Wy\
sza Szkoła Agrobiznesu w A
om\
y
Wydział Techniczny
Kierunek Budownictwo
Instrukcja
do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
Ćwiczenie Nr 5
Temat: Wyznaczanie modułu Younga E
w materiale belki zginanej
Opracowanie:
dr in\
. Krzysztof Czech
Białystok, listopad 2010 r.
Strona 1 z 11
1. WPROWADZENIE
Kolejnym prostym zagadnieniem wytrzymałości pręta jest zginanie [2]. Ze
zginaniem mamy do czynienia, gdy na pręt działa obcią\
enie momentem gnÄ…cym
(zginającym) Mg. Jeśli na pręt, na całej jego długości, oddziałuje tylko i wyłącznie
moment zginający o stałej wartości (tzn. mamy do czynienia ze zginaniem
równomiernym Mg = const - bez udziału sił poprzecznych)  mówimy o czystym
zginaniu (Rys. 1).
Mg
Mg
Rys. 1. Czyste zginanie pręta
Jeśli na pręt o przekroju prostokątnym naniesiemy prostokątna siatkę linii (Rys.
2 [2]), a następnie poddamy go czystemu zginaniu zauwa\
ymy, \
e:
- kontury i przekroje poprzeczne pręta po odkształceniu pręta pozostają płaskie,
- proste prostopadłe do osi belki i le\
ące w płaszczyz
nie zginania (pionowe linie
siatki prostokątnej - naniesione na krawędziach bocznych pręta: b-b, c-c) pozostają
proste równie\
po odkształceniu pręta (b -b , c -c ) i normalne (prostopadłe) do
linii ugięcia belki,
- myślowo wydzielone z pręta elementy podłu\
ne (nazywane włóknami) na skutek
działania naprę\
eń normalnych ulegają wydłu\
eniu lub skróceniu - w zale\
ności od
ich poło\
enia względem osi obojętnej (zakładamy, \
e poszczególne włókna nie
oddziałują na siebie; w przekroju nie występują tak\
e naprÄ™\
enia styczne).
Rys. 2. Prostokątna siatka linii naniesiona na pręt o przekroju prostokątnym i jej
odkształcenia spowodowane czystym zginaniem pręta [2]
Strona 2 z 11
W przypadku czystego zginania pręta o stałej sztywności EIz linia ugięcia belki
jest częściÄ… okrÄ™gu o promieniu Á, dlatego te\
krzywiznę odkształconej belki mo\
na
opisać poni\
szym równaniem:
M
1
g
= = const , (1)
Á EIz
w którym: Á - promieÅ„ krzywizny belki zginanej [m],
Mg=M- moment zginajÄ…cy [MNm],
EIz - sztywność belki zginanej [MNm2],
E - moduł Younga [MPa],
Iz - moment bezwładności przekroju prostokątnego względem
osi z,
bh3
Iz = [m4] (2)
12
b - szerokość pręta [m],
h - grubość/wysokość pręta [m].
Podstawiając wzór (2) na moment bezwładności Iz do równania (1), a następnie
przekształcając je w taki sposób, aby po lewej stronie znalazł się moduł Younga E
 uzyskujemy zale\
ność na moduł sprę\
ystości podłu\
nej pręta:
12 Å" M Å" Á
g
E = [MPa]. (3)
bh3
Rys. 3. Wyznaczanie krzywizny pręta [1]
Strona 3 z 11
NieznanÄ… na tym etapie obliczeÅ„ wartość krzywizny Á prÄ™ta wyznaczamy z zale\
ności
geometrycznej pomiędzy strzałką ugięcia pręta f poddanego czystemu zginaniu,
a promieniem krzywizny Á - zgodnie z Rys. 3.
