zatem q2 = 4 i z drugiej równości mamy
x = a1q2 = 3 · 4 = 12.
Odpowiedz
: D
ZADANIE 14 (1 PKT)
Pole rombu o boku równym 6 cm i kącie rozwartym wynoszącym 150ć% wynosi
" "
A) 18 cm2 B) 9 3 cm2 C) 18 3 cm2 D) 24 cm2
ROZWI
ZANIE
Najpierw szkicowy rysunek.
D C
6
h
150o
30o
A
B
6
KÄ…t ostry rombu ma miarÄ™
180ć% - 150ć% = 30ć%
Sposób I
Obliczamy wysokość rombu
h 1
= sin 30ć% Ò! h = 6 · = 3.
6 2
Zatem pole rombu jest równe
P = 6 · 3 = 18.
Materiał pobrany z serwisu
7
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Sposób II
Korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku z sinusem
1
P = 6 · 6 · sin 30ć% = 36 · = 18.
2
Odpowiedz
: A
ZADANIE 15 (1 PKT)
"
5
Kąt ą jest ostry i sin ą = . Wartość wyrażenia 3 cos2 ą + 1 jest równa
3
"
7 4 8 4 5
A) B) C) D)
3 3 3 3
ROZWI
ZANIE
Na mocy jedynki trygonometrycznej
sin2 Ä… + cos2 Ä… = 1
mamy
5 4 4 7
3 cos2 Ä… + 1 = 3(1 - sin2 Ä…) + 1 = 3 1 - + 1 = 3 · + 1 = + 1 = .
9 9 3 3
Odpowiedz
: A
ZADANIE 16 (1 PKT)
Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 130ć% (tak jak na rysunku).
D
B
M
Ä…
S
130o
A
C
Miara kąta ą jest równa
A) 65ć% B) 100ć% C) 115ć% D) 130ć%
Materiał pobrany z serwisu
8
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ROZWI
ZANIE
Sposób I
Korzystamy z faktu, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na
tym samym Å‚uku (na danym obrazku jest to Å‚uk ACD).
D D
B
M M
Ä… Ä…
50o
130o
S
S
50o 130o
A
A
65o
E
C
Zatem
1 1 1
AMD = ASD = · (130ć% + 50ć% + 50ć%) = · 230ć% = 115ć%.
2 2 2
Sposób II
Jeżeli nie chcemy posługiwać się kątami wklęsłymi to dorysujmy punkt E na na okręgu.
Wtedy
1 1
AED = ASD = · 130ć% = 65ć%.
2 2
Zatem
AMD = 180ć% - AED = 180ć% - 65ć% = 115ć%.
Odpowiedz
: C
ZADANIE 17 (1 PKT)
Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość 6. Wówczas pole koła opisanego
na tym sześciokącie jest równe
A) 4Ä„ B) 9Ä„ C) 18Ä„ D) 36Ä„
ROZWI
ZANIE
Robimy szkicowy rysunek
Materiał pobrany z serwisu
9
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
3
3
3
3
3
3
Po podzieleniu sześciokąta foremnego na 6 trójkątów równobocznych widzimy, że pro-
mień okręgu opisanego na sześciokącie to długość boku takiego trójkąta, czyli połowa dłu-
gości najdłuższej przekątnej. Pole koła opisanego jest więc równe
Ä„ · 32 = 9Ä„.
Odpowiedz
: B
ZADANIE 18 (1 PKT)
Punkt S = (3, 7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q = (-13, 18). Zatem punkt P ma współ-
rzędne
A) P = (-19, 4) B) P = (16, -11) C) P = (-7, 32) D) P = (19, -4)
ROZWI
ZANIE
Korzystamy ze wzoru
a + c b + d
S = , .
2 2
na środek odcinka o końcach P = (a, b) i Q = (c, d). Mamy więc równanie
a - 13 b + 18
(3, 7) = ,
2 2
a-13
3 =
2
b+18
7 =
2
6 = a - 13 Ò! a = 19
14 = b + 18 Ò! b = -4.
Zatem P = (19, -4)
Odpowiedz
: D
Materiał pobrany z serwisu
10
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 19 (1 PKT)
Liczba m, dla której rozwiązaniem równania 3x - 3 = (1 - m)x + x jest x = 3 wynosi
A) 3 B) 2 C) 1 D) 0
ROZWI
ZANIE
Podstawiamy x = 3 w danym równaniu
3 · 3 - 3 = (1 - m) · 3 + 3
3 = 3(1 - m) / : 3
1 = 1 - m
m = 0.
Odpowiedz
: D
ZADANIE 20 (1 PKT)
Która z podanych liczb nie może być liczbą krawędzi graniastosłupa?
