Zastosowania metody symbolicznej
Przykład 1.
R1
i t L
( )
e t =12 2 cos�0t V, �0 =106 rad ,
( )
s
R3
e t
( )
R2
R1 = 400&!, R2 =1k&!, R3 = 500&!,
C
L =1mH, C = 2nF.
Wyznaczyć prąd (w stanie ustalonym)
Wyznaczyć prąd i t (w stanie ustalonym)
i t
( )
( )
Ą
j
Ą
2
�! E = 12e = j12
e t = 12 2 cos�0t = 12 2 sin �0t +
( )
( )
2
Symboliczny schemat zastępczy:
Z
R1
L
I
R3
E
R2
C
E
1
I = gdzie Z = R1 + j�0L +
1 1
Z
+
1
1
R
R2 R3 +
R +
j�0C
Po podstawieniu danych liczbowych
�ł �ł
�ł �ł
1 1
Z = 400 + j1000 + = �"103 = 0,8 + j0,8 �"103
( )
�ł0,4 + j+ �ł
1 1 2
+ 1+
�ł �ł
1000 500 - j500 1- j
�ł łł
Ą
j
j12
4
I = �"10-3 = 7,5 + j7,5 �"10-3 = 7,5 2 �"10-3e
( )
0,8 + j0,8
Ą Ą
i t = 7,5 2 �"10-3 2 sin t +
( )
( )
(� )= 15�"10-3 sin(� t + )V.
0 0
4 4
Przykład 2.
R2
Ą
iz t = 2�"10-3 sin t -
( )
(� )A, �0 =104 rad ,
0
4
s
R1
iz t u t
( ) ( ) L R3
R1 =1k&!, R2 = 2k&!, R3 = 2k&!,
C
L = 0,2H, C = 50nF.
Wyznaczyć napięcie (w stanie ustalonym)
u t
( )
( )
2�"10-3 - jĄ 2�"10-3 Ą Ą
�łcos - jsin �ł
Ą
4
�! I = e = =
iz t = 2�"10-3 sin t -
( )
z
�ł �ł
(� )
0
4
4 4
2 2
�ł łł
�ł
2�"10-3 �ł 2 2
= - j = 1- j �"10-3
( )
�ł �ł
2 2
2
�ł łł
Symboliczny schemat zastępczy:
Y
R2
R1
I U L R3
Z
C
1 1
I
z
gdzie Y = +
U = ,
1 1
Y
R1 + R2 +
R1 + R2 +
1 1
1 1
j� C
j�0C
+
+
R3 j�0L
Po podstawieniu danych liczbowych
Y = 0,5 + j0,3 �"10-3,
( )
U = 0,5882 - j2,353 = 2,425e- j1,326,
u t = 2,425 2 sin �0t -1,326 V.
( ) ( )
Przykład 3.
R1 C R2
e1 t = 25 2 cos�0t V,
i t ( )
( )
�0 = 104 rad ,
s
e2 t = 5 2 sin�0t V,
( )
R3
e1 t e2 t
( ) ( )
R1 = 1k&!, R2 = 100&!, R3 = 100&!,
L
L = 10mH, C = 0,1�F.
Wyznaczyć prąd (w stanie ustalonym)
i t
( )
jĄ
2
e1 t = 25 2 cos�0t �! E1 = 25e = j 25
( )
e2 t = 5 2 sin�0t �! E2 = 5ej0 = 5
( )
Symboliczny schemat zastępczy:
R2 I 2
I1 R1 C
1
I
U
2
U
1
R3
E1 E2
U
a b
L
Prawa Kirchhoffa Prawo Ohma
1 1
I1 = U1 = E1
( -U ,
)
1. - I1 - I + I = 0,
2
1 1
1 1
R + R +
R1 + R1 +
j�0C j�0C
� �
a. - E1 +U1 +U = 0, �! U1 = E1 -U
1 1
I = U = E2 -U ,
( )
2
b. -U -U + E2 = 0, �! U = E2 -U
R2 2 R2
2 2
1
I = U.
R3 + j�0L
1 1 1
- E1 E2 U = 0
( -U - ( -U +
) )
1
R2 R3 + j�0L
R1 +
j�0C
E1 + E2
1
R2
R1 +
j�0C
U =
1 1 1
+ +
1
R3 + j�0L R2
R1 +
E1 = j25 V,
j�0C
�0 = 104 rad ,
s
E2 = 5 V,
R1 = 1k&!, R2 = 100&!, R3 = 100&!,
Po podstawieniu danych liczbowych
L = 10mH, C = 0,1�F.
j25 5
+
1
j25
102
2
103 +
+ 50
=1+ j
=1+ j
j10-3
j10-3
1- j
1- j
1- j
-
U =
=
= =
1 1 1
1 10
2
+ +
+ +10
= 1- j
1
102 + j102 102
1- j 1+ j
1+ j
103 +
j10-3
37,5 + j12,5 37,5 + j12,5
= = = 2,015 + j1,392
0,5 + j0,5 + 5 - j5+10 15,5 - j4,5
1 2,015 + j1,392
I = U = = 17,03 - j3,119 �"10-3
( )
= 17,32 �"10-3e- j0,1811
R3 + j�0L 100 + j100
i t = 17,32 �"10-3 2 sin �0t - 0,1811 A.
( ) ( )
Przykład 4.
L
Ą
e t = 20sin t -
( )
i t
( )
(� )V, �0 =106 rad
0
4
s
iz t = 0,01 2 cos�0t A,
( )
R1
e t R2 C iz t
( ) ( )
R1 = 500&!, R2 = 2,2k&!,
L = 0,8mH, C =1,5nF.
Wyznaczyć prąd (w stanie ustalonym)
i t
( )
Ą
- j
20
Ą
4
e t = 20sin �0t - �! E = e =10 - j10
( )
( )
4
2
iz t = 0,01 2 cos�0t �! I = j0,01
( )
z
Prawa Kirchhoffa
Symboliczny schemat zastępczy:
-I + I1 - I = 0, �! I1 = I + I
z z
L
-E + U +U1 = 0,
I
R1
I1
Prawo Ohma
U
1
U = I,
E R2
U C I
1 z
1 1
+
R1 j�0L
1 1
U1 = I1 = I + I ,
( )
z
1 1
+ j�0C + j�0C
R2 R2
1 1
1 1
-E + I + I + I = 0
( )
( )
z
1 1 1
+ + j�0C
R1 j�0L R2
I
z
E -
1
+ j�0C
R2
I = = 15,03 - j11,11 �"10-3 = 18,69 �"10-3e- j0,6365
( )
1 1
+
1 1 1
+ + j�0C
R1 j�0L R2
i t = 18,69 �"10-3 2 sin �0t - 0,6365 A.
( ) ( )
Metoda napięć węzłowych
C
i t
( ) iz t = 2 2 sin�0t A, �0 = 1rad
( )
s
R1 = 1&!, R2 = 1&!, R3 = 2&!,
L
R1
1 1
L = H, C = F.
2 2
i t R R
iz t R2 R3
( )
( )
u t
u t
( )
( )
u t = ? i t = ?
= =
( ) ( )
( ) ( )
I = 2ej0 = 2
z
Symboliczny schemat zastępczy:
C
R1
L
I
2 3
1
U
I n1 U
R2 U R3
z
n2
U
n3
1
-I + U -U + j�0C U -U = 0
( ) ( )
z n1 n3
1.
R1 n1 n2
1 1 1
- U -U + U + U -U = 0
2.
