NAPR
ŻENIA w OŚRODKU GRUNTOWYM
NAPR
ŻENIA w OŚRODKU GRUNTOWYM
obciążenia statyczne
obciążenia statyczne
Q2
Założenia: Q1 Q
3
ośrodek gruntowy jest:
- półprzestrzenią
- sprężysty
M
półprzestrzeń
- izotropowy �1
gruntowa
- jednorodny
�
�2
�
3
obliczając wartości:
odkształceń i naprężeń
stosuje się
zasadę superpozycji
MG - w 7 1
MG - w 7 1
ROZKA
AD NAPR
ŻEC
od SIA
Y SKUPIONEJ
ROZKA
AD NAPR
ŻEC
od SIA
Y SKUPIONEJ
Rozwiązanie Biezuchowa  1953
a)
Q
X
Q �" cos �
�
R
�R = k �"
z
R2
�R
�f
M
r
Z
b)
�R
A
�R
�
A'
Q �" z3
� = k �"
z
�
R5
R
�z
�xz
MG - w 7 2
MG - w 7 2
� �" dA = � �" 2Ą �" r �" dr
z z
Q
" "
dR
Q = 2Ą
z
+"� �" r �" dr = 2Ą �"Q �" k �" z3+"
R4
0 z
�
R
z
�z
3
k =
2 �" Ą
r
dr
z
MG - w 7 3
MG - w 7 3
Po podstawieniu wartości współczynnika k, otrzymujemy
wzór na pionowe naprężenia normalne:
- wzór Boussinesqe a
3�"Q
� =
z
5
2
2
�ł łł
r
�ł �ł
2 �" Ą �" z2 �"
�ł �ł
�ł1+ śł
z
�ł łł
�ł śł
�ł �ł
współczynnik naprężeń
od siły skupionej
3
Q
�Q =
5
� = �Q �"
2
2
z
�ł łł 2
r
�ł �ł
z
2 �" Ą �"
�ł �ł
�ł1+ śł
z
�ł łł
�ł śł
�ł �ł
MG - w 7 4
MG - w 7 4
�Q
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45
0
0,2 Nomogram
0,4
do wyznaczenia
0,6
współczynnika �
Q
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
Q
r
2,6
2,8
3
z R
3,2
�z
3,4
r
z
MG - w 7 5
MG - w 7 5
ROZKA
AD NAPR
ŻEC
od OBCI
ŻENIA
ROZKA
AD NAPR
ŻEC
od OBCI
ŻENIA
CI
GA
EGO  q
CI
GA
EGO  q
q  równomiernie rozłożone
Anm
na pewnej powierzchni A
Posługujemy się
Q11=q�A11
wzorami wyprowadzonymi
L = m�lj
dla siły skupionej
stosując zasadę superpozycji
A11
r11
�z = Ł �zij (Qij, r11, ..., rnm)
B = n�bi R11
z
�z = Q/z2� Ł �Qij
M
�z
podejście dokładne  wystarczające do celów
praktycznych przy Rij e" li
MG - w 7 6
MG - w 7 6
dA = dx�dy  elementy powierzchni A
q  jest równomiernie rozłożone na A
y
dQ = q� dA  elementarna siła w A
Naprężenie pionowe w punkcie M ,
dQ
zebrane z powierzchni A,
L
dy
od obciążenia ciągłego q
r
dx
x
B
L B
z
3 � q � dx � dy
___________________________
� = +" +"
z
5/2
0 0
2 � Ą � z2 � [1+ (x2 + y2) z2]
/
M
d�z
MG - w 7 7
MG - w 7 7
NAPR
ŻENIA pod PROSTOK
TNYM
NAPR
ŻENIA pod PROSTOK
TNYM
OBSZAREM OBCI
ŻENIA CI
GA
EGO
OBSZAREM OBCI
ŻENIA CI
GA
EGO
Zagadnienie wyznaczania naprężeń w podłożu gruntowym:
" pod narożem prostokątnego obciążonego obszaru
rozwiązał Steinbrenner
" pod środkiem obszaru prostokątnego
rozwiązali Newmark i Polszin
- Wyznaczone rozkłady naprężeń są słuszne przy założeniu
podatności obciążonej powierzchni, tzn.
ugina się ona jednocześnie z odkształceniami gruntu.
- Przypadki takie zachodzą przy obciążeniach nasypem lub
cienkimi płytami o małej sztywności.
