Geometria elipsoidy
Geometria elipsoidy
Janusz Walo
Janusz Walo
Janusz Walo
ver. 1.1 (10.2008)
ver. 1.1 (10.2008)
ver. 1.1 (10.2008)
2/32
2/32
P
H
N
(1)
w
oc
dno
Elipsoida obrotowa
Elipsoida obrotowa
(1)
(C) jw
(C) jw
w
ó
d
Ä…
l
a
a
i
d
i
n
o
h
e
c
g
z
r
a
e
d
i
i
o
w
s
o
p
i
p
l
e
u
n
o
i
p
a
i
n
i
l
e
m
o
i
z
o
p
a
z
e
r
i
ó
o
n
n
h
m
a
a
c
e
d
z
i
m
r
o
o
e
i
s
i
z
p
w
i
o
l
o
p
e
p
Elipsoida obrotowa (2)
(2)
Elipsoida obrotowa
a-b
a2-b2
É
f=
e2=
a
a2
-b2
2 2 a2
e =
b
b2
a
f = 298.257-1Ä…5×10-6
f = 298.257-1Ä…5×10-6
a = 6 378 137 m Ä…3 m
a = 6 378 137 m Ä…3 m
(C) jw 3/32
(C) jw 3/32
Elipsoida obrotowa (3)
(3)
Elipsoida obrotowa
b=a 1-e2
b
b
a= , f=1- =1- 1-e2
a
1-e2
(1- e2 ) (1+ e ) = 1
2 2
e
e2 2 2
e'2= e2 =
1-e2 1+ e
2 2
2
e2 = 2 f - f , e2 H" 2 f
(C) jw 4/32
(C) jw 4/32
Elipsoida obrotowa (4)
(4)
Elipsoida obrotowa
x2+y2 z2
+ =1
a2 b2
a2
Ä = = 1+ e
2 2
b2
albo Ä-1=1-e2
x2+y2+Äz2=a2
(C) jw 5/32
(C) jw 5/32
Współrzędnd gdoddzyjnd
Współrzędnd gdoddzyjnd
z
É
N
p
n
b
P
z
O
a
Bp
y
x
Lp
y
x
S
N
Szerokość geodezyjna B (0o÷Ä…90o)
S
E
E
DÅ‚ugość geodezyjna L (00÷360o) lub (0o÷Ä…180o)
W
(C) jw 6/32
(C) jw 6/32
y
d
i
o
s
p
i
l
e
P
a
n
e
l
i
a
c
k
m
r
n
o
u
n
p
w
B
=
B
p
o
L
=
L
B
=
B
o
p
L
=
L
Promidń krzywizny południka (1)
(1)
Promidń krzywizny południka
z
ds
É
M=
dB
P'
ds
p 1 dp
M=
B P
sin B dB
M
B + 90o
B
dz
O
dz b2 p
x/y
dp =- =-cotB
dB T
N
dp z
a2
Op
(C) jw 7/32
(C) jw 7/32
Promidń krzywizny południka (2)
(2)
Promidń krzywizny południka
z
a cos B
É
p=
1-e2 sin2 B
P'
ds
p
B P
a(1-e2 )sin B
z=
M
1-e2 sin2 B
B + 90o
B
dz
O
x/y
dp
dB T a(1-e2 )
N
M=
2
(1-e2 sin B)3
Op
(C) jw 8/32
(C) jw 8/32
Promidń krzywizny I wdrtykału
Promidń krzywizny I wdrtykału
N
p = N cos B
B
k
P
O
B
N
S
a
N=
1-e2 sin2 B
(C) jw 9/32
(C) jw 9/32
a
n
z
c
y
t
p
s
r
ó
w
n
o
l
e
ż
n
i
Å‚
a
k
y
t
r
e
w
I
Promidnid dlipsoidy obrotowdj
Promidnid dlipsoidy obrotowdj
a2 b2
M =
M90=N90= =c
Ne"M N0 = a
0
a
b
W= 1-e2 sin2 B 2 2
V = 1+ e cos2 B
N
a c
a(1-e2 ) c
M=
N = =
M= =
2
3 3
V
W V
W V
(C) jw 10/32
(C) jw 10/32
Śrddni promidń krzywizny
Śrddni promidń krzywizny
Twierdzenie Eulera mówi o tym, że
krzywiznÄ™ R-1 dowolnego przekroju
cos2 A sin2 A
-
normalnego o azymucie A można
RA1 = +
wyznaczyć na podstawie krzywizn
M N
w kierunkach głównych N-1 i M-1
Ä„
2
2 M N
RS = dA
+"
