NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW.ZADANIA.INFO
POZIOM PODSTAWOWY
8 MARCA 2014
CZAS PRACY: 170 MINUT
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT)
" -4
6
Liczba 9-3 · 27 jest równa
A) 311 B) 3-11 C) 3-8 D) 312
ROZWIZANIE
Liczymy
-4
-4 4
"
-
3 1
2
6
9-3 · 27 = 3-6 · 36 = 3-6 · 32 = 312 · 3-1 = 311.
Odpowiedz: A
ZADANIE 2 (1 PKT)
Gdy od 19% liczby 32 odejmiemy 16% liczby 19, to otrzymamy
3
A) 0 B) C) 3,04 D) 9,12
100
ROZWIZANIE
Liczymy
19 16 16 · 19
19% · 32 - 16% · 19 = · 2 · 16 - · 19 = = 3, 04.
100 100 100
Odpowiedz: C
Materiał pobrany z serwisu
1
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ZADANIE 3 (1 PKT)
Zbiór rozwiązań nierówności |x - 3| > 4 jest przedstawiony na rysunku
A)
-1 0 x
B)
x
-1 0 1
C)
-1
0 7 x
D)
-1 x
0 5
ROZWIZANIE
Ponieważ liczba |x - a| jest równa odległości x od a na osi liczbowej, nierówność
|x - 3| > 4
spełniają wszystkie liczby, które są odległe od 3 o więcej niż 4, czyli zbiorem rozwiązań jest
przedział
(- ", -1) *" (7, + ").
Odpowiedz: C
PodobajÄ… Ci siÄ™ nasze rozwiÄ…zania?
Zadania.info
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
ZADANIE 4 (1 PKT)
Zbiorem wartości funkcji y = (x + 2)(x - 4) jest przedział
A) -9, + ") B) 4, + ") C) -2, 4 D) -2, + ")
ROZWIZANIE
Wykresem podanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę i miejscach ze-
rowych -2 i 4. Wierzchołek tej paraboli znajduje się dokładnie w środku między pierwiast-
-2+4
kami, czyli pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa = 1. Druga współrzędna
2
wierzchołka jest równa
f (1) = (1 + 2)(1 - 4) = 3 · (-3) = -9.
Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział -9, + ").
Materiał pobrany z serwisu
2
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
y
+1
-5 -1 +5 x
-1
-5
-10
Odpowiedz: A
ZADANIE 5 (1 PKT)
cos Ä…-sin ²
W trójkÄ…cie prostokÄ…tnym dane sÄ… kÄ…ty ostre: Ä… = 36ć% i ² = 54ć%. Wtedy równa siÄ™
cos Ä…
A) 1 + tg 54ć% B) 1 - tg 54ć% C) 1 D) 0
ROZWIZANIE
Zauważmy, że
sin ² = sin 54ć% = sin(90ć% - 36ć%) = cos 36ć% = cos Ä….
Zatem
cos Ä… - sin ² cos Ä… - cos Ä…
= = 0.
cos Ä… cos Ä…
Odpowiedz: D
ZADANIE 6 (1 PKT)
Liczby rzeczywiste a, b spełniają warunki: a3 + b3 = 19, a2b + ab2 = -6. Wtedy suma a + b
jest równa
A) 37 B) 13 C) 1 D) 25
ROZWIZANIE
Mamy tak naprawdę dany układ równań
a3 + b3 = 19
a2b + ab2 = -6.
Materiał pobrany z serwisu
3
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Widać, że używając tych dwóch równań łatwo uzyskać prawą stronę wzoru
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Mamy zatem
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 =
= (a3 + b3) + 3(a2b + ab2) = 19 - 18 = 1.
Zatem a + b = 1.
Odpowiedz: C
ZADANIE 7 (1 PKT)
Dla każdej liczby rzeczywistej x, wyrażenie 4x2 + 15x + 9 jest równe
A) (4x + 3)(x + 3) B) (2x - 3)(2x + 3) C) (2x - 3)(2x - 3) D) (x - 3)(4x - 3)
ROZWIZANIE
Sprawdzmy jakie są pierwiastki danego trójmianu.
