ROZDZIAA
5
Przekształcenia liniowe
5.1. Wstęp
(V, F, +, �), (W, F, +, �) - przestrzenie wektorowe nad tym samym
ciałem. Przekształceniem liniowym nazywamy homomorfizm
T : V - W.
"X, Y " V, "a " F
T (X + Y ) = T (X) + T (Y ), T (aX) = aT (X)
równoważnie:
"X, Y " V, "a, b " F
T (aX + bY ) = aT (X) + bT (Y )
Własności:
T (X - Y ) = T (X) - T (Y )
T (-X) = -T (X)
T (Ś) = Ś

k
k
T aiXi = aiT (Xi)
i=1 i=1
TWIERDZENIE 5.1.1.
KerT jest podprzestrzenią V,
ImT jest podprzestrzenią W.
KerT = {Ś} �! T - monomorfizm
ImT = W �! T - epimorfizm
T - izomorfizm �! T - epimorfizm i monomorfizm
-1
T - izomorfizm, to T też izomorfizm
Przestrzenie (V, F, +, �) i (W, F, +, �) dla których istnieje izomor-
fizm nazywamy przestrzeniami izomorficznymi
V <" W.
71
72 5. PRZEKSZTAA
CENIA LINIOWE
" zanurzenie kanoniczne - monomorfizm
V �" W, T : V - W, T (X) = X
" rzutowanie kanoniczne - epimorfizm
V = U �" W,
T : V - U, T (X) = Y1, X = Y1 + Y2.
TWIERDZENIE 5.1.2. (o rokładzie epimorfizmu)
Jeśli T : V - W jest epimorfizmem, to
W <" V/KerT.
T

V W




"

k T



V/KerT
TWIERDZENIE 5.1.3.
Każda n-wymiarowa przestrzeń wektorowa (V, F, +, �) jest izomorficz-
na z przestrzenią ciągów (Fn, F, +, �).
WNIOSEK 5.1.1. Dwie przestrzenie wektorowe nad tym samym
ciałem o tym samym skończonym wymiarze są izomorficzne.
Izomorfizm niekanoniczny - zależy od wyboru bazy.
V = U �" W �! W <" V/U
TWIERDZENIE 5.1.4.
T : V - W - monomorfizm. Prawdziwe są następujące równoważno-
ści
X1, . . . , Xk l.z. �! T (X1), . . . , T (Xk) l.z.
X1, . . . , Xk l.n. �! T (X1), . . . , T (Xk) l.n.
T - izomorfizm, to
X1, . . . , Xk baza �! T (X1), . . . , T (Xk) baza
5.2. PRZESTRZENIE PRZEKSZTAA
CEC
LINIOWYCH 73
5.2. Przestrzenie przekształceń liniowych
(V, F, +, �), (W, F, +, �) -prz. wekt.
L(V, W) = {T : V - W lin}
TWIERDZENIE 5.2.1. (L(V, W), F, +, �) jest przestrzenią wek-
torową, gdzie
"T, S " L(V, W),
"a " F, "X " V
(T + S) (X) = T (X) + S(X)
(aT ) (X) = aT (X).
TWIERDZENIE 5.2.2.
(V, F, +, �), (W, F, +, �), - prz. wekt,
dimV = n < "
X1, . . . , Xn - baza V, T, S " L(V, W).
"i = 1, . . . , n T (Xi) = S(Xi) =�! T = S.
TWIERDZENIE 5.2.3.
(V, F, +, �), (W, F, +, �) - prz. wekt.
dimV =n, dimW =m, n, m < ", T " L(V, W), X1, .., Xn -baza V.
Wówczas
(1) ImT = U(T (X1), . . . , T (Xn))
(2) dimKerT + dimImT = dimV
(3) T -monomorfizm �!�! T (X1), .., T (Xn)l.n.
WNIOSEK 5.2.1.
Jeśli m > n, to nie istnieje epimorfizm
jeśli m < n, to nie istnieje monomorfizm
jesli m = n, to
T monomorfizm �! T epimorfizm
TWIERDZENIE 5.2.4.
(V, F, +, �), (W, F, +, �) - prz. wekt.
Dla każdej bazy
X1, . . . , Xn " V
i każdego układu wektorów
Y1, . . . , Yn " W
istnieje dokładnie jedno przekształcenie T " L(V, W) takie, że
"i = 1, . . . , n Yi = T (Xi).
74 5. PRZEKSZTAA
CENIA LINIOWE
5.3. Reprezentacja macierzowa
(V, F, +, �), (W, F, +, �) - prz. wekt.
dimV = n, dimW = m, T " L(V, W),
X1, . . . , Xn - bazaV, Y1, . . . , Ym - bazaW
"j = 1, . . . , n
m

