ÿþ N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
P R Ó B N Y E G Z A M I N M A T U R A L N Y
Z M A T E M A T Y K I
Z E S T A W P R Z Y G O T O W A N Y P R Z E Z S E R W I S
W W W . Z A D A N I A . I N F O
P O Z I O M P O D S T A W O W Y
2 2 M A R C A 2 0 1 4
C Z A S P R A C Y : 1 7 0 M I N U T
Z a d a n i a z a m k n i t e
Z A D A N I E 1 ( 1 P K T )
D w a d z i e [c i a d z i e w c z t s t a n o w i 6 2 , 5 % u c z n i ó w k l a s y I B . I l u c h Bo p c ó w j e s t w t e j k l a s i e ?
A ) 1 2 B ) 6 C ) 3 2 D ) 9
R O Z W I Z A N I E
J e |e l i p r z e z n o z n a c z y m y l i c z b c h Bo p c ó w , t o m a m y r ó w n a n i e
6 2 , 5 % · ( 2 0 + x ) = 2 0 / : 0 , 6 2 5
2 0 + x = 3 2 Ò! x = 1 2 .
O d p o w i e d z: A
Z A D A N I E 2 ( 1 P K T )
W s z y s t k i e l i c z b y s p e Bn i a j c e w a r u n e k x - 1 < 2 x 3 x + 3 m o |n a z a p i s a z a p o m o c p r z e -
d z i a Bu :
A ) ( - 1 , + ") B ) ( - ", - 3 C ) - 3 , - 1 ) D ) - 3 , + ")
R O Z W I Z A N I E
M u s i m y r o z w i z a d w i e n i e r ó w n o [c i
x - 1 < 2 x i 2 x 3 x + 3
- 1 < x i - 3 x .
Z a t e m x " ( - 1 , + ") .
O d p o w i e d z: A
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 3 ( 1 P K T )
L i c z b a l o g 3 , 5 1 2 , 2 5 - l o g 0 , 5 8 j e s t r ó w n a
A ) 5 B ) - 1 C ) - 1 D ) 1
2
R O Z W I Z A N I E
L i c z y m y
4 9
l o g 3 , 5 1 2 , 2 5 - l o g 0 , 5 8 = l o g - l o g 8 =
7 1
2 2
4
2 - 3
7 1
= l o g - l o g = 2 - ( - 3 ) = 5 .
7 1
2 2
2 2
O d p o w i e d z: A
Z A D A N I E 4 ( 1 P K T )
5 x + 3 y = 0
R o z w i z a n i e m u k Ba d u r ó w n a D j e s t p a r a ( x , y ) l i c z b t a k i c h , |e
2 y + x = 1 4
A ) x < 0 i y < 0 B ) x < 0 i y > 0 C ) x > 0 i y < 0 D ) x > 0 i y > 0
R O Z W I Z A N I E
O d e j m u j c d o p i e r w s z e g o r ó w n a n i a d r u g i e p o m n o |o n e p r z e z 5 ( |e b y s k r ó c i x ) m a m y
5 x + 3 y - 1 0 y - 5 x = 0 - 7 0 Ð!Ò! - 7 y = - 7 0 Ð!Ò! y = 1 0 .
Z a t e m z d r u g i e g o r ó w n a n i a m a m y
x = 1 4 - 2 y = - 6 .
O d p o w i e d z: B
Z A D A N I E 5 ( 1 P K T )
W s k a | z b i ó r r o z w i z a D n i e r ó w n o [c i ( - 5 - x ) 2 3 .
A ) x " - 8 , 2 B ) x " - 2 , 8 C ) x " 2 , 8 D ) x " - 8 , - 2
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
2
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
Z a p i s u j e m y n i e r ó w n o [ w p o s t a c i n i e r ó w n o [c i z w a r t o [c i b e z w z g l d n
| - 5 - x | 3
| x + 5 | 3
| x - ( - 5 ) | 3 .
R o z w i z a n i e m t e j n i e r ó w n o [c i j e s t z b i ó r l i c z b , k t ó r e s o d l e g Be o d - 5 o n i e w i c e j n i | 3 , c z y l i
p r z e d z i a B
- 5 - 3 , - 5 + 3 = - 8 , - 2 .
O d p o w i e d z: D
Z A D A N I E 6 ( 1 P K T )
W i e r z c h o Be k p a r a b o l i o r ó w n a n i u y = ( x - 1 ) 2 + 2 c l e |y n a p r o s t e j o r ó w n a n i u y = 4 x .
W t e d y
1
A ) c = B ) c = - 1 C ) c = - 2 D ) c = 2
2 2
R O Z W I Z A N I E
W i e r z c h o Be k p a r a b o l i w p o s t a c i k a n o n i c z n e j
y = a ( x - x w ) 2 + y w
m a w s p ó Br z d n e ( x w , y w ) . Z a t e m w n a s z e j s y t u a c j i j e s t t o p u n k t ( 1 , 2 c ) .
y
+ 1 0
+ 5 y = ( x - 1 ) 2 + 2 c
+ 1
- 5 - 1 + 3 + 5 x
- 1
y = 4 x
Z d r u g i e j s t r o n y w i e m y , |e p u n k t t e n l e |y n a p r o s t e j y = 4 x . W t a k i m r a z i e
2 c = 4 Ò! c = 2 .
O d p o w i e d z: D
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
3
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 7 ( 1 P K T )
2
K t ± j e s t o s t r y i s i n ± = . W a r t o [ w y r a |e n i a 1 - t g ± · c o s ± j e s t r ó w n a
3
4 2 1 1 1
A ) B ) C ) D )
9 3 3 9
R O Z W I Z A N I E
P o n i e w a |
s i n ±
t g ± = ,
c o s ±
m a m y
s i n ± 2 1
1 - t g ± · c o s ± = 1 - · c o s ± = 1 - s i n ± = 1 - = .
c o s ± 3 3
O d p o w i e d z: C
Z A D A N I E 8 ( 1 P K T )
W y r a |e n i e 4 x 2 - ( x - y ) 2 p o r o z Bo |e n i u n a c z y n n i k i p r z y j m u j e p o s t a :
A ) ( x + y ) ( 3 x + y ) B ) ( x - y ) ( 3 x + y ) C ) ( 3 x - y ) ( x - y ) D ) ( 3 x - y ) ( x + y )
R O Z W I Z A N I E
L i c z y m y ( k o r z y s t a m y z e w z o r u s k r ó c o n e g o m n o |e n i a n a r ó |n i c k w a d r a t ó w ) .
4 x 2 - ( x - y ) 2 = ( 2 x ) 2 - ( x - y ) 2 =
= ( 2 x + ( x - y ) ) ( 2 x - ( x - y ) ) = ( 3 x - y ) ( x + y ) .
O d p o w i e d z: D
Z A D A N I E 9 ( 1 P K T )
" "
4 0 - 1 0
"
L i c z b a j e s t r ó w n a
5
" " " "
A ) 2 B ) 2 2 C ) 4 D ) 2 0 - 5
R O Z W I Z A N I E
L i c z y m y
" " " "
4 0 - 1 0 4 0 1 0 4 0 1 0
" = - " = - =
"
5 5
5 5 5
" " " " "
= 8 - 2 = 2 2 - 2 = 2 .
O d p o w i e d z: A
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
4
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 1 0 ( 1 P K T )
"
1
L i c z b a + l o g 5 2 0 j e s t r ó w n a :
2
" "
1
A ) l o g 5 5 2 0 B ) l o g 5 5 C ) D ) l o g 5 1 0
4
R O Z W I Z A N I E
L i c z y m y ( k o r z y s t a m y z e w z o r u n a s u m l o g a r y t m ó w )
" " " "
1 1
+ l o g 5 2 0 = l o g 5 5 2 + l o g 5 2 0 = l o g 5 5 · 2 0 = l o g 5 1 0 .
2
O d p o w i e d z: D
Z A D A N I E 1 1 ( 1 P K T )
N a r y s u n k u 1 p r z e d s t a w i o n y j e s t w y k r e s f u n k c j i y = f ( x ) o k r e [l o n e j d l a x " - 5 , 6 .
y y
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
0 0
- 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6 7
x x
- 1 - 1
- 2 - 2
- 3 - 3
R y s u n e k 2 p r z e d s t a w i a w y k r e s f u n k c j i
A ) y = f ( x + 2 ) B ) y = f ( x ) - 2 C ) y = f ( x - 2 ) D ) y = f ( x ) + 2
R O Z W I Z A N I E
W y k r e s n a d r u g i m r y s u n k u j e s t p r z e s u n i t y w z g l d e m w y k r e s u n a p i e r w s z y m r y s u n k u o
d w i e j e d n o s t k i w l e w o . J e s t t o w i c w y k r e s f u n k c j i y = f ( x + 2 ) .
