ÿþ N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
P R Ó B N Y E G Z A M I N M A T U R A L N Y
Z M A T E M A T Y K I
Z E S T A W P R Z Y G O T O W A N Y P R Z E Z S E R W I S
W W W . Z A D A N I A . I N F O
P O Z I O M P O D S T A W O W Y
1 M A R C A 2 0 1 4
C Z A S P R A C Y : 1 7 0 M I N U T
Z a d a n i a z a m k n i t e
Z A D A N I E 1 ( 1 P K T )
W s k a | r y s u n e k , n a k t ó r y m p r z e d s t a w i o n y j e s t z b i ó r r o z w i z a D n i e r ó w n o [c i 4 ( x - 1 ) > 3 x .
A )
1 4 x
B )
1 4 x
C )
4 x
D )
1 x
R O Z W I Z A N I E
P r z e k s z t a Bm y d a n n i e r ó w n o [
4 ( x - 1 ) > 3 x
4 x - 4 > 3 x
x > 4 .
O d p o w i e d z: C
Z A D A N I E 2 ( 1 P K T )
w i e r l i c z b y a z w i k s z o n o o 4 0 % . O t r z y m a n o
A ) 3 , 5 a B ) 3 5 % · a C ) 6 5 % · a D ) 0 , 2 5 a + 4 0 % · a
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
L i c z y m y
0 , 2 5 a + 4 0 % · 0 , 2 5 a = 0 , 2 5 a + 0 , 4 · 0 , 2 5 a = 0 , 2 5 a + 0 , 1 a = 0 , 3 5 a = 3 5 % · a .
M o g l i [m y t e | l i c z y t a k
1 , 4 · 0 , 2 5 a = 0 , 3 5 a = 3 5 % · a .
O d p o w i e d z: B
Z A D A N I E 3 ( 1 P K T )
W s k a | z b i ó r r o z w i z a D n i e r ó w n o [c i ( 3 + x ) 2 3 .
A ) x " - 6 , 0 B ) x " 0 , 6 C ) x " - 3 , 3 D ) x " - 3 , 0
R O Z W I Z A N I E
Z a p i s u j e m y n i e r ó w n o [ w p o s t a c i n i e r ó w n o [c i z w a r t o [c i b e z w z g l d n
| 3 + x | 3
| x - ( - 3 ) | 3 .
R o z w i z a n i e m t e j n i e r ó w n o [c i j e s t z b i ó r l i c z b , k t ó r e s o d l e g Be o d - 3 o n i e w i c e j n i | 3 , c z y l i
p r z e d z i a B
- 3 - 3 , - 3 + 3 = - 6 , 0 .
O d p o w i e d z: A
P o d o b a j C i s i n a s z e r o z w i z a n i a ?
Z a d a n i a . i n f o
P o k a | j e k o l e |a n k o m i k o l e g o m z e s z k o By !
Z A D A N I E 4 ( 1 P K T )
" "
J e [l i a = l o g "3 9 i b = l o g 3 2 1 - l o g 3 7 t o :
A ) a = b B ) a < b C ) a > b D ) a 2 = b
R O Z W I Z A N I E
L i c z y m y
"
a = l o g "3 9 = l o g "3 ( 3 ) 4 = 4
"
" " "
2 1 1 1
"
b = l o g 3 2 1 - l o g 3 7 = l o g 3 = l o g 3 3 = l o g 3 3 2 = .
2
7
Z a t e m a > b .
O d p o w i e d z: C
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
2
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 5 ( 1 P K T )
2
L i c z b , k t ó r a n i e n a l e |y d o z b i o r u w a r t o [c i f u n k c j i f ( x ) = 1 0 - j e s t
x - 3
A ) 1 0 B ) 3 C ) - 3 D ) 0
R O Z W I Z A N I E
S p o s ó b I
2
W y k r e s e m f u n k c j i f j e s t h i p e r b o l a y = - p r z e s u n i t a o 3 j e d n o s t k i w p r a w o i o 1 0 j e d n o s t e k
x
d o g ó r y .
y
y = 1 0
+ 1 0
+ 5
+ 1
- 5 - 1 + 3 + 5 x
- 1
G d y j n a s z k i c u j e m y w i d a , |e n i e m a o n a p u n k t ó w w s p ó l n y c h z p o z i o m p r o s t y = 1 0 .