( ) ( )
n2 n3
R1 n1 n2 R2 n2 j�0L
1 1
- U -U - j�0C U -U + U = 0
( ) ( )
n2 n3 n1 n3
3.
j�0L R3 n3
C
R1
L
I
2 3
1
U
I n1 U
R2 U R3
z
n2
U
n3
�ł �łU - U - j�0CU = I
1 1
j�0C +
n3 z
�ł
R1 �ł n1 R1 n2
�ł łł
�ł �łU -
1 1 1 1 1
- U + + + U = 0
n2 n3
�ł
R1 n1 �ł R1 R2 j�0L j�0L
�ł łł
�ł �łU = 0
1 1 1
- j�0CU - U + j�0C + +
n1 n2 n3
�ł �ł
j�0L R3 j�0L
�ł łł
C
R1
L
I
U
I n1 U
R2 U R3
z
n2
U
n3
1 2 3
1 2 3
�ł łł
1 1
j�0C + - -j�0C
1 �ł śł
R1 R1
�ł śł U I
�ł łł �ł łł
n1 z
�ł śł
1 1 1 1 1 �łU śł �ł śł
- + + - = 0
n2
2
�ł śł
�ł śł �ł śł
R1 R1 R2 j�0L j�0L
�ł śł
�łU śł �ł 0 śł
n3
�ł �ł �ł �ł
1 1 1
�ł śł
-j�0C - j�0C + +
3
j�0L R3 j�0L
�ł śł
�ł �ł
1
U = U I = U -U
( )
n3 n2 n3
j�0L
Yn Un = In
Yn =
Yn =
Ykk, (Ymm)  suma admitancji gałęzi połączonych z węzłem k, (m)
Ymk, Ykm  suma admitancji gałęzi łączących węzły k i m
wzięta ze znakiem minus
Układ RLC, iz
t
Y = Y , czyli Yn = Yn
km mk
Algebraiczna suma wartości
skutecznych zespolonych prądów
z
ródłowych (wydajności
prądowych z
ródeł prądowych)
Ink
k
nk
dopływających do węzła k, przy
dopływających do węzła k, przy
czym prądy dopływające
In =
bierzemy ze znakiem plus,
a wypływające ze znakiem minus
�ł łł
1 1
j�0C + - -j�0C
�ł śł
R1 R1
�ł śł U I
�ł łł �ł łł
n1 z
�ł śł
1 1 1 1 1 �łU śł �ł śł
- + + - = 0
n2
�ł śł
�ł śł �ł śł
R1 R1 R2 j�0L j�0L
�ł śł
�łU śł �ł 0 śł
n3
�ł �ł �ł �ł
1 1 1
�ł śł
- j�0C - j�0C + +
j�0L R3 j�0L
�ł śł
�ł �ł
Po podstawieniu danych liczbowych
1 1
�ł1+ j łł
-1 -j
�ł śł
�ł1+ j 2 -1 -j 2 śł
U 2 U = 3 - j
U 2 U = 3 - j
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
2 2 n1 n1
�ł śł
�łU śł �ł0śł
-1 2 - j2 j2 =
U =1,5
n2
�ł śł n2
�ł śł �ł śł
�ł
1 1 3śł �łU śł �ł0śł
U =1
n2
�ł �ł �ł �ł
n3
-j j2 - j
�ł śł
2 2 2
�ł �ł
- jĄ
1
2
U = U = 1 I = U -U = - j2�"0,5 = - j=e
( )
n3 n2 n3
j�0L
u t = 2 sin �0t V,
( )
Ą
�ł
i t = 2 sin�ł�0t - = - 2 cos�0t A
( )
�ł �ł
2
�ł łł
Przykład 1.
iz t
( )
C2
R1 R2
L
R3
C3
e t C1 u t
( ) ( )
E = 4
I = j 5�"10-3
e t = 4 2 sin�0t V,
( )
z
�0 = 106 rad ,
s
iz t = 5�"10-3 2 cos�0t A,
( )
R1 = 500&!, R2 = 1 k&!, R3 = 2 k&!,
L = 2mH, C1 = 1nF, C2 = 500pF, C3 = 500pF.
u t = ?
( )
Symboliczny schemat zastępczy:
I
z
C2
R1 R2
L
1
2
E = 4
I = j 5�"10-3
z
U U
n1 n2
E R3
C3
C1 U
1 1 1
1 1 1
�ł łł
�ł łł
+ j�0C1 + -
�ł śł
R1 1 1
R2 + j�0L + R2 + j�0L +
E
�ł łł
�ł śł
j�0C2 j�0C2
- I
U
�ł łł
n1
�ł
�ł śł
R1 z śł
=
�łU śł
1 1 1 �ł śł
�ł śł
�ł n2 �ł
- + j�0C3 +
I
�ł śł
�ł z �ł
�ł 1 R3 1 śł
R2 + j�0L + R2 + j�0L +
�ł
j�0C2 j�0C2 śł
�ł �ł
Yn
U = U
n2
�ł łł U �ł łł
3�"10-3 + j10-3 -10-3 �ł łł 8�"10-3 - j 5�"10-3
n1
�ł śł = �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
-10-3 1,5�"10-3 + j 0,5�"10-3 �ł �łU n2 �ł �ł j 5�"10-3
�ł �ł
Po uproszczeniu przez 10 3
3 + j -1 U 8 - j 5
�ł łł �ł łł �ł łł
n1
=
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł -1 1,5 + j 0,5�ł �łU n2 �ł �ł j 5
śł �ł śł �ł śł
�ł �ł
"2
U = U =
U = U =
n2
n2
"
"n
3 + j 8 - j5
�ł łł
"2 = det = 3 + j10
�ł śł
-1 j5
�ł �ł
"n = det Yn = 3 + j3
3 + j10
U = = 2,167 + j1,167 = 2,46ej0,494
3 + j3
u t = 2,46 2 sin �0t + 0,494 V.
( ) ( )
Przykład 2.
L1
i t
( )
C1
R1
R2
C2
( )
e t
( ) ą i t
( ) L2 u t
e t = 2 2 cos�0t V, �0 = 1rad ,
( )
s
1 1
R1 = &!, R2 = 1&!, L1 = 1H, L2 = H, C1 = 2F, C2 = 1F, ą = 2.
2 2
u t = ?
