SNy: Biotechnologia
Krzywe sto\
kowe  Algebra
z geometrią analityczną  wykłady
notatki ze studiów na kierunku Biotechnologia
na Wydziale Chemicznym Politechniki Wrocławskiej
Autor:
Mateusz Jędrzejewski
[e-mail]
www.jedrzejewski.one.pl
otatka jest częścią projektu SNy (Studenckie Notatki
N
Cyfrowe). Notatki są samodzielnie sporządzane
i opracowywane przez studentów Politechniki. Udostępniane
są w Internecie. Ka\
dy mo\
ne z nich korzystać dowoli
w celach edukacyjnych.
waga na błędy! Mimo staranności jaką wło\
yli autorzy
w opracowanie tej notatki mogą zdarzyć się błędy.
U
Ka\
dy więc korzysta z tych materiałów na własną
odpowiedzialność. Wszelkie zauwa\
one błędy proszę
zgłaszać autorowi notatki (najlepiej drogę elektroniczną).
śyczę wszystkim skutecznego korzystania z notatek.
Mateusz Jędrzejewski
(autor strony www.sny.one.pl)
Szczegółowe informacje o notatce
Nazwa pliku: e-notatka - krzywe stozkowe - wyklady.pdf
Nazwa kursu: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w)
Prowadzący kurs: dr Lidia Janicka
Semestr/rok: 06z (rok 1, I semestr)
Kierunek: Biotechnologia
Wydział: Wydział Chemiczny
Uczelnia: Politechnika Wrocławska
Autor notatki: Mateusz Jędrzejewski
Status: Notatka jest w trakcie tworzenia
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 2
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w)  wykłady.
Temat: Krzywe sto\
kowe  wstęp. Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
Krzywe sto\
kowe  wstęp
22.12.2006 r.
Sto\
ek  powierzchnia zakreślona podczas obrotu jednej prostej (zwanej TWORZ
C
) wokół

innej prostej (zwanej OSI
OBROTU) przecinającej tworzącą pod kątem ą "(0, ).
2
Krzywa sto\
kowa  krzywa powstała w wyniku przecięcia sto\
ka płaszczyzną (znanej TN
C
)
nieprzechodzącą przez jego wierzchołek.
rys. 1.  rodzaje krzywych sto\
kowych
http://pl.wikipedia.org/wiki/Grafika:Krzywe_sto\
kowe.png
Rodzaje krzywych sto\
kowych w zale\
ności od kąta � (pomiędzy osią sto\
ka a płaszczyzną tnącą):

- okrąg dla � = , tj. płaszczyzna tnąc jest prostopadła do osi sto\
ka,
2

- elipsa dla ą < � < ,
2
- parabola dla � = ą , tj. płaszczyzna tnąc jest równoległa do tworzącej sto\
ka,
- hiperbola dla 0 d" � < ą .
Krzywe sto\
kowe są płaskie, tj. ka\
da z nich mieści się na jednej płaszczyz
nie.
OKR
G
Okrąg to zbiór takich punktów P(x, y) płaszczyzny, \
e ich odległość
od ustalonego punktu P0(x0, y0) jest stała.
PoP = r
z odległości dwóch punktów płaszczyzny:
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r
wynika równie okręgu:
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 3
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w)  wykłady.
Temat: Krzywe sto\
kowe  wstęp. Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
STYCZNA DO OKR
GU
Styczna do okręgu to prosta, która le\
y z okręgiem w jednej płaszczyz
nie i ma z nim
dokładnie jednej punkt wspólny.
