TRANSFORMACJE WSPÓA
RZ
DNYCH
TRANSFORMACJE WSPÓA
RZ
DNYCH
z
y
Janusz Walo
Janusz Walo
Janusz Walo
x
z

x

y

Transformacje współrzędnych (1)
(1)
Transformacje współrzędnych
Zadanie transformacji współrzędnych pomiędzy dwoma
układami geodezyjnymi, zwanymi zwykle układami pierwotnym
i wtórnym, polega na obliczeniu współrzędnych w układzie
wtórnym na podstawie znajomości współrzędnych w układzie
pierwotnym oraz znanego modelu transformacji (prawa
transformacji).
Model transformacji może być znany (wcześniej zdefiniowany)
lub wyznacza się go w oparciu o punkty łączne, których
współrzędne znane są w obydwu układach. Inaczej punkty
układu pierwotnego i wtórnego to dwa zbiory, których częścią
wspólną jest zbiór punktów łącznych.
2/54
2/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych (2)
(2)
Transformacje współrzędnych
W przypadku zadanego (znanego) modelu transformacji
punkty łączne służą wyznaczeniu parametrów (współczynników
w funkcjach transformacyjnych).
Transformacja współrzędnych może być  ukryta w procesie
wyrównania współrzędnych metodą pośredniczącą, kiedy w
sieci geodezyjnej nadajemy współrzędne punktom nawiązania.
Transformuje się współrzędne ortokartezjańskie przestrzenne,
współrzędne geodezyjne i płaskie, zwykle wyrażone w jakimś
odwzorowaniu.
3/54
3/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych (3)
(3)
Transformacje współrzędnych
Współrzędne punktów łącznych
(układ pierwotny)
Współrzędne punktów
Współrzędne punktów
do transformacji
Model (prawo)
po transformacji
(układ pierwotny)
transformacji
(układ wtórny)
Współrzędne punktów łącznych
(układ wtórny)
4/54
4/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych (4)
(4)
Transformacje współrzędnych
5/54
5/54
(C) jw
(C) jw
Transformacja Helmerta-Hristowa (1)
(1)
Transformacja Helmerta-Hristowa
Metoda transformacji współrzędnych krzywoliniowych
(geograficznych geodezyjnych) dla obszarów o promieniu do
1000km. Opracowana przez Helmerta i ulepszona w latach 40-
tych przez Hristowa.
Transformacja pozwala przeliczać współrzędne pomiędzy
układami odniesienia ze zmianą parametrów elipsoidy. Metoda
stosowana współcześnie dość rzadko.
6/54
6/54
(C) jw
(C) jw
Transformacja Helmerta-Hristowa (2)
(2)
Transformacja Helmerta-Hristowa
Ogólne zależności definiujące prawo transformacji:
B = Bo + b = Bo + f1(Bo, s, A,a, f)
L = Lo + l = Lo + f2(Bo, s, A, a, f)
Zmiany punktu początkowego o dBo, dLo, długości linii geodezyjnej o
ds, azymutu o dA i parametrów elipsoidy o da i df pociągają za sobą
zmiany współrzędnych punktu końcowego o dB i dL co wyrcżcją
różnicnki nupnłnn w pontcci podcnnj prnnn Hnlmnrtc:
ëÅ‚ öÅ‚
"f1 "f1 "f1 "f1 "f1
ìÅ‚
dB = dBo + db =
ìÅ‚1+ ÷Å‚ + ds + dA + da + df ,
dBo ÷Å‚dBo ds dA da df
íÅ‚ Å‚Å‚
"f2 "f2 "f2 "f2 "f2
dL = dLo + dl = dLo + dBo + ds + dA + da + df .
dB ds dA da df
7/54
7/54
(C) jw
(C) jw
Transformacja Helmerta-Hristowa (3)
(3)
Transformacja Helmerta-Hristowa
Hristow do wyznaczenia różniczek wykorzystał szeregi
potęgowe Legendre a i w efekcie otrzymał wzory, które dla
przypadku kiedy elipsoidy obydwu układów są tożsame mają
postać:
2 2 2 2
dBi = AidLo + BidBo + Cidp + DidA,
(*)
2 2 2 2 2 2 2 2
dLi = AidLo + BidBo + Cidp + DidA.
Ai=1 ,
2 2
2
Ai=0
2 3
B =(12)l +(14)b l+(18)b l -(21)l ,
2 2
Bi=1-(1)bi-(3)bi2-(6)li2 ,
2
i i i i i i i
2
Ci=bi-(4)bi2-(7)li2-(8)bili2,
2 2
Ci = li + (15)bili + (19)bi2li - (22)li3,
2 2 3 2
D = (11)b + (13)b - (16)l + (17)b - (20)b l ,
2 2
Di = -(2)li + (5)bili + (9)li3 ,
2
i i i i i i i
8/54
8/54
(C) jw
(C) jw
Transformacja Helmerta-Hristowa (4)
(4)
Transformacja Helmerta-Hristowa
(1)=3t(·2-·4),
cos3 B(1+ t2) 1+ 3t2
(9) = , (17) = ,
6 3cos B
(2) = cos B(1+·2),
1-·2 +·4 (18) = t(1+ t2),
(11) = ,
3(·2-t2·2)
cos B
(3)= ,
2
2 + 3t2
(19) = ,
(12) = t2(1-·2 +·4),
3t·2
3
(4)= ,
2
·2
cos B(1+ t2)
t(1- )
(20) = ,
2
(5)=3cos Bt·2, 2
(13)= ,
cos B
cos2 B(1+ t2 +·2) cos2 Bt(1+ t2)
(6) = , (21) = ,
2 6
(14)=1+t2-·2-2t2·2,
cos2 Bt(1+·2) cos2 Bt2
(7) = , (22)= .