S p o s ó b I I
2
U Ba m e k o c z y w i [c i e n i g d y ( t j . d l a |a d n e j w a r t o [c i x ) n i e m o |e b y r ó w n y 0 , w i c f u n k c j a
x - 3
2
f ( x ) = 1 0 - n i e p r z y j m u j e w a r t o [c i 1 0 .
x - 3
O d p o w i e d z: A
Z A D A N I E 6 ( 1 P K T )
P u n k t A = ( 2 , 1 ) l e |y n a w y k r e s i e f u n k c j i l i n i o w e j f ( x ) = ( m - 3 ) x + m - 2 . S t d w y n i k a ,
|e
7
A ) m = 1 B ) m = C ) m = 3 D ) m = 9
2
R O Z W I Z A N I E
P o d s t a w i a m y w d a n y m w z o r z e w s p ó Br z d n e p u n k t u A .
1 = 2 m - 6 + m - 2 Ò! 3 m = 9 Ò! m = 3 .
O d p o w i e d z: C
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
3
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 7 ( 1 P K T )
"
L i c z b a ( 1 2 ) 3 j e s t r ó w n a
"+ " " "
A ) 7 - 5 2 B ) 7 + 2 C ) 1 + 8 D ) 7 + 5 2
R O Z W I Z A N I E
L i c z y m y k o r z y s t a j c z e w z o r u s k r ó c o n e g o m n o |e n i a
( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 .
M a m y w i c
" " " "
( 1 + 2 ) 3 = 1 3 + 3 · 1 2 · 2 + 3 · 1 · ( 2 ) 2 + ( 2 ) 3 =
" " "
= 1 + 3 2 + 6 + 2 2 = 7 + 5 2 .
O d p o w i e d z: D
Z A D A N I E 8 ( 1 P K T )
K a |d y b o k t r ó j k t a p r o s t o k t n e g o o b o k a c h 3 , 4 , 5 k o l o r u j e m y j e d n y m z 6 k o l o r ó w t a k , a b y
|a d n e d w a b o k i n i e b y By p o k o l o r o w a n e t y m s a m y m k o l o r e m . I l e j e s t t a k i c h p o k o l o r o w a D?
A ) 1 5 B ) 1 2 0 C ) 2 1 6 D ) 2 0
R O Z W I Z A N I E
P i e r w s z y b o k t r ó j k t a m o |e m y p o k o l o r o w a n a 6 s p o s o b ó w , d r u g i n a 5 ( b o m a m i e i n n y
k o l o r n i | p i e r w s z y ) , a t r z e c i n a 4 s p o s o b y . W s u m i e j e s t w i c
6 · 5 · 4 = 1 2 0
s p o s o b ó w .
O d p o w i e d z: B
Z A D A N I E 9 ( 1 P K T )
1
W i e r z c h o Be k p a r a b o l i y = ( 2 x + 1 ) 2 + l e |y n a p r o s t e j o r ó w n a n i u
6
1
A ) y = - 1 x B ) y = x C ) y = 3 x D ) y = - 1 x
3 3 6
R O Z W I Z A N I E
S p o s ó b I
P r z y p o m n i j m y , |e p o s t a c i k a n o n i c z n f u n k c j i k w a d r a t o w e j j e s t
y = a ( x - x w ) 2 + y w ,
g d z i e ( x w , y w ) s w s p ó Br z d n y m i w i e r z c h o Bk a . Z a t e m p o d a n y w z ó r n i e j e s t p o s t a c i k a n o -
n i c z n , a l e Ba t w o g o d o n i e j s p r o w a d z i .
2
1 1 1
y = ( 2 x + 1 ) 2 + = 4 x + + .
6 2 6
1
W i e r z c h o Be k m a w i c w s p ó Br z d n e - 1 , , k t ó r e s p e Bn i a j y w = - 1 x w .
2 6 3
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
4
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
S p o s ó b I I
M o |e m y t e | z n a l e z w s p ó Br z d n e w i e r z c h o Bk a z e w z o r u
- b - "
( x w , y w ) = , .
