Wy\
sza Szkoła Agrobiznesu w A
om\
y
Wydział Techniczny
Kierunek Budownictwo
Instrukcja
do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
Ćwiczenie Nr 6
Temat: Doświadczalna weryfikacja ugięć belek
prostych obliczanych metodÄ… Clebscha
Opracowanie:
dr in\
. Krzysztof Czech
Białystok, grudzień 2010 r.
1. WPROWADZENIE
Ugięcie belki, spowodowane działaniem zewnętrznych obcią\
eń zginających,
definiuje się jako odległość pomiędzy odkształconą i nieodkształconą osią podłu\
nÄ…
belki - mierzoną na kierunku prostopadłym do nieodkształconej osi belki. Maksymalne
ugięcie belki nazywane jest strzałką ugięcia i oznaczane symbolem f.
B
A
Rys. 1. Schemat ugięcia belki zginanej
Pomiar ugięć elementów konstrukcyjnych ró\
nego typu obiektów (nie tylko
belkowych) mo\
e być realizowany na wiele ró\
nych sposobów. W zale\
ności od
gabarytów analizowanego obiektu (przęsło wielkogabarytowej konstrukcji mostowej,
pas dolny dz
wigara dachowego obiektu halowego, model budynku o konstrukcji
szkieletowej w skali 1:100 itd.), oddziaływania pola elektromagnetycznego (PEM) na
otoczenie (wpływającego na pracę urządzeń elektronicznych), zasięgu  pola widzenia
(czy dany element nie jest przysłaniany przez inne elementy), wielkości (rzędu kilku
metrów lub setnych milimetra) i charakteru występujących przemieszczeń (ugięcia
statyczne, sinusoidalnie zmienne np. z częstotliwością 50 Hz) i wielu innych
czynników (m.in. rodzaju materiału, z jakiego element został wykonany), mo\
e być
realizowany przy wykorzystaniu: technik geodezyjnych (np. z wykorzystaniem
teodolitu), zaawansowanych systemów wykorzystujących technologię GPS, laserowej
technologii pomiaru odległości (jedno- lub wielopunktowej ze skanowaniem obiektu
w czasie rzeczywistym), czy te\
najzwyklejszych pomiarów z wykorzystaniem
czujników przemieszczeń (kontaktowych lub bezkontaktowych; przemieszczeń
względnych lub przemieszczeń bezwzględnych; zegarowych lub indukcyjnych itd.).
Znajomość ugięć analizowanej konstrukcji jest niezwykle wa\
na, gdy\

dostarcza nam wiarygodnych danych o rzeczywistym zachowaniu siÄ™ / pracy
konstrukcji. Poza bezpośrednim pomiarem, ugięcia konstrukcji mogą być tak\
e
wyznaczane w sposób analityczny. W przypadku belek zginanych, w zale\
ności od
schematu statycznego, rodzaju i rozkładu obcią\
eń konstrukcji do tego celu mo\
na
wykorzystać:
- metodę równań ró\
niczkowych osi odkształconej (du\
a liczba stałych
całkowania),
- metodę parametrów początkowych (nieznane cztery parametry początkowe),
- metodę Clebscha (tylko dwie stałe całkowania),
- metodÄ™ obciÄ…\
eń (momentów) wtórnych,
- wzór Maxwella-Mohra,
- i inne (m. in. metoda ró\
nic skończonych, twierdzenie Clapeyrona, twierdzenie
Castigliano itd.).