T (Xj) = aijYi,
i=1
n

X " V, X = xjXj
j=1
n n m

Y = T (X) = xjT (Xj) = xj aijYi
j=1 j=1 i=1
m n m

= ( aijxj)Yi = yiYi
i=1 j=1 i=1
n

yi = aijxj
j=1
y1 = a11x1+ . . . +a1nxn
. . . . . . . . . . . .
ym = am1x1+ . . . +amnxn
Reprezentacją macierzową odwzorowania T nazywamy układ
mn elementów aij z ciała F spełniających powyższe równości.
�ł łł
a11 . . . a1n
�ł śł
A = . . . . . . . . .
�ł �ł
am1 . . . amn
Oznaczamy:
(aij)
"i = 1, . . . , m
ai1, . . . , ain - i-ty wiersz
"j = 1, . . . , n
a1j, . . . , amj - j-ta kolumna
W przestrzeniach ciągów T " L (Fn, Fm)
n n

T (x1, . . . , xn) = ( a1jxj, . . . , amjxj)
j=1 j=1
M(m, n) - zbiór macierzy o wymiarach m � n.
5.3. REPREZENTACJA MACIERZOWA 75
TWIERDZENIE 5.3.1.
(M(m, n), F, +, �) jest przestrzenią wektorową, gdzie
(aij) + (bij) = (aij + bij), a(aij) = (aaij)
TWIERDZENIE 5.3.2.
(V, F, +, �), (W, F, +, �) - przestrzenie wektorowe
dimV = n, dimW = m, n, m < "
Wówczas
L(V, W) <" M(m, n) <" (Fmn, F, +, �)
TA + TB = TA+B, aTA = TaA
ozn
E(V) = L(V, V) - zbiór endomorfizmów
TWIERDZENIE 5.3.3.
((E(V), F, +, ć%, �) - algebra z jedynką.
T " E(V), X1, ..., Xn-bazaV
T "! (aij) = A " M(n)
a11, ...., ann - przekątna macierzy kwadratowej stopnia n.
W przestrzeni M(n) definiujemy mnożenie tak, aby
TBTA = TBA
n

cij = bikakj BA = C = (cij)
k=1
TWIERDZENIE 5.3.4.
(M(n), F, +, �, �) - algebra z jedynką oraz
(E(V), F, +, ć%, �) <" (M(n), F, +, �, �).
Element neutralny (jedynka) dla mnożenia macierzy
�ł łł
1 . . . 0
�ł śł
.
�ł śł
.
In =
.
�ł �ł
0 . . . 1
In = (�ij)
B " M(p, m), A " M(m, n) �!
C = BA " M(p, n)
m

cij = bikakj i = 1, � � � , p, j = 1, � � � , n
k=1
Mnożeniu macierzy odpowiada składanie odwzorowań:
dimV = n, dimW = m, dimU = p,
76 5. PRZEKSZTAA
CENIA LINIOWE
TA " L(V, W ), TB " L(W, U),
TB ć% TA = TBA " L(V, U)
Macierzowy zapis odwzorowań liniowych
X1, � � � , Xn-bazaV , Y1, � � � , Ym-bazaW .
n

X " V, X = xiXi
i=1
�ł łł
x1
�ł śł
.
n
�ł śł
.
X �! , X " M(n, 1) <" F
.
�ł �ł
xn
m