2 a 4 a
L i c z y m y
1 1 7
( 2 x + 1 ) 2 + = 4 x 2 + 4 x + 1 + = 4 x 2 + 4 x +
6 6 6
7 7 1 8
" = 1 6 - 4 · 4 · = 1 6 1 - = 1 6 · - = -
6 6 6 3
8
- b - " - 4 1 1
3
( x w , y w ) = , = , = - , .
2 a 4 a 8 1 6 2 6
J a k p o p r z e d n i o z a u w a |a m y , |e y w = - 1 x w .
3
O d p o w i e d z: A
Z A D A N I E 1 0 ( 1 P K T )
K o r z y s t a j c z d a n e g o w y k r e s u f u n k c j i f , w s k a | n i e r ó w n o [ p r a w d z i w
y
6
5
4
3
2
1
x
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6
- 1
- 2
- 3
A ) f ( - 1 ) < f ( 1 ) B ) f ( 2 ) < f ( 3 ) C ) f ( - 3 ) > f ( 4 ) D ) f ( 3 ) < f ( 1 )
R O Z W I Z A N I E
O d c z y t u j e m y z w y k r e s u .
O d p o w i e d z: D
Z A D A N I E 1 1 ( 1 P K T )
P r o s t a o r ó w n a n i u y = m x + 1 j e s t p r o s t o p a d Ba d o p r o s t e j o r ó w n a n i u x = n y + 1 . S t d
w y n i k a , |e
A ) m = n B ) m n = - 1 C ) m + n = - 1 D ) m + n = 0
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
5
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
P r o s t e y = a x + b i y = c x + d s p r o s t o p a d Be j e |e l i a c = - 1 . D r u g z d a n y c h p r o s t y c h
m o |e m y z a p i s a w p o s t a c i
1 1
y = x -
n n
M a m y z a t e m
1
m · = - 1
n
m = - n
m + n = 0 .
O d p o w i e d z: D
Z A D A N I E 1 2 ( 1 P K T )
D a n e s w i e l o m i a n y : W ( x ) = 2 x 6 - 3 x 3 + 5 x + 4 i P ( x ) = - 4 x 4 - 1 2 x 2 + 5 . S t o p i e D w i e l o -
m i a n u W ( x ) · P ( x ) j e s t r ó w n y :
A ) 2 4 B ) 1 0 C ) 9 D ) 6
R O Z W I Z A N I E
A b y u s t a l i j a k i b d z i e s t o p i e D w i e l o m i a n u W ( x ) · P ( x ) m n o |y m y n a j w y |s z e p o t g i x - a z
o b u w i e l o m i a n ó w
2 x 6 · ( - 4 x 4 ) = - 8 x 6 + 4 = - 8 x 1 0 .
Z a t e m W ( x ) · P ( x ) j e s t w i e l o m i a n e m s t o p n i a 1 0 .
O d p o w i e d z: B
Z A D A N I E 1 3 ( 1 P K T )
L i c z b y x , x + 2 , x + 5 t w o r z c i g g e o m e t r y c z n y . W y n i k a s t d , |e
"
7
A ) x = 1 6 B ) x = 4 C ) x = 6 - 2 D ) x =
2
R O Z W I Z A N I E
W c i g u g e o m e t r y c z n y m k w a d r a t k a |d e g o w y r a z u ( z w y j t k i e m p i e r w s z e g o ) j e s t i l o c z y n e m
w y r a z ó w s s i e d n i c h . M a m y w i c
a 1 a 3 = a 2
2
x ( x + 5 ) = ( x + 2 ) 2
x 2 + 5 x = x 2 + 4 x + 4
x = 4 .
O d p o w i e d z: B
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
6
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 1 4 ( 1 P K T )
N a r y s u n k u z a z n a c z o n o d Bu g o [c i n i e k t ó r y c h o d c i n k ó w w r o m b i e o r a z k t ±.
1 8
±
1 5
W t e d y
3 4 4 3
A ) s i n ± = B ) c o s ± = C ) s i n ± = D ) s i n ± =
4 5 5 5
R O Z W I Z A N I E
D o r y s u j m y d r u g p r z e k t n .
9
1 2
9
1 2
±
1 5
P r z e k t n e r o m b u d z i e l s i n a p o Bo w y i s p r o s t o p a d Be , w i c o t r z y m a l i [m y 4 p r z y s t a j c e
t r ó j k t y p r o s t o k t n e o p r z y p r o s t o k t n y c h d Bu g o [c i 9 i
"
1 5 2 - 9 2 = 1 4 4 = 1 2 .