Ä„0
N cos2 A + M sin2 A
Średni promień w punkcie  często
c
stosowany w geodezji wyższej do
RS = M N =
2
rozwiązania zadań na kuli
V
(C) jw 11/32
(C) jw 11/32
Zmiana długości M, N i R
Zmiana długości M, N i R
6410
6400
6390
N
6380
6370
R
6360
6350
M
6340
6330
1 11 21 31 41 51 61 71 81
(C) jw 12/32
(C) jw 12/32
Szerokości geocentryczna
Szerokości geocentryczna
Szerokość geocentryczna nazywamy kÄ…t È
jaki tworzy promień wodzący punktu P
położonego na elipsoidzie z płaszczyzną równika
z
tanÈ =
p
tan È= (1 - e2) tan B
e2
B - È H" sin2B
2
(B - È)max(B=45o ) H" 11.6
ëÅ‚cosÈ cos LöÅ‚ r= x2+y2+z2 2
ëÅ‚xöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
y÷Å‚ = r
ìÅ‚cosÈ cos L÷Å‚ r=a 1-e2
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
z sin È
íÅ‚ Å‚Å‚ 1-e2 cos2È
íÅ‚ Å‚Å‚
(C) jw 13/32
(C) jw 13/32
Szerokości zredukowana
Szerokości zredukowana
Szerokość zredukowanÄ… nazywamy kÄ…t ² jaki
tworzy promień wodzący punktu P*
położonego na sferze z płaszczyzną równika.
Punkt P* otrzymujemy rzutujÄ…c punkt P z
elipsoidy na sferÄ™ o promieniu a prostÄ…
równoległą do osi OZ
a2 - p2
tan² =
p
tan²= 1-e2 tan B
1
B-²H" e2 sin2B
4
(B - ²)max(B=45o ) H" 5.8
2
(C) jw 14/32
(C) jw 14/32
Równania parametryczne elipsoidy obrotowej (1)
Równania parametryczne elipsoidy obrotowej (1)
p = N cos B
x = p cos L
Wiadomo, że:
oraz
z = N (1 - e2) sin B
y = p sin L
Skąd parametryczne równania elipsoidy obrotowej przyjmą postać:
ëÅ‚xöÅ‚ ëÅ‚cos B cos LöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
y÷Å‚ = N Ä-1 = 1- e2 ,
ìÅ‚ ìÅ‚cos B sin L÷Å‚ ,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
z Ä-1 sin B
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
(C) jw 15/32
(C) jw 15/32
Wektor normalny do elipsoidy obrotowej
Wektor normalny do elipsoidy obrotowej
Definiując kierunki osi układu prostokątnego i kierunek normalnej w
punkcie przez wersory x, y, z i n możemy zapisać:
n Å" z = cos(n,oz)= cos(90o - B)= sin B
(*)
2 2 2
x Å"n = cos(ox, n ) = n cos L
2 2 2 2
n Å" y = cos(n ,oy) = n cos(90 - L) = n sin L
gdzie n to rzut wektora n na płaszczyznę oxy oraz ich iloczyn skalarny:
(**)
2 2 2
n Å"n = cos(n , n)= n cos(B)
Mnożąc stronami dwa ostatnie równania wzoru (*) przez równanie (**)
dostajemy ostatecznie zależności na wektor normalny do elipsoidy
obrotowej.