4x2 + 15x + 9 = 0
" = 225 - 144 = 81
-15 - 9 -15 + 9 6 3
x1 = = -3, x2 = = - = - .
8 8 8 4
Zatem
3
4x2 + 15x + 9 = 4(x + 3) x + = (x + 3)(4x + 3).
4
Odpowiedz: A
ZADANIE 8 (1 PKT)
Zbiorem wartości funkcji f , której wykres przedstawiono poniżej jest
y
4
3
2
1
x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
A) (-3, 2 B) -4, 3) C) -4, 3 D) -4, -1) *" 1, 5
Materiał pobrany z serwisu
4
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ROZWIZANIE
Z obrazka widać, że wykres funkcji przecina każdą poziomą prostą y = m dla m " -4, 3).
Zatem zbiorem wartości jest przedział -4, 3).
Odpowiedz: B
ZADANIE 9 (1 PKT)
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.
y
x
0
Jakie znaki mają współczynniki a i b?
A) a < 0 i b < 0 B) a < 0 i b > 0 C) a > 0 i b < 0 D) a > 0 i b > 0
ROZWIZANIE
Dany wykres przedstawia funkcję, która jest rosnąca, więc a > 0. Ponadto jej wartość w
x = 0 jest ujemna, więc b < 0.
Odpowiedz: C
ZADANIE 10 (1 PKT)
Liczba log2 18 - log2 6 jest równa
3 3
A) 3 + log3 4 B) log2 3-1 C) 3 log3 4 D) log3 44
3
ROZWIZANIE
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
liczymy
log2 18 - log2 6 = (log3 18 - log3 6)(log3 18 + log3 6)
3 3
18
= log3 · log3(18 · 6) = log3 3 · log3(4 · 27)
6
= log3 4 + log3 27 = 3 + log3 4.
Odpowiedz: A
Materiał pobrany z serwisu
5
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ZADANIE 11 (1 PKT)
Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt ą, zaznaczony na rysunku, ma miarę
40o
Ä…
O
A) 20ć% B) 25ć% C) 45ć% D) 50ć%
ROZWIZANIE
Zauważmy, że trójkąt AOD jest prostokątny, więc AOD = 90ć% - 40ć% = 50ć%.
D
40o
C
Ä…
B
A
O
Kąt wpisany ABC jest równy połowie kąta środkowego AOC = 50ć%. Zatem
1
ABC = · 50ć% = 25ć%.
2
Odpowiedz: B
ZADANIE 12 (1 PKT)
x x 1
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność + jest
5 3 2
A) -4 B) -3 C) -7 D) -6
Materiał pobrany z serwisu
6
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ROZWIZANIE
Przekształćmy daną nierówność.
x x 1
+ / · 30
5 3 2
6x 10x + 15
- 15 4x / : 4
15
- x
4
- 3, 75 x
Najmniejsza liczba całkowita spełniająca tę nierówność to -3.
Odpowiedz: B
ZADANIE 13 (1 PKT)
Która z podanych prostych jest symetryczna do prostej 2x + 3y = 5 względem osi Ox?
A) 2x - 3y + 5 = 0 B) 2x - 3y - 5 = 0 C) 2x + 3y + 5 = 0 D) 3y + 2x - 5 = 0
ROZWIZANIE
Aby otrzymać wykres symetryczny względem osi Ox musimy zmienić w równaniu y na -y
(jeżeli ktoś nie wie czemu, to polecam lekturę poradnika).
y
2x+3y=5
+5
+1
-5 -1 +3 +5 x
-1
2x-3y=5
-5
Zatem szukana prosta ma równanie
2x + 3(-y) = 5
2x - 3y - 5 = 0.
Odpowiedz: B
Materiał pobrany z serwisu
7
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ZADANIE 14 (1 PKT)
Punkt S = (-1, 1) jest środkiem odcinka AB, gdzie A = (4, b - 2) i B = (-6, b + 1). Wów-
czas
3 5
A) b = -1 B) b = C) b = 2 D) b =
2 2 2
ROZWIZANIE
Ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy układ równań
4-6
-1 =
2
b-2+b+1
1 = .