( )
E = 2j
Symboliczny schemat zastępczy:
L1
I
C1 R1
1
2
R2 C2
U
E = 2j
n1
E
L2 U
ą I
U
n2
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
1 1 1 1 1
1. �ł + + �ł - �ł + �ł
U U =
1 1
j�0L1 �ł n1 �ł R2 + 1 j�0L1 �ł n2
�ł
�ł �ł �ł �ł
0 1 0 1
R1 + R2 +
R1 + R2 + R2 +
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
j�0C1 j�0C2 j�0C2
�ł łł �ł łł
E ą ą
E
= - U + U
= - ąI
1
1
j�0L1 n1 j�0L1 n2
R1 +
R1 +
j�0C1
j�0C1
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
1 1 1 1 1
2. - �ł �ł �ł �ł
+ U + + + U = 0
1
j�0L1 �ł n1 �ł R2 + 1 j�0L1 j�0L2 �ł 2
�ł
R2 +
�ł �ł �ł �ł
j�0C2 j�0C2
�ł łł �ł łł
1
I = U
( -U
)
j�0L1 n1 n2
1 1 1+ ą 1 1+ ą
�ł łł
+ + - -
E
�ł łł
�ł
1 1 1
j�0L1 j�0L1 śł
�ł śł
R1 + R2 + R2 +
�ł śł 1
R1 +
j�0C1 j�0C2 j�0C2
�ł śł
U
�ł łł
�ł śł
n1
j�0C1 śł
=
�ł
�łU śł
�ł śł
1 1 1 1 1
�ł n2 �ł
�ł śł
- - + +
�ł śł
1 1
j�0L1 j�0L1 j�0L2 śł �ł śł
�ł
R2 + R2 +
0
�ł śł
�ł �ł
�ł j�0C2 j�0C2 śł
�ł �ł
Po podstawieniu danych liczbowych
3 1 1 5
3 1 1 5
�ł łł
�ł łł
- j - + j
�ł
�ł łł -2 + j2
�ł łł
2 2 2 2śł U n1
�ł śł =
�łU śł �ł śł
0
�ł- 1 + j 1 1 - j 5 śł
�ł n2 �ł �ł �ł
�ł śł
2 2 2 2
�ł �ł
6 4
U = U = - - j = 0,5547e- j2,5536
n2
13 13
u t = 0,5547 2 sin t - 2,5536 V.
( ) ( )
Przykład 3.
R3
Ą
e t = 6sin �0t - V, �0 =1,
( )
( )
4
R1 =1&!,
L
R1
R2 =1&!,
u t
e t R2 ( ) R3 =1&!,
( )
C
1
L = H,
L = H,
2
2
C =1F.
u t = ?
( )
E = 3 - j3
Symboliczny schemat zastępczy
R3
R1
L
1
2
3
E = 3 - j3
U
n1
U U
n3 n2
E C
U
R2
�ł �ł
1 1 1 1
j�0C + +
1.
n1 n 2 n3
�ł �łU - j�0L U - R1 U = 0
R1 j�0L
�ł łł
�ł �ł
1 1 1 1 1
- U + + +
2.
n1 n 2 n3
�ł �łU - R3 U = 0
j�0L R2 R3 j�0L
�ł łł
W węz
le 3: (nie jest to równanie z I prawa Kirchhoffa)
U = E
3.
n3
Równania można uporządkować tak
1 1 1 1
�ł łł
j�0C + + - -
�ł śł
R1 j�0L j�0L R1 �łU łł �ł 0 łł
n1
�ł śł
1 1 1 1 1
�łU śł �ł śł
�ł śł
- + + - = 0
�ł śł �ł śł
j�0L R2 R3 j�0L R3 śł n 2
�ł
�łU śł �łEśł
n3
�ł �ł �ł �ł
�ł śł
0 0 1
�ł śł
�ł �ł
lub, po uwzględnieniu równania 3, tak
lub, po uwzględnieniu równania 3, tak
1 1 1 1
�ł łł �ł łł
j�0C + + - E
�ł śł �ł śł
R1 j�0L j�0L R1
U
�ł łł
n1
=
�ł śł �ł śł
�łU śł
1 1 1 1 1
�ł n 2 �ł
�ł śł �ł śł
- + + E
j�0L R2 R3 j�0L R3 �ł
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł
Po podstawieniu danych liczbowych
1- j j2 U 3 - j3
�ł łł �ł łł �ł łł
n1
=
�ł
j2 2 - j2śł �łU n2 śł �ł3 - j3śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
3 9
U = U = - j = 2,372e- j1,249
n2
4 4
u t = 2,372 2 sin t -1,249 V.
( ) ( )
Przykład 4.
C2
i t
( )
e t = 5 2 cost V,
( )
C1
L1 L2
R1 = 1&!, R2 = 2&!,
i0 t
( )
L1 = 2H, L2 = 1H,
e t � i t
( ) R1 ( )
R2
C1 = 1F, C2 = 2F, � = 2&!
Wyznaczyć prąd i0 t
Wyznaczyć prąd i0 t
( )
( )
e t = 5 2 cost �! E = j5, �0 = 1
( )
Symboliczny schemat zastępczy
C2
I
C1
L1 L2
3
1 2
I
0
U
U
n3
n2
� I
E
R1 U
R2
n1
�ł �ł
1 1 1
1. + j�0C1 + j�0C2 + - j�0C2U - U = j�0C1E
�ł
n2
R1 j�0L1 łł j�0L1
R1 j�0L1 �łU n1 j�0L1 n3
�ł
�ł łł
�ł �ł
1 1 1
2. - j�0C2U + + j�0C2 + U = 0
�ł �łU -
n1
R2 j�0L2 łł n2 j�0L2 n3
�ł
W węz
le 3 (nie jest to równanie na podstawie I prawa Kirchhoffa!)
3. U = � I = � �ł j�0C2 U -U łł
( )�ł
n3 n1 n2
�ł
czyli, po uporządkowaniu
3. - j�0C2�U + j�0C2�U + U = 0
n1 n2 n3
C2
I
C1
L1 L2
3
1 2
I
0
U
U
n3
n2
� I
E
R1 U
R2
n1
�ł łł
1 1 1
�ł + j�0C1 + j�0C2 + - j�0C2 - śł
R1 j�0L1 j�0L1 śł
�ł
U j�0C1E
�ł łł �ł łł
n1
�ł śł
1 1 1
�łU śł �ł śł
�ł śł
- j�0C2 + j�0C2 + - = 0
�ł śł �ł śł
śł
R j� L j� L
R2 j�0L2 j�0L2 śł �ł n2 śł �ł
�ł
�ł śł
�ł śł �ł 0 śł
�łU n3 �ł �ł �ł
�ł śł
�ł śł
-j�0C2� j�0C2� 1
�ł śł
�ł �ł
To nie są admitancje!
Po podstawieniu danych i wyznaczeniu obliczamy
U
n2
1
I = U = -2,537 + j1,171 = 2,794 ej2,709
0
R2 n2
i ostatecznie
i0 t = 2,794 2 sin t + 2,709 A.
( ) ( )
Przykład 4.
C3
e t = 5 2 sin�0t V, �0 = 103 rad ,
( )
� u t
C1 C2 ( ) s
R1 = 500&!, R2 = 2k&!, R3 = 1k&!,
C1 = 1�F, C2 = 1�F, C3 = 0,5�F, � = 2.
e t u0 t
( ) R1 u t R2 R3 ( )
( )
u0 t = ?