(C) jw 16/32
(C) jw 16/32
Równania parametryczne elipsoidy obrotowej (2)
Równania parametryczne elipsoidy obrotowej (2)
cos Bcos L
ëÅ‚ öÅ‚
Wektor normalny
ìÅ‚ ÷Å‚
do elipsoidy
n =ìÅ‚ cos Bsin L
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
sin B
íÅ‚ Å‚Å‚
F = diag (1, 1, Ä)
Diagonalna macierz kształtu
x
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
re = y÷Å‚ = NF-1n
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
z
íÅ‚ Å‚Å‚
r = re +n H
(C) jw 17/32
(C) jw 17/32
Równania parametryczne elipsoidy obrotowej (3)
Równania parametryczne elipsoidy obrotowej (3)
r = re +n H
Wektor wodzÄ…cy punktu na f.p.Z.
w funkcji współrzędnych
geodezyjnych
x (N + H )cos Bcos L
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
r = y÷Å‚= (N + H )cos Bsin L
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
z (N(1- e2)+ H)sin B÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
(C) jw 18/32
(C) jw 18/32
Metoda Hirvonena  przeliczenie (xyz ->BLH) (1)
Metoda Hirvonena  przeliczenie (xyz ->BLH) (1)
1. Obliczamy:
2 2
p = x + y = ( N + H ) cos B
2. Liczymy pierwsze przybliżenie B:
z -1
( k=0 ) 2
tan B = (1-e)
p
3. Obliczamy N i H dla aktualnej wartości B:
a a
( k )
N = =
2 ( k ) ( k ) 2 ( k )
(1-e2 ) sin B +cos2 B 1-e2 sin B
p
( k ) ( k )
H = -N
( k )
cos B
(C) jw 19/32
(C) jw 19/32
Metoda Hirvonena  przeliczenie (xyz ->BLH) (2)
Metoda Hirvonena  przeliczenie (xyz ->BLH) (2)
4. Liczymy kolejne przybliżenie B:
-1
( k )
Å„Å‚ üÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
z N
ôÅ‚ ôÅ‚
( k+1) -1 2
B = tan
òÅ‚ żł
ïÅ‚1 - e N + H śł
( k ) ( k )
p
ôÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
5. Sprawdzamy, czy spełniony jest warunek:
( k+1) k
2 2
µ=0,0000 1
gdzie np.:
B -B <µ
(C) jw 20/32
(C) jw 20/32
Metoda Hirvonena  przeliczenie (xyz ->BLH) (3)
Metoda Hirvonena  przeliczenie (xyz ->BLH) (3)
Jeśli warunek nie jest spełniony to wracamy do punktu 3, w przeciwnym
wypadku obliczamy ostateczne wartości L, N i H dla ostatniej wartości B
y
ëÅ‚ öÅ‚
-1
L = tan
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
a
N =
2 2
1-e sin B
p
H = -N
cos B
(C) jw 21/32
(C) jw 21/32
Ważniejsne krnywe geodenyjne na
Ważniejsne krnywe geodenyjne na
elipsoidnie obrotowej
elipsoidnie obrotowej
W zagadnieniach rachunkowych geodezji wyróżnia się zwykle trzy
W zagadnieniach rachunkowych geodezji wyróżnia się zwykle trzy
podstawowe krzywe na elipsoidzie obrotowej:
podstawowe krzywe na elipsoidzie obrotowej:
 Elipsa wielka (analogia do koła wielkiego)  krzywa płaska łącząca jednoznacznie
 Elipsa wielka (analogia do koła wielkiego)  krzywa płaska łącząca jednoznacznie
dwa punkty na powierzchni elipsoidy i leżąca w płaszczyz
nie zawierającej środek
dwa punkty na powierzchni elipsoidy i leżąca w płaszczyz
nie zawierającej środek
elipsoidy.
elipsoidy.