Z a t e m
9 3
c o s ± = =
1 5 5
1 2 4
s i n ± = = .
1 5 5
O d p o w i e d z: C
Z A D A N I E 1 5 ( 1 P K T )
"
c o s 4 ±
K t ± j e s t o s t r y i s i n ± = 2 1 . W a r t o [ w y r a |e n i a j e s t r ó w n a
4
" "- " "
A ) 2 - 1 B ) 2 2 - 2 C ) 3 + 2 2 D ) 3 - 2 2
R O Z W I Z A N I E
Z p o d a n e g o s i n u s a i j e d y n k i t r y g o n o m e t r y c z n e j w y l i c z a m y k w a d r a t c o s i n u s a .
" " "
c o s 2 ± = 1 - s i n 2 ± = 1 - ( 2 - 1 ) 2 = 1 - ( 2 - 2 2 + 1 ) = 2 2 - 2 .
Z a t e m
2
" " "
c o s 4 ± c o s 2 ±
= = ( 2 - 1 ) 2 = 2 - 2 2 + 1 = 3 - 2 2 .
4 2
O d p o w i e d z: D
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
7
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 1 6 ( 1 P K T )
Zr e d n i c e A B i C D o k r g u o [r o d k u S p r z e c i n a j s i p o d k t e m 4 0 æ% ( t a k j a k n a r y s u n k u ) .
D
B
S
4 0 o
A
±
M
C
M i a r a k t a ± j e s t r ó w n a
A ) 8 0 æ% B ) 4 0 æ% C ) 3 0 æ% D ) 2 0 æ%
R O Z W I Z A N I E
M i a r a k t a ± = D M B j e s t r ó w n a p o Bo w i e m i a r y k t a [r o d k o w e g o D S B , a t e n k t z k o l e i
j e s t r ó w n y k t o w i k t o w i A S C . Z a t e m
1
± = · 4 0 æ% = 2 0 æ%.
2
O d p o w i e d z: D
Z A D A N I E 1 7 ( 1 P K T )
K r ó t s z a p r z e k t n a s z e [c i o k t a f o r e m n e g o m a d Bu g o [ 8 . W ó w c z a s p o l e k o Ba w p i s a n e g o w
t e n s z e [c i o k t j e s t r ó w n e
A ) 4 À B ) 8 À C ) 1 6 À D ) 6 4 À
R O Z W I Z A N I E
R o b i m y s z k i c o w y r y s u n e k
4
4
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
8
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z r y s u n k u w i d a , |e d Bu g o [ k r ó t s z e j p r z e k t n e j s z e [c i o k t a j e s t r ó w n a [r e d n i c y k o Ba
w p i s a n e g o w t e n s z e [c i o k t . Z a t e m p o l e t e g o k o Ba j e s t r ó w n e
À · 4 2 = 1 6 À.
O d p o w i e d z: C
Z A D A N I E 1 8 ( 1 P K T )
R ó w n a n i e o k r g u w p i s a n e g o w r o m b o w i e r z c h o Bk a c h A = ( 0 , - 2 ) , B = ( 4 , 1 ) , C = ( 4 , 6 ) , D =
( 0 , 3 ) m a p o s t a
A ) ( x + 2 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4
B ) ( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 2
C ) ( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 4
D ) ( x + 2 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 2
R O Z W I Z A N I E
J e |e l i n a s z k i c u j e m y r o m b , t o j e s t j a s n e , |e [r o d k i e m o k r g u w p i s a n e g o j e s t [r o d e k p r z e k t n e j
A C ( c z y l i p u n k t p r z e c i c i a p r z e k t n y c h ) .
y
+ 1 0
C
+ 5
D
S
+ 1
B
- 1 x
- 1
A
Z a t e m
0 + 4 - 2 + 6
S = , = ( 2 , 2 ) .