2
Z drugiego równania mamy
1 3
1 = b - Ò! b = .
2 2
Odpowiedz: B
ZADANIE 15 (1 PKT)
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 48. Suma długości wszystkich krawędzi
tego sześcianu jest równa
" " " "
A) 12 2 B) 16 2 C) 24 2 D) 6 2
ROZWIZANIE
Jeżeli oznaczymy długość krawędzi przez a, to jego powierzchnia jest równa 6a2 zatem
"
6a2 = 48 Ò! a2 = 8 Ò! a = 2 2.
Suma długości wszystkich krawędzi jest więc równa
"
12a = 24 2.
Odpowiedz: C
Materiał pobrany z serwisu
8
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ZADANIE 16 (1 PKT)
W ciągu arytmetycznym (an) dane są: a7 = 18 i a13 = -6. Wtedy wyraz a1 jest równy
A) -1 B) -19 C) 29 D) 42
ROZWIZANIE
Ze wzoru an = a1 + (n - 1)r na n-ty wyraz ciÄ…gu arytmetycznego mamy
18 = a7 = a1 + 6r
-6 = a13 = a1 + 12r.
Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy
-24 = 6r Ò! r = -4.
Zatem z pierwszego równania mamy
18 = a1 + 6r = a1 - 24
42 = a1.
Odpowiedz: D
ZADANIE 17 (1 PKT)
W ciągu geometrycznym (an) dane są a1 = 2 i q = -2. Suma sześciu początkowych wyra-
zów tego ciągu jest równa
A) 86 B) 22 C) -42 D) 42
ROZWIZANIE
Sposób I
Pierwszych sześć wyrazów danego ciągu to
2, -4, 8, -16, 32, -64.
Suma tych liczb jest równa -42.
Sposób II
Korzystamy ze wzoru
1 - qn
Sn = a1 ·
1 - q
na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. W naszej sytuacji mamy
1 - (-2)6 2(1 - 64)
S6 = 2 · = = -42.
1 - (-2) 3
Odpowiedz: C
Materiał pobrany z serwisu
9
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ZADANIE 18 (1 PKT)
"
Boki równoległoboku mają długości: 6 cm i 10 cm, a jego pole wynosi 30 2 cm. Kąt ostry
równoległoboku ma miarę:
A) 45ć% B) 30ć% C) 60ć% D) 75ć%
ROZWIZANIE
Szkicujemy równoległobok.
6
h
Ä…
10
Sposób I
Ze wzoru z sinusem na pole równoległoboku mamy
"
6 · 10 sin Ä… = P = 30 2 / : 60
"
2
sin Ä… = .
2
Zatem ą = 45ć%.
Sposób II
Z podanego pola mamy
" "
10 · h = P = 30 2 Ò! h = 3 2.
Zatem
" "
h 3 2 2
sin Ä… = = = ,
6 6 2
czyli ą = 45ć%.
Odpowiedz: A
ZADANIE 19 (1 PKT)
" "
Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości 2 i 6. Największy kąt ostry w
tym trójkącie ma miarę
A) 60ć% B) 30ć% C) 45ć% D) 15ć%
Materiał pobrany z serwisu
10
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ROZWIZANIE
Na początku szkicujemy trójkąt prostokątny.
Ä…
2
6
" "
Ponieważ 6 > 2, z obrazka widać, że największy kąt ostry to kąt naprzeciwko bo-
"
ku długości 6 (jest to zresztą ogólna prawidłowość: zawsze w trójkącie większy kąt leży
naprzeciwko dłuższego boku). W takim razie
"
"
6
"
tg Ä… = = 3 Ò! Ä… = 60ć%.
2
Odpowiedz: A
ZADANIE 20 (1 PKT)
Odległość między środkami okręgów o równaniach (x + 2)2 + (y - 3)2 = 16 oraz x2 + y2 =
8 jest równa
" " "
A) 5 B) 13 C) 13 D) 4 - 2 2
ROZWIZANIE
Pierwszy okrąg ma środek A = (-2, 3), a drugi B = (0, 0). Odległość środków jest więc
równa
" "
AB = (0 + 2)2 + (0 - 3)2 = 4 + 9 = 13.
