Programowanie liniowe 
przykłady zastosowań
Programowanie liniowe  przykłady zastosowań
WYBÓR PROCESU PRODUKCYJNEGO / MINIMALIZACJA ODPADÓW
W pewnym procesie produkcyjnym należy wytworzyć co najmniej 20 tys. sztuk
elementów A i 55 tys. sztuk elementów B z tworzywa sztucznego. Można wykonywać
je na dwóch rodzajach wtryskarek W1 i W2. W zależności od zastosowanej formy, w
jednym cyklu W1 wytwarzane mogą być 3 elementy A i 4 elementy B lub 2 elementy A
i 5 elementów B. W pojedynczym cyklu W2 można wytworzyć 7 elementów A i 10
elementów B. Czas trwania jednego cyklu wtryskarki wynosi 5 minut dla W1 i 7 minut
dla W2. Jaki powinien być plan produkcyjny minimalizujący czas wykonania
wymaganej liczby elementów?
Jak zmieniłby się model zadania, gdyby wiadomo było, że dostępne są 3 wtryskarki
typu W1 i 2 wtryskarki typu W2?
Programowanie liniowe  przykłady zastosowań
WYBÓR PROCESU PRODUKCYJNEGO / MINIMALIZACJA ODPADÓW
W pewnym procesie produkcyjnym należy wytworzyć co najmniej 300 sztuk ram
kabiny ciągnika rolniczego. Rama pojedynczej kabiny składa się z 7 kształtowników
o długości 0,7 m oraz 4 kształtowników o długości 2,5. Elementy wycinane są
z kształtowników o długości 5,2 m, kupowanych u dostawcy. Jak należy uzyskać
wymaganą liczbę elementów, aby odpad powstały w procesie cięcia była jak
najmniejszy? Ile wyniesie wielkość odpadu przy optymalnym cięciu?
Programowanie liniowe  przykłady zastosowań
PROBLEM MIESZANEK
Do wytopu żeliwa używa się trzech surówek: S1, S2, S3. Surówki te różną się od siebie
składem chemicznym i ceną zakupu, co przedstawia tabela. Wiadomo, że żeliwo
zjednorazowego wytopu w żeliwiaku musi zawierać co najmniej 10,2 kg Si, co najmniej
2,4 kg Mn oraz 2,7  4 kg P. Należy też przy wytopie zachować proporcje: na jeden kg
surówki S1  dwa kilogramy surówki S3. Określić optymalny skład wsadu do
jednorazowego wytopu w żeliwiaku, minimalizujący łączne koszty wytopu żeliwa.
Procentowe zawartości pierwiastków
Surówka Cena za 1 kg
Si Mn P
S1 2,6 0,4 0,6 5 zł
S2 2,1 0,9 0,2 3 zł
S3 2,1 0,6 0,6 4 zł
Programowanie liniowe  przykłady zastosowań
PROBLEM MIESZANEK
Pewna rafineria jest w stanie przetworzyć 1.500.000 baryłek ropy naftowej
dziennie. Końcowe produkty z rafinerii to trzy rodzaje benzyny bezołowiowej o
różnych liczbie oktanowej (ON): regularna (ON = 87), premium (ON = 89) i super
(ON = 92). Proces rektyfikacji obejmuje trzy etapy:
1. wieża destylacyjna, która produkuje surowiec (ON = 82) w ilości 0,2 baryłek
uzyskanych z jednej baryłki ropy naftowej,
2. urządzenie realizujące proces krakingu, które wytwarza zapas benzyny (ON = 98)
wykorzystując część surowca pochodzącego z wieży destylacyjnej uzyskując 0,5
baryłek benzyny z jednej baryłki surowca,
3. urządzenie mieszające, które komponuje produkt z surowców otrzymanych w
poprzednich etapach: surowca z wieży dest. i benzyny z urządzenia do krakingu.
Firma oszacowała zysk za baryłkę benzyny odpowiednio na: 6,70; 7,20 i 8,10 $.