2 2
P r o m i e D o k r g u w p i s a n e g o j e s t r ó w n y o d l e g Bo [c i p u n k t u S o d o s i O y ( b o z a w i e r a o n a b o k
A D ) r o m b u , c z y l i j e s t r ó w n y 2 . Z a t e m s z u k a n e r ó w n a n i e m a p o s t a
( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 4
O d p o w i e d z: C
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
9
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 1 9 ( 1 P K T )
N a r y s u n k u p r z e d s t a w i o n o w y k r e s f u n k c j i y = f ( x ) .
y
5
4
3
2
1
x
- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5
- 1
- 2
- 3
W k t ó r y m z p r z e d z i a Bó w , f u n k c j a p r z y j m u j e w a r t o [ 1 ?
A ) 0 , 1 B ) ( - 3 , 0 ) C ) ( 0 , 2 ) D ) - 1 , 0
R O Z W I Z A N I E
Z r y s u n k u w i d a , |e f u n k c j a f p r z y j m u j e w a r t o [ 1 d w a r a z y : r a z p o m i d z y - 2 i - 1 , a d r u g i
r a z w p u n k c i e x = 2 .
O d p o w i e d z: B
Z A D A N I E 2 0 ( 1 P K T )
L i c z b a w s z y s t k i c h k r a w d z i g r a n i a s t o s Bu p a j e s t o 1 2 w i k s z a o d l i c z b y w s z y s t k i c h j e g o [c i a n
b o c z n y c h . S t d w y n i k a , |e p o d s t a w t e g o g r a n i a s t o s Bu p a j e s t
A ) c z w o r o k t B ) p i c i o k t C ) s z e [c i o k t D ) d z i e s i c i o k t
R O Z W I Z A N I E
J e |e l i w p o d s t a w i e g r a n i a s t o s Bu p a j e s t n k t t o g r a n i a s t o s Bu p m a 3 n k r a w d z i i n [c i a n b o c z -
n y c h .
M a m y w i c r ó w n a n i e
3 n = n + 1 2
2 n = 1 2
n = 6 .
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 0
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
O d p o w i e d z: C
Z A D A N I E 2 1 ( 1 P K T )
L i c z b y x - 1 , x + 3 , 2 x - 4 w p o d a n e j k o l e j n o [c i t w o r z c i g a r y t m e t y c z n y . W t e d y x j e s t r ó w -
n e
A ) x = 2 B ) x = 1 C ) x = 4 D ) x = 1 1
R O Z W I Z A N I E
Zr o d k o w y w y r a z w c i g u a r y t m e t y c z n y m j e s t [r e d n i a r y t m e t y c z n w y r a z ó w s s i e d n i c h ,
w i c
2 ( x + 3 ) = ( x - 1 ) + ( 2 x - 4 )
6 = x - 1 - 4
1 1 = x .
O d p o w i e d z: D
Z A D A N I E 2 2 ( 1 P K T )
J a k l i c z b m o |n a w s t a w i p o m i d z y - 2 7 , a - 1 , a b y z d a n y m i l i c z b a m i t w o r z y Ba c i g g e o -
1 6 3
m e t r y c z n y ?
3 4 9
A ) B ) - 4 C ) D ) - 1 6
4 3 3
R O Z W I Z A N I E
K w a d r a t w s t a w i o n e j l i c z b y m u s i b y i l o c z y n e m l i c z b s s i e d n i c h , c z y l i
2 7 1 9
x 2 = - · - =
1 6 3 1 6
3
x = ± .
4
3
W [r ó d p o d a n y c h o d p o w i e d z i n i e m a - 3 , w i c m u s i b y x = .
4 4
O d p o w i e d z: A
Z A D A N I E 2 3 ( 1 P K T )
Zr e d n i a a r y t m e t y c z n a d a n y c h p r z e d s t a w i o n y c h n a d i a g r a m i e c z s t o [c i j e s t r ó w n a
c z s t o [ w %
5 0
4 0
3 0
2 0
1 0
0
1 w a r t o [
0 2 3
A ) 2 B ) 1 C ) 1 , 5 D ) 1 , 8
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 1
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
L i c z y m y
0 · 0 , 2 + 1 · 0 , 1 + 2 · 0 , 2 + 3 · 0 , 5
s = = 2 .