Większość z wy\
ej wymienionych metod (metody: równań ró\
niczkowych osi
odkształconej, parametrów początkowych, Clebscha, momentów wtórnych) bazuje na
równaniu ró\
niczkowym drugiego rzędu krzywizny belki (1), w którym odkształcenie
belki jest ściśle powiązane ze sztywnością belki na zginanie EI i rozkładem
momentów M(x) w belce:
2
M (x) d y
= Ä… = Ä… y" (x) , (1)
EI
dx2
EI Å" y" (x) = Ä…M (x) , (2)
gdzie:
ąM(x) - moment zginający w belce (ze znakiem  + - gdy przyjęto oś  y
skierowaną do góry (ę!), znak  - - gdy oś  y jest skierowana ku
doÅ‚owi (“!),
I = Iz - moment bezwładności przekroju belki względem osi z  prosto-
padłej do osi x i y
Rys. 2. Konwencja przyjmowania osi
Całkując obustronnie równanie (2) uzyskujemy równanie ró\
niczkowe linii obrotu
belki:
EI Å" y' (x) = (x)dx + C , (3)
+"M
Całkując po raz drugi otrzymujemy równanie linii ugięcia belki:
EI Å" y(x) = (+"M (x)dx)dx + Cx + D . (4)
+"
Jedną z prostszych i często stosowanych metod obliczania ugięć w prostych
belkach zginanych jest metoda Clebscha. W odró\
nieniu od metody parametrów
początkowych, w której nieznane są a\
cztery parametry początkowe i metody równań
ró\
niczkowych osi odkształconej, w której ka\
de kolejne obciÄ…\
enie znaczÄ…co
komplikuje proces obliczeniowy i dodatkowo zwiększa wymaganą ilość stałych
całkowania, metoda Clebscha wymaga wyznaczenia tylko dwóch stałych, niezale\
nie
od ilości przedziałów, na które dzielą belkę kolejne obcią\
enia. Jest to mo\
liwe dzięki
wprowadzeniu poni\
szych zasad:
- przyjęciu jednego układu współrzędnych dla wszystkich przedziałów
(w jednym z krańców belki),
- rozpisaniu równania momentów zginających przedziału następnego w taki
sposób, aby zawierało w sobie równanie momentu przedziału poprzedniego
oraz dodatkowy składnik z mno\
nikiem (x  ai)n,
Rys. 3. Uwzględnianie momentów zginających z przedziału poprzedniego w równaniu
momentów przedziału następnego
- przedłu\
eniu do końca belki obcią\
eń ciągłych (zgodnie z kierunkiem przyjętej
osi x) i wprowadzeniu na odcinkach przedłu\
eń dodatkowych, przeciwnie
skierowanych obciÄ…\
eń wyrównujących o tej samej intensywności obcią\
eń q,
Rys. 4. Zasada przedłu\
ania obciÄ…\
eń i wprowadzania obcią\
eń wyrównujących
- uwzględnieniu przyło\
onych punktowo momentów zginających M
obciÄ…\
ajÄ…cych belkÄ™ z mno\
nikiem M(x  a1)0,
- całkowaniu równań ró\
niczkowych w nawiasach, traktujÄ…c je jako nowe
zmienne:
n+1
(x - ai )
n
+ C . (5)
+"(x - ai ) dx =
n + 1
Stałe całkowania C i D, wyznaczane ze znanych warunków brzegowych (np.
wiemy, \
e w miejscu utwierdzenia/zamocowania belki nie jest mo\
liwy ani przesuw
y = 0, ani obrót belki y = Õ = 0), majÄ… okreÅ›lony sens fizyczny:
C
f& = Õ(x = 0) - kÄ…t obrotu belki w poczÄ…tku przyjÄ™tego ukÅ‚adu współrzÄ™dnych,
EI
D
f& = y(x = 0) - ugięcie belki w początku przyjętego układu współrzędnych.
EI
2. CEL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest doświadczalna weryfikacja ugięć belki obliczonych
zgodnie z metodą Clebscha, w oparciu o pomiary rzeczywistych ugięć belki zginanej
poddanej zró\
nicowanym obciÄ…\
eniom (siły skupione i obcią\
enie równomiernie
rozło\
one) przy dwóch ró\
nych schematach statycznych podparcia belki (belka
swobodnie podparta i belka wspornikowa).
3. PRZEBIEG ĆWICZENIA
3.1. Obliczanie ugięć metodą Clebscha - opracowanie wyników
3.1.1. Wariant Nr 1  belka swobodnie podparta
Rys. 5. Schemat podparcia i obciÄ…\
enia belki w wariancie Nr 1
Rozwa\
my belkÄ™ swobodnie podpartÄ… i obciÄ…\
onÄ…, zgodnie z rys. 5, w 1/3
odległości od lewej podpory siłą skupioną o wartości P. Dla powy\
szego układu,
zgodnie z zale\
nością (2), mo\
emy rozpisać poni\
sze równania:
EI Å" y"(x) = + RA Å" x - P(x - a), (6)
2
x2 (x - a)
EI Å" y'(x) = C + RA Å" - P , (7)
2 2
3
x3 (x - a)
EI Å" y(x) = D + C Å" x + RA Å" - P . (8)
6 6
Warunki brzegowe
Dla belki o schemacie statycznym zgodnym z rys. 5, nale\
y przyjąć następujące warunki
brzegowe:
- dla x = 0 => y(0) = 0,
oraz
- dla x = L => y(L) = 0.
Stałe całkowania
W oparciu o przyjęte warunki brzegowe i równanie (8) wyznaczamy stałe całkowania:
f& z pierwszego warunku brzegowego (dla y(x=0) = 0) i równania ugięć belki (8)
uzyskujemy:
3
P(L - a) 03 (x - a)
0 = D + C Å" 0 + Å" - P ,
L 6 6
y(x = 0) = 0 = RA
stÄ…d D = 0.
f& z drugiego warunku brzegowego (y(x=L) = 0) i równania ugięć belki (8)
uzyskujemy:
3
P(L - a) L3 (L - a)
0 = 0 + C Å" L + Å" - P ,
L 6 6
y(x = 0) = 0 = RA
- P(L - a)L3 P(L - a)3
C = + ,
6L2 6L
P
stÄ…d C = [(L - a)3 - L2(L - a)].