( )
Wyznaczyć napięcie u0 t
Wyznaczyć napięcie u0 t
( )
( )
e t = 5 2 sin�0t �! E = 5
( )
Symboliczny schemat zastępczy
C3
U
n1
� U
C1
C2
1 3
U
E R1 U R2 n3 R3 0
U
U
n2
2
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
1 1
1 1
1. + j� C + j� C + j� C - - j� C
1. + j�0C1 + j�0C2 + j�0C3 �łU n1 + - - j�0C1 �łU n2 - j�0C2U = j�0C1E
�ł �ł
�ł �łU + �ł �łU - j� C U = j� C E
n3
R1 R1
�ł łł �ł łł
�ł �ł �ł �ł
1 1 1 1 1
2. - - j�0C1 �łU n1 + + + + j�0C1 �łU n2 - U = - j�0C1E
�ł �ł
R1 R1 R2 R3 R2 n3
�ł łł �ł łł
3. U = -� U -� U -U
=
( )
n3
n1 n2
czyli
� U - � U +U = 0
n1 n2 n3
C3
� U
C1
C2
1 3
E R1 U R2 R3 0
U
U
n2
2
1 1
�ł
+ j�0C1 + j�0C2 + j�0C3 - - j�0C1 - j�0C2 łł
�ł śł
R1 R1
�ł śł
U j�0C1E
�ł łł �ł łł
n1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
�ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�łU śł �ł- j�0C1Eśł
- - j�0C1 + + + j�0C1 - =
�ł
śł
R1 R1 R2 R3 R2 śł �ł n2 śł �ł
�ł śł
�ł śł �ł 0 śł
�łU n3 �ł �ł �ł
�ł � -� 1 śł
�ł śł
�ł �ł
Po podstawieniu danych liczbowych i rozwiązaniu otrzymujemy
U = -U = -0,168 + j2,091 = 2,0974ej1,651
0 n2
czyli
u0 t = 2,0974 2 sin �0t +1,651 V
( ) ( )
Metoda prądów oczkowych
E3
R2
I
4
3
E2
L
I1 R1
I
2
I
5
I
3
E1 R3
C
2
1
1
1
1. -E1 + R1 I1 + I = 0
3
j�0C
1
2. - I + j�0LI + E2 + R3 I = 0
3 2 5
j�0C
3. - j�0LI + R2 I - E3 - E2 = 0
2 4
E3
R2
I
4
I
I1 = I
m3
m1
E2
L
I1 R1
I
I = I - I
2
2 m2 m3
I
5
I = I - I
I
3 m1 m2
3
E1 R3
C
I I I = I
m1 m2
4 m3
I = I
5 m2
1
1. -E1 + R1 I + I - I = 0
( )
m1 m1 m2
j�0C
1
2. - I - I + j�0L I - I + E2 + R3 I = 0
( ) ( )
m1 m2 m2 m3 m2
j�0C
3. - j�0L I - I + R2 I - E3 - E2 = 0
( )
m2 m3 m3
R2 E3
I
m3
E2
R1
L
E1
C R3
I
I
m1
m2
�ł �ł
1 1
1. R1 + I - I = E1
�ł �ł m1 m2
j�0C j�0C
�ł łł
�ł �ł
1 1
2. - I + R3 + j�0L + I - j�0LI = -E2
m1 �ł �ł m2 m3
j�0C j�0C
j�0C j�0C
�ł łł
�ł łł
3. - j�0LI + R2 + j�0L I = E2 + E3
( )
m2 m3
1 1
�łR + łł
- 0
1
�ł śł
j�0C j�0C
I E1
�ł łł �ł łł
m1
�ł śł
1 1
�łI śł �ł
�ł śł
- R3 + j�0L + - j�0L = -E2 śł
m2
�ł śł �ł śł
j�0C j�0C
�ł śł
�łI śł �łE2 + E3śł
�ł �ł
0 -j�0L R2 + j�0Lśł �ł m3 �ł �ł
�ł śł
�ł �ł
Zm
 macierz zespolonych impedancji oczkowych
ZmIm = Em
Z Z
kk kj
Zm =
Z Z
Z Z
jk jj
Zkk, (Zjj)  suma impedancji zespolonych gałęzi tworzących oczko k, (j)
Zjk, Zkj  impedancje zespolone gałęzi należących jednocześnie do
oczek k i j, wzięte ze znakiem  + gdy prądy Imk i Imj płyną we
wspólnej gałęzi w tym samym kierunku, lub ze znakiem    gdy
płyną w kierunkach przeciwnych
Układ RLC, e
t
Z = Z , czyli Zm = Zm
kj jk
Algebraiczna suma wartości
skutecznych zespolonych SEM
z
ródeł napięciowych, znajdujących
się w oczku k, przy czym SEM
Emk
k Emk
skierowaną zgodnie z orientacją
Em =
oczka bierzemy ze znakiem plus,
a skierowaną przeciwnie  ze
znakiem minus
Przykład 1.
C
R1
L
i t
( )
e t R3 iz t
( ) ( )
R2
Ą
Ą
E = 1+ j
e t = 2sin t + V,
= +
( )
( )
( )
( )
4
�0 = 1rad
( )
I = 1- j
s
z
Ą
iz t = 2sin t - A,
( )
( )
4
R1 =1&!, R2 = 1&!, R3 = 2&!,
1
L = 2 H, C = F.
2
i t = ?
( )
C
R1
L
I
E = 1+ j
E R2 I R3
I
z
I
m1 I = 1- j
m2
z
1 1
�łR + R2 + łł
R1 +
1
�ł śł
j�0C j�0C E
I
�ł łł �ł łł
m1
=
�ł śł
�łI śł �łE - R3 I śł
1 1
z
�ł m2 �ł �ł �ł
�ł śł
R1 + R1 + R3 + j�0L +
j�0C j�0C
j�0C j�0C
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
�ł �ł
I = I
m1
2 - j2 1- j2 I 1+ j
�ł łł �ł łł �ł łł
m1
=
�ł1- j2 śł �łI śł �ł-1+ j3śł
3
�ł �ł �ł m2 �ł �ł �ł
I = I = -0,1647 - j0, 2588 = 0,3068e- j2,138
m1
i t = 0,3068 2 sin t - 2,138 A.
( ) ( )
Przykład 2.
R3
L
i t
( )
C
iz t
( )
e t R1 R2
( )
E = 2
e t = 2 2 sin t V,
( )
rad
�0 =1
( ) I = j
s z
iz t = 2 cost A,
( )
R1 = 2&!, R2 =1&!, R3 = 3&!,
1
L = 2 H, C = F.
2
i t = ?
( )
R3
L
I
m3
I
C
I
z
E
R1 R2
I
m1 E = 2
I
m2
I = j
z
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
1 1 1
1 1 1
1. R + I - R + I - I = E
1. R1 + I - R1 + I - I = E
m1 m2 m3
�ł �ł �ł �ł
j�0C j�0C j�0C
�ł łł �ł łł
�ł �ł �ł �ł �ł
1 1 1
2. -�ł R1 + I + R1 + R2 + R3 + j�0L + I + R3 + j�0L + I = 0
m1 m2 m3
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
j�0C j�0C j�0C
�ł łł �ł łł �ł łł
Dla oczka 3. nie potrafimy napisać równania na podstawie II prawa Kirchhoffa
(nie znamy napięcia na z
ródle prądowym). Zastępujemy je równaniem
3. I = I
m3 z
Po podstawieniu równania 3. do 1. i 2. i uporządkowaniu
1
1 1
�ł łł
�ł łł
E + I
R1 + -R1 -
z
�ł śł
�ł śł
j�0C
j�0C j�0C
I
�ł łł
m1
�ł śł
�ł śł =
�łI śł
1
�ł
1
�ł-�ł R3 + j�0L + śł
�ł-R1 - 1 śł �ł m2 �ł
R1 + R2 + R3 + j�0L +
I
z
�ł �ł
j�0C j�0C
�ł śł
�ł śł
j�0C
�ł łł
�ł �ł
�ł �ł
I = I
m2
2 - j2 -2 + j2 I 4
�ł łł �ł łł �ł łł
m1
=
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł-2 + j2 6
śł �ł śł �ł- j3�ł
śł
�ł �ł �łI m2 �ł �ł
I = I = 0,5 - j =1,118e- j1,107
m2
i t =1,118 2 sin t -1,107 A.