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa (w dowolnym trójkącie prostokątnym suma
kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokÄ…tnej: c2 = a2 + b2 ):
2
öÅ‚
l2 f l2 ëÅ‚ 2 f
ìÅ‚1 ëÅ‚ öÅ‚ ÷Å‚
Á = + Ò! Á = + . (4)
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
8 f 2 8 f l
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2 f
Przy czym ëÅ‚ öÅ‚ << 1, a wiÄ™c jest pomijalnie maÅ‚e, dlatego te\
przyjmujemy, \
e:
ìÅ‚ ÷Å‚
l
íÅ‚ Å‚Å‚
l2
Á = . (5)
8 f
Ostatecznie poszukiwany moduł Younga E obliczymy z poni\
szej zale\
ności:
3Å" l2 Å" M
g
E = . (6)
2 Å" bh3 Å" f
Zgodnie z prawem Hooke a naprÄ™\
enia normalne w pręcie à są wprost
proporcjonalne do odksztaÅ‚ceÅ„ wzglÄ™dnych µ :
Ã
à = E Å" µ Ò! µ = . (7)
E
Uwzględniając, \
e naprÄ™\
enia normalne w pręcie zginanym obliczamy równie\

z zale\
ności (8):
M
g
à = , (8)
Wz
bh2
w której: Wz - wskaz
nik wytrzymałości względem osi z, Wz = [m3]
6
wielkość odkształceń w pręcie mo\
emy wyznaczyć podstawiając zale\
ność (8) do (7):
M
Ã
g
µ = = . (9)
E Wz Å" E
2. CEL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie modułu sprę\
ystości podłu\
nej E pręta
o przekroju prostokątnym poddanego czystemu zginaniu oraz określenie wielkości
odksztaÅ‚ceÅ„ wzglÄ™dnych µ i naprÄ™\
eÅ„ normalnych Ã, spowodowanych w części
środkowej pręta w trakcie zadawania obcią\
eń momentem równomiernym.
Strona 4 z 11
3. PRZEBIEG ĆWICZENIA
3.1. Próbki do badań
Badanie prowadzone jest na pręcie stalowym o przekroju prostokątnym
(płaskowniku) o następujących wymiarach geometrycznych: b = 50 mm, h = 5 mm
oraz L = 1200 mm.
3.2. Układ pomiarowy
Określenie modułu sprę\
ystości podłu\
nej E materiału prowadzone jest na
stanowisku badawczym, którego szkic pokazano na Rys. 4.
f2
f3
f1
Rys. 4. Szkic układu pomiarowego, obcią\
enia i rozmieszczenia czujników
przemieszczeń [1]
Rys. 5. Wykres momentów zginających w belce [1]
Stałą wartość momentu zginającego w pręcie/płaskowniku uzyskano poprzez
zastosowanie schematu statycznego belki swobodnie podpartej z obustronnymi
wspornikami (długości a), obcią\
onej na końcach siłami P, generującymi stałą wartość
momentu zginającego M = Pa na odcinku lAB - pomiędzy punktami podporowymi
belki (Rys. 5).
Strona 5 z 11
3.3. Realizacja ćwiczenia
Przed przystąpieniem do realizacji ćwiczenia nale\
y:
- sprawdzić:
właściwe, zgodne z przyjętym schematem statycznym, mocowanie
płaskownika w punktach podporowych,
jednakową długość obu wsporników a,
mo\
liwość swobodnego przemieszczania się końcówek dotykowych
cyfrowych czujników przemieszczeń (o około 2 mm);
odpowiednie, osiowe i równoległe rozmieszczenie czujników przemieszczeń.
- przeprowadzić pomiary:
grubości/wysokości h płaskownika (z dokładnością do 0.1 mm  w co
najmniej dwóch miejscach),
szerokości b płaskownika (z dokładnością do 0.1 mm  w co najmniej
dwóch miejscach),
rozpiętości lAB pomiędzy punktami podporowymi (z dokładnością 1 mm),
odległości l pomiędzy skrajnymi czujnikami przemieszczeń (Nr 1 i Nr 3),
oraz długości wsporników a (z dokładnością 1 mm).
