Notatki do wykładu
Krzywe eliptyczne
Instytut Matematyki
Uniwersytetu Jagiellońskiego
Semestr letni 2006
Sławomir Cynk
e-mail: [e-mail]
ROZDZIAA
I
Funkcje eliptyczne


x2 y2 b
Długość łuku elipsy + = 1 (a b 0) jest dana wzorem 4aE 1 - (a)2 , gdzie
a2 b2


1
E(k) = (1 - x2)(1 - k2x2)dx
0
jest całką eliptyczną II rodzaju. Podobnie całka eliptyczna I rodzaju to

1
dx

K(k) = .
0
(1 - x2)(1 - k2x2)
Liouville udowodnił, że całki te są (dla k = ą1) nieelementarne. Dowolną całke eliptycz-



ną postaci R(x, P (x))dx (gdzie R jest funkcja wymierną dwóch zmiennych, natomiast
P (x) jest wielomianem stopnia 3,4 bez pierwiastków podwójnych) można wyrazić przy po-
mocy całek eliptycznych I, II lub III rodzaju. Całki eliptyczne można również sprowadzić
do przypadku P (x) = x(x - 1)(x - ) ( = 0, 1). Jeżeli liczby x1, x2, x3, x4 są pierwiastkami

wielomianu stopnia cztery, to istnieje homografia, które przeprowadza te liczby w 0, 1, , ",
przy pomocy tej homografii dokonujemy stosownego podstawienia w całce.


Całkę postaci R(x, P (x))dx (gdzie R jest funkcja wymierną dwóch zmiennych, nato-
miast P (x) jest wielomianem stopnia 2 bez pierwiastków podwójnych) możemy sprowadzić
do całki funkcji wymiernej przy pomocy podstawień Eulera, geometrycznie podstawienia Eu-
lera sprowadzają się do wymiernej parametryzacji stożkowej y2 = P (x). Przykładem takiej
parametryzacji jest rzut stereograficzny z punktu na stożkowej (wskazannie punktu na stoż-
kowej jest równoważne ze wskazaniem parametryzacji stożkowej). Jeżeli P (x) = ax2 + bx + c,
to mamy trzy (częsciowo pokrywające się) przypadki
(I) a > 0, wybieramy punkt w neskończoności zadany przez kierunek asymptoty, wtedy
zamiast rzutu stereograficznego mamy rzut równoległy
(II) " > 0, wtedy wybieramy punkt x0, 0, gdzie P (x0) = 0
"
(III) c > 0, wybrany punkt to (0, c).
Propozycja I.1. Krzywa y2 = x(x - 1)(x - ) ( = 0, 1) nie posiada parametryzacji

wymiernej, tzn. jeżeli f, g " C(t) takie, że f2 = g(g - 1)(g - ), to f, g = const.
1
2 S. Cynk
r p
Dowód. Niech f = , g = , (p, q) = (r, s) = 1. Wtedy r2q3 = s2p3(p - q)(p - q),
s q
s
a więc s2|q3 i q3|s2, czyli s2 = aq3, dla pewnego a " k, i w konsekwencji aq = (q )2 jest
kwadratem w K[t]. Również r2 = apq(p - q)(p - q). Istnieją więc stałe b, c, d " K takie, że
bp, c(p - q), d(p - q) są kwadratami w K[t]. Teza propozycji wynika więc z następującego
Lematu
Ż Ż
Lemat I.2. Niech ciało algebraicznie domknięte,p, q " [t]. Jeżeli cztery rózne kom-
Ż
binacje liniowe (p + �q) (tzn. dla czterech różnych ( : �) " P1) są kwadratami w [t], to
Ż
p, q " .
Ż
Dowód Lematu. Możemy przyjąć, że p, q, p - q, p - q są kwadratami w [t]. Wtedy
Ż
p = u2, q = v2, u, v " [t], (u, v) = 1, max(deg u, deg v) < max(deg p, deg q). Przyjmując, że
p, q są najmniejszego stopnia. Ponieważ p - q = (u - v)(u + v), p - q = (u - �v)(u + �v),
Ż
gdzie �2 = . A zatem u - v, u + v, u - �v, u + �v są kwadratami w [t], wbrew minimalności
stopni dla p i q.


Zamiast rozpatrywać całkę rzeczywistą, rozpatrujemy całkę zespoloną, wtedy załeży ona
od wyboru krzywej, a dokładniej tego, jak krzywa  obiega pierwiastki wielomianu P (x).