O d p o w i e d z: A
Z A D A N I E 1 2 ( 1 P K T )
Z p r o s t o k t a A B C D o p o l u 3 0 w y c i t o t r ó j k t A O D ( t a k j a k n a r y s u n k u ) . P o l e z a c i e n i o w a n e j
f i g u r y j e s t r ó w n e
D
C
O
A B
A ) 7 , 5 B ) 1 5 C ) 2 0 D ) 2 5
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
5
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
N i e c h O E b d z i e w y s o k o [c i w y c i t e g o t r ó j k t a o p u s z c z o n z w i e r z c h o Bk a O .
D
C
E
O
A B
P o l e w y c i t e g o t r ó j k t a j e s t w i c r ó w n e
1 1 1
P A O D = · A D · O E = A D · A B = P A B C D = 1 5 .
2 2 2
Z a t e m z a c i e n i o w a n a c z [ m a p o l e r ó w n e
3 0 - 1 5 = 1 5 .
O d p o w i e d z: B
Z A D A N I E 1 3 ( 1 P K T )
C i g ( 1 4 7 , 4 2 , x - 3 ) j e s t g e o m e t r y c z n y . W t e d y
A ) x = 1 5 B ) x = 1 2 C ) x = 9 D ) x = 6
R O Z W I Z A N I E
I l o r a z d a n e g o c i g u j e s t r ó w n y
a 2 4 2 6 2
q = = = = .
a 1 1 4 7 2 1 7
Z a t e m
2
x - 3 = a 3 = a 2 q = 4 2 · = 1 2 .
7
S t d x = 1 2 + 3 = 1 5 .
O d p o w i e d z: A
Z A D A N I E 1 4 ( 1 P K T )
C i g i e m a r y t m e t y c z n y m j e s t c i g o w y r a z i e o g ó l n y m a n r ó w n y m :
4
A ) a n = B ) a n = 2 n C ) a n = - 3 n - 3 D ) a n = 3 + n 2
n
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
6
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
W [r ó d p o d a n y c h c i g ó w , t y l k o c i g
a n = - 3 n - 3 = - 6 - 3 ( n - 1 )
j e s t c i g i e m a r y t m e t y c z n y m ( z a 1 = - 6 i r = - 3 ) .
O d p o w i e d z: C
Z A D A N I E 1 5 ( 1 P K T )
L i c z b a r z e c z y w i s t y c h r o z w i z a D r ó w n a n i a ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x 2 - 3 ) = 0 j e s t r ó w n a
A ) 0 B ) 1 C ) 2 D ) 4
R O Z W I Z A N I E
" "
P o n i e w a | x 2 - 3 = ( x - 3 ) ( x + 3 ) r ó w n a n i e m a c z t e r y r o z w i z a n i a :
" "
x " { - 2 , - 1 , - 3 , 3 } .
O d p o w i e d z: D
Z A D A N I E 1 6 ( 1 P K T )
P u n k t O j e s t [r o d k i e m o k r g u o [r e d n i c y A B ( t a k j a k n a r y s u n k u ) . K t ± m a m i a r
B
O
1 2 0 o
A
±
C
A ) 4 0 æ% B ) 5 0 æ% C ) 6 0 æ% D ) 8 0 æ%
R O Z W I Z A N I E
S p o s ó b I
Z a u w a |m y , |e t r ó j k t B O C j e s t r ó w n o r a m i e n n y , w i c
1 8 0 æ% - B O C 1 2 0 æ%
± = O C B = O B C = = = 6 0 æ%.
2 2
S p o s ó b I I
K o r z y s t a j c z t w i e r d z e n i a o k t a c h w p i s a n y m i [r o d k o w y m , m a m y
1
± = O C B = O B C = A O C = 6 0 æ%.
2
O d p o w i e d z: C
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
7
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 1 7 ( 1 P K T )
3 n 2 - 5
K t ó r y w y r a z c i g u ( a n ) o w y r a z i e o g ó l n y m a n = j e s t r ó w n y - 1 0 ?
7
1 - 2 n 2
A ) p i t y B ) d w u d z i e s t y p i t y C ) s i ó d m y D ) d z i e w i t y
R O Z W I Z A N I E
L i c z y m y
3 n 2 - 5 1 0
= - / · 7 ( 1 - 2 n 2 )
1 - 2 n 2 7
2 1 n 2 - 3 5 = - 1 0 + 2 0 n 2
n 2 = 2 5 Ò! n = 5 .