MG - w 7 8
MG - w 7 8
metoda punktów narożnych Steinbrennera
metoda punktów narożnych Steinbrennera
Metoda punktów narożnych (Steinbrennera) umożliwia
wyznaczanie naprężenia pionowego oraz sumy naprężeń
pozwalając na wyznaczanie naprężeń pod następującymi obszarami:
" według dowolnej linii pionowej przechodzącej
pod obszarem prostokątnym
" według dowolnej linii pionowej przechodzącej
poza obszarem prostokątnym
" w dowolnym punkcie podłoża od obszaru obciążenia
dającego się podzielić na prostokąty
" w dowolnym punkcie podłoża od obszaru obciążenia
dającego się w przybliżeniu podzielić na prostokąty
MG - w 7 9
MG - w 7 9
a) b) c) d)
III IV
II III
II III
V
II
I IV I
I IV
VI
z
z z
�z
�z �z
a) � = � + � + � + �
z zI zII zIII zIV
b) � = �
z zI�IV  �  �
zI,II zI,IV  �
zI
c) � = �  � + � + �
z zI,II zI zI�VI  �
zI�III  �
zI,II,V,VI zI,II
d) analogicznie jak w przypadku b)
MG - w 7 10
MG - w 7 10
0 0,05 0,1 0,15 0,2
�
�
�
�
0
n
Nomogram do wyznaczania
0,3
0,6
współczynnika naprężeń
L
=
1
0,9
B
1,2
�
n
L
=
1.5
1,5
B
L
pod narożem
=
2
1,8
L
B
=
3
2,1
B
prostokątnego obszaru
L
2,4
=
5
B
2,7
obciążenia ciągłego
3
L q
L
równomiernie rozłożonego
"
3,3 =
B
3,6
B
3,9
z
4,2
� = q � �
z n
n
4,5
�z
z
B
�ł
�ł łłłł
L L z
�ł
�ł śłśł
�"
1 1 1
�ł
B B B
�ł śłśł
�n = �" + �" +
�łarctg 2 2 2
2 2 2 2
�ł śłśł
2 �" Ą
z L z
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
z L z L z
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł
1+ +
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł śłśł
1+ + 1+ +
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł
B B B
�ł łł �ł łł �ł łł
B B B B B �ł �łśł
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
�ł �ł
MG - w 7 11
MG - w 7 11
metoda punktów środkowych (Newmark, Polszin)
metoda punktów środkowych (Newmark, Polszin)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
�
�
�
�
0
m
�
�
�
0,2 �msz
Nomogram do wyznaczania
0,4
L=1
0,6
B
współczynnika naprężeń
0,8
1 L
=
1,5
1,2
B
�
m
1,4
L=
1,6
2
B
pod środkiem
1,8
L="
2
B
2,2
2,4 prostokątnego obszaru obciążenia
L=5
2,6
B
2,8
ciągłego równomiernie rozłożonego
L q
3
L=3
3,2
B
pod fundamentem podatnym
pod fundamentem podatnym
3,4
B
3,6
3,8
z
4
4,2
� = q � �
z m
m
4,4
4,6
�z
z
�ł
�ł łłłł
B
L L z
�ł
�ł śłśł
2 �" �"
2 �ł 1 1
B B B
�ł śłśł
�m = �" + �" +
�łarctg
2 2 2
2 2 2 2 �ł śłśł
Ą
z L z
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
z L z L z
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł śłśł
1 + 4 �" + 4 �"
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
2 �" 1 + + 4 �" 1 + + 4 �"
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł
�ł B B B śłśł
�ł łł �ł łł �ł łł
B B B B B �ł �ł�ł
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
�ł
MG - w 7 12
MG - w 7 12
Nomogram do wyznaczania
�
�
�
�
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
m
0
współczynnika naprężeń
0,2
�
�
�
�
0,4
L
�
msz
=1
msz
0,6
B
0,8
pod środkiem
L
1
=
1,5
1,2 B
1,4
prostokątnego obszaru obciążenia
L
=2
1,6
B
1,8
ciągłego równomiernie rozłożonego