Wykres funkcji P (x) powstaje przez sklejenie dwóch sfer Riemanna wzdłuż dwóch odcin-
ków, a więc jest torusem. Całka jest określona z dokładnością do Z�1 + Z�2, gdzie �1 i
�2 są całkami dwóch po pętlach. Zamiast rozpatrywać funkcję wieloznaczną rozpatrujemy
odwrotną do niej funkcję dwuokresową
Definicja I.1. Kratą w C nazywamy dowolną podgrupę dyskretna rzędu 2.
Funkcją eliptyczną względem kraty � nazywamy funkcję meromorficzną f " M(C) taką,
że f(z + �) = f(z), dla � " �.
Ciało funkcji eliptycznych względem kraty � oznaczamy przez C(�).
1
Uwaga. Dowolna krata w C jest postaci Z�1+Z�2 dla pewnych �1, �2 " C", Im(� ) = 0.

�2
Definicja I.2. Podstawowym równoległobokiem kraty � nazywamy dowolny zbiór postaci
D := {a + t1�1 + t2�2 : 0 t1, t2 < 1}, gdzie a " C, �1, �2 stanowią bazę �.
Zatem C/� powstaje ze sklejenia przeciwległych boków równoległoboku, a więc jest to-
rusem. Stosując zasadę maximum otrzymujemy następującą propozycję
Propozycja I.3. Funkcja eliptyczna bez biegunów jest stała.
Twierdzenie I.4. Niech f " C(�). Wtedy
Rozdział I. Funkcje eliptyczne 3

(a) resw f = 0,
�"C/�

(b) ordw f = 0,
�"C/�

(c) (ordw f)w " �.
�"C/�

Symbol oznacza, że sumujemy po dowolnym równoległoboku podstawowym. W
�"C/�
(a) i (b) suma nie zależy od wyboru równoległoboku, natomiast w (c) różni się tylko o
element kraty.
Dowód. Wybieramy podstawowy równoległobok D taki, że f nie ma biegunów ani zer
na "D.
(a) Na mocy twierdzenia o residuach


1
resw f = f(z)dz,
2Ąi "D
�"C/�
ale całki po przeciwległych bokach znoszą sie z okresowości funkcji f.
(b) Podobnie z twierdzenia o residuach pochodnej logarytmicznej


1 f2 (z)
ordw f = dz.
2Ąi f(z)
"D
�"C/�
(c) Również z twierdzenia o residuach pochodnej logarytmicznej


1 f2 (z)
(ordw f)w = zdz.
2Ąi f(z)
"D
�"C/�

Definicja I.3. Rzędem funkcji eliptycznej nazywamy liczbę biegunów (zer) w dowolnym
podstawowym równoległoboku.
Propozycja I.5. Funkcji eliptyczna różna od stałej ma rząd równy co najmniej 2.
Dowód. Gdyby funkcja miała rząd równy 1, to miałaby jedyny (modulo krata) biegun
rzędu 1 o residuum równym zera, sprzeczość.
Definicja I.4. Niech � będzie kratą. Funkcja ! Weierstrassa (względem �) jest zdefi-
niowana przy pomocy szeregu


1 1 1
!(z, �) := + - .
z2 (z - �)2 �2
�"�
� =0
Szeregiem Eisensteina wagi 2k (względem �) nazywamy szereg

1
G2k(�) := .
�2k
�"�
� =0
4 S. Cynk

2
Zamiast będziemy pisać .
�"� �"�
� =0
Twierdzenie I.6. Niech � bedzie dowolną kratą.
(a) Szereg Eisensteina G2k(�) jest bezwzględnie zbieżny dla k > 1.
(b) Szereg definiujący funkcję ! jest absolutnie i niemal jednostajnie zbieżny w C \ �.
Definiuje on funkcję mającą biegun podójny o residuum równym zero w każdym
punkcie kraty �.
(c) Funkcja ! jest parzystą funkcją eliptyczną rzędu dwa.
Dowód. (a) i (b) wynikają z prostych (ale długich) oszacowań.
(c) Oczywiście !(z) = !(-z). Możemy policzyć pochodną funkcji ! różniczkując wyraz
za wyrazem.

1
!2 (z) = -2 .
(z - �)63
�"�
Stąd natychmiast wynika, że !2 jest funkcją eliptyczną, a więc
!(z + �) = !(z) + c(�), dla z " C \ �,
gdzie c(�) nie zależy od z. Przyjmując z = -� otrzymujemy
2
� �
!( ) = P (- ) + c�,
2 2
więc c(�) = 0, co kończy dowód.

Twierdzenie I.7. Jeśli � jest kratą, to
C(�) = C(!, !2 ).
!2 (z) 1
1
Dowód. Niech f(z) " C(�). Ponieważ f(z) = (f(z)+f(-z))+ (f(z)-f(-z)) ,
2
2 !2 (z)
więc bez straty ogólności możemy przyjąć, że f jest parzystą funkcją eliptyczną. Wtedy
ordw f = ord=w f dla dowolnego w " C oraz ordwf jest parzysty dla 2w " �.
Mamy więc

(!(z) - !(ai)
i
f(z) = c!(z)-m ,
(!(z) - !(bi)
i
gdzie 2m jest krotnościa zera w � " �, {ai, �-ai} są zerami, natomiast {bi, �-bi} biegunami
f w C/�.
Twierdzenie I.8. (a) Szereg Laurenta funkcji ! w sąsiedztwie 0 ma postać
"

1
!(z) = + (2k + 1)G2k+2z2k.
z2
k=1
Rozdział I. Funkcje eliptyczne 5
(b) Dla z " C \ �
(!2 (z))2 = 4(!(z))3 - 60G4!(z) - 140G6.
Dowód. (a) Dla |z| < |�| mamy

"

1 1 1 1 zn
- = - 1 = (n + 1) .
(z - �)2 �2 �2 (1 - z/�)2 �n+2
n=1
Wstawiając do szeregu,zmieniając kolejność sumowania (i pomijając wyrazy nieparzyste)
otrzymujemy tezę.
(b) Z punktu (a) otrzymujemy łatwo
(!2 (z))2 = 4z-6 - 24G4z-2 - 80G6 + . . .
(!(z))3 = z-6 + 9G4z-2 + 15G6 + . . .
!(z) = z-2 + 3G4z2 + . . .
więc funkcja
f(z) = (!2 (z))2 - 4(!(z))3 + 60G4!(z) + 140G6
jest funkcją eliptyczną, holomorficzną, znikającą w 0, czyli f = 0.
Uwaga. Oznaczamy g2 = 60G4, g3 = 140G6.
Propozycja I.9. (a) Wielomian f(x) = 4x3 - g2x - g3 ma trzy różne pierwiastki.
3 2
Wyróżnik "(�) = g2 - 27g3 = 0.

(b) Odwzorowanie
C/� " z - (!(z), !2 (z))
jest izomorfizmem na krzywą y2 = 4x3 - g2x - g3 w P2(C).
�i
Dowód. (a) Niech �1, �2 baza �, �3 = �1 + �2. Wtedy f znika w . Ale !(�i/2)
2
jest jedynym zerem (podwójnym) funkcji !(z) - !(�i/2). Zatem !(�i/2) są trzema różnymi
piewiastkami f.
(b) Suriektywność: niech (x, y) należy od krzywej trzeciego stopnia. Wtedy !(z) - x jest
funkcją eliptyczną różną od stałej, więc, ma zero a. Wtedy !2 (a) = ąy, czyli (x, y) jest
obrazem a lub -a.
Iniektywność, przypuśćmy, że Ś(z1) = Ś(z2). Wtedy funkcja eliptyczna rzędu 2 !(z) -
!(z1) ma pierwiastki z1, -z1, z2. Jeśli 2z1 " � to z2 = ąz1, tera
!2 z1 = !2 (z2) = !2 (ąz1) = ą!2 (z1)
implikuje, że z1 = z2. Jeśli 2z1 " �, to !(z) - !(z1) mapodwójny pierwiastek w z1 i znika w
z2, więc z1 = z2.
6 S. Cynk
Ustlamy a, b " C, wtedy funkcja !2 - a! - b ma biegun krotności 3 w � " �, a więc na
mocy Tw. I.4(c) ma trzy (na ogół różne pierwiastki) zi, z2, z3 " C/� takie, że z1 +z2 +z3 = 0.
Te trzy punkty przechodzą w trzy punkty będące przecięciem kubiki z prostą. Mamy
!2 (z) = a!(z) + b, czyli równanie 4x3 - (ax + b)2 - g2x - g3 = 0 ma trzy pierwiastki i ze
wzorów Vietty
a2
P1(z) + P2(z) + P3(z) = .
4
Ponadto
!2 z1 - !2 (z2)
a = .
!(z1) - !(z2)
Ale ponieważ ! jest funkcją parzystą więc !(z3) = !(z1) + !(z2), otrzymaliśmy więc nastę-
pujący
Wniosek I.10.
2
1 !2 z1 - !2 (z2)
!(z1 + z2) = -!(z1) - !(z2) +
4 !(z1) - !(z2)
2
1 !2 2 (z)
!(2z) = -2!(z) +
4 !2 (z)
Definicja I.5.
Uwaga. Mamy
1
Gk(c�) = Gk(�)
c2k
1
!(cz, c�) = (!(x, �))
c2
1
!2 (cz, c�) = (!2 (x, �))
c3
A więc
g2 g3
Ec� = {(x, y) " C : y2 = 4x3 - x - }.
c4 c6
Twierdzenie I.11. Dla dowolnych krat �1, �2 astępujące odwzorowanie jest bijekcją

odwzorowania holomorficzne
{ą " C : ą�1 �" �2} -
-------
Ś : C/�1 C/�2 t, że Ś(0) = 0
ą - Śą (Śą(z) = ąz mod �2)
3 2
Twierdzenie I.12. Jeżeli g2, g3 " C takie, że g2 - 27g3 = 0 to istnieje jedyna krata