(15)=t(1-·2),
2 6
cos Bt
cos2 B (16)= ,
(8)= ,
2
3
9/54
9/54
(C) jw
(C) jw
Transformacja Helmerta-Hristowa (5)
(5)
Transformacja Helmerta-Hristowa
10/54
10/54
(C) jw
(C) jw
Transformacja Helmerta-Hristowa (6)
(6)
Transformacja Helmerta-Hristowa
(Prnnbing trcnnformccji)
(Prnnbing trcnnformccji)
1. Dla punktów łącznych obliczamy wyrazy wolne dBi,dLi
(różnice współrzędnych punktów łącznych w układach pierwotnym i
wtórnym) i współczynniki przy niewiadomych w równaniach
(*), przy czym bi=Bi-Bo i li=Li-Lo, a Bo i Lo to współrzędne
bieguna transformacji w układzie pierwotnym
2. Z rozwiązania układu równań (*) obliczamy niewiadome
dBo, dLo, dp=ds/s, dA
3. Obliczamy bj,lj  różnice współrzędnych punktów do
transformacji i bieguna transformacji
4. Obliczamy współczynniki A & D dla każdego  j
5. Wyznaczamy dBj,dLj z równań (*)
11/54
11/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (1)
(1)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Ogólnn modnln trcnnformccji)
(Ogólnn modnln trcnnformccji)
Transformacja izometryczna (ang. rigid body transformation) realizuje
sztywne ruchy: obrót i przesunięcie. Nie powoduje zniekształceń kątów i
skali układu pierwotnego.
Właściwości transformacji izometrycznej bywają ważne w zastosowaniach
geodezyjnych. Pozwalają na wpasowanie jakościowo lepszej sieci (np. GPS)
w stary układ lokalny, którego skalę określano za pomocą pomiarów
liniowych. Zachowanie niezmienionej skali powoduje jednak wzrost odchyłek
na punktach łącznych i w rezultacie relatywnie większy błąd transformacji.
Ogranicza to stosowanie transformacji izometrycznej do niewielkich
obszarów gdzie wymagana jest bardzo wysoka dokładność i wyrażenie
współrzędnych sieci w innym niż ich macierzysty układzie współrzędnych.
Właściwości transformacji izometrycznej zawężają jej stosowanie głównie
do pomiarów realizacyjnych i kontrolnych obiektów inżynierskich takich jak
zapory wodne, obiekty przemysłowe, mosty itp.
12/54
12/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (2)
(2)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Ogólnn modnln trcnnformccji)
(Ogólnn modnln trcnnformccji)
Transformacja przez podobieństwo (liniowa transformacja
konforemna; ang. similarity transformation) - realizuje podobnie jak transformacja
izometryczna sztywne ruchy, obrót, przesunięcie i dodatkowo przeskalowuje
(homotetia) współrzędne układu pierwotnego.
Jest to najbardziej znana i powszechnie używana transformacja w praktyce
geodezyjnej. Wynika to z wiernokątności transformacji, co powodowało
stosowanie jej w czasach kiedy pomiary kątów i kierunków były
najważniejszą z metod wyznaczania pozycji.
Zastosowania transformacji wiernokątnej to przeliczanie współrzędnych
prostokÄ…tnych na niewielkich obszarach i relatywnie niskich wymaganiach
dokładnościowych, kalibracja zeskanowanych obrazów map i zdjęć
lotniczych, a także badania geometrycznych właściwości obiektów
przemysłowych i inżynierskich.
13/54
13/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (3)
(3)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Ogólnn modnln trcnnformccji)
(Ogólnn modnln trcnnformccji)
Transformacja afiniczna (ang. general affine transformation) wywodzÄ…ca
się z odwzorowań rzutowych, zachowuje równoległość prostych, nie
zachowuje równości kątów i zmienia skalę każdej z osi współrzędnych.
Przekształcenia afiniczne przekształcają proste i płaszczyzny na proste i
płaszczyzny.
Najczęściej wykorzystywana przy kalibracji zdjęć lotniczych (orientacja
wewnętrzna) i zeskanowanych arkuszy map. Jako transformację
współrzędnych geodezyjnych stosuję się metodę afiniczną dla układów o
relatywnie dużych zniekształceniach i zmiennych skalach w obu kierunkach
osi współrzędnych (taki przypadek możemy zaobserwować np. w
odwzorowaniu Gaussa Krügera).