P1 " O
P(x, y) P0(x0, y0) P1(x1, y1)
P0P1 = (x1 - x0, y1 - y0)
P1P = (x - x1, y - y1)
P0P1 Ą" P1P �! P0P1 o P1P = 0
z własności iloczynu skalarnego wynik, \
e:
(x1 - x0)(x - x1) + ( y1 - y0)( y - y1) = 0
z tego, \
e punkt P1 nale\
y do okręgu:
(x1 - x0)2 + ( y1 - y0)2 = r2
zestawiając te równania:
(x1
ńł - x0)(x - x1) + ( y1 - y0)(y - y1) = 0
�ł
- x0)2 + ( y1 - y0)2 = r2
ół(x1
ńłx1x - x12 - x0x + x0x1 + y1y - y12 - y0 y + y0 y1 = 0
�ł
�ł
2
+
�ł - 2x0x1 + x02 + y12 - 2y0 y1 + y02 = r2
ółx1
x1x - x0x - x0x1 + x02 + y1y - y0 y - y0 y1 + y02 = r2
x(x1 - x0) - x0(x1 - x0) + y(y1 - y0) - y0( y1 - y0) = r2
(x1 - x0)(x - x0) + (y1 - y0)(y - y0) = r2
Styczna do okręgu zawsze jest prostopadła do promienia tego okręgu.
zad. 1.
Znalez
ć równanie okręgu o środku P0(1,2) przechodzącym przez punkt P1(3,5) .
2 2
2
2
r2 = P0P1 = ( (3 -1)2 + (5 - 2)2) = ( 22 + 32) = ( 13) = 13
(x -1)2 + (y - 2)2 = 13
zad. 2.
Wyznaczyć współrzędne środka i promienie okręgu o równaniu x2 - 4x + y2 + 8y = 0 .
x2 - 4x + y2 + 8y = 0
(x - 2)2 - 4 + ( y + 4)2 -16 = 0 bo (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 20
S(2,4)
r = 20 = 2 5
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 4
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w)  wykłady.
Temat: Krzywe sto\
kowe  wstęp. Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
zad. 3.
Znalez
ć równanie okręgu przechodzącego przez punkty P(2,5) oraz Q(-1,3) wiedząc,
\
e środek tego okręgu le\
y na osi Oy .
Szukamy punktu S(0, y0) takiego, \
e:
PS = QS
(0 - 2)2 + ( y0 - 5)2 = (0 +1)2 + ( y0 - 3)2
4 + y02 -10y0 + 25 = 1+ y02 - 6y0 + 9
y02 -10y0 + 29 = y02 - 6y0 +10
19 19
y02 -10y0 + 29 = y02 - 6y0 +10 �! - 4y0 = -19 �! y0 = �! S(0, )
4 4
2
19 19 65
r = PS = (0 - 2)2 + (y0 - 5)2 �! r2 = y02 -10y0 + 29 = ( ) -10 �" + 29 =
4 4 16
więc:
19
(x - 0)2 + (y - )2 = r2
4
19 65
x2 + (y - )2 =
4 16
zad. 4.
Znalez
ć równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach:
A(0,0) B(3,5) C(-1,3)
I sposób
Wiadomo, \
e środek okręgu opisanego na trójkącie le\
y w punkcie przecięcia
symetralnych boków tego trójkąta.
5
prosta AB : y = x
3
3-0 5-0 3 5
SAB( , ) �! SAB( , )
2 2 2 2
5
y -
2 3 5 3 9 3 17
symetralna AB : = - �! y - = - x + �! y = - x +
5 2 5 10 5 5
3
x -
2
y - y0
bo = a �! y = a(x - x0) + y0 �! y = ax + ( y0 - ax0)
x - x0
5 3
gdzie a �" = -1 �! a = - bo prosta AB Ą" symetralna AB
3 5
prosta AC : y = -3x
-1-0 3-0 1 3
SAC( , ) �! SAB(- , )
2 2 2 2
3
y -
2 3 1 1 1 5
1
symetralna AC : = �! y - = x + �! y = x +
3 2 3 6 3 3
1
x +
2
1
gdzie a �"(-3) = -1 �! a = bo prosta AC Ą" symetralna AC
3
Środek okręgu to punkt przecięcia się symetralnych, więc:
3 17 3 17 26 26
y =
ńł - x + x + = x = x =
ńł1 5 - x +
ńł14 15 ńł
5 5 3 3 5 5 15 14
�! �! �!