( ) ( )
Induktory sprzężone magnetycznie
i2 t
i1 t
( )
( )
M
di1 di2
u1 t = L1 + M
( )
dt dt
u1 t L1 L2 u2 t
( ) ( )
di1 di2
u2 t = M + L2
( )
dt dt
M  indukcyjność wzajemna, [M] = H
Warunek fizycznej realizowalności:
Warunek fizycznej realizowalności:
2
M
L1L2 - M e" 0 lub
k = d" 1
L1L2
k  współczynnik sprzężenia
Zaciski jednoimienne (zaznaczone na schemacie np. kropkami)  początki
(lub końce) uzwojeń. Jeżeli prądy i1(t) i i2(t) jednocześnie wpływają do
zacisków jednoimiennych (lub wypływają z nich), to strumienie
magnetyczne wytworzone przez te prądy sumują się.
i1 t �! I1 i2 t �! I u1 t �! U1 u2 t �! U
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
U1 = j�0L1I1 + j�0M I
2
U = j�0M1I1 + j�0L2 I
2 2
I1 I
2
j�0L1 I1 L1 L2 j�0L2 I
2
U U
U1 U
2
j�0M I1
j�0M I
2
Reguła strzałkowania z
ródeł sterowanych pochodzących od sprzężenia:
jeżeli prądy i1(t) i i2(t) jednocześnie wpływają do zacisków
jednoimiennych (lub wypływają z nich), to z
ródła sterowane strzałkujemy
przeciwnie do prądu w gałęzi, w której się znajdują.
�! �!
�! �!
Przykład 1.
C
R1
M
e t L1 L2 R2 u t
( ) ( )
e t = 5 2 sin t V,
e t = 5 2 sin t V,
( )
( )
1
R1 = 2&!, R2 =1&!, C = F,
4
L1 = 4 H, L2 = 2 H, M = 1H,
u t = ?
( )
C C
I1 I
2
i2 t
i1 t ( )
M
( )
R2
L1 L2
R1 R1
( ) I U
L1 L2 R2 u t
m1 I
m2
E
e t
( )
j�0M I j�0M I1
2
�ł �ł
1
R1 + j�0L1 + I = E - j�0M I
m1 2
�ł �ł E = 5
j�0C
�ł łł
R2 + j�0L2 I = j�0M I1
( )
( )
m2
I1 = I , I = -I
m1 2 m2
1
�łR + j�0L1 + łł
- j�0M
I E
�ł łł �ł łł
1
m1
�ł śł
j�0C
=
�łI śł �ł śł
�ł śł
-j�0M R2 + j�0L2 �ł �ł m2 �ł �ł 0 �ł
�ł
Zm
2 -j I 5
�ł łł �ł łł �ł łł
m1
=
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł- j 1+ 2j�ł �łI m2 �ł �ł0śł
śł �ł śł �ł
�ł �ł
I = 0,8 + j0,6
m2
U = R2 I = 0,8 + j0,6 = ej 0,6435
m2
u t = 2 sin t + 0,6435 V.
( ) ( )
Przykład 2.
C
L2 i2 t
R1
( )
M
R2 R3
L1
e t
( )
i1 t
( )
i t
( )
e t = 15 2 sin t V,
( )
R1 =1&!, R2 = 1&!, R3 = 1&!, C = 2 F,
1
L1 = H, L2 = 4H, M =1H.
2
i t = ?
( )
L2 I 2 j�0M I1
C
R1
C
L2 i2 t
R1
( )
L1
M
I I
L1 R2 R3 I1 m2
e t m1 I
( ) E
R2 R3
m3
i1 t
( ) i t
( )
j�0M I
2 I
E = 15
R1 + j�0L1 I - j�0L1 I = E - j�0M I
( )
m1 m2 2
�ł �ł
1
- j�0L1 I + R2 + j�0L1 + I - R2 I = j�0M I
- j�0L1 I + R2 + j�0L1 + I - R2 I = j�0M I
m1 m2 m3 2
m1 m2 m3 2
�ł �ł
�ł �ł
j� C
j�0C
�ł łł
�ł łł
-R2 I + R2 + R3 + j�0L2 I = - j�0M I1
( )
m2 m3
I1 = I - I I = I
m1 m2 2 m3
�łR1 + j�0L1 łł
- j�0L1 j�0M
I E
�ł łł �ł łł
m1
�ł śł
1
�łI śł �ł śł
�ł śł
- j�0L1 R2 + j�0L1 + -R2 - j�0M = 0
m2
�ł śł �ł śł
j�0C
�ł śł
�łI śł �ł 0 śł
�ł
j�0M -R2 - j�0M R2 + R3 + j�0L2 śł �ł m3 �ł �ł �ł
�ł �ł
I = I - I
m2 m3
1+ j0,5 - j0,5 j I 15
�ł łł �ł łł �ł łł
m1
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł - j0,5 1 -1- j I = 0
śł �ł śł �ł śł
m2
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł j -1- j 2 + j4�ł �łI m3 �ł �ł 0
śł �ł śł �ł śł
�ł �ł
I = -2 + j4
m2
I = -3 + j
m3
I = I - I = 1+ j3 = 3,162ej1,249
I = I - I = 1+ j3 = 3,162ej1,249
m2 m3
i t = 3,162 2 sin t +1,249 A.
( ) ( )
Zasada superpozycji
r t = r1 t + r2 t
( ) ( ) ( )
gdzie
r2 t
r2 t
( )
( )
p t
p1 t
( ) = 0
( ) = 0
Obwód
Obwód
SLS
p2 t
( )
Wyłączanie pobudzeń:
autonomiczne z
ródło napięciowe usuwamy z obwodu i zwieramy zaciski do
których było ono dołączone;
autonomiczne z
ródło prądowe usuwamy z obwodu i pozostawiamy rozwarte
zaciski do których było ono dołączone.
Nie wolno usuwać z
ródeł sterowanych  to nie są pobudzenia!
p1 t = P1 2 sin �0t +�1 �! P1 p2 t = P2 2 sin �0t +�2 �! P2
( ) ( ) ( ) ( )
P1
R1 R2
SLS
P2
P2 R2
P1 R1
P1
R
R
SLS
SLS
P2
0 0 0
r t = r1 t + r2 t = 2 Im R1ej� t + 2 Im R2ej� t = 2 Im R1 + R2 ej� t
( ) ( ) ( ) ( )
{ } { } { }
R
R = R1 + R2
Pobudzenia sinusoidalne o różnych pulsacjach
p1 t
( )
r t
( )
SLS
p2 t
( )
p1 t = P1 2 sin �01t +�1 , p2 t = P2 2 sin �02t +�2 , �01 `" �02
( ) ( ) ( ) ( )
Nie wolno zastosować metody symbolicznej!
Nie wolno zastosować metody symbolicznej!
p1 t p1 t = 0
( ) ( )
r1 t r2 t
( ) ( )
p2 t = 0 p2 t
( ) ( )
Każdy z powyższych układów można analizować metodą symboliczną
Zgodnie z twierdzeniem o superpozycji:
r t = r1 t + r2 t
( ) ( ) ( )
p1 t �! P1;�01 p2 t �! P2;�02
( ) ( )
P1
R1
R2
SLS SLS
P2
1 2
P1 R1 = R1ej� P2 R2 = R2ej�
R = R1 + R2
R = R1 + R2
y
le!!!
y
le!!!
01
R1 �! r1 t = 2 Im R1ej� = R1 2 sin �01t +�1
( ) ( )
{ }
02
R2 �! r2 t = 2 Im R2ej� = R2 2 sin �02t +�2
( ) ( )
{ }
r t = r1 t + r2 t = R1 2 sin �01t +�1 + R2 2 sin �02t +�2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Przykład 1.