14/54
14/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (4)
(4)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Ogólnn modnln trcnnformccji)
(Ogólnn modnln trcnnformccji)
Transformacja przez powinowactwo (ang. orthogonal affine
transformation) - transformacja przez powinowactwo jest odmianÄ…
transformacji afinicznej i często bywa z nią mylona. Różnicą między
transformacjami afiniczną i przez powinowactwo jest niezmienność kąta
między osiami układu pierwotnego po wykonaniu transformacji.
W zastosowaniu do układów prostokątnych można więc stwierdzić że
przekształcenie przez powinowactwo zachowuje prostokątność układu
współrzędnych, przekształcenie afiniczne zaś w ogólności nie zachowuje
tego warunku. Transformacja przez powinowactwo realizujÄ™ translacjÄ™,
obrót obu osi współrzędnych o ten sam kąt i różne skalowanie każdej z osi
układu.
15/54
15/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (5)
(5)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Kąty Eulnrc i mccinrn obrotów)
(Kąty Eulnrc i mccinrn obrotów)
Wyjaśnienie istoty tzw. obrotów eulerowskich
16/54
16/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (6)
(6)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Kąty Eulnrc i mccinrn obrotów)
(Kąty Eulnrc i mccinrn obrotów)
Kąty Eulera charakteryzują wzajemne nachylenie układów geodezyjnych
reprezentowanych przez osie elipsoid odniesienia orientowanych
klasycznie albo względem średniego układu ziemskiego.
Kąty Eulera oznaczają kolejne obroty jakie trzeba wykonać, aby
doprowadzić do równoległości (pokrywania się) osi dwóch układów.
Przyjmuje się zwykle kolejność obrotów: 1) wokół osi z o kąt ł, 2) wokół
osi x o kÄ…t Ä…, 3) wokół osi y o kÄ…t  ² (-²oznacza obrót w lewo).
KÄ…ty te sÄ… niewielkie i rzadko przekraczajÄ… 1-2
(orientacja klasycznych układów na punktach Laplace a odbywała się metodami
astronomicznymi poprzez wyznaczenie szerokości geograficznej-astronomicznej
i azymutu astronomicznego)
17/54
17/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (7)
(7)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Kąty Eulnrc i mccinrn obrotów)
(Kąty Eulnrc i mccinrn obrotów)
Macierz obrotów B można zlinearyzować z uwagi na małe kąty obrotu
cos(x', x") cos(x', y") cos(x', z")
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚cos
B = (y', x") cos(y', y") cos(y', z")śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
(z',
ðÅ‚cos x") cos(z', y") cos(z', z")ûÅ‚
Elementami macierzy są cosinusy kątów, jakie tworzą osie układów
pierwotnego i wtórnego. Jest to macierz ortogonalna, a więc B=BT lub
BxB-1=E, co można zapisać wyraz
nie w postaci:
3
1 j = k
Å„Å‚
gdy
òÅ‚ òÅ‚
"b bik =´jk , ´jk = Å„Å‚ ,
ij
j `" k
i=1
ół0 ół
18/54
18/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (8)
(8)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Kąty Eulnrc i mccinrn obrotów)
(Kąty Eulnrc i mccinrn obrotów)
Rozpatrując odpowiednie trójkąty na sferze jednostkowej wg rysunków:
Skąd z twierdzenia cosinusów dostajemy na przekątnej:
2 2 2
cos(x , x ) = cos ² cosÅ‚ H"1
2 2 2
cos(y , y ) = cosą cosł H"1
2 2 2
cos(z , z ) = cosÄ… cos ² H"1
19/54
19/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (9)
(9)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Kąty Eulnrc i mccinrn obrotów)
(Kąty Eulnrc i mccinrn obrotów)
Pozostałe wyrazy macierzy dostajemy w oparciu o rysunek:
2 2 2
cos(x , y ) = cos(90o +)= -sin Å‚ E" -Å‚
Å‚
2 2 2
cos(x , z ) = cos(90o - ²)= sin ² E" ²
2 2 2
cos(y , x ) = cos(90o -Å‚)= sin Å‚ E" Å‚
2 2 2
cos(y , z ) = cos(90o +Ä…)= -sinÄ… E" -Ä…
2 2 2
cos(z , x ) = cos(90o + ²)= -sin ² E" -²
2 2 2
cos(z , y ) = cos(90o -Ä…)= sinÄ… E" Ä…
Ostatecznie dostajemy zlinearyzowaną skośnosymetryczną
i quasi-ortogonalną macierz obrotów B postaci:
1 Å‚ -² 1 0 0 0 Å‚ -²
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2
B = Ä… = 1 0÷Å‚ + 0 Ä… = E + ´B
ìÅ‚-Å‚ 1 ÷Å‚ ìÅ‚0 ìÅ‚-Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚0 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
² -Ä… 1 0 1 ² -Ä… 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
20/54
20/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (10)
(10)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Kąty Eulnrc i mccinrn obrotów)
(Kąty Eulnrc i mccinrn obrotów)
ZakÅ‚adajÄ…c, że Ä…=²=Å‚<5 nieortogonalność macierzy B wyniesie:
´jk =1+1.2Å"10-9 dla j = k,
´jk = 5.9Å"10-10 dla j `" k.