Odpowiedz: B
ZADANIE 21 (1 PKT)
Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości 12 i promieniu podstawy 5 jest równe
25 65
A) 130Ä„ B) Ä„ C) Ä„ D) 65Ä„
3 3
ROZWIZANIE
Zaczynamy od rysunku
Materiał pobrany z serwisu
11
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
l
12
5
Liczymy długość tworzącej stożka
"
l = 122 + 52 = 169 = 13.
Obliczamy pole powierzchni bocznej
Pb = Ä„rl = 65Ä„.
Odpowiedz: D
ZADANIE 22 (1 PKT)
Ciąg (an) jest określony wzorem an = n2 + n, dla n 1. Który wyraz tego ciągu jest rów-
ny 30?
A) drugi B) trzeci C) piąty D) szósty
ROZWIZANIE
Sposób I
Podstawiając do wzoru an = n2 + n kolejno: 2, 3, 4, 5, 6, łatwo się przekonać, że a5 = 30.
Sposób II
Rozwiązujemy równanie
n2 + n = 30
n2 + n - 30 = 0
" = 1 + 120 = 121 = 112
-1 - 11 -1 + 11
n = < 0 (" n = = 5
2 2
Ujemne rozwiÄ…zanie odrzucamy i mamy n = 5.
Odpowiedz: C
Materiał pobrany z serwisu
12
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ZADANIE 23 (1 PKT)
Ze zbioru dzielników naturalnych liczby 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie (otrzymane
liczby mogą się powtarzać). Prawdopodobieństwo, że iloczyn wybranych liczb jest dzielni-
kiem liczby 4 jest równe
1 5 3 1
A) B) C) D)
4 16 8 8
ROZWIZANIE
Dzielniki liczby 8 to: 1, 2, 4, 8. Jeżeli za zdarzenia elementarne przyjmiemy pary wylosowa-
nych liczb, to
&! = 4 · 4 = 16.
Aatwo wypisać zdarzenia sprzyjające:
(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (1, 4), (4, 1).
Prawdopodobieństwo jest więc równe
6 3
= .
16 8
Odpowiedz: C
Zadania otwarte
ZADANIE 24 (2 PKT)
"
3
Rozwiąż nierówność 2 - x2 0.
ROZWIZANIE
Rozwiązujemy nierówność (korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów).
"
3
2 - x2 0 / · (-1)
"
3
x2 - 2 0
" "
6 6
(x - 2)(x + 2) 0
" "
6 6
x " - 2, 2 .
" "
6 6
Odpowiedz: - 2, 2
ZADANIE 25 (2 PKT)
3
Kąt ą jest ostry i cos ą = . Oblicz wartość wyrażenia
5
sin3 Ä… + sin Ä… · cos2 Ä… - sin2 Ä… cos Ä… - cos3 Ä….
Materiał pobrany z serwisu
13
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ROZWIZANIE
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej
sin3 Ä… + sin Ä… · cos2 Ä… - sin2 Ä… cos Ä… - cos3 Ä… =
= sin Ä…(sin2 Ä… + cos2 Ä…) - cos Ä…(sin2 Ä… + cos2 Ä…) =
9 3 4 3 1
= sin Ä… - cos Ä… = 1 - - = - = .
25 5 5 5 5
1
Odpowiedz:
5
ZADANIE 26 (2 PKT)
NieskoÅ„czony ciÄ…g geometryczny (an) jest okreÅ›lony wzorem an = 3 · 7n+1, dla n 1. Oblicz
iloraz q tego ciÄ…gu.
ROZWIZANIE
Iloraz ciągu geometrycznego jest równy ilorazowi jego dwóch sąsiednich wyrazów, więc np.
a2 3 · 73
q = = = 7.
a1 3 · 72
Odpowiedz: q = 7
ZADANIE 27 (2 PKT)
Wykaż, że liczba 1650 + 15 · 499 - 11 · 2196 jest podzielna przez 13.