6L
Podstawiając stałe całkowania do zale\
ności (8) i (9) otrzymamy:
- równanie obrotu osi odkształconej belki:
2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 P P(L - a) x2 P(x - a)
y' (x) = [(L - - , (9)
ïÅ‚6L - a)3 L2(L - a)]x + śł
EI L 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
- oraz równanie ugięć osi odkształconej belki:
3
îÅ‚ Å‚Å‚
1 P P(L - a) x3 P(x - a)
y(x) = [(L - - . (10)
ïÅ‚6L - a)3 L2(L - a)]x + śł
EI L 6 6
ðÅ‚ ûÅ‚
Dla a = L/3 równanie ugięć belki przyjmuje postać:
3
îÅ‚ Å‚Å‚
1 10PL2x Px3 P(x - L / 3)
y(x) = + - . (11)
ïÅ‚- śł
EI 162 9 6
ðÅ‚ ûÅ‚
3.1.2. Wariant Nr 2  belka wspornikowa
Rys. 6. Schemat podparcia i obciÄ…\
enia belki w wariancie Nr 2
Jako kolejnÄ… rozwa\
my belkÄ™ wspornikowÄ… obciÄ…\
onÄ… zgodnie z rys. 6,
obciÄ…\
eniem równomiernie rozło\
onym q na 1/3 jej długości. Dla powy\
szego układu,
zgodnie z zale\
nością (2), mo\
emy rozpisać poni\
sze równania:
2
x q(x - a)
EI Å" y"(x) = - qx Å" + , (12)
2 2
3
qx3 q(x - a)
EI Å" y'(x) = C - + , (13)
6 6
4
qx4 q(x - a)
EI Å" y(x) = D + C Å" x - + . (14)
24 24
Warunki brzegowe
Dla belki o schemacie statycznym zgodnym z rys. 5, nale\
y przyjąć następujące warunki
brzegowe:
- dla x = L => y(L) = 0,
oraz
- dla x = L => Õ(L) = y (L) = 0.
Stałe całkowania
W oparciu o przyjęte warunki brzegowe i równania (13) i (14) wyznaczamy stałe
całkowania:
f& z drugiego warunku brzegowego (dla y (x = L) = 0) i równanie obrotu osi belki
(13) uzyskujemy:
3
qL3 q(L - a)
0 = C - + ,
6 6
y' (x = L) = 0
3
qL3 - q(L - a)
stÄ…d C = .
6
f& z pierwszego warunku brzegowego (y(x = L) = 0) i równania ugięć belki (14)
uzyskujemy:
3 4
qL3 - q(L - a) qL4 q(L - a)
0 = D + L - + ,
6 24 24
y(x = L) = 0
qL4 - 4qL4 + 4qL(L - a)3 - q(L - a)4
D = ,
24
- 3qL4 + 4qL(L - a)3 - q(L - a)4
stÄ…d D = .
24
Podstawiając stałe całkowania do zale\
ności (13) i (14) otrzymamy, analogicznie jak
poprzednio, równania obrotu i ugięć osi odkształconej belki.
3 3
îÅ‚ Å‚Å‚
1 qL3 - q(L - a) qx3 q(x - a)
y'(x) = - + , (15)
ïÅ‚ śł
EI 6 6 6
ðÅ‚ ûÅ‚
- oraz równanie ugięć osi odkształconej belki:
3 4
îÅ‚ Å‚Å‚
1 - 3qL4 + 4qL(L - a)3 - q(L - a)4 qL3 - q(L - a) qx4 q(x - a)
y(x) = + x - + (16)
ïÅ‚ śł
EI 24 6 24 24
ðÅ‚ ûÅ‚
Dla a = L/3 równanie ugięć belki przyjmuje postać:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 163qL4 19ql3x qx4
y(x) = + - . (17)
ïÅ‚- śł
EI 1944 162 24
ðÅ‚ ûÅ‚
3.2. Weryfikacja doświadczalna ugięć - działania niezbędne
przez rozpoczęciem ćwiczenia
Przed przystąpieniem do realizacji ćwiczenia nale\
y:
f& umieścić beleczkę z płaskownika stalowego na podporach, zgodnie ze
schematem statycznym prezentowanym na rys. 5 (wariant Nr 1), a następnie
dokonać pomiaru niezbędnych danych związanych z geometrią belki:
- całkowitej rozpiętości belki L pomiędzy podporami przegubowymi:
przesuwną i nieprzesuwną (z dokładnością do 1.0 mm),
- szerokości b i wysokości h przekroju poprzecznego belki (z dokładnością
do 0.1 mm).