R1
L
iz t
e t u t
( ) ( ) R2 C ( )
rad
e t = 2 2 sin 2t V,
e t = 2 2 sin 2t V,
( )
( )
(� = 2 )
(� = 2 )
01
01
s
s
iz t = 2 cost A,
( )
(� = 1rad)
02
s
1
R1 =1&!, R2 = 2&!, L =1H, C = F.
2
u t = ?
( )
R1
L
iz t
e t u t
( ) ( ) R2 C ( )
A B
A B
L
R1
L
2
e t u t 2 2 R2 C
( ) ( ) R2 C R1 u t
( ) iz t
( )
2 2 2
u t = u t + u t
( ) ( ) ( )
A. iz(t) = 0, E = 2; �01 = 2
R1
L
2
E C
U R2
1
1
1
+ j� C
+ j�01C
R2
2
U = E = - 0, 2353 - j0,9412 = 0,9702e- j1,816
1
R1 + j�01L +
1
+ j�01C
R2
2
u t = 0,9702 2 sin 2t -1,816
( ) ( )
B. e(t) = 0, Iz = j; �02 = 1
L
2 2
R2 C
R1 U I
z
1
2 2
U = I = j
z
1 1
1 1
+ j� C +
+ j�02C +
R2 R1 + j�02L
+ �
2 2
u t = 2 cost
( )
2 2 2
u t = u t + u t = 0,9702 2 sin 2t -1,816 + 2 cost V.
( ) ( ) ( ) ( )
Przykład 2.
e2 t
( )
L
e1 t = 2 2 sin�01t V, �01 = 104 rad ,
( )
s
C2
R1
e2 t = 2 cos�02t V, �02 = 5 �"103 rad ,
( )
s
i t
( )
R1 = 200&!, R2 = 1k&!, L = 20mH,
e1 t ą i t R2 u t
( ) C1 ( ) ( )
C1 = 0,1�F, C2 = 0,25�F, ą = 2.
Wyznaczyć napięcie u t
( )
Pulsacje pobudzeń są różne!
A.
L
e2 t = 0
( )
R1 1 C2
3 2
I
U
U
n3
n2
E1 = 2; �01 = 104
U
E1 R2
C1 U2
n1
ą I
Nie wolno usunąć z
ródła sterowanego!!!
Układ równań na napięcia węzłowe:
Układ równań na napięcia węzłowe:
�ł �ł
1 1
+ j�01C1 + j�01C2 �łU n1 - j�01C2U - U = 0,
n2
�ł
R1 R1 n3
�ł łł
�ł �ł
1 1 1
-j�01C2U + + j�01C2 + ,
n1 n2 n3
�ł �łU - j�01L U = -ą I = -ą j�01C1U n1
R2 j�01L
�ł łł
U = E1.
n3
I = j�01C1U
n1
L
R1 1 C2
3 2
I
U
U
n3
n2
U
E1 R2
C1 U2
n1
ą I
E1
1 �ł łł
�ł łł
+ j�01C1 + j�01C2 - j�01C2
�ł
�ł śł
R1
U R1
U R1 śł
�ł łł
�ł łł
1
n1
n1
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
=
=
�ł śł
�łU śł
1
E1
�ł śł
�ł śł
�ł n2 �ł
- j�01C2 +ą j�01C1 1 + j�01C2 +
R2 j�01L �ł śł
�ł śł
j�01L
�ł �ł
�ł �ł
U2 = U = 3,039 - j1,176 = 3, 259e- j0,3692
n2
2
u t = 3, 259 2 sin �01t - 0,3692 V
( ) ( )
B.
C2
L
2
1
I
e1 t = 0
( )
U
n2
R1 U R2 E2
C1 U2 2
n1
ą I
E2 = j, � = 5�"103
02
Układ równań na napięcia węzłowe:
�ł �ł
1
+ j�02C1 + j�02C2 �łU n1 - j�02C2U = 0,
n2
�ł
R1
�ł łł
E2
�ł �ł E2
1 1
-j�02C2U + + j�02C2 +
n1
n1 n2
�ł �łU = j�02L -ą I = j�02L -ą j�02C1U ,
R2 j�02L
�ł łł
I = j�02C1U
n1
C2
L
2
1
I
U
n2
R1 U R2 E2
C1 U2 2
n1
ą I
1
�ł łł
+ j�02C1 + j�02C2 -j�02C2
0
�ł łł
�ł śł
R1
U
�ł łł
n1
�ł
�ł śł
=
E2 śł
�łU śł
�ł śł
1
�ł śł
�ł n2 �ł
-j�02C2 +ą j�02C1 1 + j�02C2 +
j�02L
�ł śł
�ł �ł
�ł 02 �ł
R2 j�02L
R2 j�02L
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
�ł �ł
U2 2 = U = 0,1353 + j1,124 = 1,132ej1,451
n2
2 2
u t = 1,132 2 sin �02t +1,451 V.
( ) ( )
Ostatecznie
2 2 2
u t = u t + u t = 3, 259 2 sin �01t - 0,3692 +1,132 2 sin �02t +1,451 V.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Twierdzenie Th�venina i Nortona
Z
T
A
Twierdzenie
Th�venina ET
A
SLS
B
E, I
A
z
B
Twierdzenie
I
Y
N
N
Nortona
B
ZT
U ET U = ET
0 0
E, I
z
Z
T
ET
I =
zw
I ET
zw
Z
T
E, I
z
U
0
E = U Z =
T 0 T
I
zw
I
N
I Y
U U0 =
N N
0
Y
N
E, I
z
I = I
I I Y
zw N
zw N N
E, I
z
I
zw
I = I Y =
N zw N
U
0
ET
A
I = 0
SLS
U = ET Z
0
E, I
z
B
ET
-I
I
0
SLS
0
E = 0
Z
Z
0
0
+
E, I
z
I = 0
z
ET
I0
SLS
�!
E = 0
Z
0
I = 0
z
Z
SLS
T
E = 0
�!
Y
I = 0
z N
1
Y =
N
Z
T
Nie usuwamy z układu z
ródeł sterowanych!!!
SLS
SLS
I
U
zw
0
E, I
E, I
z
z
ET = U I = I
0 N zw
U I
0 zw
0 zw
Z = Y =
Z = Y =
T N
I U
zw 0
Z
T
SLS
E = 0, I = 0
z
Y
N
Nie wyłączamy z
ródeł sterowanych!!!
Z
Norton
�ł�ł�ł�ł

I
E Y
z
�!�ł�ł�ł
�ł
Th�venin
I
E
z
I =
E =
z
Z
Y
�! �!
1
1
Y =
Z =
Z
Y
Moc w obwodzie przy pobudzeniu sinusoidalnym
i t
( )
Dwójnik
SLS
u t
( )
p t = u t i t
Moc chwilowa dostarczona do dwójnika: ( ) ( ) ( )
Zakładamy, że prąd i napięcie mają postać:
Zakładamy, że prąd i napięcie mają postać:
i t = I 2 sin �0t +�i
( ) ( )
u t = U 2 sin �0t +�
( ) ( )
u
p t = 2UI sin �0t +� sin �0t +�i =
( ) ( ) ( )
u
= UI cos � -�i -UI cos 2�0t +� +�i
( ) ( )
u u
2sin xsin y = cos x - y - cos x + y
( ) ( )
u
U = Uej�
I
Z
i
I = Iej�
Z = R + j X = Zej�
U
i u
U = Z I = Zej�Iej� = ZIej(� +�i ) = Uej� , U = ZI, � = � +�i
u
p t = UI cos� -UI cos 2�0t + 2� +�
( ) ( )
i
p t
( )
P
P
t
Wartość średnia mocy chwilowej
t0 +T
1 2Ą
P = p t dt = UI cos� , T =
( )
+"
T �0
t0
P  moc czynna, [P] = W
cos�  współczynnik mocy
Przykład
Dostawca energii Odbiornik
i t
( )
L
e t u t u t
( ) ( ) ( )
R
e t = E 2 sin �0t V, E = 230 V, f0 = 50 Hz, R =100 &!, L =1 H.