Transformację wektora r (współrzędnych w układzie pierwotnym) wynikającą
jedynie z obrotów eulerowskich można zapisać jago sumę wektora r i
niewielkiego wektora ´
´r tzn.:
´
´
r"= B'Å"r'= (E + ´B)Å"r'= r'+´r
21/54
21/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (11)
(11)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Mccinrn nninknntcłcnń)
(Mccinrn nninknntcłcnń)
Skala sieci wyraża stosunek boku sieci sij do tego samego boku
wyrażonego w jednostkach wzorcowych sij , a znieksztaÅ‚cenie ºij to
różnica skali od jedności:
sij
m = = 1+ºij
sij
Jeśli zniekształcenia sieci są różne w kierunkach każdej z osi, to mamy
do czynienia z powinowactwem (taka zniekształcenie sieci często
nazywane jest zniekształceniem afinicznym). Macierz skali można zapisać
jako sumÄ™ macierzy jednostkowej E i macierzy znieksztaÅ‚ceÅ„´M:
´
´
´
M=diag(mx, my, mz )=E+´M gdzie ´M=diag(ºx,ºyºz )
,
22/54
22/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (12)
(12)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Mccinrn nninknntcłcnń)
(Mccinrn nninknntcłcnń)
Ostatecznie zmianę skali wektora r można zapisać w postaci:
r"= M Å"r'= (E + ´M)Å"r'= r'+´r
Dla tej samej skali wzdłuż wszystkich osi dostajemy uproszczoną postać
równania:
r"= (1+º)Å"r'= r'+ºÅ"r'
gdzie
º=ºx =ºy =ºz
23/54
23/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (13)
(13)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Trcnnformccjc cfinicnnc)
(Trcnnformccjc cfinicnnc)
Ogólny przypadek transformacji afinicznej można zapisać w postaci:
r"= A Å"r'+ro
gdzie
a11 a12 a13 xo
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
A = oraz ro = yo ÷Å‚
ìÅ‚a a22 a23 ÷Å‚ ìÅ‚
21
ìÅ‚a a32 a33 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
zo
íÅ‚ 31 Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
A = M Å"B = (E + ´M)Å"(E + ´B) = E + ´M + ´B + ´M Å"´B
24/54
24/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (14)
(14)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Trcnnformccjc qucni-cfinicnnc)
(Trcnnformccjc qucni-cfinicnnc)
Przyjmując, że macierz A jest iloczynem macierzy skali M i obrotów B
dostaniemy:
2
A = M Å"B = (E + ´M)Å"(E + ´B) = E + ´M + ´B + ´M Å"´B
Dla małych kątów obrotu i małych zniekształceń w iloczynie macierzy
´M´ wystÄ™pujÄ… maÅ‚e II-rzÄ™du ºÄ…, º², ºÅ‚ co pozwala pominąć ten
´ ´ ºÄ…, º², ºÅ‚
´ ´B ºÄ…, º², ºÅ‚
´ ´ ºÄ…, º², ºÅ‚
składnik sumy i zapisać zależność dla tzw. transformacji quasi-afinicznej:
´A = ´M + ´B
r"= (E + ´A)Å"r'= r'+´r
25/54
25/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (15)
(15)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Trcnnformccjc qucni-cfinicnnc)
(Trcnnformccjc qucni-cfinicnnc)
 Poszerzenie macierzy ´ o wektor translacji ro i formalne zapisanie
´A
´
´
takiej macierzy T pozwala na zwarty zapis modelu transformacji quasi-
afinicznej w postaci:
r"= r'+TÅ"r'
gdzie :
ëÅ‚ ºx Å‚ - ² xo öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
T = ´A ro = -Å‚ º Ä… yo
ìÅ‚ ÷Å‚
y
ìÅ‚
² -Ä… ºz zo ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
T
r'=(x' y' z ' 1)
26/54
26/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (16)
(16)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
Transformacja wektora r na wektor r  przypadek ogólny
r  wektor translacji
º  wektor  znieksztaÅ‚ceÅ„
º
º
º
É  wektor  obrotów
É
É
É
27/54
27/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (17)
(17)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Trcnnformccjc qucni-cfinicnnc)
(Trcnnformccjc qucni-cfinicnnc)
W celu wyznaczenia parametrów transformacji można zapisać równania
poprawek w postaci:
vi = TÅ"ri'+(ri '-ri")
Ze względów praktycznych łatwiej rozdzielić parametry transformacji i
współczynniki na dwie macierze R i t tak, że:
xi 0 0 0 zi - yi 1 0 0
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
'
Ri = 0 yi 0 - zi 0 xi 0 1 0÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚
0 0 zi yi - xi 0 0 0 1÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Tri'=R' t
i
( )
t =ºx ºy ºz Ä… ² Å‚ x0 y0 zo T
SkÄ…d ostatecznie:
vi = Ri 'Å"t + (ri '-ri")
28/54
28/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych (18)
(18)
Transformacje wsp. prostokÄ…tnych
(Trcnnformccjc prnnn podobinńntwo)
(Trcnnformccjc prnnn podobinńntwo)
PrzyjmujÄ…c jednakowÄ… skalÄ™ wzdÅ‚uż wszystkich osi ºx = ºy = ºz = º
dostajemy oczywistą zależność opisującą transformację przez
podobieństwo:
r"= (1+º)Å"r'+TP Å"r'
gdzie :
ëÅ‚ 0 Å‚ - ² xo öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
TP = -Å‚ 0 Ä… yo
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
² -Ä… 0 zo ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
T
r'=(x' y' z' 1)
29/54
29/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych płaskich (1)
(1)
Transformacje współrzędnych płaskich
(Trcnnformccjc cfinicnnc)
(Trcnnformccjc cfinicnnc)
Skreślając trzeci wiersz i trzecią kolumnę w macierz T transformacji
współrzędnych prostokątnych przestrzennych (3D) dostajemy zależności
dla transformacji afinicznej na płaszczyz
nie (2D):
r"= r'+TÅ"r'
gdzie :
ëÅ‚ ºx Å‚ öÅ‚
xo ÷Å‚ ëÅ‚a b xo öÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
T = lub T =
ìÅ‚
ìÅ‚-Å‚ º y yo ÷Å‚
c d yo ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
T
r'=(x' y' 1)
Dla małych kątów ł Dla dowolnych ł
Å‚ Å‚
Å‚ Å‚
Å‚ Å‚
30/54
30/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych płaskich (2)
(2)
Transformacje współrzędnych płaskich
(Trcnnformccjc Hnlmnrtc)
(Trcnnformccjc Hnlmnrtc)
PrzyjmujÄ…c jednakowÄ… skalÄ™ wzdÅ‚uż osi ºx =ºy = ºdostajemy zależność
opisującą transformację Helmerta (przez podobieństwo):
r"= (1+º)Å"r'+TH Å"r'= r'+ºÅ"TH Å"r'
gdzie :
ëÅ‚ cosÅ‚ sinÅ‚ xo öÅ‚
ìÅ‚
T =
ìÅ‚- sinÅ‚ cosÅ‚ yo ÷Å‚
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
T
r'=(x' y' 1)
JW1
Uwaga! Macierz T można wyprowadzić z prostych zależności geometrycznych lub
korzystając z macierzy obrotów, której elementami są cosinusy kierunkowe
pomiędzy osiami układu pierwotnego i wtórnego&
31/54
31/54
(C) jw
(C) jw
Slajd 31
JW1 Korzystając z macierzy obrotów trzeba pamiętać, że kąty określene są względem układu pierwotnego!!! W transformacji potrzebujemy relacji
odwrotnej, więc albo należy zmienić znak kątów obrotu, albo przekształcić wyjściowe zależności.
Janusz; 2007-11-04
Stosowane modele transformacji (1)
(1)
Stosowane modele transformacji
(7-pcrcmntrowc trcnnformccjc Byra
y-Wolfc)
(7-pcrcmntrowc trcnnformccjc Byra
y-Wolfc)
W oryginalnym podejściu Bura
a i Wolf (1963-7) za punkt wyjścia do
wyprowadzenia macierzy obrotów przyjęli 3 macierze obrotów
elementarnych kolejno wokół osi z, x i y:
cosł sin ł 0
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Rz = sin Å‚ cosÅ‚ 0÷Å‚
ìÅ‚-
ìÅ‚
0 0 1÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Rx =
ìÅ‚0 cosÄ… sinÄ… ÷Å‚
ìÅ‚0 - sinÄ… cosÄ… ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
cos ² 0 - sin ²
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
R = 0 1 0
ìÅ‚ ÷Å‚
y
ìÅ‚ ÷Å‚
sin ² 0 cos ²
íÅ‚ Å‚Å‚
32/54
32/54
(C) jw
(C) jw
Stosowane modele transformacji (2)
(2)
Stosowane modele transformacji
(7-pcrcmntrowc trcnnformccjc Byra
y-Wolfc)
(7-pcrcmntrowc trcnnformccjc Byra
y-Wolfc)
Wynikową macierz obrotu uzyskuje się poprzez superpozycję (złożenie)
obrotów elementarnych:
R(Ä…,²,Å‚)=R Å"RxÅ"Rz
y
PrzyjmujÄ…c jednakowÄ… skalÄ™ wzdÅ‚uż wszystkich osi ºx = ºy = ºz = º
dostajemy zależność opisującą transformację przez podobieństwo o
siedmiu parametrach:
r"= (1+º)Å" R(Ä…,²,Å‚)Å"r'+ro
Transformacja zwana jest często transformacją Helmerta w przestrzeni
poprzez analogię do transformacji współrzędnych płaskich pomimo tego,
że Helmert nie zajmował się transformacjami 3D! Linearyzacja macierzy
obrotów prowadzi do wcześniejszej formy transformacji przez
podobieństwo.