A) 67035 B) 49629 C) 17022 D) 16919
ROZWI
ZANIE
Jeżeli naszkicujemy graniastosłup to widać, że jeżeli ma on w podstawie n-kąt, to ma on 3n
krawędzi.
Wystarczy zatem sprawdzić, która z danych liczb nie dzieli się przez 3. Dodając do siebie
cyfry, łatwo zauważyć, że jedyna liczba niepodzielna przez 3 to 16919.
Odpowiedz
: D
ZADANIE 21 (1 PKT)
CiÄ…g (log 36, log 6, k) jest arytmetyczny. Wobec tego
A) k = 0 B) k = 1 C) k = 6 D) k = 10
Materiał pobrany z serwisu
11
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ROZWI
ZANIE
Sposób I
Różnica danego ciągu jest równa
6 1
r = log 6 - log 36 = log = log ,
36 6
więc
1 1
k = log 6 + r = log 6 + log = log 6 · = log 1 = 0.
6 6
Sposób II
Jeżeli ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny to
2b = a + c.
W naszej sytuacji otrzymujemy
2 log 6 = log 36 + k
log 36 = log 36 + k Ò! k = 0.
Odpowiedz
: A
ZADANIE 22 (1 PKT)
3
W ciągu geometrycznym piąty wyraz jest równy , a szósty wyraz jest równy -1. Iloraz
4 2
tego ciągu jest równy
3 2
A) B) C) -3 D) -2
2 3 2 3
ROZWI
ZANIE
Ze definicji ciÄ…gu geometrycznego (lub ze wzoru an = a1qn-1) mamy
a6 = a1q5 = a5q.
Zatem
a6 -1
2
2
q = = = - .
a5 3 3
4
Odpowiedz
: D
Materiał pobrany z serwisu
12
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 23 (1 PKT)
Wyniki sprawdzianu z geografii sÄ… przedstawione na diagramie
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 ocena
Ile osób uzyskało ocenę wyższą od średniej ocen z tego sprawdzianu?
A) 5 B) 8 C) 20 D) 13
ROZWI
ZANIE
Liczymy średnią
1 · 1 + 5 · 2 + 7 · 3 + 8 · 4 + 3 · 5 + 2 · 6 91 7
= = = 3, 5.
1 + 5 + 7 + 8 + 3 + 2 26 2
W takim razie ocenę powyżej średniej uzyskało
8 + 3 + 2 = 13
osób.
Odpowiedz
: D
ZADANIE 24 (1 PKT)
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Po-
"
le powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 108 + 18 3. Długość krawędzi
tego graniastosłupa jest równa
A) 12 B) 10 C) 9 D) 6
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
a
a
a a
Materiał pobrany z serwisu
13
liczba uczniów
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Graniastosłup trójkątny ma 9 krawędzi  oznaczmy długość każdej z nich przez a.
Kwadraty w ścianach bocznych mają pole a2, a trójkąty równoboczne w podstawach
mają pole równe
"
a2 3
.
4
Pole powierzchni całkowitej jest więc równe
"
"
a2 3 a2
3 · a2 + 2 · = (6 + 3).
4 2
Mamy zatem równanie
" " "
a2
(6 + 3) = 108 + 18 3 = 18(6 + 3)
2
a2
= 18
2
a2 = 36
a = 6.
Odpowiedz
: D
ZADANIE 25 (1 PKT)
Liczba wszystkich sposobów utworzenia liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach ze zbioru
{0, 1, 2, 3, 4, 5} jest równa
A) 120 B) 100 C) 60 D) 60
ROZWI
ZANIE
Pierwszą cyfrę tworzonej liczby możemy wybrać na 5 sposobów (nie może być 0), drugą
cyfrę możemy wybrać też na 5 sposobów (może być 0, ale musi być różna od pierwszej
cyfry), a trzecią cyfrę możemy wybrać na 4 sposoby (musi być różna od dwóch pierwszych).
W sumie jest więc
5 · 5 · 4 = 100
takich liczb.
Odpowiedz
: B
Zadania otwarte
ZADANIE 26 (2 PKT)
Rozwiąż równanie x3 - 27 = 9x2 - 27x.
Materiał pobrany z serwisu
14
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ROZWI
ZANIE
Sposób I
Przekształcamy równanie (wyciągamy z obu stron (x - 3) przed nawias).
x3 - 27 = 9x2 - 27x
x3 - 33 = 9x(x - 3)
(x - 3)(x2 + 3x + 9) = 9x(x - 3)
Zatem x = 3 lub możemy podzielić stronami przez (x - 3). Dzielimy
x2 + 3x + 9 = 9x
x2 - 6x + 9 = 0
(x - 3)2 = 0.