O d p o w i e d z: A
Z A D A N I E 1 8 ( 1 P K T )
P o n i |e j z a m i e s z c z o n o f r a g m e n t t a b e l i w a r t o [c i f u n k c j i l i n i o w e j
x 1 2 4
f ( x ) 4 1
W p u s t y m m i e j s c u w t a b e l i p o w i n n a z n a j d o w a s i l i c z b a :
A ) - 5 B ) 5 C ) - 2 D ) 2
R O Z W I Z A N I E
J e |e l i f ( x ) = a x + b t o w i e m y , |e
4 = a + b
1 = 2 a + b .
O d e j m u j c o d d r u g i e g o r ó w n a n i a p i e r w s z e m a m y a = - 3 . S t d b = 4 - a = 7 i f ( x ) =
- 3 x + 7 . Z a t e m
f ( 4 ) = - 1 2 + 7 = - 5 .
O d p o w i e d z: A
Z A D A N I E 1 9 ( 1 P K T )
D a n y j e s t t r ó j k t o w i e r z c h o Bk a c h A = ( 4 , - 3 ) , B = ( 4 , 1 ) , C = ( - 6 , - 2 ) . D Bu g o [ [r o d k o w e j
p o p r o w a d z o n e j z w i e r z c h o Bk a C j e s t r ó w n a
" " "
A ) 1 0 1 B ) 1 0 2 C ) 1 0 D ) 1 0
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
8
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
Z a c z y n a m y o d r y s u n k u
y
4
B
- 3 3 6
0
x
S
- 2
C
A
- 4
L i c z y m y w s p ó Br z d n e [r o d k a o d c i n k a A B
4 + 4 - 3 + 1
S = , = ( 4 , - 1 ) .
2 2
O b l i c z a m y d Bu g o [ o d c i n k a C S
"
| C S | = ( 4 + 6 ) 2 + ( - 1 + 2 ) 2 = 1 0 1 .
O d p o w i e d z: A
Z A D A N I E 2 0 ( 1 P K T )
P r o s t o k t o b o k a c h 3 i 5 o b r a c a j c s i d o o k o Ba p r o s t e j z a w i e r a j c e j d Bu |s z y b o k w y z n a c z a
b r y B o o b j t o [c i r ó w n e j
A ) 4 5 À B ) 1 5 À C ) 1 8 0 À D ) 9 0 À
R O Z W I Z A N I E
Z o b r a z k a w i d a , |e w w y n i k u o p i s a n e j o p e r a c j i o t r z y m a m y w a l e c o p r o m i e n i u p o d s t a w y
r = 3 i w y s o k o [c i H = 5 .
5
3 3
Z a t e m o b j t o [ j e s t r ó w n a
V = Àr 2 · H = 9 À · 5 = 4 5 À.
O d p o w i e d z: A
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
9
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 2 1 ( 1 P K T )
Zr e d n i a a r y t m e t y c z n a z e s t a w u d a n y c h : 2 , 3 , x , 9 , 4 , 5 , 1 , 5 w y n o s i 4 , 5 . W y n i k a z t e g o , |e :
A ) x = 6 B ) x = 3 C ) x = 7 D ) x = 5
R O Z W I Z A N I E
L i c z y m y
2 + 3 + x + 9 + 4 + 5 + 1 + 5
= 4 , 5 / · 8
8
2 9 + x = 3 6
x = 7 .
O d p o w i e d z: C
Z A D A N I E 2 2 ( 1 P K T )
P r a w d o p o d o b i e Ds t w o z d a r z e n i a , |e w r z u c i e d w i e m a s y m e t r y c z n y m i k o s t k a m i d o g r y o t r z y -
m a m y i l o c z y n o c z e k r ó w n y 4 , w y n o s i
1 1 1 1
A ) B ) C ) D )
4 9 1 2 1 8
R O Z W I Z A N I E
W y n i k i r z u t ó w b d z i e m y z a p i s y w a j a k o p a r y ( k , n ) , g d z i e k j e s t w y n i k i e m n a p i e r w s z e j
k o s t c e , a n w y n i k i e m n a d r u g i e j . N a j p i e r w o b l i c z a m y i l e j e s t z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h
| &!| = 6 · 6 = 3 6 .
W y p i s z m y z d a r z e n i a s p r z y j a j c e
( 1 , 4 ) , ( 2 , 2 ) , ( 4 , 1 ) .