33/54
33/54
(C) jw
(C) jw
Stosowane modele transformacji (3)
(3)
Stosowane modele transformacji
Rysunki pomocnicze :&
z
z
z
Å‚
y
² y
Ä… y
x
x
x
34/54
34/54
(C) jw
(C) jw
Stosowane modele transformacji (3)
(3)
Stosowane modele transformacji
(7-pcrcmntrowc trcnnformccjc Byra
y-Wolfc)
(7-pcrcmntrowc trcnnformccjc Byra
y-Wolfc)
z
P
P
z
z
r
r
y
ro
x y y
x x
r"= (1+º)Å" R(Ä…,²,Å‚)Å"r'+ro
35/54
35/54
(C) jw
(C) jw

z
Å‚

y
²
Ä…

x
Stosowane modele transformacji (4)
(4)
Stosowane modele transformacji
(Trcnnformccjc Mołodnńnkingo)
(Trcnnformccjc Mołodnńnkingo)
Transformacja wg idei Mołodeńskiego polega na przeniesieniu środka
obrotów do środka ciężkości sieci układu wtórnego. Taki zabieg pozwala
zwiększyć dokładność wyznaczenia parametrów transformacji w
przypadku małych sieci (korzystniejszy kształt rozwiązywanych figur i stosunek
wielkości niewiadomych).
r"= (1+º)Å" R(Ä…,²,Å‚)Å""r'+ro
36/54
36/54
(C) jw
(C) jw
Stosowane modele transformacji (5)
(5)
Stosowane modele transformacji
(Trcnnformccjc Mołodnńnkingo)
(Trcnnformccjc Mołodnńnkingo)
z
P
P
y
"r
"
"
"
Po
Po
z
z
x
r
r
ro
y y
r"= (1+º)Å" R(Ä…,²,Å‚)Å" "r'+ro
x x
37/54
37/54
(C) jw
(C) jw

z
Å‚

y
²
Ä…

x
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Możliwn  prnnjścic trcnnformccyjnn)
(Możliwn  prnnjścic trcnnformccyjnn)
UKA
AD PIERWOTNY UKA
AD WTÓRNY
(np. układ ETRF 89, (np. układ Pułkowo 42,
elipsoida GRS80/WGS84) elipsoida Krasowskiego)
(xyz) Transf. 3D (xyz)
Transf. 3D
np. metoda Hirvonena np. metoda Hirvonena
(BL | H) Tran. H-H (BL | H)
Tran. H-H
Formuły odwzorowawcze Model geoidy Formuły odwzorowawcze Model geoidy
(xy | h) (xy | h)
Transf. 2D
Transf. 2D
(np. układy 2000, 1992, UTM) (np. układy 1942, 1965, 1980)
38/54
38/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Wpływ błędu wynokości nc wnpółrnędnn horynontclnn)
(Wpływ błędu wynokości nc wnpółrnędnn horynontclnn)
Wpływ błędu określenia wysokości
na współrzędne BL można zapisać:
´rH"´HÅ"É"/Á"
z czego wynika, że dla É=5
(maksymalna różnica orientacji elipsoid
w układach 1942 i ETRF89) błąd
poziomy wynosi 2.4 mm na 100m!
Ma on charakter systematyczny;
w praktycznych zastosowaniach
zwykle zaniedbywalny.
39/54
39/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Problnm  nubntytucji pcrcmntrów trcnnformccji)
(Problnm  nubntytucji pcrcmntrów trcnnformccji)
W ogólnym przypadku nie jest znany model transformacji, stąd
wyznaczone parametry (głównie kąty obrotów i zniekształcenia) nie
odpowiadają wartością rzeczywistym. Występuje tzw. Zjawisko
substytucji parametrów transformacji.
Różny wzajemny układ zniekształceń i obrotów daje ten sam
sumaryczny efekt tzn. suma macierzy ´ ´B jest taka sama dla
´M+´
´ ´
´ ´
różnych składników.
Substytucja parametrów obniża  wartość poznawczą transformacji.
Dla sieci lokalnych ma to zwykle małe znaczenie; w przypadku sieci
krajowych czy kontynentalnych może już być istotne.
40/54
40/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Problnm  nubntytucji pcrcmntrów trcnnformccji)
(Problnm  nubntytucji pcrcmntrów trcnnformccji)
Ilustracja graficzna problemu substytucji parametrów transformacji
41/54
41/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Problnm  nubntytucji pcrcmntrów trcnnformccji)
(Problnm  nubntytucji pcrcmntrów trcnnformccji)
W celu wyznaczenia  prawdziwych wartości parametrów transformacji
(w rzeczywistości dobrego ich przybliżenia) należy proces estymacji
parametrów rozbić na trzy etapy:
1. Wyznaczenie macierzy obrotów na podstawie wektorów
jednostkowych wektorów wodzących punktów
ri ' ri"
ei '= , ei"= ,
ri ' ri"
vi = ´B Å"ei '+(ei '-ei")
42/54
42/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Problnm  nubntytucji pcrcmntrów trcnnformccji)
(Problnm  nubntytucji pcrcmntrów trcnnformccji)
2. Wyznaczenie macierzy zniekształceń przy wykorzystaniu wektorów
swobodnych sbi (powstałych po połączeniu punktów z tzw. biegunem
transformacji)
2 2 2
lbi = sbi - sbi
2
vi = ´M Å"s1i + l1i
3. Wyznaczenie translacji
2 2 - 2 2
vi = ro +((´B + ´M)Å"ri +(ri ri))
43/54
43/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Problnm kornkt pont-trcnnformccyjnych)
(Problnm kornkt pont-trcnnformccyjnych)
Uwagi wstępne związane z problemem korekt:
1. Modele transformacji pomiędzy dwoma układami odniesienia wyznaczane
są w oparciu o dwa zbiory współrzędnych punktów dostosowania, które
realizują (przenoszą) układ odniesienia w terenie.
2. Realizacja empirycznego układu odniesienia (układu współrzędnych) na
drodze procesu pomiarowo-obliczeniowego generuje mniejsze lub większe
rozbieżności w stosunku do modelu matematycznego ( idealnego ).
3. W wielu przypadkach będzie istniała konieczność jednoznacznych
rozstrzygnięć (zachowania niezmienności współrzędnych punktów w
jednym z układów), która wymusza stosowanie pewnych operacji
korygujÄ…cych (tzw. korekt post-transformacyjnych).
44/54
44/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Problnm kornkt pont-trcnnformccyjnych)
(Problnm kornkt pont-trcnnformccyjnych)
Przykładowy problem to przeliczenie współrzędnych z układu  2000 do
układu  1965 . Można tu wyróżnić 2 etapy:
1. Matematyczny (wykorzystujący znane ścisłe formuły przeliczeniowe,
transformacyjne i odwzorowawcze)
(xy | h)2000 => (BLH)GRS80 => (xyz)GRS80 => (xyz)Kras => (BLH)Kras => (xy | h)1965
2. Empiryczny (etap  wpasowania uzyskanych w 1 etapie współrzędnych w układ
empiryczny)
(x,y)1965 => (x,~y)1965
Przekształcenie matematyczne
P
Odchyłka
P
(punkt
P
 2000
z zasobu,
archiwalny)
 1965
45/54
45/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Problnm kornkt pont-trcnnformccyjnych)
(Problnm kornkt pont-trcnnformccyjnych)
Korekta lokalna nie jest konieczna w przypadku, kiedy odchyłki na
punktach łącznych są na poziomie błędów ich wyznaczenia. W
przeciwnym wypadku wyróżnia się 3 rodzaje korekt:
1. Korekty globalne o charakterze wiernokątnym (dla całej strefy,
przydatne przy transformacji dobrej jakościowo sieci np. GPS do układu lokalnego; w
przypadku przejścia z układu 2000 do 1965 zmniejsza odchyłki o blisko 70%;
wielomiany zespolone do 5 stopnia)
2. Korekty globalne o charakterze afinicznym (dla całej strefy, realizowane
zwykle za pomocą wielomianów 5-6 stopnia, w przypadku przejścia z układu 2000 do
1965 zmniejsza odchyłki do poziomu 2-5 cm)
3. Korekty lokalne (ograniczone do niewielkiego obszaru oparte na zastosowaniu
płaskiej transformacji Helmerta oraz korekty post-transformacyjnej Hausbrandta)
46/54
46/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Problnm kornkt pont-trcnnformccyjnych)
(Problnm kornkt pont-trcnnformccyjnych)
Podsumowanie statystyczne dotyczące odchyłek pomiędzy
matematycznym a empirycznym układem  1965 (wg prof. R. Kadaja)
Przeciętne [m] Maksymalne [m]
Przeciętne [m] Maksymalne [m]
Bez korekty (B) Konforemna (K) Afiniczna
Bez korekty (B) Konforemna (K) Afiniczna
Strefa (B) (K) (A)
Strefa (B) (K) (A)
(A)
(A)
"x "y "x "y "x "y "p "p "p
"x "y "x "y "x "y "p "p "p
1 0,15 0,17 0,09 0,12 0,05 0,05 0,6 0,4 0,3
1 0,15 0,17 0,09 0,12 0,05 0,05 0,6 0,4 0,3
2 0,19 0,10 0,04 0,05 0,03 0,04 0,6 0,2 0,2
2 0,19 0,10 0,04 0,05 0,03 0,04 0,6 0,2 0,2
3 0,20 0,18 0,04 0,04 0,04 0,03 1,0 0,3 0,2
3 0,20 0,18 0,04 0,04 0,04 0,03 1,0 0,3 0,2
4 0,10 0,12 0,03 0,05 0,03 0,03 0,5 0,2 0,2
4 0,10 0,12 0,03 0,05 0,03 0,03 0,5 0,2 0,2
5 0,45 0,07 0,05 0,04 0,04 0,02 0,8 0,5 0,5
5 0,45 0,07 0,05 0,04 0,04 0,02 0,8 0,5 0,5
47/54
47/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Kornkty pont-trcnnformccyjnn Hcunbrcndtc)
(Kornkty pont-trcnnformccyjnn Hcunbrcndtc)
Zwykle w wyniku transformacji współrzędne punktów łącznych w
układzie wtórnym otrzymują wartości różniące się od współrzędnych
katalogowych (archiwalnych). W celu uniknięcia takiej  dwoistości
wprowadza siÄ™ czasem korekty post-transformacyjne Hausbrandta
 zerujące różnice współrzędnych na punktach łącznych, a dla punktów
transformowanych wprowadzajÄ…ce poprawki postaci:
n n
2 2
( (
"v / dij) "v / dij)
xi yi
vxj=i=1 vyj=i=1
n n
2 2
( (
"1/ dij) "1/ dij)
i=1 i=1
gdzie:
i=1& n to wskaz
nik punktów łącznych a
j  wskaz
nik punktów do transformacji.