( )
Ć = 1,2625
�!
Z = R + j2Ąf0L =100 + j314 = 329,5ej1,2625
cosĆ = 0,303
U = E, U = 230
U
I = = 0,2118 - j0,665 = 0,698e-1,2625
Z
I = 0,698
P = UI cosĆ = 48,7 W
Dostawca energii Odbiornik
i t
( )
L
e t u t u t
( ) ( ) ( )
R
U = 230 V, I = 0,698 A,
P = 48,7 W
Z punktu widzenia dostawcy pobierany prąd jest zbyt duży  jakby
Z punktu widzenia dostawcy pobierany prąd jest zbyt duży  jakby
odbiorca pozornie pobierał większą moc:
S = UI =160,5
S nazywa się mocą pozorną
S = VA
[ ]
u
S \" U I" = Uej� Ie- j�i = UIej� = UI cos� + jUIsin� = P + jQ
S
 moc pozorna zespolona
S = S = UI
P = Re S = Re I
P = Re S = Re I" UI cos�
{ }
{ }
{U }=
{U }= UI cos�
Q = Im S = Im I" UI sin�
{ }
{U }=
Q  moc bierna
S = VA
[ ]
P = W
[ ]
Q = VAr
[ ]
S2 = P2 + Q2
 Trójkąt mocy
S = UI moc pozorna
P = UI cos� moc czynna
Q = UI sin� moc bierna
Z = R > 0 �! � = 0, cos� =1
p t = UI -UI cos 2�0t + 2�i
( ) ( )
P = UI
p t
( )
P
P
t
P
Generator Odbiornik
+
+
+
Ą
Z = j X �! � = ą , cos� = 0
2
Ą
�ł
p t = -UI cos�ł 2�0t + 2�i ą = ąUI sin 2�0t + 2�i
( ) ( )
�ł �ł
2
�ł łł
P = 0
p t
( )
t
t
- - -
- - -
- - -
- - -
P = 0
Generator Odbiornik
Q
+
+
+
+
+
+
R
Z = R + j X , R > 0, X `" 0 �! cos� = , 0 < cos� < 1
2
R2 + X
p t = UI cos� -UI cos 2�0t + 2�i +�
( ) ( )
P = UI cos�
p t
( )
P
t
- -
- -
- - -
- - -
-
-
P
Generator Odbiornik
Q
+
+
+
Przykład
R1
I
e t = 230 2 sin�0t V, f0 = 50 Hz,
( )
L
R1 = 1k&!, R2 = 100&!,
E U
C
L = 5H, C = 20 nF.
R2
rad
E = 230 V, �0 = 2Ąf0 = 100Ą
s
1
Z = R1 + = 1102 + j1587 &!
( )
1
1
j� C +
j�0C +
R2 + j�0L
Re Z
{ }
cos� = = 0,5074
Z
U E
i
I = = = 0,0679 - j0,978 = 0,119e- j0,964 = Iej�
Z Z
S = EI = 27,4 VA, P = EI cos� = 15,6 W, Q = S2 - P2 = 22,5 VAr
I2 C2 R1
L
1
= Im Z = 1587
{ }
E
U
C
2
�0C
R2
2
C H" 2�"10-6 F
1
Z2 = Z + = 1102&!
2
j�0C
cos� = 1
E
I2 = = 0, 209 A
Z2
2 2 2 2 2
S = EI = 48VA, P = EI cos� = 48 W, Q = 0
2 2
I > I, P > P
R1
I2 2
1
Y = = 0, 295 - j0, 425 �"10-3 S
( )
L
Z
E
U 2 2
C C
2 2
j�0C = - Im Y = 0, 425�"10-3
{ }
R2
2 2
C = 1,35�"10-6 F
2 2
Y2 2 = Y + j�0C = 0,295�"10-3 S
cos� = 1
cos� = 1
I2 2 = EY2 2 = 0,0679 A
2 2 2 2 2 2
S = EI = 15,6 VA, P = EI cos� = 15,6 W, Q = 0
2 2 2 2
I < I, P = P
Dopasowanie obciążenia do generatora
Z
g
I
Zadane Eg i Z
Eg
U
Z g
0
Z
Z
Należy znalez
ć impedancję dwójnika reprezentującego
Należy znalez
ć impedancję dwójnika reprezentującego
0
0
obciążenie, taką, aby do obciążenia przekazana została
maksymalna moc czynna.
Z i Z
Zakładamy, że są impedancjami dwójników ściśle
g 0
pasywnych, czyli
Re Z > 0 i Re Z > 0
{ }
{ }
g 0
P = Re U I"
{ }
Eg Z Eg
0
I = , U =
Z + Z Z + Z
g 0 g 0
"
ńł �ł
�ł �ł
Z Eg Eg Re Z
2
{ }
�ł �ł
0 0
P = Re = Eg
�ł �ł �ł żł
2
�ł �ł
Z + Z
g 0 Z + Z
�łZ g + Z 0 �ł łł �ł
g 0
ół �ł
Oznaczmy:
Z = Rg + j Xg, Z = R0 + j X0
g 0
Wówczas
2
R0
P = Eg
2 2
Rg + R0 + Xg + X0
( ) ( )
Należy znalez
ć maksimum funkcji w obszarze
P R0, X0
( )
0 < R0 < ", - " < X0 < "
Warunkami koniecznymi istnienia lokalnego ekstremum są:
"P "P
= 0 i = 0
"R0 "X0
2
2 2
Rg - R0 + Xg + X0
( )
2
"P
= Eg = 0
"R0 �ł R + R 2 + X + X 2 łł
"R0 �ł Rg + R0 2 + Xg + X0 2 łł2
( ) ( )
( ) ( )
�ł śł
�ł �ł
-2 Xg + X0 R0
( ) 2
"P
= Eg = 0
"X0 �ł Rg + R0 2 + Xg + X0 2 łł2
( ) ( )
�ł śł
�ł �ł
Jedynym rozwiązaniem w rozważanym obszarze jest
R0 = Rg i X0 = -Xg
2
R0
P = Eg
2 2
Rg + R0 + Xg + X0
( ) ( )
R0 = Rg
�ł
�! Z = Z"
0 g
X0 = -Xg żł
�ł
Z przesłanek fizycznych wynika, że w wyznaczonym punkcie funkcja
P R0, X0 ma lokalne maksimum, które jest jednocześnie największą
( )
wartością funkcji w rozważanym obszarze.