Z a t e m p r a w d o p o d o b i e Ds t w o w y n o s i
3 1
= .
3 6 1 2
O d p o w i e d z: C
Z A D A N I E 2 3 ( 1 P K T )
"
3
K t ± j e s t o s t r y i c o s ± = . W t e d y w a r t o [ w y r a |e n i a 2 - s i n 2 ± j e s t r ó w n a
3
2 4
A ) 0 B ) C ) D ) 1
3 3
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 0
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
N a m o c y j e d y n k i t r y g o n o m e t r y c z n e j
s i n 2 ± + c o s 2 ± = 1
m a m y
1 4
2 - s i n 2 ± = 2 - ( 1 - c o s 2 ±) = 1 + c o s 2 ± = 1 + = .
3 3
O d p o w i e d z: C
Z A D A N I E 2 4 ( 1 P K T )
R ó w n a n i a 9 - 5 y = 0 i 3 x + 7 = 0 o p i s u j p r o s t e w u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h , k t ó r e
A ) s p r o s t o p a d Be
B ) s r ó w n o l e g Be
C ) p r z e c i n a j s i p o d k t e m 6 0 æ%
D ) p r z e c i n a j s i p o d k t e m 4 5 æ%
R O Z W I Z A N I E
9
P i e r w s z a p r o s t a t o p o z i o m a p r o s t a y = , a d r u g a t o p i o n o w a p r o s t a x = - 7 .
5 3
y
+ 5
+ 1
- 5 - 1 + 5 x
- 1
- 5
P r o s t e t e s w i c p r o s t o p a d Be .
O d p o w i e d z: A
Z a d a n i a o t w a r t e
Z A D A N I E 2 5 ( 2 P K T )
R o z w i | r ó w n a n i e 6 x 3 - 8 x 2 - 9 x + 1 2 = 0 .
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 1
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
G d y s i p r z y j r z y m y r ó w n a n i u t o m o |n a z a u w a |y , |e m o |e m y Ba t w o w y Bc z y ( 3 x - 4 )
p r z e d n a w i a s .
6 x 3 - 8 x 2 - 9 x + 1 2 = 0
2 x 2 ( 3 x - 4 ) - 3 ( 3 x - 4 ) = 0
( 2 x 2 - 3 ) ( 3 x - 4 ) = 0
3 3 4
6 x - x + x - = 0 .
2 2 3
" "
6 6 4
Z a t e m x " - , , .
2 2 3
" "
6 6 4
O d p o w i e d z: x " - , ,
2 2 3
Z A D A N I E 2 6 ( 2 P K T )
1 - t g 2 ±
O b l i c z w a r t o [ w y r a |e n i a 2 s i n 2 ± + , g d z i e ± j e s t k t e m o s t r y m .
1 + t g 2 ±
R O Z W I Z A N I E
S k o r z y s t a m y z d e f i n i c j i t a n g e n s a
s i n ±
t g ± =
c o s ±
i j e d y n k i t r y g o n o m e t r y c z n e j
s i n 2 ± + c o s 2 ± = 1 .
L i c z y m y
s i n 2 ±
1 -
1 - t g 2 ±
c o s 2 ±
2 s i n 2 ± + = 2 s i n 2 ± + =
s i n 2 ±
1 + t g 2 ±
1 +
c o s 2 ±
c o s 2 ± - s i n 2 ±
= 2 s i n 2 ± + = 2 s i n 2 ± + c o s 2 ± - s i n 2 ± =
c o s 2 ± + s i n 2 ±
= s i n 2 ± + c o s 2 ± = 1 .
O d p o w i e d z: 1
Z A D A N I E 2 7 ( 2 P K T )
P u n k t S j e s t [r o d k i e m o k r g u o p i s a n e g o n a t r ó j k c i e r o z w a r t o k t n y m A B C . K t C A B j e s t
d w a r a z y w i k s z y o d k t a B A S , a k t C B A j e s t o 1 0 æ% w i k s z y o d k t a B A S . O b l i c z k t y
t r ó j k t a A B C .
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 2
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
C
B
A
S
R O Z W I Z A N I E
O z n a c z m y ± = B A S .
9 0 o - 2 ±
C
3 ±
9 0 o - 3 ±
2 ±
B
A
± ±
S
1 8 0 o - 6 ±
T r ó j k t y A B S , B S C i A S C s r ó w n o r a m i e n n e , w i c z p o d a n y c h i n f o r m a c j i m a m y
A B S = B A S = ±
C A B = 2 ±
A C S = C A S = 3 ±.
S u m a k t ó w t r ó j k t a A S C j e s t r ó w n a 1 8 0 æ%, w i c
A S C = 1 8 0 æ% - 6 ±.
T e r a z k o r z y s t a m y z w Ba s n o [c i k t ó w w p i s a n y c h i [r o d k o w y c h o p i s a n y c h n a t y m s a m y m
Bu k u .
1
A B C = A S C = 9 0 æ% - 3 ±.
2
T r ó j k t C S B j e s t r ó w n o r a m i e n n y , w i c
S C B = S B C = 9 0 æ% - 2 ±.
Z d r u g i e j s t r o n y w i e m y , |e C B A = ± + 1 0 æ%. M a m y z a t e m
9 0 æ% - 3 ± = ± + 1 0 æ%
8 0 æ% = 4 ± Ò! ± = 2 0 æ%.
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 3
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
W t a k i m r a z i e k t y t r ó j k t a A B C m a j m i a r y
A = 2 ± = 4 0 æ%
B = 9 0 æ% - 3 ± = 3 0 æ%
C = 9 0 æ% + ± = 1 1 0 æ%.
O d p o w i e d z: 4 0 æ%, 3 0 æ%, 1 1 0 æ%
Z A D A N I E 2 8 ( 2 P K T )
W t a b e l i p r z e d s t a w i o n o o c e n y z e s p r a w d z i a n u z m a t e m a t y k i w k l a s i e 1 B .
O c e n a 1 2 3 4 5 6
L i c z b a o c e n 3 3 6 x 4 2
Zr e d n i a a r y t m e t y c z n a t y c h o c e n j e s t r ó w n a 3 , 4 8 . O b l i c z l i c z b x o c e n d o b r y c h ( 4 ) o t r z y m a -
n y c h p r z e z u c z n i ó w n a t y m s p r a w d z i a n i e .
R O Z W I Z A N I E
W s z y s t k i c h o c e n j e s t 3 + 3 + 6 + x + 4 + 2 = x + 1 8 , w i c z p o d a n e j [r e d n i e j m a m y r ó w n a n i e
1 · 3 + 2 · 3 + 3 · 6 + 4 · x + 5 · 4 + 6 · 2
= 3 , 4 8 / · ( x + 1 8 )
x + 1 8
3 + 6 + 1 8 + 4 x + 2 0 + 1 2 = 3 , 4 8 x + 6 2 , 6 4
3 , 6 4
0 , 5 2 x = 3 , 6 4 Ò! x = = 7 .
0 , 5 2
O d p o w i e d z: x = 7
Z A D A N I E 2 9 ( 2 P K T )
W y k a |, |e 7 1 6 - 1 j e s t l i c z b p o d z i e l n p r z e z 2 7 .
R O Z W I Z A N I E
K o r z y s t a m y z e w z o r u a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b )
7 1 6 - 1 = ( 7 8 - 1 ) ( 7 8 + 1 ) = ( 7 4 - 1 ) ( 7 4 + 1 ) ( 7 8 + 1 ) =
= ( 7 2 - 1 ) ( 7 2 + 1 ) ( 7 4 + 1 ) ( 7 8 + 1 ) =
= 4 8 ( 7 2 + 1 ) ( 7 4 + 1 ) ( 7 8 + 1 ) .
Z a u w a |m y t e r a z , |e 4 8 d z i e l i s i p r z e z 2 4 = 1 6 , a l i c z b y w p o z o s t a By c h n a w i a s a c h t o l i c z b y
p a r z y s t e . Z a t e m 7 1 6 - 1 j e s t l i c z b p o d z i e l n p r z e z
2 4 · 2 · 2 · 2 = 2 7 .
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 4
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 3 0 ( 2 P K T )
a 4 + a 2 + 1 a 3 - 1
W y k a |, |e j e |e l i a > 1 , t o .
2
a 2 - 1
R O Z W I Z A N I E
P r z e k s z t a Bc a m y r ó w n o w a |n i e d a n n i e r ó w n o [
a 4 + a 2 + 1 a 3 - 1
/ · 2 ( a 2 - 1 )
2 a 2 - 1
( a 4 + a 2 + 1 ) ( a 2 - 1 ) 2 a 3 - 2
a 6 + a 4 + a 2 - a 4 - a 2 - 1 2 a 3 - 2
a 6 - 2 a 3 + 1 0
( a 3 - 1 ) 2 0 .
