R(eax)dx
R(x)
- funkcja wymierna
+"
Stosujemy podstawienie:
t = eax > 0
1
x = ln t
a
1
dx = dt
at
R(t)dt
1
R(eax)dx = �"
a
+" +"
t
R(x, a2 - x2)dx
+"
Stosujemy podstawienie:
x = asin t
a2 - x2 = a2(1- sin2 t) = a2 cos2 t = a cost
x = a cost
Inne podstawienie:
R(x, a2 + x2)dx
+"
Stosujemy podstawienie:
x = a �" tgt
a
2
a2 + x2 = a2(1+ tg t) =
cost
R(x, x2 - a2)dx
+"
Stosujemy podstawienie:
a
x =
cost
1
x2 - a2 = a2�ł -1�ł = a �" tgt
�ł �ł
cost
�ł łł
1
Przykład
ax
I = cosbxdx
+"e
ax
J = sin bxdx
+"e
1
2
u = eax u = eax
1 b 1 b
ax
I = = eax cos bx +
a
+"e sin bxdx = eax cos bx + �" J
a a a a
v = cos bx
2
v = -b sin bx
1
2
u = eax u = eax
1 b 1 b
ax
J = = eax sin bx -
a
+"e cosbxdx = eax sin bx - �" I
a a a a
v = sin bx
2
v = bcosbx
Podstawiając drugie równanie do pierwszego otrzymujemy:
1 b b
I = eax cosbx - eax sin bx - I
a a2 a2
a2 + b2 1 b
I = eax cosbx - eax sin bx
a2 a a2
Stąd
a b
I = eax cosbx - eax sin bx + C
a2 + b2 a2 + b2
oraz
a sin bx - b cos bx
J = eax + C
a2 + b2
opracował Paweł Sztur
2