�ł �ł �ł �ł
1 5 1 5 1 5 1 13 5
x + x + x + �" +
óły = 3 3 óły = 3 3 óły = 3 3 óły = 3 7 3
13
x =
ńł
7
13 16
�! S( , )
�ł
7 7
16
óły = 7
169 256 425
r = AS = (13 - 0)2 + (16 - 0)2 �! r2 = + �! r2 =
7 7 49 49 49
13 16 425
(x - )2 + (y - )2 =
7 7 49
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 5
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w)  wykłady.
Temat: Krzywe sto\
kowe  wstęp. Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
II sposób
Szukamy S(x0, y0) oraz r takich, \
e punkty A , B , C spełniają równanie
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 , więc:
ńłx02 + y02 = r2
ńł - x0)2 + (0 - y0)2 = r2
(0
�ł
�ł
�ł
�ł(3 - x0)2 + (5 - y0)2 = r2 �! �ł9 - 6x0 + x02 + 25 -10y0 + y02 = r2
�ł(-1- x0)2 + (3 - y0)2 = r2 �ł
�ł1- 2x0 + x02 + 9 - 6y0 + y02 = r2
ół
ół
ńłr2 - x02 - y02 = 0
ńłr2 = x02 + y02 ńłr2 = x02 + y02
�ł
�ł �ł
�ł
�ł9 - 6x0 + 25 -10y0 = r2 - x02 - y02 �! �ł- 6x0 -10y0 + 34 = 0 �! �ł3x + 5y0 = 17
0
�ł �ł- 2x0 - 6y0 +10 = 0 �łx + 3y0 = 5
0
�ł1- 2x0 + 9 - 6y0 = r2 - x02 - y02
ół ół
ół
ńłr2 = x02 + y02 ńłr2 = x02 + y02 ńłr2 = x02 + y02
�ł �ł �ł
�ł3x + 5y0 = 17 �! �ł3(3y - 5) + 5y0 = 17 �! �ł9y -15 + 5y0 = 17
0 0 0
�łx = 3y0 - 5 �łx = 3y0 - 5 �łx = 3y0 - 5
0 0 0
ół ół ół
425
ńłr2 = x02 + y02 ńłr2 = x02 + y02 ńłr2 = x02 + y02
ńł
r2 = (13)2 + (16)2 =
7 7 49
�ł �ł �ł
�ł
�! = �! =
�ł14y = 32 �! �ły = 16 �ły 16 �ły 16
0 0 7 0 7 0 7
�łx = 3y0 - 5 �łx = 3�"(16) - 5 �łx = �łx =
13 13
0 0 7 0 7 0 7
ół
ół ół ół
Ostatecznie równanie ma postać:
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2
13 16 425
(x - )2 + (y - )2 =
7 7 49
zad. 5.
Napisać równanie stycznej do okręgu x2 + 2x + y2 - 4y = 0 w punkcie Q(0,0) oraz
w punkcie W (-3,3) .
x2 + 2x + y2 - 4y = 0
(x +1)2 -1+ (y - 2)2 - 4 = 0 bo (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(x +1)2 + (y - 2)2 = 5
r2 = 5 S(-1,2) �! x0 = -1 '" y0 = 2
ogólne równanie stycznej:
(x1 - x0)(x - x0) + (y1 - y0)( y - y0) = r2
dla punktu Q(0,0) :
(0 +1)(x +1) + (0 - 2)(y - 2) = 5
x +1- 2y + 4 = 5
1
y = x
2
dla punktu W (-3,3) :
(-3 +1)(x +1) + (3 - 2)(y - 2) = 5
- 2x - 2 + y - 2 = 5
y = 2x + 9
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 6
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w)  wykłady.
Temat: Krzywe sto\
kowe  wstęp. Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
zad. 6.
Napisać równania prostych stycznych do okręgu x2 - 2x + y2 + 4y = 0 przechodzących
przez punkt Q(1,1) .
Punkt Q le\
y na tym okręgu.