� " C taka, że
g2 = g2(�), g3 = g3(�).
Rozdział I. Funkcje eliptyczne 7
Jeżeli
E : y2 = 4x3 - g2x - g3
dx
jest powierzchnią Riemanna to jest nigdzie nieznikającą 4 formą i
y

dx
� = { : ł " H1(X, Z)}.
y
ł
2
Każda krata jest izomorficzna z kratą postaci �� = Z �" Z�, Im � > 0. Kraty �� i �� są

a� + b
a b
izomorficzne gdy istnieje " SL2(Z) taka, że = �2 . A zatem zbiór krzywych
c d
c� + d
izomorficznych (z dokładnością do izomorfizmu) jest izomorficzny z H SL2(Z).
ROZDZIAA
II
Dodawanie na krzywej płaskiej stopnia 3
Niech dana będzie krzywa E stopnia 3 na płaszczyżnie rzutowej P(k), ustalmy punkt
Ż
O " E(k). Dla dowolnego punktu P " E(k) oznaczmy przez P trzeci punkt przeciecia
prostej OP (jeśli P = O, to prosta OP oznacza styczną do E w punkcie o) z krzywą E, ze
Ż
wzorów Vietty wynika, że P " E(k). Dla dowolnych punktów P, Q " E(k) oznaczamy przez
S(P, Q) oznaczmy trzeci punkt przecięcia prostej P Q (jeśli P = Q to prostej stycznej do E
w P ) z krzywą E.
Twierdzenie II.1. Krzywa E z działaniem
E � E " (P, Q) S(P, Q) " E
jest grupą abelową.
Szkic dowodu: Zdefiniowane działanie jest oczywiście przemienne, punkt O jest ele-
mentem neutralnym. Dla dowolnego elementu P element przeciwny jest równy S(p, L
).
Pozostaje wię wykazać łączność, w przypadku  generycznym (gdy wszystkie występu-
jące punkty są różne) rozpatrujemy proste
Ż Ż
l1 = ABR l2 = ROR l3 = RCS
Ż Ż
m1 = BCQ m2 = QOQ m3 = AQS2
(oznaczenia jak na rysunku).
R
L1
B
A
L2
Ż O
S
L4
Ż
R
C
S
L3
8
Rozdział II. Dodawanie na krzywej płaskiej stopnia 3 9
Ż Ż
Chcemy pokazać, że S = S2 lub równoważnie, że S = S2 . Wynika to z tw. Cayley Bacharacha,
mówiącego, że jesli krzywe stopnia 3 C1 i C2 przecinają się w w dziewięciu różnych punktach
P1, . . . , P9 to dowolna kubika C zawierająca punkty P1, . . . , P8 przechodsi również przez
punkt P9. Tw. to stosujemy do C1 = l1 + m2 + l3, C2 = m1 + l2 + m3 oraz C = E. Ponieważ
Ż Ż
E zawiera osiem punktów przecięcia D1 )"D2 (A, B, C, O, Q, Q, R, R) więc zawiera dziewiąty,
czyli punkt przecięcia prostych l3 i m3, tzn, S = S2 .
Jeżeli O = L
(tzn. O jest punktem przegięcia krzywej E), to mamy doczynienia z tzw.
uproszczonym prawem dodawania, jeśli ponadto układ współrzędnych jest wybrany tak,
że o = [0 : 1 : 0] jest jedynym punktem krzywej E w nieskończoności, to P i ]barP są
symetryczne względem osi OX. W tym przypadku punkty przecięcia krzywej E z osią OX
są punktami2 torsyjnymi, natomiast pozostałe punkty przegięcia są punktami 3 torsyjnymi.
Ponieważ punkty przegięcia są zerami hessianu równania (jednorodnego) krzywej E więc
w ciele algebraicznie domkniętym krzywa ma 27 punktów przegięcia, niestety jeśli ciało k
nie jest algebraicznie domknięte to na ogól E nie ma punktu przegięcia.
ROZDZIAA
III
Krzywe algebraiczne
Niech k będzie ustalonym ciałem (niekoniecznie algebraicznie domkniętym). Płaszczyzną
afiniczną nad k nazywamy zbiór A2(k) = k2.
Definicja III.1. Płaską krzywą afiniczną nad k nazywamy klasę abstrakcji wielomianu
<"
nierozkładalnego f " k[x, y] nad k w relacji f f2 �! f = f2 dla pewnego  " k". Zbiorem
=
punktów K wymiernych krzywej C/k (K jest rozszerzeniem ciała k) nazywamy zbiór
C(K) := {(x, y) " A2 : f(x, y) = 0}.
Definicja III.2. Płaską krzywą rzutową nad k nazywamy klasę abstrakcji wielomianu
2 2
<"
jednorodnego nierozkładalnego F " k[x, y, z] nad k w relacji F F �! F = F dla
=
pewnego  " k". Zbiorem punktów K wymiernych krzywej C/k (K jest rozszerzeniem ciała
k) nazywamy zbiór
C(K) := {(x : y : z) " P2 : F (x, y, z) = 0}.
Twierdzenie III.1 (Twierdzenie Bezoute a). Jeżeli C i C2 są krzywymi rzutowymi nad
Ż
k stopni d i d2 to C i C2 przecinają się w k2 w dd2 punktach (liczonych z krotnościami.)
Przykład III.2. Przecięcie z prostą i stożkową.
Definicja III.3. Piersćieniem funkcji regularnych nakrzywej C nzywamy pierścień k[C] =
k[x, y]/(f). Ciałem funkcji funkcji wymiernych na krzywej afinicznej C nazywamy ciało k(C)
ułamków pierścienia k[C].
Definicja III.4. Ciałem funkcji funkcji wymiernych na krzywej afinicznej C nazywamy
zbiór tych elementów ciała ułamków pierścienia k[x, y, z]/F , które mają przedstawienie w
P
postaci , gdzie P, Q są wielomianami jednorodnymi tego samego stopnia.
Q
Uwaga funkcja regularna jest funkcja na krzywej afinicznej, natomiast funkcja wymierna
jest określona w dopełnieniu zbioru skończonego.
Krzywa afiniczna (f) ma domknięcie rzutowe (F ), gdzie F jest homogenizacją wielo-
mianu f. Krzywa rzutowa F jest uzwarceniem następujących trzech krzywych afinicznych
( podstawowe kawałki afiniczne ) (F (x, y, 1)), (F (x, 1, y)), (F (1, x, y)).
10
Rozdział III. Krzywe algebraiczne 11
Definicja III.5. Krzywą afiniczną C = (f) nazywamy osobliwą w punkcie P = (x, y) "
"f "f
Ż
C(k) jeżeli (x, y) = (x, y) = 0.
"x "y
Krzywą afiniczną C = (f) nazywamy gładką (nieosobliwą), gdy jest nieosobliwa w każ-
Ż
dym punkcie C(k). Krzywą rzutową nazywamy nieosobliwą gdy jej wszystkie kawałki afi-
niczne są nieosobliwe.
Propozycja III.3. Krzywa C/k jest nieosobliwa w punkcie P , gdy ideał maksymalny
MP punktu P w pierścieniu lokalnym
Ż Ż
k[V ]P = {f/g " k(V ) : g(P ) = 0}.