f& ustawić statywy pomiarowe z czujnikami przemieszczeń w miejscach,
w których planowane jest zadawanie obcią\
eń i prowadzenie odczytów ugięć
belki (w okolicy 1/3 rozpiętości belki oraz w jej środku rozpiętości),
f& sprawdzić czy głowice kontaktowe czujników przemieszczeń mają mo\
liwość
swobodnego przemieszczania się o około 10 mm w kierunku prostopadłym do
osi belki,
f& zanotować w sprawozdaniu miejsca przyło\
enia czujników (z dokładnością do
1.0 mm)  odpowiednio: a1 i a2,
f& wyzerować wskazania czujników.
3.3. Weryfikacja doświadczalna ugięć - działania niezbędne
w trakcie realizacji ćwiczenia
f& na belce, w okolicy 1/3 jej rozpiętości (od lewej podpory) tzn. nad czujnikiem
nr 1 zawiesić szalkę, za pomocą której będzie zadawane obcią\
enie P,
f& za pomocÄ… obciÄ…\
ników zawieszanych na szalce wprowadzić obcią\
enie P,
f& zanotować w sprawozdaniu wartość zadanego obcią\
enia P,
f& dokonać odczytów z czujników przemieszczeń (z dokładnością do 0.01 mm)
w dwóch ró\
nych przekrojach (w poło\
eniach: a1 i a2),
f& zmienić miejsce poło\
enia szalki i obciÄ…\
enia P na środek belki, a następnie
ponownie dokonać odczytów ugięć,
f& zmienić układ statyczny belki (wariant Nr 2)  na zgodny z rys. 6, usunąć
szalkę z belki, a następnie powtórzyć prezentowany powy\
ej tok postępowania
 wprowadzajÄ…c zamiast obciÄ…\
enia P  obciÄ…\
enie ciągłe, równomiernie
rozło\
one q na 1/3 długości belki.
Wy\
sza Szkoła Agrobiznesu w A
om\
y
Wydział Techniczny
Kierunek Budownictwo
Sprawozdanie
z ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
Ćwiczenie Nr 6
Temat: Doświadczalna weryfikacja ugięć belek
prostych obliczanych metodÄ… Clebscha
ImiÄ™ i nazwisko & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Nr albumu & & & & & & & &
Studia stacjonarne / niestacjonarne
Semestr i nr grupy & & & & & & & &
Data realizacji & & & & & & & &
Ocena & & & & & & & &
Podpis prowadzÄ…cego & & & & & & & &
Data zaliczenia & & & & & & & &
Cel ćwiczenia
Szkic schematu podparcia i obciÄ…\
enia belki (v1 lub v2)
Podstawowe zale\
ności
- równanie ró\
niczkowe drugiego rzędu na krzywiznę belki:
- - kÄ…t obrotu & ,
- - ugięcie belki & .
gdzie:
C, D - & ,
M - & ,
EI - & ,
E - & ,
I=Iz - & .
Dane związane z geometrią belki, rozmieszczeniem punktów podporowych
i lokalizacją czujników przemieszczeń
Dane zwiÄ…zane
Dane zwiÄ…zane z geometriÄ… belki z rozmieszczeniem
Lp.
czujników pomiarowych
a H" L /3 a H" L /2
b h L
1 2
[m] [m] [m] [m] [m]
1.
2.
Åšrednia:
 gdzie:
b - & [& ],
h - & [& ],
L - & [& ],
ai - & [& ],
Iz = & .
Wyprowadzenie zale\
ności na ugięcie belki metodą Clebscha - v1/v2:
Warunki brzegowe:
- dla x = & ,
- dla x = & .
Stałe całkowania:
Równanie obrotu osi odkształconej belki:
Równanie ugięć osi odkształconej belki:
Równanie ugięć belki dla a = L/3:
Ugięcie belki yA w miejscu x = 0:
Ugięcie belki yB w miejscu x = L/3:
.
Ugięcie belki yC w miejscu x = L/2:
.
Weryfikacja doświadczalna ugięć w belce
Obliczone ugięcia belki Zarejestrowane wartości ugięć
y y y y y y
A B C A B C
P P
q
(dla L/ 3) (dla L/2 )
Lp.
(dla L= 0) (dla L/ 3) (dla L/ 2) (dla L= 0) (dla L/ 3) (dla L/ 2)
[kN] [kN] [kN/m] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm]
Schemat statyczny Nr 1
1. 0 - - - -
2. 0,01 - - - -
3. - 0,01 - - -
Schemat statyczny Nr 2
4. - - 0
5. - - 0,0235
Wnioski