R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
16. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Augstku krtu atvasinjumi un diferenci<i.
Diferencilr7inu pamatteormas. Lopitla krtula.
16.1. Augstku krtu atvasinjumi un diferenci<i
Augstku krtu atvasinjumi. PieFemsim, ka dota funkcija y = f (x), kurai katr
2 2
intervla [a; b] punkt eksist atvasinjums y = f (x) (turpmk to sauksim par pirms
krtas atvasinjumu). `is atvasinjums ir argumenta x funkcija, kurai ar%2ł eksist
2
d y
2 2 2 2
atvasinjums. To apz%2łm ar kdu no simboliem y , f (x), un sauc par otrs krtas
dx2
atvasinjumu.
Defin%2łcija. Par otrs krtas atvasinjumu sauc pirms krtas atvasinjuma atvasinjumu.
Ttad
2 2 2 2 2 2
y = (y )2 = ( f (x))2 = f (x).
L%2łdz%2łgi defin treas krtas atvasinjumu:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
y = (y )2 = ( f (x))2 = f (x),
k ar%2ł citu krtu atvasinjumus.
Vispr par funkcijas n-ts krtas atvasinjumu sauc dots funkcijas (n -1)-s
krtas atvasinjuma atvasinjumu:
(n-1) (n)
y(n) = (y(n-1))2 = (f (x))2 = f (x).
Piemri:
1. Noteikt funkcijas y = ln(x2 +1) otrs krtas atvasinjumu.
1 2x
2
y = " 2x = ;
x2 +1 x2 +1
2
2x 2(x2 +1)- 2x " 2x 2x2 + 2 - 4x2 2 - 2x2
# ś#
2 2
y = = = = .
ś# ź#
2 2 2
x2 +1
# #
(x2 +1) (x2 +1) (x2 +1)
2. Noteikt funkcijas y = e-2x(x2 - 3x + 5) treas krtas atvasinjumu.
2
y = e-2x "(- 2)(x2 - 3x + 5)+ e-2x(2x - 3) = e-2x(- 2x2 + 6x -10 + 2x - 3)=
= e-2 x(- 2x2 + 8x - 13);
16. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2 2
y = e-2x "(- 2)(- 2x2 + 8x -13)+ e-2x(- 4x + 8) = e-2x(4x2 -16x + 26 - 4x + 8)=
= e-2 x(4x2 - 20x + 34);
2 2 2
y = e-2x "(- 2)(4x2 - 20x + 34)+ e-2x(8x - 20) = e-2x(- 8x2 + 40x - 68 + 8x - 20)=
= e-2 x(- 8x2 + 48x - 88).
x = x(t), ts augstko krtu atvasinjumus nosaka
ż#
Ja funkcija dota parametriski
#
#y = y(t)
pc t paaa principa k pirmo atvasinjumu: iepriekajo atvasinjumu atvasina pc
2
parametra t un izdala ar xt :
2 2
2 2 2
2 (yx ) (yx )
yt (y(n-1) )2
x
t t t
2 2 2 2 2 2
yx = , yx = , yx = , ..., y(n) = .
x
2 2 2 2
xt xt xt xt
x = ln 3t
ż#
Piemrs. Noteikt otrs krtas atvasinjumu parametriski dotai funkcijai .
#
#y = e-2t +1
Vispirms noteiksim dots funkcijas pirms krtas atvasinjumu:
2
1 1 yt - 2e-2t
2 2 2
xt = " 3 = , yt = e-2t "(- 2) = -2e-2t , yx = = = -2te-2t .
2
3t t xt 1
t
Iegkto pirmo atvasinjumu atvasinsim pc parametra:
2
2
(yx ) = -2(1" e-2t + te-2t "(- 2))= -2e-2t + 4te-2t .
t
Otrs krtas atvasinjums:
2
2
(yx ) - 2e-2t + 4te-2t
t 2
2 2
yx = = = -2te-2t + 4t e-2t .
1
2
xt
t
Augstku krtu diferenci<i.
Defin%2łcija. Par otrs krtas diferencili sauc diferencili no pirms krtas diferenci<a.
T k funkcijas y = f (x) pirms krtas diferencilis ir
2
dy = f (x)dx ,
tad otrs krtas diferencilis
2
2 2 2 2
d y = d(dy) = d( f (x)dx) = ( f (x)dx)2 dx = f (x)dx2 .
16. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Atbilstoai treas krtas diferencilis ir diferencilis no otrs krtas diferenci<a:
3 2
2 2 2 2 2 2 2
d y = d(d y)= d(f (x)dx2)= (f (x)dx2)2 dx = f (x)dx3 utt.
n-ts krtas diferencilis ir diferencilis no (n 1)-s krtas diferenci<a:
n n-1 (n-1) (n-1) (n)
d y = d(d y)= d(f (x)dxn-1)= (f (x)dxn-1)2 dx = f (x)dxn utt.
Eemot vr augstku krtu diferenci<u izteiksmes, iegkst augstku krtu atvasinjumus
k diferenci<u attiec%2łbas:
2 3 n
d y d y d y
2 2 2 2 2
y = , y = , ... , y(n) = .
dx2 dx3 dxn
ln x
Piemrs. Noteikt funkcijas y = otrs un treas krtas diferenci<us.
x
Lai noteiktu funkcijas diferenci<us, jnosaka atbilstoas (otrs un treas) krtas
atvasinjumus:
1
" x - ln x "1
1- ln x
x
2
y = = ,
x2 x2
1
- " x2 - (1- ln x)" 2x
- x - 2x + 2x ln x x(2ln x - 3) 2ln x - 3
x
2 2
y = = = = ,
x4 x4 x4 x3
1
2 " " x3 - (2ln x - 3)" 3x2
2x2 - 6x2 ln x + 9x2 x2(11- 6ln x) 11- 6ln x
x
2 2 2
y = = = = .
x6 x6 x6 x4
2ln x - 3
2
Dots funkcijas otrs krtas diferencilis ir d y = dx2 , treas krtas
x3
11- 6ln x
3
diferencilis - d y = dx3.
x4
16. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
16.2. Diferencilr7inu pamatteormas
Ferm teorma. PieFemsim, ka funkcija y = f (x) ir definta intervl (a; b) un kd a%2ł
intervla punkt x = c t sasniedz savu lielko vai mazko vrt%2łbu. Ja punkt x = c
2
funkcijai y = f (x) eksist atvasinjums, tad tas ir viends ar nulli, t.i. f (c) = 0.
Pierd%2łjums. PieFemsim, ka punkt x = c funkcijai y = f (x) ir lielk vrt%2łba
f (c) = M . Tad neatkar%2łgi no "x z%2łmes f (c) e" f (c + "x) un funkcijas pieaugums
"y
"y = f (c + "x)- f (c) d" 0 . PieFemsim, ka argumenta pieaugums "x > 0 , tad d" 0 un
"x
funkcijas atvasinjums punkt x = c
"y
2
f (c) = lim d" 0 .
"x0
"x
"y
Turpret%2ł, ja argumenta pieaugums "x < 0 , tad e" 0 un funkcijas atvasinjums
"x
punkt x = c
"y
2
f (c) = lim e" 0 .
"x0
"x
"y
2
Abas viend%2łbas vienlaikus var izpild%2łties tikai tad, ja f (c) = lim = 0.
"x0
"x
Gad%2łjum, ja punkt x = c funkcijai y = f (x) ir
y A
mazk vrt%2łba, pierd%2łjums ir analogs.
Ferm teormas #eometrisk interpretcija. T k
2
f (c) = tgą = k = 0 , kur kp ir funkcijas grafikam punkt
p
A(c; f (c)) vilkts pieskares virziena koeficients, tad
funkcijas grafikam punkt A(c; f (c)) novilkt pieskare ir
paralla Ox asij (1. z%2łm.).
O a c b x
1. z%2łm.
Rolla teorma. Ja funkcija y = f (x) ir neprtraukta intervl [a; b], diferencjama
intervl (a; b) un intervla galapunktos funkcijas vrt%2łbas ir viendas, t.i. f (a) = f (b),
tad eksist vismaz viens tds punkts c "(a; b), kur funkcijas atvasinjums ir viends ar
2
nulli: f (c) = 0 .
Pierd%2łjums. PieFemsim, ka M un m attiec%2łgi ir funkcijas y = f (x) lielk un mazk
vrt%2łba intervl [a; b]. `das vrt%2łbas eksist, jo funkcija mintaj intervl ir
16. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
neprtraukta. Ja M = m , tad dot funkcija intervl [a; b] ir konstanta un jebkur t
2
punkt f (x) = 0 . Ja M `" m , tad vismaz viens no skait<iem M, m ata7iras no skait<a
f (a) = f (b). `o skaitli apz%2łmsim ar c. Punkt x = c funkcija sasniedz savu lielko vai
mazko vrt%2łbu. T k pc teormas nosac%2łjumiem aaj punkt funkcijai eksist
2
atvasinjums, tad pc Ferm teormas seko, ka f (c) = 0.
Rolla teormas #eometrisk un mehnisk interpretcija. Ja funkcija y = f (x)
apmierina Rolla teormas nosac%2łjumus, tad uz a%2łs funkcijas grafika eksist vismaz viens
punkts A(c; f (c)), kur c "(a; b), kur
funkcijas grafika pieskare ir paralla Ox asij (2.
y A
z%2łm.).
Ja materils punkts kustas nevienmr%2łgi
pa taisni un x = f (t) ir a%2łs kust%2łbas likums (t ir
f(a)=f(b)
2
laiks, x punkta koordinta), tad f (t) ir
punkta trums. T k f (a) = f (b) ( f (a) -
punkta koordinta skuma moment t = a ,
O a c b x
f (b) - punkta koordinta beigu moment
t = b ), punkts atgrie~as kust%2łbas skumpunkt.
2. z%2łm.
Ac%2łmredzot, lai atgrieztos skumpunkt, kda
laika moment c ir japstjas, lai pagrieztos
2
atpaka<ce<am, t.i., kd laika moment t = c trums bks viends ar nulli: f (c) = 0.
Lagran~a teorma. Ja funkcija y = f (x) ir neprtraukta intervl [a; b] un
diferencjama intervl (a; b), tad eksist vismaz viens tds punkts c "(a; b), kur ir
pareiza viend%2łba
f (b)- f (a)
2 2
= f (c) jeb f (b)- f (a) = f (c)(b - a).
b - a
Pierd%2łjums. Uzz%2łmsim funkcijas
y
y = f (x) grafiku un novilksim hordu AB,
C
kur A(a; f (a)), B(b; f (b)) (3. z%2łm.).
Sastd%2łsim a%2łs hordas viendojumu k
B
viendojumu taisnei, kas iet caur diviem
dotiem punktiem A un B. Pc formulas
y - y1 x - x1
= iegksim
y2 - y1 x2 - x1
ą
A
D
y - f (a) x - a
= ,
f (b)- f (a) b - a
O a c b x
no kurienes atrad%2łsim hordas punkta
ordintu
3. z%2łm.
16. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
f (b)- f (a)(x - a).
y = f (a)+
b - a
Aplkkosim funkciju, kas izsaka funkcijas y = f (x) grafika un hordas punkta ordintu
starp%2łbu. Ts viendojums ir
f (b)- f (a)(x - a)ś# .
#
F(x) = f (x)- ś# ź#
f (a)+
b - a
# #
`%2ł funkcija apmierina Rolla teormas nosac%2łjumus. Tieam, t k funkcijas f (x) un
x - a ir neprtrauktas intervl [a; b], tad ar%2ł funkcija F(x) ir neprtraukta intervl
[a; b]. Funkcijas atvasinjums
f (b)- f (a)
2 2
F (x) = f (x)-
b - a
2
eksist intervl (a; b), jo aaj intervl eksist f (x), ttad funkcija F(x) ir
diferencjama intervl (a; b).
f (b)- f (a)(a - a)ś# f (a)- f (a)- f (b)- f (a)
#
F(a) = f (a)- ś# ź#
f (a)+ = " 0 = 0 ;
b - a b - a
# #
f (b)- f (a)(b - a)ś# f (b)- f (a)- ( f (b)- f (a)) = 0 ,
#
F(b) = f (b)- ś# ź#
f (a)+ =
b - a
# #
ttad F(a) = F(b) un visi Rolla teormas nosac%2łjumi ir izpild%2łti. No Rolla teormas izriet,
f (b)- f (a)
2 2
ka eksist tds punkts c "(a; b), kur F (c) = 0 jeb f (c)- = 0 , no kurienes
b - a
seko
f (b)- f (a)
2
= f (c).
b - a
Lagran~a teormas #eometrisk un mehnisk interpretcija. No sakar%2łbm
BD
taisnleF7a trijstkr%2ł ABD 3. z%2łmjum seko, ka tgą = . BD = f (b)- f (a),
AD
AD = b - a , l%2łdz ar to
f (b)- f (a)
tgą = ,
b - a
kur ą ir leF7is, ko horda AB veido ar Ox ass pozit%2łvo pusasi. Savukrt ar%2ł
2
f (c) = tgą = k , kur kp ir funkcijas y = f (x) grafikam punkt C(c; f (c)) vilkts
p
pieskares virziena koeficients. SaskaF ar Lagran~a teormu uz funkcijas y = f (x)
16. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
grafika eksist vismaz viens tds punkts C(c; f (c)), kur grafika pieskare ir paralla
hordai AB.