L= "
2
B
2,2
pod fundamentem sztywnym
pod fundamentem sztywnym
2,4
L=
5
2,6
B
2,8
L q
3
� = q � �
z msz
msz
L
=3
3,2
B
3,4
B
3,6
�ł łł
3,8
2
�ł śł
z
z
4
1 + 8�ł �ł
�ł �ł
�ł śł
4,2
2
B
�ł łł
�ł śł
4,4
�msz = �"
3
�ł śł
4,6
Ą
2
�z
łł2 śł
�ł�ł
z
�ł �ł
z
�ł�ł1 + 4 �" �ł B �ł śł śł
B
�ł łł
śł
�ł śł
�ł �ł
�ł�ł �ł
MG - w 7 13
MG - w 7 13
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0
�
�
�
�
0,2
Nomogram do wyznaczania
s
0,4
0,6
współczynnika naprężeń
0,8
1
L �
s
1,2
=
1
B
1,4
L pod środkiem
1,6
=
1,5
B
1,8
L
2
L =
3
=
2
prostokątnego obszaru obciążenia
2,2 B
B
2,4
L
=
5
ciągłego równomiernie rozłożonego
2,6
B
2,8
3
L q
3,2
3,4
L
3,6 "
=
B
B
3,8
� = q � �
z s
s
4
z
4,2
4,4
4,6
�z
z
B
�ł łł
L z
�ł
2 2 2 2 2
�ł łłśł
2 z L z L z z
�łarctg �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
B B
�ł
�s = �" + �" 1+ + +
�ł �ł �ł �ł �ł �ł - 1+ + - śłśł
�ł �ł �ł �ł
�ł
2 2
L
Ą B B B B B B
�ł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł śłśł
z L z
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �łśł
�" 1+ +
�ł �ł �ł �ł
B
�ł śł
B B B
�ł łł �ł łł
�ł �ł
MG - w 7 14
MG - w 7 14
NAPR
ŻENIA pod KOA
OWYM OBSZAREM
NAPR
ŻENIA pod KOA
OWYM OBSZAREM
OBCI
ŻENIA CI
GA
EGO
OBCI
ŻENIA CI
GA
EGO
(równomiernie rozłożonego)
(równomiernie rozłożonego)
q
dQ
dA= ��"d��"dĆ
dĆ
r
�
dQ= q�"dA= q�" ��"d��"dĆ
d�
z R
3�"dQ�" z3 3�" z3 �"q�" ��"d��"dĆ
d�z = =
M
2�"Ą�" R5 2Ą�" R5
d�z
r 2Ą r
3�" z3 �" q �" � �" d� �" dĆ 3�" q �" z3 � �" d�
2Ą
�z = = �" Ć �"
+" +" +"
0
2 �" Ą �" R5 2 �" Ą R5
0 0 0
MG - w 7 15
MG - w 7 15
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0
Nomogram do wyznaczania
0,25
współczynników naprężenia
0,55
0,85
�sz  pod fundamentem sztywnym
1,15
�sz
�
�
�
1,45
�o  pod fundamentem podatnym
1,75
2,05
�0
�
�
�
2,35
pod środkiem
2,65
2,95
kołowego obszaru obciążenia
3,25
R
q
3,55 ciągłego o promieniu R
3,85
równomiernie rozłożonego
4,15
z
4,45
o
4,75
�z
�z = � �"q
ogólnie -
z
,sz
R
MG - w 7 16
MG - w 7 16
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0
0,25
0,55
0,85
1,15
�sz
�
�
�
1,45
1,75
2,05
�0
�
�
�
2,35
2,65
2,95
3,25
R
q
3,55
3,85
4,15
z
4,45
4,75
�z
z
R
MG - w 7 17
MG - w 7 17
STANY OBCI
ŻENIA PODA
OŻA
STANY OBCI
ŻENIA PODA
OŻA
GRUNTOWEGO
GRUNTOWEGO
stany obciążenia podłoża gruntowego występujące w trakcie
wykonywania budowli:
" I stan obciążenia  stan pierwotny przed rozpoczęciem
robót ziemnych
" II stan obciążenia  stan obciążenia podłoża gruntowego
po zakończeniu wykonywania wykopu
" III stan obciążenia  po wykonaniu fundamentów obiektu
budowlanego i zasypaniu wykopu
" IV stan obciążenia  po wykonaniu obiektu budowlanego i
oddaniu go do eksploatacji
MG - w 7 18
MG - w 7 18
ROZKA
ADY NAPR
ŻEC
w PODA
OŻU
ROZKA
ADY NAPR
ŻEC
w PODA
OŻU
GRUNTOWYM
GRUNTOWYM
Dla istniejących w podłożu warunków wodno-gruntowych
na granicach warstw obliczeniowych
pod projektowanym fundamentem
dla danego stanu obciążenia
wyznacza się następujące rozkłady naprężeń:
" naprężeń pierwotnych
" naprężeń minimalnych po wykonaniu wykopu