Równanie pęku prostych przechodzących przez (1,1) ma postać:
y -1
= k �! y -1 = k(x -1)
x -1
Szukamy takiego k , \
e prosta y -1 = k(x -1) ma dokładnie jeden punkt wspólny
z naszym okręgiem, czyli " = 0 równania kwadratowego, więc:
y
ńł -1 = k(x -1) y = k(x -1) +1
ńł
�!
�ł �ł
2 2
ółx - 2x + y2 + 4 y = 0 ółx - 2x + (k(x -1) +1)2 + 4(k(x -1) +1) = 0
y = k(x -1) +1
ńł
�ł
2
ółx - 2x + (kx - k +1)2 + 4(kx - k +1) = 0
wiadomo, \
e: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc , więc:
y = k(x -1) +1
ńł
�ł
2 2
ółx - 2x + k2x2 + k +1- 2k2x + 2kx - 2k + 4kx - 4k + 4 = 0
y = k(x -1) +1
ńł
�ł
2
ół(k +1)x2 + (2k2 + 6k - 2)x + k2 - 6k + 5 = 0
(k2 +1)x2 + (-2k2 + 6k - 2)x + k2 - 6k + 5 = 0
2 2 2 2 2
" = (-2k2 + 6k - 2)2 - 4(k - 6k + 5)(k +1) = 4(-k + 3k -1)2 - 4(k - 6k + 5)(k +1)
2 2 2
" = 0 �! 4(-k + 3k -1)2 - 4(k - 6k + 5)(k +1) = 0
2
(-k + 3k -1)2 = (k2 - 6k + 5)(k2 +1)
4 2 2 2
k + 9k +1- 6k3 + 2k - 6k = k4 + k2 - 6k3 - 6k + 5k + 5
2
2 2
5k - 4 = 0 �! k = (" k = -
5 5
Styczne mają więc równania:
y = k(x -1) +1
2 2 -2+ 5
y = (x -1) +1 �! y = x +
5 5 5
2+ 5
2 2
y = - (x -1) +1 �! y = - x +
5 5 5
zad. 7.
Napisać równanie stycznej do okręgu (x -1)2 + ( y + 2)2 = 5 :
a) równoległej do prostej 2x - y + 3 = 0 ,
b) prostopadłej do prostej x + 3y + 2 = 0 .
Rozwiania:
a) I sposób
Szukamy prostej y = 2x + b która ma dokładnie jeden punkt wspólny z naszym okręgiem
o równaniu (x -1)2 + ( y + 2)2 = 5 .
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 7
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w)  wykłady.
Temat: Krzywe sto\
kowe  wstęp. Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
y = 2x + b y = 2x + b
ńł ńł
�!
�ł �ł
ół(x -1)2 + ( y + 2)2 = 5 ół(x -1)2 + (2x + b + 2)2 = 5
y = 2x + b
ńł
�ł
2
ółx - 2x +1+ 4x2 + b2 + 4 + 4bx + 8x + 4b = 5
y = 2x + b
ńł
�ł
2
ół5x + 2(2b + 3)x + b2 + 4b = 0
5x2 + 2(2b + 3)x + b2 + 4b = 0
" = 4(2b + 3)2 - 20(b2 + 4b) = 4(4b2 +12b + 9) - 20(b2 + 4b)
" = 0 �! 4(4b2 +12b + 9) - 20(b2 + 4b) = 0
4b2 +12b + 9 = 5b2 + 20b
b2 + 8b - 9 = 0
"b = 82 - 4 �" (-9) = 64 + 36 = 100 �! "b = 100 = 10
- 8 +10
b1 = = 1
2
- 8 -10
b2 = = -9
2
więc, odpowiedz
to styczne o równaniach:
2x - y +1 = 0
2x - y - 9 = 0
a) II sposób
Szukamy prostej 2x - y + b = 0 która jest odległa od środka okręgu o jego okręgu:
S(1,-2) r2 = 5 �! r = 5
Ax0 + By0 + C
d =
A2 + B2
2x0 - y0 + b 2 �"1- (-2) + b
r = �! 5 =
5
22 + (-1)2
5 = b + 4 �! b = 1 (" b = -9
więc, odpowiedz
to styczne o równaniach:
2x - y +1 = 0
2x - y - 9 = 0
b)
x + 3y + 2 = 0
1 2
y = - x -
3 3
prosta prostopadła do niej ma więc ogólnie równanie:
1
y = 3x + b bo - �" a = -1 �! a = 3
3
3x - y + b = 0
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 8
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w)  wykłady.