Ż
jest główny. Wtedy pierścien lokalny k[V ]P jest pierścieniem waluacji dyskretnej z generato-
Ż
rem MP jako parametrem regularnymdla a " k. (uniformizującym).
Definicja III.6. Rozniczkowania wymierne na krzywej algebraicznej C sa to odwzoro-
Ż Ż Ż
wania k liniowe � : k(C) - k(C) spelniajace
(1) �(f + g) = �(f) + �(g),
(2) �(fg) = �(f)g + f�(g),
Ż
(3) �(k) = 0
Ż
Czyli &!(C) jest k(C) przestrzenią wektorową generowaną przez wyrażenia postaci dx,
Ż
dla x " k(C) spełniające następujące relacje
(1) d(x + y) = dx + dy,
(2) d(xy) = xdy + (dx)y,
(3) da = 0,
Jeżeli � " &!C, t jest lokalnym parametrem w punkcie P , to istnieje jedyna funkcja
Ż
g " k(C) taka, że � = g � dt.
Definicja III.7. Rzad rozniczkowania � w pnukcie P jest to ( ord)P � := ( ord)P g.
Definicja III.8. Dywizorem na krzywej C nazywamy formalna kombinację liniową D =

nP P o wsółczynnikach calkowitych punktów krzywej C. Stopień dywizora D definiu-
P "C

jemy następująco deg D = nP .
P

Ż
Jeśli f " K(C)" to definiujemy div(f) = (ordP f)P . Podobnie jeśli � " &!(C)" to
P