 Przekroje normalne wzajemne  krzywa płaska na powierzchni elipsoidy łącząca
 Przekroje normalne wzajemne  krzywa płaska na powierzchni elipsoidy łącząca
dwa punkty i leżąca w płaszczyz
nie zwierajÄ…cej normalnÄ… do elipsoidy w punkcie
dwa punkty i leżąca w płaszczyz
nie zwierajÄ…cej normalnÄ… do elipsoidy w punkcie
początkowym. Przekroje normalne wzajemne nie pokrywają się ze sobą ze względu
początkowym. Przekroje normalne wzajemne nie pokrywają się ze sobą ze względu
na wichrowatość normalnych i w ogólnym przypadku (poza równikiem i południkami)
na wichrowatość normalnych i w ogólnym przypadku (poza równikiem i południkami)
pomiędzy dwoma punktami można poprowadzić dwa przekroje normalne wzajemne.
pomiędzy dwoma punktami można poprowadzić dwa przekroje normalne wzajemne.
 Linia geodezyjna (ortodroma)  najkrótsza i jednoznaczna linia łącząca dwa
 Linia geodezyjna (ortodroma)  najkrótsza i jednoznaczna linia łącząca dwa
punkty na powierzchni. Matematycznie linia geodezyjna to taka linia, której normalna
punkty na powierzchni. Matematycznie linia geodezyjna to taka linia, której normalna
główna w każdym punkcie ma kierunek normalnej do powierzchni (elipsoidy).
główna w każdym punkcie ma kierunek normalnej do powierzchni (elipsoidy).
(C) jw 22/32
(C) jw 22/32
Linia geodenyjna
Linia geodenyjna
Równanie linii geodezyjnej można zapisać poprzez warunek zerowej
wartości krzywizny geodezyjnej (krzywizna rzutu prostokątnego krzywej na
płaszczyznę styczną do powierzchni):
2 2 2
ºg = (r ×r )Å"n = 0
gdzie r oznacza wektor styczny do powierzchni, r wektor krzywizny, a n wektor
normalny do powierzchni.
Po wstawieniu dla elipsoidy współrzędnych geodezyjnych B i L dostaniemy
równanie różniczkowe drugiego rzędu postaci:
3
2
ëÅ‚ öÅ‚
d B 2 dp 1 dM dL p dp dL
ëÅ‚ öÅ‚
(*)
+ ìÅ‚ - ÷Å‚ + = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
2
÷Å‚
dL2 ìÅ‚ p dB M dB dB M dB dB
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
(C) jw 23/32
(C) jw 23/32
Podstawowe równania różnicnkowe
Podstawowe równania różnicnkowe
pierwsnego rnędu linii geodenyjnej
pierwsnego rnędu linii geodenyjnej
dB cos A
=
ds M
dL sin A
=
ds N cos B
(C) jw 24/32
(C) jw 24/32
Równanie Clairaunta linii geodenyjnej
Równanie Clairaunta linii geodenyjnej
Całkowanie równania (*) prowadzi do zależności:
NÅ"cos BÅ"sin A=c=const
Równanie Clairaunta wyraża własność linii geodezyjnej mówiącą o tym,
że iloczyn promienia równoleżnika i sinusa azymutu linii geodezyjnej jest
wielkością stałą dla całej linii.
Stałą c można interpretować jako promień takiego równoleżnika, do
którego linia geodezyjna jest styczna, a jej azymut wynosi 90o.
W funkcji szerokości zredukowanej równanie przyjmie postać:
aÅ"cos²Å"sin A=c=const
(C) jw 25/32
(C) jw 25/32
Równanie różnicnkowe pierwsnego
Równanie różnicnkowe pierwsnego
rnędu dla anymutu
rnędu dla anymutu
pÅ"sin A=c
Różniczkując równanie Clairaunta
po parametrze naturalnym s
dA dp
pÅ"cos AÅ" -sin AÅ" =0
ds ds
dp
=cos AÅ"sin B
ds
dA sin AÅ"tan B
=
Równanie różniczkowe dla azymutu:
ds N
(C) jw 26/32
(C) jw 26/32
Wnajemne prnekroje normalne
Wnajemne prnekroje normalne
i linia geodenyjna
i linia geodenyjna
e2s2
2
Ä…1 -Ä…1 = cos2 B1sin 2Ä…1 + ...