Temat: Krzywe sto\
kowe  wstęp. Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
Szukamy takiego b dla którego prosta 3x - y + b = 0 jest odległa od środka okręgu
o jego promień:
S(1,-2) r2 = 5 �! r = 5
Ax0 + By0 + C
d =
A2 + B2
3x0 - y0 + b 3�"1- (-2) + b
r = �! 5 =
10
32 + (-1)2
50 = b + 5 �! b = -5 + 50 (" b = -5 - 50
więc, odpowiedz
to styczne o równaniach:
3x - y - 5 + 50 = 0
3x - y - 5 - 50 = 0
ELIPSA
Elipsa to zbiór punktów, których suma odległości od dwóch ustalonych punktów F1, F2
(zwanych OGNISKAMI ELIPSY) jest stała (równa 2a ).
W układzie współrzędnych, w którym oś Ox
przechodzi przez ogniska F1, F2 a oś Oy jest
symetralną odcinka F1F2 równanie ma postać:
F1P + F2P = 2a
P(x, y) F1(-c,0) F2(c,0)
2
(x + c)2 + y2 + (x - c)2 + y2 = 2a
(x + c)2 + y2 + (x - c)2 + y2 + 2 (x + c)2 + y2 (x - c)2 + y2 = 4a2
x2 + 2cx + c2 + y2 + x2 - 2cx + c2 + y2 + 2 (x + c)2 + y2 (x - c)2 + y2 = 4a2
2 (x + c)2 + y2 (x - c)2 + y2 = 4a2 - 2x2 - 2y2 - 2c2 : 2
(x + c)2 + y2 (x - c)2 + y2 = 2a2 - x2 - y2 - c2 2
2
[(x + c)2 + y2]�"[(x - c)2 + y2]= (2a2 - x2 - y2 - c2)
[x2 + 2cx + c2 + y2]�"[x2 - 2cx + c2 + y2]= 4a4 + x4 + y4 + c4 - 4a2(x2 + y2 + c2) +
+2x2 y2 + 2y2c2 + 2x2c2
x4 - 2cx3 + x2c2 + x2 y2 + 2cx3 - 4c2x2 + 2c3x + 2cxy2 + c2x2 - 2c3x + c4 + c2 y2 +
+ y2x2 - 2cxy2 + y2c2 + y4 = 4a4 + x4 + y4 + c4 - 4a2(x2 + y2 + c2) +
+2x2 y2 + 2y2c2 + 2x2c2
- 4c2x2 = 4a4 - 4a2x2 - 4a2 y2 - 4a2c2 : 4
x2(a2 - c2) + a2 y2 = a2 (a2 - c2) : a2(a2 - c2)
x2 y2
+ = 1
a2 a2 - c2
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 9
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w)  wykłady.
Temat: Krzywe sto\
kowe  wstęp. Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
mo\
na przyjąć, \
e: b2 = a2 - c2 , wtedy równanie przyjmie postać:
x2 y2
+ = 1
a2 b2
ogólne równie elipsy ma postać:
(x - x0)2 ( y - y0 )2
+ = 1
a2 b2
cdn.
Zagadnienia, które zostaną omówione na następnym wykładzie:
- Równanie stycznej elipsy,
- Równanie hiperboli,
- Równania asymptot hiperboli,
- Równania stycznej hiperboli,
- Równanie paraboli,
- Równania stycznej paraboli.
Mo\
na przynieść propozycje zadań do rozwiązania na tym wykładzie.