Pojemność wejściowa jednostki do realizacji procesu krakingu wynosi 200.000
baryłek surowca dziennie. Ograniczenia sprzedaży na benzynę regularną, premium
i super to 50.000, 30.000 i 40.000 baryłek dziennie. Opracować model pozwalający
uzyskać optymalny harmonogram produkcji dla rafinerii.
Programowanie liniowe  przykłady zastosowań
PLANOWANIE PRODUKCJI
W pewnym procesie wytwórczym wykorzystuje się trzy urządzenia, realizujące kolejne etapy
procesu dwóch elementów, zamówionych przez producenta samochodów. Jednostkowe czasy
operacji oraz zyski i koszty przedstawiono w tabeli.
Już w tej chwili wiadomo, że wymagana liczba elementów nie może być wykonana ze względu
na brak czasu. Jaki należy przyjąć plan produkcji maksymalizujący zyski przedsiębiorstwa?
Czas realizacji operacji na urządzeniach I, II, III
Liczba
[min]
Element zamówionych
elementów
I II III
A 7 2 5 36
B 3 6 6 50
Limit czasu pracy
90 56 240 -
maszyn [min]
Jednostkowa kara finansowa
Element Zysk jednostkowy [$/szt.]
[$/szt.]
A 6 5
B 3 4
Programowanie liniowe  przykłady zastosowań
OPTYMALNY PRZYDZIAA
ZADAC
I ŚRODKÓW
Na trzech maszynach można wykonywać 2 detale (każde urządzenie może wykonywać
każdy detal). Czas potrzebny na wykonanie detalu na maszynie oraz koszty wykonania
przedstawiono w tabeli.
Czas wykonania detalu na maszynach I, II, III
Liczba detali do
Detal
wykonania
I II III
A 7 2 5 36
B 3 6 6 50
Limit czasu pracy
90 56 240 -
maszyn
Detal Koszt jednostkowy wykonania detalu na maszynie
A 6 2 5 -
B 3 4 1 -
Jak rozdysponować produkcję między urządzenia, aby wykonać wymaganą liczbę detali
i ponieść minimalne koszty?
Programowanie liniowe  przykłady zastosowań
OPTYMALNY PRZYDZIAA
ZADAC
I ŚRODKÓW
Przedsiębiorstwo planuje zatrudnić 3 osoby do wykonywania trzech zadań. Zgłosiły
się 4 chętne osoby, które po przeszkoleniu zostały sprawdzone i okazało się, że czas
potrzebny na wykonanie każdej czynności poszczególnym osobom zabiera:
Których pracowników powinna zatrudnić firma do których zadań, by czas
przeznaczany na ich realizację był jak najmniejszy?
Czas wykonania przez pracownika
[min]
Zadanie
A B C D
Montaż fotela samochodowego 20 17 14 10
Montaż reflektora 50 45 51 40
Montaż silnika 52 50 60 55
Programowanie liniowe  przykłady zastosowań
OPTYMALNY PRZYDZIAA
ZADAC
I ŚRODKÓW
Firma transportowa posiadająca samochody odpowiednio o ładowności 15t (1 sztuka), 10t (1 sztuka)
i 5t (3 sztuki) musi zaplanować przeglądy profilaktyczne na najbliższe 4 dni. W ciągu tego okresu
każdy samochód musi być wyłączony z pracy na co najmniej 1 dzień. Jak zaplanować plan
przeglądów, aby każdy samochód mógł być poddany wymaganej obsłudze technicznej, a
jednocześnie aby zaspokoić wymagane zobowiązania przewozowe firmy, przedstawione poniżej:
Dzień Wymagana ładowność aut
1 30
2 35
3 30
4 25
Programowanie liniowe  przykłady zastosowań
PRZYKA
AD BUDOWY AUTOSTRADY
Załóżmy, że autostrada ma być zbudowana na nierównym terenie. Przyjmujemy, że
koszt budowy jest proporcjonalny do ilości podłoża dodawanego lub usuwanego.