Warunkiem dopasowania jest więc
Warunkiem dopasowania jest więc
Z = Z"
0 g
W warunkach dopasowania
2
Eg
P = Pmax =
4 Re Z
{ }
g
Moc Pmax nazywa się mocą dysponowaną generatora
Zadane I i Y
g g
I
Y
Y
g
g
0
Y = Gg + jBg, Y = G0 + jB0
g 0
2
G0
P = I
g
2 2
Gg + G0 + Bg + B0
( ) ( )
Warunek dopasowania
Warunek dopasowania
Y = Y"
0 g
Moc dysponowana generatora
2
I
g
Pmax =
4 Re Y
{ }
g
Sprawność przekazywania mocy
Z
g I
Eg
U
Z
0
Moc wydzielona w obciążeniu Moc wytworzona w generatorze
Re Z + Z
Re Z
2
{ } { } 2
g 0
0
P = Eg
P = Eg
Pg = Eg
Pg = Eg
2
2
2
2
Z + Z
+
Z + Z
+
g 0
g 0
Re Z
{ }
P R0
0
� = = =
Pg Rg + R0
Re Z + Re Z
{ }
{ }
g 0
1
� =
W warunkach dopasowania (R0 = Rg):
2
Dopasowania na maksimum mocy czynnej nie stosuje się w energetyce!!!
Przykład 1.
e t = 5 2 cos�0t V,
( )
e t
( )
Ą
L
iz t = 0,2sin �0t - A,
( )
( )
4
�0 = 106 rad ,
s
iz t
( )
R1 C
R2 N
R1 = 50&!, R2 = 100&!,
L = 50�H, C = 50nF.
Należy zaprojektować taki dwójnik N, aby wydzieliła
się w nim maksymalna moc czynna
E
E
L
I
R1 C I Y
R2
z
a" N N
L
1 1
Y = + j�0C + =
Y
N N
R2 R1 + j�0L
R1 C
R2
= 0,02 + j0,04 S
( )
E
L
Ą
- j
R1 I + E
z
4
I = = 0,05 - j0,05 = 0,05 2e
zw
I R1 + j�0L
zw
R1 C
R2 I
z
I = I
N zw
1 1
Y = Y" = 0,02 - j0,04 = - j
0 N
R0 �0L0
I Y Y
N N 0
1 1
R0 = = 50&!, L0 = - = 25�"10-6 H.
Re Y �0 Im Y
{ } { }
N N
2
I
N
Pmax = = 0,0625 W R0 L0
4 Re Y
{ }
N
1
2 2
Z = = 10 + j20 = R0 + j�0L0
2
R0
0
Y
0
2
L0
2 2
R0 = 10&!, L0 = 20�"10-6 H
Przykład 2.
iz t
( )
C
R1 R2
Ą
e t = 4sin �0t + V,
( )
( )
4
i t �0 = 105 rad ,
( )
Ą
L s
iz t = 20�"10-3 sin �0t - A,
( )
( )
4
e t
( )
� i t
( )
R1 = 200&!, R2 = 100&!, � = 600&!,
L = 2mH, C = 50nF.
Należy zaprojektować taki dwójnik N, aby wydzieliła się w nim
Należy zaprojektować taki dwójnik N, aby wydzieliła się w nim
maksymalna moc czynna
I
z
C
R1 R2
Z
T
I
L
E
ET
�!
� I
C
R1 R2
I
L
Z
T
� I
C
R1 2 R2 1
I
L U
n1
U
n2
Z =
I T
0
U
n1
I
0
� I
1 1
U - U = I
R2 n1 R2 n2 0
�ł �ł
�ł �ł
1 1 1 1 � �
�ł �ł =
- U + + + U = I - U
n2 n2
1
R2 n1 �ł R2 j�0L j�0L �ł �ł
1
�ł
R1 +
j�0L�ł R1 +
�ł �ł
�ł
j�0C
j�0C
�ł łł
�ł łł
1
I = - U
n2
1
R1 +
j�0C
1 1
�ł łł
-
�ł śł
R2 R2
�ł śł
U I
�ł łł �ł łł
n1 0
1 1 1 1 �
�ł śł
=
�łU śł �ł śł
+
�ł- R2 R2 + j�0L +
1
�ł �łśł �ł n2 �ł �ł 0 �ł
1
R1 +
�ł
j�0L�ł R1 +
�łśł
j�0C
j�0C
�ł
�ł łłśł
�ł �ł
U "1
n1
"n = det Yn
Z = U =
T n1
I "n
0
1
�łI łł
0
0
�ł śł
�ł śł
R
R2
�ł śł
1 1 1 �
�ł śł
"1 = det =
0 + + +
�ł śł
1
R2 j�0L �ł �ł
1
R1 +
�ł śł
j�0L�ł R1 +
�ł
j�0C
j�0C
�ł śł
�ł łł
�ł �ł
�ł łł
�ł śł
1 1 1 �
�ł śł
= + + + I = "n11I
0 0
�ł 1 śł
R2 j�0L �ł �ł
1
R1 +
j�0L�ł R1 +
�ł śł
�ł
j�0C
j�0C
�ł śł
�ł łł
�ł �ł
"1 "n11
U = = I
n1
"n "n 0
"n11
Z =
= 150 + j50 &!
( )
T
"n
1
1 1
Z = Z" = 150 - j50 &! = R0 - j
( )
Y = = 6 + j2 �"10-3S = + j�0C02
( )
0 T
0
�0C0
Z
R02
0
C0
R0
C02 R02
1
R02 = = 166,7&!,
R0 = Re Z = 150&!,
{ }
0
Re Y
{ }
0
1
C0 = - = 0,2 �"10-6 F = 0,2 �F
Im Y
{ }
0
�0 Im Z
{ } C02 = = 20 �"10-9 F = 20 nF.
0
�0
I
z
C
R1 2 R2 1
I
3
U
E = 2 + j2,
L n2
U U
E n3 n1
I = 0,01- j0,01
z
� I
1 1
U - U = I
R2 n1 R2 n2 z
�ł �ł
�ł �ł
1 1 1 1 1 � �
�
- U + + +
( )
�łU - R1 U = j�0L I = j�0L R1 U -U
n2 n3 n3 n2
R2 n1 �ł R1 R2 j�0L
�ł łł
�ł �ł
1 1
- U + + j�0C
�łU = j�0CE - I z
n3
R1 n2 �ł R1
�ł łł
1
I = U -U
( )
R1 n3 n2
I
z
C
R1 2 R2 1
I
3
U
L n2
U U
U
E n3 n1
0
� I
�ł łł
1 1
- 0
�ł śł
R2 R2
R2 R2
�ł śł
�ł śł
U I
U I
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
n1 z
�ł śł
� �
1 1 1 1 1 �łU śł �ł śł
= 0
�ł- R2 R1 + R2 + j�0L + j�0LR1 - R1 - j�0LR1 śł n2
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł j�0CE - I śł
�łU n3 �ł �ł z �ł
�ł śł
1 1
0 - + j�0C
�ł śł
R1 R1
�ł �ł
U = U = 3 + j4 = 5ej0,6435 V.
0 n1
ET
I = = 0,026 + j0,018 = 0,03162ej0,6055
ET = U = 3 + j4 = 5ej0,6435 V
N
0
Z
T
1
Z = 150 + j50 &!
( )
Y = = 6 - j2 �"10-3S
T ( )
N
Z
T
Z
T
ET Z0
I Y Y
N N 0
Z = 150 - j50 &!
( ) Y = 6 + j2 �"10-3S
( )
0
0
2
ET 2 I
52 0,031622
N
Pmax = = = 41,6 �"10-3 W. Pmax = = = 41,6 �"10-3 W.
4Re Z 4 �"150 4Re Y 4 �" 6 �"10-3
{ } { }
T N