definiujemy div(�) = (ordP �)P .
P
Ż
Propozycja III.4. (1) div(f) = 0 �! f " k".
(2) deg div(f) = 0.
Dowód. Wynika z tw. Bezoute a.
12 S. Cynk
Definicja III.9. Dywizor D nazywamy efektywnym (piszemy D 0 jeżeli np 0 dala
każdego P .
Ż
Niech L(D) := {f " k(C)" : div(f) -D} *" {0} oraz l(D) = dimk L(D).
Ż
Propozycja III.5. (1) deg D < 0 �! L(D) = (0),
(2) l(D) < ",
<"
(3) Jeżeli D2 = D + div(f) to L(D) L(D2 ). W szczególności l(D) = l(D2 ).
=
Definicja III.10. Dywizorem kanonicznym KC na C nazywamy dowolny dywizor postaci
div(�).
Twierdzenie III.6 (Riemanna Rocha). Dla dowolnego dywizora D na krzywej C mamy
l(D) - l(KC - D) = deg D - g + 1
gdzie g jest genusem krzywej C.
Wniosek III.7. (1) l(KC) = g,
(2) deg KC = 2g - 2,
(3) Jeżeli deg D > 2g - 2, to l(D) = deg D - g + 1.
ROZDZIAA
IV
Równanie Weierstrassa
Jeśli punkt " = [0 : 1 : 0] jest jedynym punktem krzywej stopnia 3 w nieskończoności
(tzn. punkt w nieskończoności jest punktem przegięciakrzywej, a prosta w nieskończoności
jest styczna do krzywej), to równanie krzywej przyjmuje postać
2
E : Y Z + a1XY Z + a3Y Z2 = X3 + a2X2Z + a4XZ2 + a6Z3
czyli w zapisie afinicznym
E : y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6.
Jesli char = 2 to możemy po prawej stronie dopełnić do kwadratów zastępując y przez

1
(y - a1x - a3). Otrzymamy wtedy
2
E : y2 = 4x3 + b2x2 + b4x + b6,
gdzie
b2 = a2 + 4a2,
1
b4 = 2a4 + a1a3,
b6 = a2 + 4a6.
3
Definiujemy dodatkowo
b8 = a2a6 + 4a2a6 - a1a3a4 + a2a2 - a2,
1 3 4
c4 = b2 - 24b4,
2
c6 = b3 + 36b2b4 - 216b6,
2
" = -b2b8 - 8b3 - 27b2 + 9b2b4b6,
2 4 6
c3
4
j = ,
"
dx dy
� = =
2y + a1x + a3 3x2 + 2a2x + a4 - a1y
Mamy wtedy
4b8 = b2b6 - b2 oraz 1728" = c3 - c2.
4 4 6
Jeśli char k = 2, 3 to mmożemy dalej uprościć zastepując (x, y przez

x - 3b2 y
,
36 216
i otrzymując
E : y2 = x3 - 27c4x - 54c6.
13
14 S. Cynk
Definicja IV.1. " nazywamy wyróżnikiem, j nazywamy j niezmiennikiem, a � nie-
zmienniczą różniczka.
Uwaga. Pokażemy, że jedyne przekształcenia zachowujące postać Weierstrassa to tzw.
transformacje dopuszczalne
Ż
x = u2x2 + r, y = u3y2 + u2sx2 + t, gdzie u, r, s, t " K, u = 0.

Jeśli E : y2 = x3 + Ax + B, to
(4A)3
" = -16(4A3 + 27B2), j = 1728 .
"
Ż
Jedyne transformacje dopuszczalne zachowujące tę postać to x = u2x2 , y = u3y2 , u " K".
Wtedy u4A2 = A, u6B2 = B, u12"2 = ".
Propozycja IV.1. (a) Krzywe zadane równaniem Weierstrassa można sklasyfiko-
wać następująco
(i) E jest nieosobliwa wtw gdy " = 0,

(ii) E ma node a wtw gdy " = 0, c4 = 0,

(iii) E ma ostrze (cusp) wtw gdy " = 0, c4 = 0.
(b) Dwie krzywe w postaci Weierstrassa są izomorficzne wtw gdy mają ten sam j
niezmiennik.
Ż
(c) Niech j0 " k. Wtedy istnieje krzywa eliptyczna zdefiniowana nad k(j0) majaca j
niezmiennik równy j0.
Dowód. (a) Punkt " = [0 : 1 : 0] jest zawsze nieosobliwy. Podstawienie x = x2 + x0,
y = y2 + y0 pozostawia " i c4 niezmienione, a więc mozemy przjąć, że badamy punkt (0, 0).
"f "f
Ponieważ a6 = f(0, 0) = 0, a4 = = 0 oraz a3 = = 0 więc f ma postać
"x "y
f(x, y) = y2 + a1xy - a2x2 - x3 = 0
która ma c4 = (a2 + 4a2)2 oraz " = 0. Ponieważ wyznacznik formy kwadratowej jest rowny
1
c4 otrzymujemy tezę.
Na odwrot jesli krzywa jest nieosobliwa i char k = 2 to możemy przyjąć równanie y2 =