Niech T oznacza długość drogi i niech c(t) oznacza wyjściową wysokość terenu dla
każdego t �� [0,T]. Problem polega na określeniu docelowej wysokości drogi y(t) dla
każdego t �� [0,T].
W celu uniknięcia nadmiernych spadków na drodze, maksymalne nachylenie nie może
przekraczać wielkości b1, tj. |y (t)|Ł� b1.
Ponadto, dla uniknięcia garbów na jezdni, należy ograniczyć szybkość zmian nachylenia
drogi, tj. |y  (t)|Ł� b2.
Oprócz tego muszą zachodzić warunki początkowe y(0) = a, y(T) = b.
Sformułować zadanie optymalizacyjne jako zadanie programowania liniowego.
Programowanie liniowe  przykłady zastosowań
Trzy nieodkształcalne belki o ciężarach G1,G2,G3 podwieszono za pomocą prętów
i obciążono siłami P1,P2,P3 (rysunek). Pręty podwieszające na każdym poziomie mają
takie same przekroje poprzeczne, równe odpowiednio x1,x2,x3, oraz odpowiednie
wytrzymałości k1,k2,k3. Należy wyznaczyć przekroje prętów na poszczególnych
poziomach, minimalizujące łączną ich masę, nie przekraczając ich wytrzymałości.
Przekroje poziomów 1 i 3 nie powinny różnić się o więcej niż 25% od przekroju
poziomu 2. Ciężary prętów są dużo mniejsze od ciężarów Gi oraz sił Pi.
Teoria i praktyka rozwiązywania zadań
optymalizacji :z przykładami zastosowań
technicznych /Jacek Stadnicki. Warszawa
: Wydawnictwa Naukowo-
Techniczne, 2006
Programowanie liniowe  przykłady zastosowań
Mamy wirnik, dla którego wyważarka dynamiczna określiła masy korekcyjne MI i MII,
które mają być umieszczone na płaszczyz
nie I-I, II-II, promieniu R i kątach a1, a2.
Jednak konstrukcyjnie przewidziano inne miejsca na dołożenie mas korekcyjnych  na
płaszczyz
nie 1-1, 2-2 (w odległości l/2) i na promieniu r. Należy zatem zastąpić masy
wyznaczone przez wyważarkę systemem mas mij, tak aby ich suma była minimalna
przy zachowaniu właściwości mas MI i MII :
" aby oś wirnika przechodziła przez środek jego masy,
" aby momenty dewiacyjne zerowały się (nie występowały reakcje dynamiczne w
łożyskach)
Programowanie liniowe  przykłady zastosowań
" Aby oś wirnika przechodziła przez środek jego masy:
" aby momenty dewiacyjne zerowały się (nie występowały reakcje dynamiczne w
łożyskach):
Programowanie liniowe  przykłady zastosowań
" Prostopadłościenny element o długościach boków: a = 1m, b = 1,5m może być wykonany z
jednego lub dwóch materiałów o gęstościach odpowiednio: r1 and r2 [kg/m3]. W przypadku
wytworzenia elementu z dwóch materiałów, należałoby połączyć je jak na rysunku.
" Jaka powinna być wysokość h projektowanego elementu (jak i poszczególnych jego części
składowych h1 i h2), aby uzyskać najlepszy stosunek wytrzymałości na rozciąganie elementu
przypadającą na jednostkę masy, spełniając wymagania:
" całkowita masa elementu nie powinna przekraczać wartości M,
" wytrzymałość elementu na rozciąganie nie może być niższa niż S.
" Zwiększenie wysokości części wykonanej z materiału o gęstości r1 o 1 cm powoduje liniowy
wzrost wytrzymałości elementu o wartość a1, zaś każdy dodatkowy 1 cm części wykonanej z
materiału o gęstości r2 daje przyrost wytrzymałości o a2.