O t r z y m a n a n i e r ó w n o [ j e s t o c z y w i [c i e s p e Bn i o n a , a p r z e k s z t a Bc a l i [m y p r z y p o m o c y r ó w n o -
w a |n o [c i , w i c w y j [c i o w a n i e r ó w n o [ r ó w n i e | m u s i b y p r a w d z i w a .
Z A D A N I E 3 1 ( 4 P K T )
P o d s t a w g r a n i a s t o s Bu p a A B C D E F G H j e s t p r o s t o k t A B C D ( z o b a c z r y s u n e k ) , k t ó r e g o d Bu |-
s z y b o k m a d Bu g o [ 6 . P r z e k t n a p r o s t o k t a A B C D t w o r z y z j e g o k r ó t s z y m b o k i e m k t 6 0 æ%.
P r z e k t n a H B g r a n i a s t o s Bu p a t w o r z y z p Ba s z c z y z n j e g o p o d s t a w y k t 4 5 æ% s t o p n i . O b l i c z
o b j t o [ t e g o g r a n i a s t o s Bu p a .
H G
E
F
D
C
A
B
R O Z W I Z A N I E
Z a c z n i j m y o d z a z n a c z e n i a n a r y s u n k u p o d a n y c h k t ó w .
H G
E
F
h
h
6
D
C
6 0 o
a
4 5 o
a
A
B
6
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 5
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z t r ó j k t a p r o s t o k t n e g o A B D o b l i c z a m y d Bu g o [ a d r u g i e j k r a w d z i p o d s t a w y .
" "
6 6
"
= t g 6 0 æ% = 3 Ò! a = = 2 3 .
a
3
O b l i c z m y j e s z c z e d Bu g o [ p r z e k t n e j p o d s t a w y
" " " "
D B = 6 2 + ( 2 3 ) 2 = 3 6 + 1 2 = 4 8 = 4 3 .
Z t r ó j k t a p r o s t o k t n e g o D B H o b l i c z a m y d Bu g o [ w y s o k o [c i g r a n i a s t o s Bu p a .
"
h
= t g 4 5 æ% = 1 Ò! h = 4 3 .
D B
P o z o s t a Bo o b l i c z y o b j t o [ g r a n i a s t o s Bu p a .
" "
V = 6 · 2 3 · 4 3 = 1 2 · 4 · 3 = 1 4 4 .
O d p o w i e d z: 1 4 4
Z A D A N I E 3 2 ( 5 P K T )
P u n k t y A = ( - 1 , - 5 ) , B = ( 5 , 1 ) , C = ( 1 , 3 ) , D = ( - 2 , 0 ) s k o l e j n y m i w i e r z c h o Bk a m i
t r a p e z u A B C D . O b l i c z p o l e t e g o t r a p e z u .
R O Z W I Z A N I E
R o z p o c z y n a m y o c z y w i [c i e o d s z k i c o w e g o r y s u n k u .
y
+ 5
C
+ 1
B
D
- 5 - 1 + 5 x
- 1
h
E
- 5
A
A b y o b l i c z y p o l e t r a p e z u m u s i m y z n a d Bu g o [c i j e g o p o d s t a w o r a z d Bu g o [ w y s o k o [c i .
D Bu g o [c i p o d s t a w Ba t w o o b l i c z y .
" "
A B = ( 5 + 1 ) 2 + ( 1 + 5 ) 2 = 3 6 + 3 6 = 6 2
" "
C D = ( - 2 - 1 ) 2 + ( 0 - 3 ) 2 = 9 + 9 = 3 2 .
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 6
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
N a p i s z m y t e r a z r ó w n a n i e p r o s t e j A B . S z u k a m y p r o s t e j w p o s t a c i y = a x + b . P o d s t a w i a m y
w s p ó Br z d n e p u n k t ó w A i B .
- 5 = - a + b
1 = 5 a + b .
O d e j m u j e m y o d d r u g i e g o r ó w n a n i a p i e r w s z e i m a m y 6 a = 6 , c z y l i a = 1 . S t d b = - 5 + a =
- 4 i p r o s t a A B m a r ó w n a n i e : y = x - 4 .
D a l s z c z [ r o z w i z a n i a p o p r o w a d z i m y n a d w a s p o s o b y .