4x2 + b2x2 + b4x + b6, wtedy " jest wyróżnikiem wielomianu.
(b) Jeśli krzywe mają równe j-niezmienniki, oraz char k = 2, 3, to

E : y2 = x3 + Ax + B
E : y2 2 = x2 3 + A2 x2 + B2 .
Wtedy
(4A)3 (4A2 )3
=
4A3 + 27B2 4A2 3 + 27B2 2
Rozdział IV. Równanie Weierstrassa 15
a stąd A3B2 2 = A2 3B2. Szukamy u takiego, że (x, y) = (u2x2 , u3y2 ).
B
Przypadek 1. A = 0 (j = 0), wtedy B = 0, i możemy wziąć u = (B )1/6. Przypadek 2.

2
A
B = 0 (j = 1728), wtedy A = 0, i możemy wziąć u = (A )1/4. Przypadek 3. A = 0 i B = 0,

2
A B
wtedy możemy wziąć u = (A )1/4 = (B )1/6.
2 2
(c) Jeśli j0 = 0, 1728, to bierzemy krzywą

36 1
y2 + xy = x3 - x - ,
j0 - 1728 j0 - 1728
2
j0
otrzymując " = , j = j0.
(j0-1728)3
E : y2 + y = x3, " = -27, j = 0
E : y2 = x3 + x, " = -64, j = 1728.
Uwaga, jeśli char(k) = 2 (" 3, to 0 = 1728.
Wniosek IV.2. Jeśli E/k jest krzywą eliptyczną (char k = 2), to

ńł
�ł
2, j = 0, 1728,

�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
4, j = 1728, char k = 3,

| Autk(E)| =
Ż
�ł

�ł6, j = 0, char k = 3,
�ł
�ł
�ł
ół
12, j = 0(= 1728), char k = 3.

Wniosek IV.3. Jeśli � jest niezmienniczym różniczkowaniem na krzywej eliptycznej E,
to div(�) = 0. W szczegolnosci g(E) = 1.
Wniosek IV.4. Jeśli A, B, C " E, to
A + B = C �! C <" (A + B - O),
to znczy na E istnieje funkcja wymierna mająca pojedyncze zera w A i B oraz pojedyncze-
bieguny w C i O.
Wniosek IV.5. A + (B + C) = D �! D <" (A + B + C - 2O) <" (A + B) + C = D.
Twierdzenie IV.6.
(1) Jeśli E/k jest gładką krzywą o genusie g(E) = 1, to
ńł
�ł
0, deg D < 0,
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
0, deg D = 0, D <" 0,
l(D) = .
�ł
�ł1, D <" 0,
�ł
�ł
�ł
ół
deg D, deg D > 0.
(2) Jeśli deg D = 1, to istnieje jedyny punkt P " E taki, że (P ) <" D (tzn. P =
div(f) + D).
16 S. Cynk
(3) Jeśli O " E(k), to E z działaniem
E � E " (A, B) C " E,
gdzie C jedyny punkt taki, że A + B - O <" C.
(4) Jeżeli O " E(k), to istnieją funkcje x, y " k(E) takie, że odwzorowanie Ś : E P2,
Ś = [x : y : 1] jest izomorfizmem E/k na krzywą Weierstrassa
E : y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6.
Funkcje x, y nazywamy współrzędnymi Weierstrassa.
(5) Jedynymi przekształceniami zachowującymi postać Weierstrassa są transformacje
Ż
dopuszczalne x = u2x2 + r, y = u3y2 + su2x2 + t, u, r, s, t " k, u = 0.

Dowód. (d) Wiemy, że l(kO) = k, k 1. Wypiszemy bazę
l(O) = k � 1,
l(2O) = k � 1 �" k � x,
l(3O) = k � 1 �" k � x �" k � y,
l(4O) = k � 1 �" k � x �" k � y �" k � x2,
l(5O) = k � 1 �" k � x �" k � y �" k � x2 �" k � xy,
l(6O) = k � 1 �" k � x �" k � y �" k � x2 �" k � xy �" k � x3.
Ale y2 " (6O), czyli y2 jest kombinacją liniową wcześniejszych, to daje równanie Weierstrassa.
Jeśli x2 , y2 są innymi współrzędnymi Weierstrassa, to x2 " L(2O), y2 " L(3O). Czyli x2 =
u1x + r, y2 = u2y + s - 1x + t, podstawiając dostajemy u2 = u3 czyli u1 = u2, u2 = u3, gdzie
2 1
u2
u = . Poza tym porównując współczynniki przy xy mamy s1 = us.
u1
Rodzina Legendre a. Są to krzywe w postaci
y2 = x(x - 1)(x - ),
gdzie
(2 -  + 1)3
j() = 28 .
2( - 1)2
Rodzina Hessa. Są to krzywe w postaci
y2 + ąxy + y = x3,
gdzie
ą3(ą3 - 24)3
j(ą) = ,  gdzie ą = 3.