- wyzerować wskazania czujników przemieszczeń.
Ćwiczenie realizujemy stopniowo zwiększając obcią\
enia zawieszane na
końcach belki wspornikowej i odczytując odpowiadające danemu obcią\
eniu
momentem zginającym wskazania z wszystkich trzech zegarowych czujników
przemieszczeń. Rozpoczynamy od obcią\
enia P = 5 N, po czym zwiększamy je co 5
N, a\
do uzyskania wartości obcią\
enia P = 30 N, co przy długości wsporników
wynoszących a [mm] daje stały moment zginający w środkowej części próbki na
poziomie Mg = od 0 do 30 NÅ"a z krokiem co 5 NÅ"a [Nmm].
3.4. Opracowanie wyników
Strzałkę ugięcia f w środku rozpiętości belki wyznaczamy zgodnie z poni\
szÄ…
zale\
nością i Rys. 4  wykorzystując do tego celu odczyty z trzech cyfrowych
zegarowych czujników przemieszczeń:
f = f2 - ( f1 + f3) / 2 . (10)
Dla określonych wartości strzałek ugięcia i odpowiadających ich momentów
zginajÄ…cych ka\
dorazowo wyznaczamy wartości modułu Younga oraz naprę\
eń
i odkształceń jakich doznała badana belka. Wykorzystujemy do tego zale\
ności nr (8)
(9).
Dane uzyskane z pomiarów i obliczeń nale\
y zestawić w formie tabelarycznej.
Strona 6 z 11
BIBLIOGRAFIA
[1] Banasiak M. (red.): Ćwiczenia laboratoryjne z wytrzymałości materiałów.
Wydawnictwa Naukowe PWN. Warszawa, 2000.
[2] Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Zb.: Wytrzymałość materiałów. Tom 1.
Podręczniki akademickie  Mechanika. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,
Warszawa, 1999.
Strona 7 z 11
Wy\
sza Szkoła Agrobiznesu w A
om\
y
Wydział Techniczny
Kierunek Budownictwo
Sprawozdanie
z ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu
WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
Ćwiczenie Nr 5
Temat: Wyznaczanie modułu Younga E
w materiale belki zginanej
ImiÄ™ i nazwisko & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Nr albumu & & & & & & & &
Studia stacjonarne / niestacjonarne
Semestr i nr grupy & & & & & & & &
Data realizacji & & & & & & & &
Ocena & & & & & & & &
Podpis prowadzÄ…cego & & & & & & & &
Data zaliczenia & & & & & & & &
Strona 8 z 11
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie:
f& &
f& &
f& &
Szkic schematu obciÄ…\
enia belki wraz z wykresami sił wewnętrznych: T, M
Podstawowe zale\
ności
- krzywizna belki odkształconej w wyniku czystego zginania:
&
gdzie: Á - &
Mg=M- &
EIz - &
E - &
Iz - &
- moduł sprę\
ystości podłu\
nej pręta o przekroju prostokątnym:
&
gdzie: f - &
&
Strona 9 z 11
- naprÄ™\
enia normalne w prÄ™cie Ã:
&
- odksztaÅ‚cenia w prÄ™cie µ:
&
gdzie: Wz - &
Wyprowadzenie zale\
ności na ugięcie belki f metodą Maxwella-Mohra
Dane związane z geometrią belki, rozmieszczeniem punktów podporowych
i lokalizacją czujników przemieszczeń
Dane zwiÄ…zane
Dane zwiÄ…zane z geometriÄ…
z rozmieszczeniem podpór
belki
Lp. i czujników pomiarowych
l
b h L l a
AB
[mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm]
1.
2.
Åšrednia:
gdzie:
b - &
h - &
L - &
Strona 10 z 11
 lAB - &
l - &
a - &
Iz = [mm4] = & Wz = [mm3] = &
Wyniki badań
Wykres obrazujÄ…cy zale\
ność modułu Younga od wartości momentu zginającego
Strona 11 z 11