0 , 2 + 0 , 1 + 0 , 2 + 0 , 5
O d p o w i e d z: A
Z A D A N I E 2 4 ( 1 P K T )
"
O b j t o [ g r a n i a s t o s Bu p a p r a w i d Bo w e g o t r ó j k t n e g o o w y s o k o [c i 7 j e s t r ó w n a 6 3 3 . D Bu g o [
k r a w d z i p o d s t a w y t e g o g r a n i a s t o s Bu p a j e s t r ó w n a
A ) 4 B ) 3 C ) 6 D ) 3 6
R O Z W I Z A N I E
S z k i c u j e m y g r a n i a s t o s Bu p .
h
a
a
a
J e |e l i o z n a c z y m y p r z e z a d Bu g o [ k r a w d z i p o d s t a w y g r a n i a s t o s Bu p a t o p o l e p o d s t a w y
j e s t r ó w n e
"
a 2 3
P p =
4
i z p o d a n e j o b j t o [c i o t r z y m u j e m y r ó w n a n i e
"
"
a 2 3 4
6 3 3 = · 7 / · "
4
7 3
3 6 = a 2 Ò! a = 6 .
O d p o w i e d z: C
Z a d a n i a o t w a r t e
Z A D A N I E 2 5 ( 2 P K T )
R o z w i | r ó w n a n i e x 3 - 3 6 = 1 2 x - 3 x 2 .
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 2
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
P r z e n o s i m y w s z y s t k i e s k Ba d n i k i n a j e d n s t r o n i w y Bc z a m y ( x + 3 ) p r z e d n a w i a s .
0 = x 3 + 3 x 2 - 1 2 x - 3 6 = x 2 ( x + 3 ) - 1 2 ( x + 3 ) =
" "
= ( x + 3 ) ( x 2 - 1 2 ) = ( x + 3 ) ( x - 1 2 ) ( x + 1 2 ) =
" "
= ( x + 3 ) ( x - 2 3 ) ( x + 2 3 ) .
" "
O d p o w i e d z: x " { - 2 3 , - 3 , 2 3 }
Z A D A N I E 2 6 ( 2 P K T )
R o z w i | n i e r ó w n o [ 3 x 2 + x - 1 4 0 .
R O Z W I Z A N I E
Z n a j d u j e m y n a j p i e r w m i e j s c a z e r o w e t r ó j m i a n u 3 x 2 + x - 1 4 .
" = 1 2 + 4 · 3 · 1 4 = 1 + 1 6 8 = 1 6 9 = 1 3 2
- 1 - 1 3 1 4 7
x 1 = = - = -
6 6 3
- 1 + 1 3
x 2 = = 2 .
6
P o n i e w a | w s p ó Bc z y n n i k p r z y x 2 j e s t d o d a t n i , w y k r e s t e g o t r ó j m i a n u j e s t p a r a b o l o r a m i o -
n a c h s k i e r o w a n y c h w g ó r .
y
+ 1 0
+ 2
- 5 - 1 + 3 + 5 x
- 2
- 1 0
O t r z y m u j e m y s t d r o z w i z a n i e n i e r ó w n o [c i - 7 , 2 .
3
O d p o w i e d z: - 7 , 2
3
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 3
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 2 7 ( 2 P K T )
s i n ±- c o s ± 1
K t ± j e s t o s t r y i = . O b l i c z t g ±.
s i n ±+ c o s ± 3
R O Z W I Z A N I E
S p o s ó b I
P o n i e w a | m a m y o b l i c z y t a n g e n s , p o d z i e l m y l i c z n i k i m i a n o w n i k d a n e g o u Ba m k a p r z e z
c o s ±.
s i n ± c o s ±
-
1 s i n ± - c o s ± t g ± - 1
c o s ± c o s ±
= = = .
s i n ± c o s ±
3 s i n ± + c o s ± t g ± + 1
+
c o s ± c o s ±
t g ± + 1 = 3 t g ± - 3
4 = 2 t g ± Ò! t g ± = 2 .
S p o s ó b I I
P r z e k s z t a Bc a m y d a n r ó w n o [ t a k , a b y o t r z y m a t g ±.
s i n ± - c o s ± 1
=
s i n ± + c o s ± 3
3 s i n ± - 3 c o s ± = s i n ± + c o s ±
2 s i n ± = 4 c o s ± / : 2 c o s ±
s i n ±
= 2
c o s ±
t g ± = 2 .
O d p o w i e d z: t g ± = 2
Z A D A N I E 2 8 ( 2 P K T )
W 8 p u d e Bk a c h u m i e s z c z a m y 5 p o n u m e r o w a n y c h k u l e k t a k , a b y w |a d n y m p u d e Bk u n i e
b y Bo w i c e j n i | j e d n e j k u l k i . N a i l e s p o s o b ó w m o |e m y t o z r o b i ?
R O Z W I Z A N I E
K a |d e j k u l c e m u s i m y p r z y p o r z d k o w a u n i k a l n y n u m e r p u d e Bk a . M o |n a t o z r o b i n a
8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6 7 2 0
s p o s o b ó w ( p i e r w s z a t r a f i a d o d o w o l n e g o z p u d e Be k , d r u g a n i e m o |e z n a l e z s i w t y m c o
p i e r w s z a , t r z e c i a m u s i b y w i n n y m n i | d w i e p i e r w s z e i t d . ) .
O d p o w i e d z: 6 7 2 0
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 4
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 2 9 ( 2 P K T )
W y z n a c z w s p ó Br z d n e p u n k t u P , k t ó r y d z i e l i o d c i n e k o k o Dc a c h A = ( 1 9 , 1 7 ) i B = ( - 9 , 3 3 )
w s t o s u n k u | A P | : | P B | = 1 : 3 .
R O Z W I Z A N I E
S p o s ó b I
J e |e l i z r o b i m y o b r a z e k , t o Ba t w o z a u w a |y , |e a b y o t r z y m a p u n k t P m u s i m y p o d z i e l i
o d c i n e k A B n a 4 c z [c i i p u n k t P t o k o n i e c p i e r w s z e g o o d c i n k a .
B
S
P
A
I n n y m i s Bo w y , m u s i m y w y z n a c z y [r o d e k S o d c i n k a A B , a p u n k t P j e s t [r o d k i e m o d c i n k a
A S . L i c z y m y
A + B 1 9 - 9 1 7 + 3 3
S = = , = ( 5 , 2 5 )
2 2 2
A + S 1 9 + 5 1 7 + 2 5
P = = , = ( 1 2 , 2 1 ) .
2 2 2
S p o s ó b I I
Z a d a n i e Ba t w o t e | r o z w i z a u |y w a j c w e k t o r ó w . S z u k a n y p u n k t P o t r z y m a m y p r z e s u w a -
- ’!
1
j c p u n k t A o w e k t o r a A B . Z a t e m
4
- ’!
1 1
P = A + A B = ( 1 9 , 1 7 ) + [ - 2 8 , 1 6 ] = ( 1 9 , 1 7 ) + [ - 7 , 4 ] = ( 1 2 , 2 1 ) .
4 4
O d p o w i e d z: P = ( 1 2 , 2 1 )
Z A D A N I E 3 0 ( 2 P K T )
N a b o k a c h A D , A B i B C k w a d r a t u A B C D w y b r a n o p u n k t y K , L i M w t e n s p o s ó b , |e
K L D B i L M A C . U z a s a d n i j , |e | L K | + | L M | = | A C | .
D C
M
K
A B
L
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 5
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
S p o s ó b I
O z n a c z m y A L = x i L B = y . T r ó j k t y A L K i L B M s p r o s t o k t n e i m a j k t y o s t r e r ó w n e
4 5 æ%, w i c s t o t r ó j k t y r ó w n o r a m i e n n e .
T
D C D C
x x
R
S
M M
y y
P
K K
A B A B
x y x y
L L
Z a t e m B M = y i m a m y
" " " "
L K + L M = x 2 + x 2 + y 2 + y 2 = x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 = A B 2 = A C .
S p o s ó b I I
P o p r o w a d zm y p r z e z p u n k t y K , L i M p r o s t e r ó w n o l e g Be d o b o k ó w k w a d r a t u ( p r a w y r y s u -
n e k ) . O t r z y m a n e c z w o r o k t y A L P K , S R T D i L B M R s k w a d r a t a m i , w d o d a t k u k w a d r a t y
A L P K i S R T D s p r z y s t a j c e . Z a t e m
L K + L M = R D + B R = B D = A C .
Z A D A N I E 3 1 ( 4 P K T )
C i g ( 4 , a , b , c , d , 8 ) j e s t g e o m e t r y c z n y . O b l i c z a , b , c i d .