ą3 - 27
Punkt (0, 0) ma rząd 3.
Rodzina Jakobi ego. Są to krzywe w postaci
1
y2 = (x2 - �2)(x2 - ) = (x4 - 2�x2 + 1),
�2
1 1
gdzie � = (�2 + ).
2 �2
Rozdział IV. Równanie Weierstrassa 17
Definicja IV.2. Morfizmem krzywych eliptycznych nazywamy odwzorowanie regularne
(lub równoważnie wymierne) f : E - F takie, że f(OE) = OF .
Propozycja IV.7. Dowolny morfizm krzywych eliptycznych jest homomorfizmem grup
abelowych.
Dowód. Niech P, Q " E, Wtedy P + Q jest jedynymm punktem R " E takim, że
dywizory P + Q oraz R + OE są liniowo równoważne. Wtedy dywizory f(P ) + f(Q) oraz
f(R) + f(OE) są liniowo równoważne. Ponieważ f(OE) = OF oznacza to, że f(R) = f(P ) +
f(Q).
W zbiorze endomorfizmów wprowadzamy dodawanie i mnożenie
(f + g)(P ) = f(P ) + g(P )
f � g(P ) = f(g(P )).
Niech d(f) = [k(C) : f"k(C)], Niech (x, y) będą współrzędnymi Weierstrassa, wtedy d(f) =
[k(x) : k(f"(x))] = deg(f"(x)) (stopień funkcji wymiernej)
Lemat IV.8.
d(fg) = d(f)d(g)
Lemat IV.9.
d(f + g) + d(f - g) = 2d(f) + 2d(g)
Dowód. Niech (x, y) będą współrzędnymi Weierstrassa na E oraz f"(x) = �1, g"(x) = �2,
(f + g)"(x) = �3, (f - g)"(x) = �4 Wtedy �3 = �1 + � + 2, �4 = �1 - �2 oraz
2 2
1 : �3+]xi4 : �3�4 = (�1 - �2)2 : 2(�1�2 + A)(�1 + �2) + 4B : �1�2 - 2A�1�2 - 4B(�1 + �2) + A2
a stąd
deg �3 + deg �4 = 2 deg �1 + 2 deg �2.

Wniosek IV.10. Istnieją r, s, t " Z (zależne tylko od f i g) takie, że
d(mf + ng) = rm2 + smn + tn2
dla dowolnych m, n " Z.
Ponadto r 0, t 0, 4rt - s2 0.
Dowód. Nierówności wynikają stąd, ze d(nf + mg) 0, czyli forma kwadratowa jest
dodatniopółokreślona.
18 S. Cynk
Lemat IV.11. Dowolny endomorfizm f spełnia równanie postaci
f2 = sf + t = 0,
dla penych s, t " Z.
Dowód. Niech d(nf + m) = tn2 + smn + m2, Wtedy d(f2 - sf - l(s + l)) = d((f +
l)(f - s - l)) = d(f + l)d(f - s - l) = (l2 + sl + t)2 = t2 + 2tl(l + s) + (l(l + s))2. Na mocy
poprzedniego wniosku (zastosowanego do f2 - sf i 1) otrzymujemy d(f2 - sf + n = (t - n)2,
w szczególności d(f2 - sf + t) = 0 czyli f2 - sf + t = 0.
Twierdzenie IV.12. Hasse-Weil Niech E będzie krzywą eliptyczną nad ciałem skończo-
nym Fq. Wtedy liczba punktów N = #E(Fq) spełnia nierównośc
1
2
|N - (q + 1)| 2q .
Dowód. Jeżeli E jest zadana w postaci Weierstrassa y2 = x3 + Ax + B to odwzorowanie
F : E " (x, y) (xq, yq) " E, jest dobrze zdefiniowanym endomorfizmem (Frobeniusa).
Sprawdzamy bezpośrednio, że d(F ) = q, więc d(F - 1) = q - s + 1, gdzi es2 4q.
Zauważmy, że przeciwobraz zera przez odwzorowanie F -1 składa się z tych punktów (x, yE "
Ż
(F)q dla których xq = x, yq = y, czyli jest równy zbiorowi E(Fq). Ponieważ wszystkie elementy
przeciwobrazu zera są jednokrotne, więc #E(Fq) = d(F - 1), co kończy dowód.