Y " W, Y = yiYi
i=1
�ł łł
y1
�ł śł
.
m
�ł śł
.
Y �! , Y " M(m, 1) <" F
.
�ł �ł
ym
Y = TA(X) �! Y = AX
n

yi = aijxj, i = 1, � � � , m
j=1
5.4. GRUPY AUTOMORFIZMÓW 77
5.4. Grupy automorfizmów
(V, F, +, �) - prz. wekt.
A(V) - zbiór automorfizmów,
A(V) �" E(V)
(A(V), ć%) - grupa.
Mcierz A " M(n) nazywamy odwracalną jeżeli jest elementem od-
wracalnym w algebrze (M(n), F, +, �, �) (ze względu na mnożenie ma-
cierzy).
"B " M(n) : AB = BA = In
B = A-1
(AB)-1 = B-1A-1 (A-1)-1 = A
(Mo(n), �)-grupa macierzy odwracalnych
TWIERDZENIE 5.4.1.
dimV = n < ",
(A(V ), ć%) <" (Mo(n), �)
(TA)-1 = TA-1
WNIOSEK 5.4.1. dimV = n < ",
T " E(V ) to
T " A(V ) �! T - monom (KerT = {Ś})
T " A(V ) �! T - epim (ImT = V )
dimImT = dimV, dimKerT = 0
Izomorfizm przestrzeni wektorowych
(L(V, W), F, +, �) <" (M(m, n), F, +, �)
Izomorfizm algebr
(E(V), F, +, ć%, �) <" (M(n), F, +, �, �)
Izomorfizm grup
(A(V), ć%) <" (Mo(n), �)
78 5. PRZEKSZTAA
CENIA LINIOWE
5.5. Liniowe przekształcenia płaszczyzny
T " E (R2),
T (x, y) = (xa + ya, xb + yb),

a a x xa + ya
=
b b y xb + yb
T (e1) = (a, b), T (e2) = (a, b),
(x, y) = xe1 + ye2
T (x, y) = xT (e1) + yT (e2)
= x(a, b) + y(a, b) =
(xa + ya, xb + yb)
Obrót - OŚ : R2 - R2,
OŚ(e1) = (cos Ś, sin Ś)

 
OŚ(e2)= cos(Ś+ ), sin(Ś+ ) =(- sinŚ, cosŚ)
2 2
OŚ(x, y) =
(x cos Ś - y sin Ś, x sin Ś + y cos Ś)

cos Ś - sin Ś x x cos Ś - y sin Ś
=
sin Ś cos Ś y x sin Ś + y cos Ś

cos Ś - sin Ś
OŚ "!
sin Ś cos Ś
5.5. LINIOWE PRZEKSZTAA
CENIA PA
ASZCZYZNY 79
Podobieństwo -
Sk : R2 - R2, k = 0,

Sk(x, y) = (kx, ky)

k 0
Sk "!
0 k

k 0 x kx
=
0 k y ky
Przekształcenie nożycowe -
T (e1) = e1, T (e2) = (a, 1),
T (x, y) = (x + ay, y).

1 a
T "!
0 1

1 a x x + ay
=
0 1 y y
Macierze grupy symetrii kwadratu

1 0
"! T (x, y) = (x, y) "! O0
0 1

0 -1
Ą
"! T (x, y) = (-y, x) "! O
2
1 0

-1 0
"! T (x, y) = (-x, -y) "! OĄ
0 -1

0 1
3Ą
"! T (x, y) = (y, -x) "! O
2
-1 0

1 0
"! T (x, y) = (x, -y) "! H
0 -1

-1 0
"! T (x, y) = (-x, y) "! V
0 1

0 -1
"! T (x, y) = (-y, -x) "! D2
-1 0

0 1
"! T (x, y) = (y, x) "! D1
1 0
80 5. PRZEKSZTAA
CENIA LINIOWE
(1) Macierze symetrii trójkąta równobocznego

1 0
"! T (x, y) = (x, y) "! O0
0 1
"

3
-1 -
2 2
"
"! T (x, y) =
3
-1
2
" "2
1 3 3 1
= (- x - y, x - y) "! O2Ą
3
2 2 2 2
"

-1 3
2 2
"
"! T (x, y) =
3
- -1
2 2
" "
1 3 3 1
4Ą
= (- x + y, - x - y) "! O
3
2 2 2 2
"

1 3
2 2
"
"! T (x, y) =
3
-1
2 2
" "
1 3 3 1
= ( x + y, x - y) "! L1
2 2 2 2
"

1 3
-
2 2
"
"! T (x, y) =
3
- -1
2
"2 "
1 3 3 1
= ( x - y, - x - y) "! L2
2 2 2 2

-1 0
"! T (x, y) = (-x, y) "! V
0 1