" naprężeń wtórnych
" naprężeń dodatkowych
" całkowitych
MG - w 7 19
MG - w 7 19
a) naprężenia pierwotne b) naprężenia minimalne
a) naprężenia pierwotne b) naprężenia minimalne
MG - w 7 20
MG - w 7 20
naprężenia całkowite
naprężenia całkowite
2 przypadki
c) gdy dla wszystkich
głębokości:
-
� > �
zq z�
wtedy:
-
� = �
zs z�
-
� = � - �
zd zq z�
d)
do głębokości dla której,
-
� > �
zq z�
� i � wyznaczamy z
zs zd
zależności jak w c)
-
zaś dla głębokości, na której � d" � , � = � , � = 0
zq z� zs zq zd
21
21
MG - w 7
MG - w 7
Naprężenia pierwotne
oblicza się na podstawie ciężaru
poszczególnych warstw obliczeniowych:
��zi = hi � �i � g
gdzie:
hi  grubość warstwy obliczeniowej
�i  gęstość objętościowa danej warstwy gruntu
zależnie od rodzaju występującej w nich wody odpowiednio:
�sat , � , �  dla warstw
g  przyspieszenie ziemskie
następnie
liczymy naprężenia pod poszczególnymi warstwami
sumując naprężenia z warstw położonych powyżej:
n
��z = " �z�i
i=1
22
22
MG - w 7
MG - w 7
Odciążenie wykopem  naprężenia minimalne
"�z� = �z�D � �0 �zmin = �z� - "�z�
gdzie:
�0  współczynnik rozkładu naprężenia pod
środkiem obszaru prostokątnego obciążonego
równomiernie, zależny od stosunku wymiarów
wykopu L / B oraz głębokości z
w w
MG - w 7 23
MG - w 7 23
Naprężenia wtórne
Przyrost naprężeń od minimalnych
�z� = �zmin + �zs
do pierwotnych po posadowieniu
fundamentu i zasypaniu wykopu
Naprężenia całkowite
naprężenia od wznoszonego
obiektu budowlanego
�zqc = �zq +�zqs
+
naprężenia od obciążeń
sąsiednich
MG - w 7 24
MG - w 7 24
Naprężenia
pochodzące od wznoszonego obiektu budowlanego
obliczamy zależnie od rodzaju i kształtu fundamentu oraz
wielkości obciążenia, które ma przenieść ten fundament.
Naprężenia
pochodzące od obciążeń sąsiednich
obliczamy metodą punktów narożnych lub nomogramem
Newmarka.
MG - w 7 25
MG - w 7 25
Jeżeli
odległość obiektu sąsiedniego >> od jego wymiarów w planie,
>>
>>
>>
wartość naprężenia oblicza się traktując obiekt sąsiedni jako
siłę skupioną.
�ziP = (1/zi2) � P � Kr
gdzie:
P  wartość siły skupionej
�Q = Kr/z2  współczynnik naprężenia zależny od odległości
przyłożenia siły r (x2 + y2)1/2 oraz głębokości
=
obliczeniowej obliczonej zgodnie z [PN  81/B  3020]
MG - w 7 26
MG - w 7 26
Naprężenia dodatkowe
naprężenia całkowite
�zd = �0 (q  �z�D )
(pochodzące od przyłożonego obciążenia)
= �0 q-
pomniejszone o
odciążenie po wykopie
q- = Q / (L� B)
Q  obciążenie od fundamentu
i obiektu budowlanego
Naprężenia całkowite
naprężenia minimalne
�zt = �zmin + �0�q
+
lub = �zmin + �s�q
naprężenia dodatkowe
MG - w 7 27
MG - w 7 27
ROZKA
ADY NAPR
ŻEC
w PODA
OŻU GRUNTOWYM
ROZKA
ADY NAPR
ŻEC
w PODA
OŻU GRUNTOWYM
Ćwiczenie rachunkowe:
:
- naprężenia pierwotne,
- naprężenia pierwotne,
- naprężenia po wykonaniu
- naprężenia po wykonaniu
wykopu,
wykopu,
- naprężenia po wykonaniu
- naprężenia po wykonaniu
fundamentu,
fundamentu,
- naprężenia od obiektu
- naprężenia od obiektu
sąsiedniego.
sąsiedniego.
MG - w 7 28
MG - w 7 28