12a2
e4s5
2
s - s = cos4 B1sin2 2Ä…1 + ...
360a4
s = 50 km 100 km 200 km
Ä…´1 -Ä…1 0.007 0.028 0.112
s´ - s 2Å"10-11 m 9Å"10-10 m 2Å"10-8 m
(C) jw 27/32
(C) jw 27/32
Trójkąty geodenyjne i ich
Trójkąty geodenyjne i ich
ronwiÄ…nywanie
ronwiÄ…nywanie
Trójkątem geodezyjnym jest trójkąt na powierzchni elipsoidy obrotowej
utworzony przez trzy łuki linii geodezyjnych. Rozwiązaniem trójkąta
geodezyjnego nazywamy obliczenie jego elementów na podstawie trzech
znanych elementów, w tym przynajmniej jednego boku i znanego jego
położenia na elipsoidzie.
Małe trójkąty o bokach do 90 km można rozwiązywać na sferze o
promieniu równym średniemu promieniowi krzywizny obliczonemu dla
średniej arytmetycznej szerokości z wierzchołków trójkąta
Rozwiązywanie trójkątów geodezyjnych miało znaczenie w sieciach
triangulacyjnych, gdzie dla obliczenia współrzędnych najpierw należało
znalez
ć wszystkie boki w trójkątach...
(C) jw 28/32
(C) jw 28/32
Nadmiar ((k(((() sferycnny
Nadmiar ((k(((() sferycnny
P"
µ =
P"
gdzie oznacza pole trójkąta, które
R2
można wyznaczyć jako pole
trójkąta płaskiego np.:
bcsin A1
µ=
2R2
R to promień sfery, na której położony jest trójkąt
(C) jw 29/32
(C) jw 29/32
Metoda Legendre a
Metoda Legendre a
Twierdzenie Legendre a mówi, że mały trójkąt sferyczny można
rozwiązać zamieniając go na trójkąt płaski, w których boki pozostają
równe tym na sferze, a każdy kąt jest zmniejszony o 1/3 nadmiaru
sferycznego
Dla trójkątów o bokach większych od 90 km stosuje się tzw.
rozszerzone twierdzenie Legendre a, w którym uwzględnia się różnicę
pomiędzy polem trójkąta płaskiego i sferycznego
ëÅ‚
m2 öÅ‚ a2 + b2 + c2
µ1 = µ , m2 = .
ìÅ‚1+ ÷Å‚
3
8R2
íÅ‚ Å‚Å‚
(C) jw 30/32
(C) jw 30/32
Metoda additamentów (Soldndra)
Metoda additamentów (Soldndra)
ZZmiZZZ trójkątZ (f(ry(tZ(go ZZ trójkąt płZ(ki w t(j m(todti( pol(gZ ZZ
poto(tZwi(Ziu dwó(h kątów (f(ry(tZy(h Zi(tmi(ZioZy(h, tZś boki
trójkątZ płZ(ki(go uty(kuj( (ię poprt(t dodZZi( do boków trójkątZ
(f(ry(tZ(go ttw. additamentów liniowych Zlbo iZZ(t(j algebraicznych
a3 a5
a
a1 = a - + +...
sin
6R2 120R4
R=a1
b
b1
sin
b3 b5
R
b1 = b - + +...
6R2 120R4
Współcześnie rzadko rozwiązuje się trójkąty,
a jeśli już to wykorzystując wprost (bez uproszczeń) wzory
trygonometrii sferycznej np. wzór sinusowy
(C) jw 31/32
(C) jw 31/32
Ronwiąnanie trójkąta
Ronwiąnanie trójkąta
Kolejność rozwiązania:
1. Obliczenie nadmiaru sferycznego
2. Wyrównanie kątów w trójkącie sferycznym
A + B + C = 180o + µ + É
3. Rozwiązanie trójkąta dowolną z metod
(C) jw 32/32
(C) jw 32/32