ROZWIZANIE
Zauważmy, że
196
1
1650 + 15 · 499 - 11 · 2196 = (42)50 + 15 · 499 - 11 · 42 =
= 4100 + 15 · 499 - 11 · 498 = 498(42 + 15 · 4 - 11) = 498 · 65.
Ponieważ 65 = 5 · 13, widać teraz, że powyższa liczba dzieli siÄ™ przez 13.
ZADANIE 28 (2 PKT)
1 1
Uzasadnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różną od zera i a = 5 + , to a2 = 27 - .
a
a2
Materiał pobrany z serwisu
14
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ROZWIZANIE
Sposób I
Przekształcamy daną równość
1
a = 5 +
a
1
a - = 5 /()2
a
1 1
a2 - 2 · a · + = 25
a a2
1
a2 + = 27.
a2
Sposób II
Spróbujmy przekształcić równość, którą mamy uzasadnić
1
a2 = 27 -
a2
1
a2 + = 27
a2
2
1 1
a - + 2 · a · = 27
a a
52 + 2 = 27.
Otrzymana równość jest prawdziwa, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności,
więc wyjściowa równość też musiała być prawdziwa.
ZADANIE 29 (2 PKT)
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = -x2 + 2x + 6 w przedziale -1, 2 .
ROZWIZANIE
Widać, że wykres funkcji f jest parabolą zwróconą ramionami w dół czyli, największą war-
tość przyjmuje w wierzchołku.
y
+5
+1
-5 -1 +1 +5 x
-1
-5
Materiał pobrany z serwisu
15
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Najpierw sprawdzamy czy pierwsza współrzędna wierzchołka należy do przedziału
-1, 2
-b -2
xw = = = 1.
2a -2
Zatem wierzchołek należy do interesującego nas przedziału, więc największą wartością w
tym przedziale jest
fmax = f (1) = -1 + 2 + 6 = 7.
Wartość najmniejszą otrzymamy w jednym z końców przedziału. W którym? liczymy i
sprawdzamy.
f (-1) = -1 - 2 + 6 = 3
f (2) = -4 + 4 + 6 = 6.
Odpowiedz: fmax = f (1) = 7, fmin = f (-1) = 3
ZADANIE 30 (2 PKT)
Przez środek D przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono prostą
prostopadłą do przeciwprostokątnej AB. Prosta ta przecina proste AB i AC odpowiednio w
2 cos Ä…
punktach M i N. Wykaż, że skala podobieństwa trójkątów ABC i ANM jest równa .
1+cos2 Ä…
B
M
D
Ä…
A
N C
ROZWIZANIE
Zauważmy, że trójkąty BMD i NCD są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchoł-
ku D.
B
M
x
Ä…
D
Ä…
x
Ä…
A
N C
Ponadto
BDM = 90ć% - MBD = 90ć% - ABC = ą.
Materiał pobrany z serwisu
16
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Jeżeli oznaczymy BD = CD = x to z trójkątów BMD i NCD mamy
MD
= cos Ä… Ò! MD = x cos Ä…
BD
DC x
= cos Ä… Ò! DN = .
DN cos Ä…
W takim razie skala podobieństwa trójkątów ABC i ANM jest równa
BC BD + DC 2x 2 cos Ä…
k = = = = .
x
MN MD + DN x cos Ä… + cos2 Ä… + 1
cos Ä…
ZADANIE 31 (4 PKT)
"
Pole podstawy stożka jest równe 49Ą, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 7 85Ą.
Oblicz objętość tego stożka.
ROZWIZANIE
Zaczynamy od rysunku
l
h
r
Wiemy, że koło w podstawie stożka ma pole 49Ą, więc promień tego koła jest równy
r = 7. W takim razie z podanego pola powierzchni bocznej mamy równanie
"
7 85Ä„ = Ä„rl
"
7 85Ä„ = 7Ä„l / : 7Ä„
"
l = 85.
Obliczamy teraz wysokość stożka.