48/54
48/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Kornkty pont-trcnnformccyjnn Hcunbrcndtc)
(Kornkty pont-trcnnformccyjnn Hcunbrcndtc)
Ilustracja graficzna korekt Hausbrandta&
Punkt dostosowania
Punkt transformowany
Wektor poprawek
Odległość od punktów
Å‚Ä…cznych
49/54
49/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Trcnnformccjn winlomicnown& )
(Trcnnformccjn winlomicnown& )
W praktyce stosuje się także transformacje wykorzystujące wielomiany
algebraiczne (przekształcenie afiniczne) lub wielomiany zespolone
(przekształcenie wiernokątne układów). Dla wielomianu algebraicznego
mamy zależności postaci:
n m n m
j j
X= Å"xiÅ"y Y=
""a ""b Å"xiÅ"y
ij ij
i=0 j=0 i=0 j=0
gdzie:
X,Y - współrzędne punktów w układzie wtórnym,
x,y - unormowane współrzędne punktów w układzie pierwotnym tzn.
x=( x - xo )* C oraz y=( y  yo )* C
C  parametr skalujÄ…cy (np. 1/dmax),
xo,yo  środek ciężkości obszaru.
50/54
50/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Trcnnformccjn winlomicnown& )
(Trcnnformccjn winlomicnown& )
Dla wielomianu zespolonego zależności postaci:
n
j
Z= =a0+a1z+a2z2+...+anzn=a0+zÅ"(a1+zÅ"(a2+zÅ"(a3...+anzn )
"z
j=0
gdzie
Z=(X+iY ) z=(x+i y) a =(bj+iÅ"cj )
j
gdzie:
X,Y - współrzędne punktów w układzie wtórnym,
x,y - unormowane współrzędne punktów w układzie pierwotnym tzn.
x=( x - xo )* C oraz y=( y  yo )* C
C  parametr skalujÄ…cy (np. 1/dmax),
xo,yo  środek ciężkości obszaru.
51/54
51/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Trcnnformccjn winlomicnown& )
(Trcnnformccjn winlomicnown& )
Stopień wielomianu zależy od wielkości  różnicowych zniekształceń w
układzie pierwotnym i wtórnym. W celu określenia stopnia wielomianu
bada się zwykle istotność kolejnych współczynników w stosunku do
ich błędów wyznaczenia, bądz
stosujÄ…c pewne testy statystyczne (np.
F-test). Ostatecznie przyjmuje się najniższy z możliwych (w sensie
oczekiwanej dokładności transformacji i/lub dokładności punktów
łącznych) stopień wielomianu.
Co ciekawe wielomian zespolony I-go stopnia odpowiada modelowi
transformacji płaskiej Helmerta!:&
52/54
52/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
(Trcnnformccjc  odwrotnc & )
(Trcnnformccjc  odwrotnc & )
Czasem potrzebne są modele transformacji pomiędzy układami w
 obie strony . Parametry transformacji odwrotnej można otrzymać
wyznaczając je na nowo w procedurze estymacji parametrów
transformacji po zamianie układów pierwotnego i wtórnego (czasem
jak dla transformacji Mołodeńskiego czy wielomianowych to jedyny sposób).
Można też  odwrócić równanie pierwotne tak, aby wyrazić wektor
współrzędnych w układzie pierwotnym w funkcji wektora w układzie
wtórnym (taki sposób możliwy jest np. w przypadku transformacji afinicznej
czy Bursy-Wolfa).
r"= A Å"r'+ro r'= A-1 Å"(r'-ro)
1
r'= Å"R-1 Å"(r"-ro)
r"= (1+º)Å" R(Ä…,²,Å‚)Å"r'+ro
(Ä…,²,Å‚)
(1+º)
53/54
53/54
(C) jw
(C) jw
Transformacje współrzędnych
Transformacje współrzędnych
()
()
O transformacjach to na razie tyle& :&
54/54
54/54
(C) jw
(C) jw