Funkcja  sinus czy  cosinus
Wektor wirujący na płaszczyz
nie Gauss a
j�t ją j�t
A(t)= A�"e = (Ae )�"e = A cos(�t + ą)+ j A sin(�t + ą)
ją
A = A e  amplituda zespolona wektora wirującego A(t) (przeważnie stała w czasie, chyba że np. modulacja AM :&);
A = Am  moduł (długość) zespolonego wektora wirującego A(t)(przeważnie stała w czasie, chyba że np. modulacja AM :&);
ą  faza początkowa (kierunek) zespolonego wektora wirującego A(t);
j�t
f (t) = e  zespolony fazor (zwiększa liniowo w czasie fazę: Ć= � t +ą) zespolonego wektora wirującego A(t).
Jak widać z rysunku, zarówno funkcja cosinus: A cos(�t + ą) = re[A(t)] jak i
im
�
A(t) sinus: A sin(�t + ą) = im[A(t)] określają jednoznacznie ten sam zespolony
wektor wirujący A(t).
|A|
Oznacza to, iż zachodzi następująca  transformacja z dziedziny rzeczywistej
j|A| sin(� t + ą) (czasu) do dziedziny zespolonej:
Ć= � t+ą
"
re cos
ż# �#
j(�t+ą)
Am �# Ź#(�t + ą)= A(t) = Ame
�#sin �#
|A| cos(� t + ą)
Obraz  migawkowy dla t= 0
j0 ją
A(0)= A�"e = Ae = A cosą + j A sin ą
W przypadku  migawki zachodzi następujący związek :
im
t= 0
"
cos
ż# �#
A
j ą
Am �# Ź#(�t + ą)= A(0) = Ame
�#sin �#
|A|
j|A| sin ą
Uwaga  WAŻNE !!!
ą
Przed przejściem z dziedziny czasu do dziedziny zespolonej należy wszystkie
re
wymuszenia sprowadzić do jednego typu :  SINUS albo  COSINUS !!!
|A| cos ą
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Przykład
1). Bez uzgodnienia w dziedzinie czasu typu funkcji: E1 = E1m , E2 = E2m (??? :&)
y
LE  zostało zgubione przesunięcie fazowe między transformowanymi funkcjami
e1(t) = E1m sin t
2). Uzgodnienie typu obu funkcji
e2(t) = E2m cost
Wymuszenia  SINUS Wymuszenia  COSINUS
e1(t) = E1m sin t
Ą
ś#
e1(t) = E1m sint = E1m cos�#t -
ś# ź#
2
Ą �# #
ś#
e2(t) = E2m cost = E2m sin�#t +
ś# ź#
e2(t) = E2m cost
2
�# #
Ą
im
E1 = E1m
- j
2
E1 = E1me = - jE1m
Ą
im
j
2
E2 = E2me = jE2m E2
E2 re
E2 = E2m
re
E1
E1
DOBRZE  nie zostało zgubione przesunięcie fazowe między transformowanymi funkcjami
R
1
U = (E1 + E2) = K( j�)�"(E1 + E2) = K( j�)�" E
C
1+ jRC�
e1(t)
C
j arg K ( j�) j�
K( j�) = K( j�)e = K e
e2(t)
Wymuszenia  SINUS Wymuszenia  COSINUS
Ą
E1 = E1m
- j
2
E1 = E1me = - jE1m
Ą
j
2
E2 = E2me = jE2m E2 = E2m
U = K( j�)�" Esin U = K( j�)�" E
C sin C cos cos
im
im
Ecos = - jE1m + E2m =
E2 E1+ E2
= - j(E1m + jE2m)
E2 re
Esin = E1m + jE2m
re
E1
E = - jEsin
cos
E1 E1+ E2
U = - jK( j�)�" Esin = - jU
U = K ( j� )�" E
C cos C sin
C sin sin
Ą
j� ją j(� +ą ) ś#
j�#� + ą - ź#
ś#
U = K e �" Esin e = U e
C sin C sin
2
�# #
U = U e
C cos C sin
Ą
ś#
uC sin (t) = Um �"sin(t + � +ą)
uC cos(t) = Um �" cos�#t + � + ą -
ś# ź#
2
�# #
Ą
ś#
uC (t) = Um �"sin(t +� +ą)= Um �"cos�#t +� +ą - :&
ś# ź#
2
�# #
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE