Wy\
sza Szkoła Agrobiznesu w A
om\
y
Wydział Techniczny
Kierunek Budownictwo
Instrukcja
do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
Ćwiczenie Nr 4
Temat: Wyznaczenie modułu sprę\
ystości
postaciowej G  przez pomiar
kąta skręcania pręta
Opracowanie:
dr in\
. Krzysztof Czech
Białystok, listopad 2010 r.
Strona 1 z 11
1. WPROWADZENIE
Kolejnym prostym zagadnieniem wytrzymałości pręta jest skręcanie [2]. Ze
skręcaniem mamy do czynienia, gdy na pręt działa tylko i wyłącznie obcią\
enie
momentem skręcającym Ms, spowodowanym działaniem pary sił przyło\
onych do
pręta w płaszczyznach prostopadłych do jego osi.
Ms
Ms
Rys. 1. Skręcanie pręta
Przykładowy wykres skręcania próbki, z naniesionymi punktami
charakterystycznymi, pokazano na Rys. 2 [1]. Jak widać na zamieszczonym rysunku
próbka w trakcie skręcania zachowuje się w sposób zbli\
ony do próbek rozciąganych.
Na wykresie wyraz
nie dostrzegalne sÄ… obciÄ…\
enia momentem skręcającym
odpowiadające granicom: proporcjonalności MH i sprę\
ystości Msp, wyraz
nej granicy
plastyczności Mpl oraz obcią\
enie odpowiadajÄ…ce maksymalnemu momentowi
skręcającemu MRs (niszczącemu próbkę).
Rys. 2. Wykres skręcania próbki ze stali o zawartości węgla do 0.3% [1]
Próbki w trakcie próby skręcania mogą ulec zniszczeniu na skutek złomu
poślizgowego (ścięcie materiału próbki w miejscu wystąpienia maksymalnych
naprÄ™\
eń stycznych), złomu kruchego (rozerwanie materiału naprę\
eniami głównymi
wzdłu\
linii Å›rubowej nachylonej do osi próbki pod kÄ…tem 45° - np. w \
eliwie) lub
złomu rozwarstwionego (tzw. drzazgowego - z pęknięciami równoległymi do osi
próbki) - wskazującego na wady lub niejednorodność materiału.
Jeśli na pręt o przekroju kołowym naniesiemy siatkę, zło\
oną z podłu\
nych
i poprzecznych do jego osi linii, wówczas w trakcie skręcania pręta momentem Ms
zaobserwujemy, \
e linie poprzeczne do jego osi (koła), podobnie jak i sama oś, nie
uległy deformacji  co oznacza, \
e przekroje prostopadłe do osi pręta pozostają płaskie
i zachowują pierwotny kształt koła bez zmiany swojej średnicy (nie dochodzi do tzw.
Strona 2 z 11
deplanacji przekroju). Natomiast linie podłu\
ne (nazywane te\
tworzÄ…cymi)
przechodzą w linie śrubowe (co pokazano na Rys. 3). Ich odchylenie od pierwotnego
poło\
enia  nazywane jest kątem odkształcenia postaciowego ł
Å‚.
Å‚
Å‚
Å‚
Õ
Rys. 3. Odkształcenie linii podłu\
nych pręta poddanego skręcaniu momentem Ms [1]
Mo\
na przy tym zauwa\
yć, \
e promień przekroju poprzecznego pręta r
pozostaje odcinkiem linii prostej, a jego przekroje czołowe obracają się względem
siebie o kÄ…t  nazywany kÄ…tem skrÄ™cania prÄ™ta Õ. KÄ…t obrotu pomiÄ™dzy dwoma
Õ
Õ
Õ
dowolnymi przekrojami będzie te\
proporcjonalny do odległości pomiędzy nimi.
Rys. 4. Wycinek pręta kołowego poddanego skręcaniu [1]
(r  promieÅ„ prÄ™ta, dx  dÅ‚ugość wycinka, Õ i Å‚  j.w.)
Rozwa\
my wycinek pręta kołowego (Rys. 4) o długości dx obcią\
onego
wyłącznie momentem skręcającym Ms, dla którego prawdziwe są następujące
zale\
ności:
- dla powierzchni zewnętrznej opisanej promieniem r (zgodnie z Rys. 4):
Å‚ Å" dx = dÕ Å" r Ò! Å‚ = dÕ Å" r / dx , (1)
r r
- analogicznie dla powierzchni wewnÄ™trznej opisanej dowolnym promieniem Á < r
(Rys. 4):
Å‚ Å" dx = dÕ Å" Á Ò! Å‚ = dÕ Å" Á / dx . (2)
Á Á
Uwzględniając, \
e dla odkształceń przy skręcaniu obowiązują identyczne, opisane
prawem Hook a [2] (str. 283), warunki fizyczne (zale\
ności) jak przy ścinaniu:
Ä
Á
Å‚ = , (3)
Á
G
gdzie: G  moduł sprę\
ystości postaciowej,
Strona 3 z 11
 ÄÁ  naprÄ™\
enia styczne (Rys. 5) działające na dowolny element
przekroju dA oddalonego o Á od osi Å›rodkowej prÄ™ta,
a następnie przyrównując do siebie zale\
ności (2) i (3) mo\
emy zapisać
poni\
sze równanie na naprę\
enia styczne ÄÁ w prÄ™cie podlegajÄ…cym skrÄ™caniu:
dÕ
Ä = GÁ . (4)
Á
dx
Rys. 5. Wycinek pręta kołowego poddanego skręcaniu [1]
NaprÄ™\
enia styczne ÄÁ, dziaÅ‚ajÄ…ce na dowolny element przekroju dA prÄ™ta, sÄ…
proporcjonalne do odlegÅ‚oÅ›ci tego elementu od osi Å›rodkowej prÄ™ta Á (Rys. 5).
W wyniku przemno\
enia naprÄ™\
eÅ„ stycznych ÄÁ przez elementarne pola
powierzchni poprzecznej prÄ™ta dA, uzyskujemy elementarnÄ… siÅ‚Ä™ stycznÄ… ÄÁdA
o zwrocie prostopadłym do kierunku promienia pręta. Elementarne siły styczne
przemno\
one przez odlegÅ‚oÅ›ci Á od osi prÄ™ta stanowiÄ… siÅ‚Ä™ wewnÄ™trznÄ… (moment
skręcający) w pręcie spowodowaną działaniem, przeciwnie skierowanej siły
zewnętrznej w postaci przyło\
onego do pręta momentu skręcającego Ms. Zgodnie
z warunkiem równowagi moment skręcający w pręcie mo\
emy więc zapisać jako
całkę po powierzchni pręta z iloczynu wartości naprę\
eÅ„ stycznych ÄÁ dziaÅ‚ajÄ…cych na
dowolny wycinek prÄ™ta dA i odlegÅ‚oÅ›ci Á od osi prÄ™ta:
(5)
Á s s Á
+"Ä ÁdA - M = 0 => M = +"Ä ÁdA,
A A
Podstawiając równanie (4) do zale\
ności (5), a następnie zamieniając wyra\
enie
podcałkowe znaną zale\
nością na biegunowy moment bezwładności względem
początku układu I0, uzyskujemy:
dÕ dÕ dÕ M
2
s
M = G Á dA Ò! M = G I0 Ò! = (6)
s s
+"
dx dx dx GI0
A
gdzie:
I0 - biegunowy moment bezwładności względem początku układu (osi
pręta) [2].
2
I0 = Á dA (7)
+"
A
Strona 4 z 11
 GI0 - sztywność skręcania,
Całkując obustronnie równanie (6) otrzymujemy zale\
ność na kąt skręcania całego
pręta:
M l
s
(8) Õ = ,
GI0
gdzie: l  długość pręta skręcanego.
Przyrównując do siebie zale\
ności (6) i (4) uzyskamy natomiast zale\
ność na
naprÄ™\
enia styczne w przekrojach prostopadłych do osi pręta:
M
s
Ä = Á (9)
Á
I0
2. CEL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie modułu sprę\
ystości postaciowej G materiału
próbki wykonanej z pręta stalowego o przekroju kołowym w wyniku pomiaru kąta jej
skręcenia oraz określenie wartości naprę\
eÅ„ stycznych Ä w części pomiarowej próbki.
3. PRZEBIEG ĆWICZENIA
3.1. Próbki do badań
Badanie modułu sprę\
ystości postaciowej G jest zazwyczaj prowadzone na
próbkach w formie prętów stalowych o przekroju kołowym i długości pomiarowej l0
odpowiadającej wielokrotności średnicy pomiarowej pręta d0. Zwykle przyjmuje się
długość pomiarową w zakresie od 5 do 20 d0. Najczęściej jest to długość
odpowiadająca dziesięciokrotności średnicy pręta (l0 = 10d0).
3.2.Układ pomiarowy
Moduł sprę\
ystości postaciowej G materiału określany jest zwykle za pomocą
urządzeń nazywanych skręcarkami. Umo\
liwiajÄ… one obustronne zamocowanie
badanej próbki, jej obcią\
anie przeciwnie skierowanymi (równowa\
Ä…cymi siÄ™)
momentami skręcającymi Ms przyło\
onymi na końcach próbki w płaszczyznach
prostopadłych do jej osi oraz jednoczesny odczyt spowodowanego ww. obcią\
eniem
kÄ…ta skrÄ™cania Õ. W zale\
ności od rodzaju napędu (ręczny, elektryczny) i układu
pomiarowego urzÄ…dzenia mo\
liwe jest samoczynne lub własnoręcznie sporządzanie
wykresów opisujących zale\
ność Ms - f(Õ).
Ideowy schemat urządzenia do określania modułu sprę\
ystości postaciowej G
materiału wykorzystywanego na zajęciach laboratoryjnych pokazano na Rys. 6 i Rys.
7.
Strona 5 z 11
x1 x2
Ms
Õ2
Õ
Õ
Õ
Õ1
Õ
Õ
Õ
R1 R2
d0
D
Ms
l0
Rys. 6. Schemat działania skręcarki [1]
Ms
d0
D
Q
Rys. 7. Schemat działania obcią\
enia powodujÄ…cego zamianÄ™ momentu
skręcającego w próbce
Zmiana wartości momentu skręcającego jest realizowana ręcznie za pomocą
obciÄ…\
ników o odpowiednio dobranej masie. Określenie wartości kąta skręcenia pręta przy
zadanym obciÄ…\
eniu wymaga przeprowadzenia odczytów przemieszczeń z elektronicznych
czujników zegarowych oddalonych od siebie o długość pomiarową pręta l0 .
W zwiÄ…zku z tym, i\
stanowisko badawcze nie jest zasilane prÄ…dem elektrycznym
 mo\
e w całości być obsługiwane przez studentów realizujących badania.
3.3. Realizacja badania
Badanie jest realizowane na pręcie stalowym o przekroju kołowym.
Przed przystąpieniem do realizacji ćwiczenia nale\
y:
- sprawdzić (ewentualnie skorygować):
właściwe zamocowanie próbki w uchwytach mocujących,
ustawienie cyfrowych czujników przemieszczeń, tak aby mo\
liwe było
swobodne przemieszczanie się wrzecion czujników (o około 2 mm);
- przeprowadzić pomiary:
Strona 6 z 11
 średnicy części pomiarowej próbki d0 (w dwóch wzajemnie prostopadłych
kierunkach z dokładnością do 0.1 mm),
długości pomiarowej próbki l0 (z dokładnością 1 mm),
promieni R1 i R2 na których umieszczono cyfrowe czujniki przemieszczeń
(odległości głowic/wrzecion czujników od osi próbki - z dokładnością 1
mm),
średnicy tarczy D przenoszącej na próbkę obcią\
enie momentem
skręcającym od obcią\
enia Q (z dokładnością 1 mm);
- wyzerować wskazania czujników przemieszczeń.
W trakcie realizacji ćwiczenia, ka\
dorazowo po zmianie wartości obcią\
enia
powodującego wzrost wartości momentu skręcającego w próbce, nale\
y dokonać
odczytów przemieszczeń z czujników (z dokładnością do 0.01 mm). Obcią\
enia
zwiększamy stopniowo od 0 N do 15 N z krokiem co 3 N, a następnie stopniowo
próbkę całkowicie odcią\
amy (a\
do 0 N z krokiem j.w.).
3.4. Opracowanie wyników
Uzyskane z pomiarów dane nale\
y zestawić w formie tabelarycznej.
Wartość momentów skręcających pręt Ms obliczamy, zgodnie z Rys. 7, wg
zale\
ności (10):
Q Å" D
M = , (10)
s
2
w której: Q - wartość stopniowo zwiększanego obcią\
enia [N],
D - średnica tarczy [m] (Rys. 7).
KÄ…ty obrotu w przekrojach Nr 1 i 2 wyznaczamy z poni\
szej zale\
ności:
xi
Õi = , (11)
Ri
w której: x1, x2 - odczyty z czujników przemieszczeń,
R1, R2 - odległości osi czujników od osi pręta.
KÄ…t obrotu prÄ™ta Õ1-2 na dÅ‚ugoÅ›ci pomiarowej l0 obliczamy jako ró\
nicÄ™
wyznaczonych kÄ…tów obrotu w obu punktach pomiarowych (Õ2 - Õ1) dla danego
poziomu obciÄ…\
enia pręta.
Poszukiwany moduł sprę\
ystości postaciowej materiału (moduł
Kirchhoffa) wyznaczamy przekształcając zale\
ność (8):
M l0
s
G = , (12)
Õ1-2I0
Strona 7 z 11
w której: I0 - biegunowy moment bezwładności przekroju próbki,
4
Ä„ Å" d0
(dla przekroju kołowego próbki: I0 = [m4]),
32
Õ1-2 - kÄ…t obrotu prÄ™ta skrÄ™canego na odcinku pomiarowym
[rad].
Moduł Kirchhoffa dla badanego materiału, podobnie jak kąt skręcania
pręta, podawane są jako wartość uśredniona.
Na zakończenie badania nale\
y dodatkowo sprawdzić, czy maksymalne
naprÄ™\
enia skrÄ™cajÄ…ce Ämax, które wystÄ…piÅ‚y w trakcie badania próbki nie
spowodowały odkształceń stałych, lub czy nie przekroczyły naprę\
eń
dopuszczalnych, które w zale\
ności od rodzaju badanego materiału wynoszą
ks = od 78 (stal węglowa St5) do 110 MPa (stal niskostopowa 18G2).
M
s
Ä = d" ks , (13)
max
W0
gdzie: W0 - wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie,
3
Ä„ Å" d0
(dla przekroju kołowego próbki: W0 = [m3]).
16
BIBLIOGRAFIA
[1] Banasiak M. (red.): Ćwiczenia laboratoryjne z wytrzymałości materiałów.
Wydawnictwa Naukowe PWN. Warszawa, 2000.
[2] Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Zb.: Wytrzymałość materiałów. Tom 1.
Podręczniki akademickie  Mechanika. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,
Warszawa, 1999.
Strona 8 z 11
Wy\
sza Szkoła Agrobiznesu w A
om\
y
Wydział Techniczny
Kierunek Budownictwo
Sprawozdanie
z ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
Ćwiczenie Nr 4
Temat: Wyznaczenie modułu sprę\
ystości
postaciowej G  przez pomiar
kąta skręcania pręta
ImiÄ™ i nazwisko & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Nr albumu & & & & & & & &
Studia stacjonarne / niestacjonarne
Semestr i nr grupy & & & & & & & &
Data realizacji & & & & & & & &
Ocena & & & & & & & &
Podpis prowadzÄ…cego & & & & & & & &
Data zaliczenia & & & & & & & &
Strona 9 z 11
Cel ćwiczenia
Podstawowe zale\
ności
- wartość momentu skręcającego pręt:
- kąty obrotu w przekrojach Nr 1 i 2 oraz na długości pomiarowej:
- moduł sprę\
ystości postaciowej materiału (moduł Kirchhoffa):
- maksymalne naprÄ™\
enia skrÄ™cajÄ…ce Ämax:
- biegunowy moment bezwładności dla przekroju kołowego próbki:
- wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie dla przekroju kołowego próbki:
Dane związane z geometrią próbek, tarczy i rozmieszczeniem czujników
Wymiary
Pozostałe dane
geometryczne
Lp. Oznaczenie próbki / rodzaj stali
d l R R
D
0 0 1 2
[mm] [mm] [mm] [mm] [mm]
1.
2.
gdzie:
d0 - &
l0 - &
Strona 10 z 11
 R1 - &
R2 - &
D - &
I0 = W0 =
Szkic schematu obciÄ…\
enia próbki
Wyniki badań
M x x Õ Õ Õ Ä
Õ Õ Õ
Õ Õ Õ
Q Õ Õ Õ G Ä
Ä
Ä
s 1 2 1 2 1-2
Lp.
[N] [Nmm] [mm] [mm] [rad] [rad] [rad] [MPa] [MPa]
1. 0
2. 3
3. 6
4. 9
5. 12
6. 15
7. 0
średni moduł Kirchhoffa G [MPa]=
śr (z pom. 2 do 6)
G [GPa]=
śr
Wykres skręcania od momentu skręcającego
(obrazujÄ…cy zale\
ność kÄ…ta skrÄ™cania prÄ™ta Õ od wartoÅ›ci momentu skrÄ™cajÄ…cego próbkÄ™ Ms)
Strona 11 z 11