Ja materils punkts kustas nevienmr%2łgi pa taisni un x = f (t) ir a%2łs kust%2łbas
likums (t ir laiks, x punkta koordinta), tad
f (b)- f (a)
= vvid
b - a
2
ir kust%2łbas vidjais trums intervl [a; b], savukrt f (c) ir momentnais trums laik c.
SaskaF ar Lagran~a teormu eksist tds laika moments t = c , kur momentnais trums
ir viends ar vidjo trumu intervl [a; b].
Koa%2ł teorma. Ja funkcijas f (x) un g(x) ir neprtrauktas intervl [a; b] un
2
diferencjamas intervl (a; b), pie tam g (x) `" 0 , tad eksist vismaz viens tds punkts
c "(a; b), kur ir pareiza viend%2łba
2
f (b)- f (a) f (c).
=
2
g(b)- g(a) g (c)
`o teormu pierda analo#iski Lagran~a teormai, izmantojot papildfunkciju
f (b)- f (a)(g(x)- g(a)),
F(x) = f (x)- f (a)-
g(b)- g(a)
kura apmierina Rolla teormas nosac%2łjumus. `o pierd%2łjumu s%2łkk neaplkkosim.
16.3. Lopitla krtula
Lopitla krtula. PieFemsim, ka funkcijas f (x) un g(x) ir neprtrauktas un
diferencjamas punkta a apkrtn, izFemot varbkt paau punktu a, pie tam mintaj
2
apkrtn g(x) `" 0 un g (x) `" 0 , un abas funkcijas tiecas uz 0 vai ", kad x a . Ja
eksist ao funkciju atvasinjumu attiec%2łbas robe~a, kad x a , tad eksist ar%2ł funkciju
attiec%2łbas robe~a, kad x a , un abas mints robe~as ir viendas , t.i.
2
f (x) f (x)
lim = lim .
xa xa
2
g(x) g (x)
0
Pierd%2łjums. Teormu pierd%2łsim tikai nenoteikt%2łbai . Vienkra%2łbas d< pieFemsim, ka
0
2 2
funkcijas f (x) un g(x), k ar%2ł to atvasinjumi f (x) un g (x) ir punkt a neprtrauktas
2
funkcijas un g (a) `" 0 . T k punkt a bezgal%2łgi mazm un neprtrauktm funkcijm
f (x) un g(x) ir spk sakar%2łbas
16. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
lim f (x) = f (a) = 0 un lim g(x) = g(a) = 0,
xa xa
tad varam rakst%2łt
f (x) f (x)- f (a).
=
g(x) g(x)- g(a)
Funkcijas f (x) un g(x) intervl [a; x] apmierina Koa%2ł teormas nosac%2łjumus, ttad pc
Koa%2ł teormas eksist tds c "(a; x), ka
2
f (x) f (x)- f (a) f (c).
= =
2
g(x) g(x)- g(a) g (c)
Ja x a , tad ar%2ł c a , jo c atrodas starp x un a. Td gad%2łjum
2
f (x) f (c).
lim = lim
xa ca
2
g(x) g (c)
T k funkcijas robe~a nav atkar%2łga no argumenta apz%2łmjuma, tad
2
f (x) f (x)
lim = lim .
xa xa
2
g(x) g (x)
0 "
No Lopitla krtulas izriet ada nenoteikt%2łbu un atklaanas metode:
0 "
f (x)
lai apr7intu lim , kur skait%2łtjs un saucjs reiz tiecas uz 0 vai ", ir jatvasina
xa
g(x)
2
f (x)
skait%2łtjs un saucjs un japr7ina robe~a lim .
xa
2
g (x)
Piemri:
e6x -1 0 (e6x -1)2 e6x " 6 e0 " 6 1" 6
# ś#
1. lim = = lim = lim = = = 3
ś# ź#
x0 x0 x0
sin 2x 0
# #
(sin 2x)2 cos 2x " 2 cos0 " 2 1" 2
x2 " 2x " 2
# ś# # ś#
2. lim x2e3x = ( " " 0) = lim = = lim = = lim =
ś# ź# ś# ź#
x- " x- " x- " x- "
e-3x " e-3x "(- 3) "
# # # # - 3e-3x "(- 3)
2 2
= = = 0 .
9e " "
16. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
16 lekcija 2 semScenariusz 16 Rowerem do szkołyr 1 nr 16 138669446416 narrator16 MISJAFakty nieznane , bo niebyłe Nasz Dziennik, 2011 03 16990904 1616 (27)więcej podobnych podstron