Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 20
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZ
DU DRUGIEGO.
RÓWNANIA RÓŻNICOWE  lista zadań
1. Znalez
ć całkę ogólną równania liniowego jednorodnego rzędu drugiego:
a) y// + y/ -12y = 0 , b) y// + 2y/ - 3y = 0 , c) y// - y/ = 0 , d) y// - 9y = 0 ,
e) y// - 2y/ + y = 0 , f) y// + 2y/ +10y = 0 , g) y// + 4y = 0 .
2. Znalez
ć całkę ogólną równania liniowego niejednorodnego rzędu drugiego:
a) y// + 2y/ - 8y = 3x + 2 , b) y// + y/ - 6y = 30 , c) y// + 4y/ + 4y = 2e- x ,
d) y// - 3y/ = 4x + 5 , e) y// + 4y/ + 5y = x2 +1, f) y// + 4y = 3cos x - 6sin x ,
g) y// + 2y/ - 8y = 3x + 2 , h) y// - 9y =18e3x .
3. Wykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym xn spełnia podane równanie różnicowe:
a) xn = 3n - 2, xn+1 - 3xn = 4 , b) xn = 3Å" 2n + 5n Å" 2n + 5 , xn+2 - 4xn+1 + 4xn = 5 .
4. Sprawdzić, czy ciąg o wyrazie ogólnym xn spełnia podane warunki:
x1 = 9, x1 = 4, x2 = 22,
ż# ż#
a) xn = 4n + 2n + 3 ,
¨#x - 4xn = -6n - 7, b) xn = (-2)n + 2Å"3n , ¨#x - xn+1 - 6xn = 0.
©# n+1 ©# n+2
5. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne danego równania różnicowego jednorodnego:
a) xn+1 - 2xn = 0 , b) xn+1 + 5xn = 0 , c) xn+1 - xn = 0 .
6. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne danego równania różnicowego niejednorodnego:
a) xn+1 + 2xn = 9n , b) xn+1 - 4xn = -6n2 + n +12 , c) xn+1 + xn = 3Å" (-2)n , d) xn+1 + xn = 3Å" 4n .
7. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne danego równania różnicowego jednorodnego:
a) xn+2 + xn+1 - 2xn = 0 , b) xn+2 + 3xn+1 + 2xn = 0 , c) xn+2 - 6xn+1 + 9xn = 0 , d) xn+2 + 4xn = 0 .
8. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne danego równania różnicowego niejednorodnego:
a) xn+2 + 5xn+1 + 4xn = 10n -13 , b) xn+2 + xn+1 - 2xn = 20Å"3n , c) xn+2 + xn+1 - 2xn = 6 ,
d) xn+2 + xn = 2n , e) xn+2 - 4xn =16Å" 2n , f) xn+2 - 4xn+1 + 4xn = -24 Å" 2n .
9. Rozwiązać równania różnicowe z danym warunkiem początkowym:
a) xn+1 - 3xn = 4, x1 = 1 , b) xn+1 + 2xn = 3n - 5, x0 = 0 , c) xn+1 - xn =10Å"3n, x0 = 7 ,
d) xn+2 + xn+1 - 6xn = 0, x1 = 0, x2 = 1, e) xn+2 - 3xn+1 + 2xn = 4, x0 = 0, x1 = 2 ,
f) xn+2 - 2xn+1 + xn = 32Å"5n, x0 = 0, x1 = 9 , g) xn+2 + 9xn = 0, x0 = 1, x1 = 1.
10. Rozwiązać równanie xn+2 + ( p - 1)xn+1 - pxn = 0 traktując p jako parametr.
Zadania do wykładu 20: Równania różniczkowe rzędu drugiego. Równania różnicowe
2
Odpowiedzi
1. a) y = Ce-4x + C2e3x , b) y = Ce-3x + C2ex , c) y = C1 + C2ex , d) y = Ce-3x + C2e3x ,
1 1 1
e) y = Cex + C2xex , f) y = Ce-x cos3x + C2e-x sin3x , g) y = C1 cos 2x + C2 sin 2x .
1 1
3 11
2. a) y = C1e-4x + C2e2x - x - , b) y = C1e-3x + C2e2x - 5 , c) y = Ce-2x + C2xe-2x + 2e- x ,
1
8 32
1 8 47
d) y = C1 + C2e-x + 3cos 2x - 2sin 2x , e) y = C1e-2x cos x + C2e-2x sin x - x2 - x + ,
5 25 125
2 19
f) y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + cos x - 2sin x , g) y = C1 + C2e3x - x2 - x ,
3 9
h) y = C1e-3x + C2e3x + 3xe3x
5. a) xn = C Å" 2n , b) xn = C Å"(-5)n , c) xn = C .
3
6. a) xn = C Å"(-2)n + 3n -1, b) xn = C Å" 4n + 2n2 + n - 3 , c) xn = C Å"(-1)n - 3Å" (-2)n , d) xn = C Å" (-1)n + Å" 4n .
5
7. a) xn = C1 + C2 Å" (-2)n , b) xn = C1 Å" (-1)n + C2 Å" (-2)n , c) xn = C1 Å"3n + C2n Å"3n ,
nĄ nĄ
d) xn = 2n (C1 sin + C2 cos ) .
22
8. a) xn = C1 Å" (-1)n + C2 Å" (-4)n + n - 2 , b) xn = C1 + C2 Å" (-2)n + 2Å"3n , c) xn = C1 Å" (-2)n + C2 + 2n ,
nĄ nĄ
d) xn = C1 sin + C2 cos + n -1 , e) xn = C1 Å" 2n + C2 Å"(-2)n + 2n Å" 2n ,
22
f) xn = C1 Å" 2n + C2n Å" 2n - 3n2 Å" 2n .
11
9. a) xn = 3n - 2 , b) xn = 2Å" (-2)n + n - 2 , c) xn = 5Å"3n2 d) xn = Å" (-3)n + Å" 2n ,
15 10
1 nĄ nĄ
e) xn = 6Å" 2n - 4n - 6 , f) xn = 2 Å"5n + n - 2 , g) xn = 3n ( sin + cos ) .
3 2 2
10. Jeżeli p `" 1, to xn = C1 + C2 Å"(- p)n , jeżeli p =1, to xn = C1 + C2n .