S p o s ó b I
W y s o k o [ t r a p e z u m o |e m y Ba t w o o b l i c z y z e w z o r u n a o d l e g Bo [ p u n k t u P = ( x 0 , y 0 ) o d
p r o s t e j A x + B y + C = 0 :
| A x 0 + B y 0 + C |
" .
A 2 + B 2
W n a s z e j s y t u a c j i m a m y P = D = ( - 2 , 0 ) , a p r o s t a t o : x - y - 4 = 0 . M a m y z a t e m
| - 2 - 4 | 6
"
h = " = .
1 + 1 2
P o l e t r a p e z u j e s t w i c r ó w n e
" "
A B + C D 6 2 + 3 2 6
"
P = · h = · = 2 7 .
2 2
2
S p o s ó b I I
J e |e l i k t o [ n i e c h c e k o r z y s t a z e w z o r u n a o d l e g Bo [ p u n k t u o d p r o s t e j , t o w y s o k o [ t r a p e z u
m o |e m y w y z n a c z y b a r d z i e j w p r o s t , w y z n a c z a j c r ó w n a n i e w y s o k o [c i D E o p u s z c z o n e j z
w i e r z c h o Bk a D n a b o k A B .
P r o s t a D E j e s t p r o s t o p a d Ba d o p r o s t e j A B , w i c m a r ó w n a n i e p o s t a c i y = - x + b . W s p ó B-
c z y n n i k b w y z n a c z a m y p o d s t a w i a j c w s p ó Br z d n e p u n k t u D .
0 = 2 + b Ò! b = - 2 .
S z u k a m y t e r a z p u n k u w s p ó l n e g o p r o s t y c h A B i D E .
y = x - 4
y = - x - 2 .
O d e j m u j c o d p i e r w s z e g o r ó w n a n i a d r u g i e ( |e b y s k r ó c i y ) , m a m y 0 = 2 x - 2 , c z y l i x = 1 i
y = x - 4 = - 3 . Z a t e m E = ( 1 , - 3 ) i
" "
h = D E = ( 1 + 2 ) 2 + ( - 3 - 0 ) 2 = 9 + 9 = 3 2 .
P o l e t r a p e z u j e s t r ó w n e
" "
"
A B + C D 6 2 + 3 2
P = · h = · 3 2 = 2 7 .
2 2
O d p o w i e d z: 2 7
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 7
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 3 3 ( 5 P K T )
P o l e k a |d e j z d w ó c h p r o s t o k t n y c h d z i a Be k j e s t r ó w n e 2 4 0 0 m 2 . S z e r o k o [ p i e r w s z e j d z i a Bk i
j e s t o 8 m w i k s z a o d s z e r o k o [c i d r u g i e j , a l e j e j d Bu g o [ j e s t o 1 0 m m n i e j s z a . O b l i c z s z e r o k o [
i d Bu g o [ k a |d e j z d z i a Be k .
R O Z W I Z A N I E
N i e c h x o z n a c z a s z e r o k o [ p i e r w s z e j d z i a Bk i , a y j e j d Bu g o [. W t a k i m r a z i e d r u g a d z i a Bk a
m a s z e r o k o [ x - 8 i d Bu g o [ y + 1 0 . P o d a n e p o l a p o w i e r z c h n i d a j u k Ba d r ó w n a D.
x y = 2 4 0 0
( x - 8 ) ( y + 1 0 ) = 2 4 0 0 .
2 4 0 0
P o d s t a w m y y = z p i e r w s z e g o r ó w n a n i a d o d r u g i e g o .
x
2 4 0 0 x
( x - 8 ) + 1 0 = 2 4 0 0 / ·
x 1 0
( x - 8 ) ( 2 4 0 + x ) = 2 4 0 x
2 4 0 x + x 2 - 1 9 2 0 - 8 x = 2 4 0 x
x 2 - 8 x - 1 9 2 0 = 0
" = 6 4 + 7 6 8 0 = 7 7 4 4 = 8 8 2
8 - 8 8 8 + 8 8
x = < 0 (" x = = 4 8 .
2 2
2 4 0 0
U j e m n e r o z w i z a n i e o d r z u c a m y i m a m y x = 4 8 . S t d y = = 5 0 . D r u g a d z i a Bk a m a
x
w y m i a r y x - 8 = 4 0 i y + 1 0 = 6 0 .
O d p o w i e d z: 4 8 m × 5 0 m o r a z 4 0 m × 6 0 m
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 8
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