" "
h = l2 - r2 = 85 - 49 = 36 = 6.
Pozostało obliczyć objętość stożka.
1 1
V = Pp · h = · 49Ä„ · 6 = 98Ä„.
3 3
Odpowiedz: V = 98Ä„
Materiał pobrany z serwisu
17
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ZADANIE 32 (4 PKT)
W kartonach rozmieszczono 2800 metalowych puszek w ten sposób, że w każdym kartonie
znajduje się ta sama liczba puszek. Gdyby do każdego kartonu włożyć o 15 puszek mniej,
to należałoby użyć o 60 kartonów więcej. W ilu kartonach rozmieszczono puszki?
ROZWIZANIE
2800
Jeżeli oznaczymy liczbę kartonów przez n, to w każdym kartonie jest puszek. Wiemy
n
2800
ponadto, że po usunięciu 15 puszek z każdego kartonu, w każdym kartonie jest puszek.
n+60
Mamy więc równanie
2800 2800
- 15 = / · n(n + 60)
n n + 60
2800(n + 60) - 15n(n + 60) = 2800n / : 5
560(n + 60) - 3n(n + 60) = 560n
560n + 33600 - 3n2 - 180n = 560n
3n2 + 180n - 33600 = 0 / : 3
n2 + 60n - 11200 = 0
" = 602 + 4 · 11200 = 48400 = 2202
-60 - 220 -60 + 220
n = < 0 (" n = = 80.
2 2
Ujemne rozwiÄ…zanie odrzucamy i mamy n = 80.
Odpowiedz: 80 kartonów.
ZADANIE 33 (5 PKT)
Oblicz długość cięciwy, którą wycina z prostej 2y - x - 16 = 0 okrąg o środku w punkcie
(-5, 3) i promieniu 5.
ROZWIZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
y y
+10 +10
B B
K
+5 +5
A A
S S
+1 +1
-10 -5 -1 x -10 -5 -1 x
-1 -1
Materiał pobrany z serwisu
18
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Sposób I
Równanie okręgu, o którym mowa w treści zadania, ma postać
(x + 5)2 + (y - 3)2 = 52.
Aby wyznaczyć jego punkty wspólne z podaną prostą podstawiamy w powyższym równa-
niu x = 2y - 16.
(2y - 16 + 5)2 + (y - 3)2 = 25
(2y - 11)2 + (y - 3)2 = 25
4y2 - 44y + 121 + y2 - 6y + 9 = 25
5y2 - 50y + 105 = 0 / : 5
y2 - 10y + 21 = 0
" = 100 - 84 = 16 = 42
10 - 4 10 + 4
y = = 3 (" y = = 7.
2 2
Mamy wtedy odpowiednio x = 2y - 16 = -10 i x = 2y - 16 = -2. Zatem końce inte-
resującej nas cięciwy to A = (-10, 3) i B = (-2, 7). Pozostało obliczyć długość odcinka
AB.
" "
AB = (-2 + 10)2 + (7 - 3)2 = 64 + 16 = 4 5.
Sposób II
Jeżeli przez K oznaczmy środek cięciwy AB to trójkąt AKS jest prostokątny i wystarczy
obliczyć długość przyprostokątnej AK. Wiemy, że AS = 5, a długość odcinka SK to odległość
punktu S od prostej AB. Zatem
"
|6 + 5 - 16| 5
"
SK = " = = 5.
4 + 1 5
Mamy więc
" " "
AB = 2AK = 2 AS2 - SK2 = 2 25 - 5 = 2 20 = 4 5.
"
Odpowiedz: 4 5
Materiał pobrany z serwisu
19
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2014 Matura 03 2014 odp2014 Matura 03 2014 odp2014 Matura 03 20142014 Matura) 04 2014 odpdoswiadczenia 2014 odpmat 2014 odppr maj 2014 odpNowa Matura Podstawa 2012 odpMatura 2010 maj odp pr(1)Czas mistrzów matura próbna 2009 odp PPprobna matura z matemtyki 2009 odp2001 PRÓBNA MATURA OKE PP ODPwięcej podobnych podstron