Sposób II
Jeżeli zapiszemy równanie w postaci
x3 - 9x2 + 27x - 27 = 0
to możemy zauważyć, że jest to pełen sześcian różnicy (x - 3).
x3 - 3 · 3 · x2 + 3 · 32 · x - 33 = 0
(x - 3)3 = 0.
Odpowiedz
: x = 3
ZADANIE 27 (2 PKT)
Rozwiąż nierówność 42t - 49t2 9.
ROZWI
ZANIE
Przenosimy wszystkie składniki na prawą stronę.
0 49t2 - 42t + 9
" = 422 - 4 · 9 · 49 = 1764 - 1764 = 0
b 42 3
x1,2 = - = = .
2a 2 · 49 7
Ponieważ współczynnik przy t2 jest dodatni, wykres tego trójmianu jest parabolą o ramio-
nach skierowanych w górę.
Materiał pobrany z serwisu
15
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
y
+5
+2.5
+0.5
-1.25 +0.5 +1.25 x
-0.5
3
Otrzymujemy stąd rozwiązanie nierówności t = .
7
3
Odpowiedz
: t =
7
ZADANIE 28 (2 PKT)
3 cos3 Ä…
KÄ…t Ä… jest ostry i tg Ä… = 3. Oblicz .
4 sin3 Ä…-5 cos3 Ä…
ROZWI
ZANIE
Sposób I
Ponieważ mamy podany tangens, podzielmy licznik i mianownik danego ułamka przez
cos3 Ä….
cos3 Ä…
3 ·
3 cos3 Ä… 3 3 3
cos3 Ä…
= = = = .
sin3 Ä… cos3 Ä…
108 - 5 103
4 tg3 Ä… - 5
4 sin3 Ä… - 5 cos3 Ä…
4 · - 5 ·
cos3 Ä… cos3 Ä…
Sposób II
Zauważmy, że
sin Ä…
3 = tg Ä… = Ò! sin Ä… = 3 cos Ä….
cos Ä…
Zatem
3 cos3 Ä… 3 cos3 Ä… 3 3
= = = .
4 sin3 Ä… - 5 cos3 Ä… 4 · 27 cos3 Ä… - 5 cos3 Ä… 108 - 5 103
3
Odpowiedz
:
103
ZADANIE 29 (2 PKT)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 4 mniejsza
od cyfry setek?
Materiał pobrany z serwisu
16
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ROZWI
ZANIE
Cyfrę dziesiątek tysięcy utworzonej liczby możemy wybrać na 9 sposobów (nie może być
0), a cyfrę dziesiątek na 10 sposobów. Cyfrę setek musimy wybrać ze zbioru {4, 5, 6, 7, 8, 9}
(żeby cyfra jedności mogła być o 4 mniejsza), czyli na 6 sposobów. Jeżeli chodzi o cyfrę
jedności, to nie mamy już żadnego wyboru, bo jest ona wyznaczona jednoznacznie przez
cyfrę setek. Jest więc (zasada mnożenia)
9 · 10 · 6 = 540
takich liczb.
Odpowiedz
: 540
ZADANIE 30 (2 PKT)
Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej m > 1 istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywi-
sta x taka, że
mx2 + m = 1 + 2x m(m - 1).
ROZWI
ZANIE
Sposób I
Jeżeli zapiszemy dane równanie w postaci
mx2 - 2x m(m - 1) + (m - 1) = 0
to widać, że mamy do czynienia ze zwykłym równaniem kwadratowym. Liczymy "-ę.
2
" = 2 m(m - 1) - 4m(m - 1) = 0.
To oznacza, że powyższe równanie kwadratowe ma zawsze jedno rozwiązanie.
Sposób II
Przekształcamy dane równanie w sposób równoważny.
mx2 - 2x m(m - 1) + (m - 1) = 0
"
( mx)2 - 2x m(m - 1) + (m - 1)2 = 0
" 2
"
mx - m - 1 = 0
"
"
mx - m - 1 = 0
"
m - 1
x = " .
m
Materiał pobrany z serwisu
17
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 31 (2 PKT)
Bok EF kwadratu EFGH zawiera siÄ™ w przekÄ…tnej BD kwadratu ABCD, a punkt C jest
środkiem odcinka GH. Odcinki FG i BC przecinają się w punkcie K. Wykaż, że |BK| = |CK|.
H
C
D
G
E
K
F
A
B
ROZWI
ZANIE
Zauważmy, że trójkąty CGK i KFB są prostokątne i równoramienne (kąty ostre każdego z
tych trójkątów mają miarę 45ć%). Ponadto z założenia
1 1
KG = CG = GH = GF.