R O Z W I Z A N I E
S z u k a m y c i g u p o s t a c i a n = a 1 q n - 1 , w k t ó r y m a 1 = 4 i
8 = a 6 = a 1 q 5 = 4 q 5
"
5
2 = q 5 Ò! q = 2 .
Z a t e m
"
5
a = a 2 = a 1 q = 4 2
"
5
b = a 3 = a 1 q 2 = 4 4
"
5
c = a 4 = a 1 q 3 = 4 8
"
5
d = a 5 = a 1 q 4 = 4 1 6 .
" " " "
5 5 5 5
O d p o w i e d z: ( a , b , c , d ) = ( 4 2 , 4 4 , 4 8 , 4 1 6 )
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 6
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 3 2 ( 5 P K T )
P o c i g t o w a r o w y p o k o n a B t r a s d Bu g o [c i 2 0 8 k m . G d y b y [r e d n i a p r d k o [ p o c i g u b y Ba
w i k s z a o 1 3 k m / h t o t s a m t r a s p o c i g p o k o n a Bb y w c z a s i e o 4 8 m i n u t k r ó t s z y m . O b l i c z
[r e d n i p r d k o [ z j a k p o c i g p o k o n a B t t r a s .
R O Z W I Z A N I E
N i e c h t i v o z n a c z a j o d p o w i e d n i o c z a s p r z e j a z d u o r a z [r e d n i p r d k o [ p o c i g u . Z z a Bo |e D
m a m y
t v = 2 0 8
4
( v + 1 3 ) t - = 2 0 8 .
5
2 0 8
P o d s t a w i a m y t = z p i e r w s z e g o r ó w n a n i a d o d r u g i e g o .
v
2 0 8 4 5 v
( v + 1 3 ) - = 2 0 8 / ·
v 5 4
( v + 1 3 ) ( 2 6 0 - v ) = 2 6 0 v
- v 2 + 2 6 0 v - 1 3 v + 3 3 8 0 = 2 6 0 v
v 2 + 1 3 v - 3 3 8 0 = 0
" = 1 3 2 + 4 · 3 3 8 0 = 1 3 6 8 9 = 1 1 7 2
- 1 3 - 1 1 7 - 1 3 + 1 1 7 1 0 4
v = < 0 (" v = = = 5 2 .
2 2 2
U j e m n e r o z w i z a n i e o d r z u c a m y i m a m y v = 5 2 k m / h .
O d p o w i e d z: 5 2 k m / h
Z A D A N I E 3 3 ( 5 P K T )
O b j t o [ o s t r o s Bu p a p r a w i d Bo w e g o c z w o r o k t n e g o A B C D S o p o d s t a w i e A B C D j e s t r ó w n a
"
2 2 4 , a p r o m i e D o k r g u o p i s a n e g o n a p o d s t a w i e A B C D j e s t r ó w n y 2 1 4 . O b l i c z c o s i n u s k t a
m i d z y w y s o k o [c i t e g o o s t r o s Bu p a i j e g o [c i a n b o c z n .
R O Z W I Z A N I E
R o z p o c z y n a m y o d s z k i c o w e g o r y s u n k u .
S
±
H
D
C
F
a
E
A B
a
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 7
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
P r o m i e D o k r g u o p i s a n e g o n a k w a d r a c i e w p o d s t a w i e t o p o p r o s t u p o Bo w a d Bu g o [c i
p r z e k t n e j , c z y l i
" "
" "
a 2 4 1 4
= 2 1 4 Ò! a = " = 4 7 .
2
2
Z d a n e j o b j t o [c i o b l i c z a m y w y s o k o [ o s t r o s Bu p a .
1
2 2 4 = V = a 2 · H
3
2 2 4 · 3 2 2 4 · 3
H = = = 6 .
a 2 1 1 2
Z t r ó j k t a p r o s t o k t n e g o S F E o b l i c z a m y w y s o k o [ S F [c i a n y b o c z n e j .
" "
S F = S E 2 + E F 2 = 3 6 + 2 8 = 6 4 = 8 .
P o z o s t a Bo o b l i c z y i n t e r e s u j c y n a s c o s i n u s k t a m i d z y w y s o k o [c i o s t r o s Bu p a , a [c i a n
b o c z n .
S E 6 3
c o s ± = = = .
S F 8 4
3
O d p o w i e d z:
4
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 8
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