2 2
Zatem
1 1
KF = GF - KG = GF - GF = GF = KG,
2 2
co oznacza, że trójkąty CGK i KFB są przystające. W szczególności BK = CK.
ZADANIE 32 (4 PKT)
Liczby (4, x, y) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Jeśli liczbę x zwiększymy o
1, a liczbę y zwiększymy o 3, to otrzymane liczby będą kolejnymi wyrazami ciągu geome-
trycznego. Wyznacz x i y.
ROZWI
ZANIE
Sposób I
Wiemy, że liczby (4, x, y) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, więc x = 4 + r i y =
4 + 2r dla pewnego r. Wiemy ponadto, że ciąg (4, x + 1, y + 3) jest ciągiem geometrycznym,
więc
(x + 1)2 = 4(y + 3)
(4 + r + 1)2 = 4(4 + 2r + 3)
(5 + r)2 = 4(2r + 7)
r2 + 10r + 25 = 8r + 28
r2 + 2r - 3 = 0
" = 4 + 12 = 16 = 42
-2 - 4 -2 + 4
r = = -3 (" r = = 1.
2 2
Otrzymujemy stÄ…d dwa ciÄ…gi: (4, 1, -2) i (4, 5, 6).
Materiał pobrany z serwisu
18
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Sposób II
Wiemy, że ciąg (4, x, y) jest arytmetyczny, więc
2x = 4 + y Ò! y = 2x - 4.
Wiemy ponadto, że ciąg (4, x + 1, y + 3) jest geometryczny, więc
(x + 1)2 = 4(y + 3)
(x + 1)2 = 4(2x - 4 + 3)
x2 + 2x + 1 = 8x - 4
x2 - 6x + 5 = 0
" = 36 - 20 = 42
6 - 4 6 + 4
x = = 1 (" x = = 5.
2 2
Mamy wtedy odpowiednio y = 2x - 4 = -2 i y = 2x - 4 = 6.
Odpowiedz
: (x, y) = (1, -2) lub (x, y) = (5, 6)
ZADANIE 33 (5 PKT)
Dwa miasta łączy droga o długości 448 kilometrów. Samochód A przebył tę trasę w czasie o
40 minut krótszym niż samochód B. Średnia prędkość samochodu A na tej trasie była o 12
km/h większa od średniej prędkości samochodu B. Oblicz średnią prędkość każdego z tych
samochodów na tej trasie.
ROZWI
ZANIE
Niech t i v oznaczają odpowiednio czas przejazdu oraz prędkość samochodu A. Z założeń
mamy
tv = 448
2
(v - 12) t + = 448.
3
448
Podstawiamy t = z pierwszego równania do drugiego.
v
448 2 3v
(v - 12) + = 448 / ·
v 3 2
(v - 12)(672 + v) = 672v
v2 + 672v - 12v - 8064 = 672v
v2 - 12v - 8064 = 0
" = 122 + 4 · 8064 = 32400 = 1802
12 - 180 12 + 180 192
v = < 0 (" v = = = 96.
2 2 2
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy v = 96 km/h. Wtedy prędkość drugiego samocho-
du to
96 - 12 = 84 km/h
Odpowiedz
: Samochód A: 96 km/h, samochód B: 84 km/h
Materiał pobrany z serwisu
19
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 34 (4 PKT)
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 243, a
promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 3. Oblicz tangens
kąta między wysokością tego ostrosłupa, a jego krawędzią boczną.
S
C
A
B
ROZWI
ZANIE
Dorysujmy wysokość ściany bocznej.
S
Ä…
H
C
a
A
D
E
a
B
1
Promień r okręgu wpisanego w podstawę to wysokości trójkąta w podstawie, więc
3
jeżeli przez a oznaczymy długość krawędzi podstawy to mamy równanie
"
1 a 3
r = · = 3
3 2
" "
"
a 3 18 18 3
"
= 3 Ò! a = = = 6 3.
6 3
3
Możemy teraz wykorzystać informację o objętości ostrosłupa do obliczenia długości jego
wysokości
" "
"
1 a2 3 1 108 3
243 = · · H = · · H = 9 3H
3 4 3 4
"
243 27
" "
H = = = 9 3.
9 3 3
Materiał pobrany z serwisu
20
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Pozostało teraz obliczyć żądany tangens.
"
AE 2r 6 2 2 3
" "
tg Ä… = = = = = .
SE H 9
9 3 3 3
"
2 3
Odpowiedz
:
9
Materiał pobrany z serwisu
21