3. Produkcja 1
ZADANIA
1. Firma Kolor kupuje trzy rodzaje farby: 1 - niebieską, 2 - czerwoną, 3 - żółtą, a sprzedaje
farby 1 - niebieską, 2 - czerwoną, 3 - żółtą, 4 - pomarańczową, 5 - fioletową. Mając dane
wektory nakładów x i wektory wyników y1 , y2
24 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚46 śł ïÅ‚5 śł ïÅ‚5 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
x = 40 y1 = 20 y 2 = 20
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 śł ïÅ‚40 śł ïÅ‚41 śł
ïÅ‚0 śł ïÅ‚41 śł ïÅ‚42 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
odpowiedz na poniższe pytania:
a) Czy możliwe jest uzyskanie wielkości produkcji reprezentowanych przez wektory y1 i
y2 z nakładów reprezentowanych przez wektor x1 ?
b) Omów dostępne procesy technologiczne, zużycie poszczególnych nakładów i ilość
uzyskiwanych produktów finalnych.
c) Czy zbiór wszystkich technologicznie dopuszczalnych procesów produkcji jest
zbiorem skończonym? Jak nazywa się taki zbiór?
d) Który z danych procesów produkcji jest technologicznie efektywny?
e) Wyznacz wektory produkcji czystej wykorzystując dane nakłady i wyniki.
2. W pewnej firmie oszacowano funkcję produkcji, jest ona funkcją wyłącznie jednego
czynnika zmiennego A i dana jest wzorem: Q = -A3 + 6A2 +15A.
a) Jaka jest maksymalna możliwa do uzyskania wielkość produkcji?
b) Jaki maksymalny przyrost produkcji można osiągnąć zwiększając nakład czynnika o
jednostkę? Przy jakiej wielkości produkcji to nastąpi?
c) Dla jakiej wielkości produkcji każda zaangażowana jednostka czynnika generuje
przeciętnie największą ilość produktu?
d) SporzÄ…dz
wykres funkcji produkcji, krańcowej produktywności czynnika A oraz
przeciętnej produktywności czynnika A .
3. W pewnej firmie oszacowano funkcję produkcji, jest ona funkcją wyłącznie jednego
czynnika zmiennego i dana jest wzorem: Q = -2A3 +100A2 + A . Obecnie firma zużywa
17 jednostek nakładu A miesięcznie. Ile sztuk produktu wytwarza się miesięcznie? Czy
jest to maksymalna wielkość produkcji? Dla jakiej wielkości produkcji APA = MPA ?
4. Wyznacz elastyczności produkcji względem poszczególnych nakładów.
Ä…
a) Q = K L² ,
1 1 1
2 4
b) Q = 5K L3Z .
1 1
3
5. Dane jest funkcja produkcji Q = 2K L2 , gdzie K = 27, L = 25 .
a) Oblicz wielkość produkcji.
b) O jaką wielkość wzrosła produkcja, gdy zatrudniono ostatniego pracownika?
c) Oblicz krańcową produktywność kapitału.
d) Jaką wielkość produkcji wytwarza przeciętnie jeden pracownik?
e) Jaką wielkość produkcji generuje średnio jednostka kapitału?
2 3. Produkcja
f) O ile procent zmieni się produkcja, jeżeli wielkość zatrudnienia zmieni się o 1 procent
(przy założeniu, że ilość kapitału jest stała)?
6. Dla funkcji produkcji Cobba-Douglasa o stałych korzyściach skali i współczynniku
proporcjonalności A wyznacz następujące funkcje jako funkcje technicznego uzbrojenia
pracy:
a) produkcji,
b) przeciętnej produktywności pracy,
c) przeciętnej produktywności kapitału,
d) krańcowej produktywności pracy,
e) krańcowej produktywności kapitału,
f) elastyczności produkcji względem kapitału.
7. Dla ciągłej i różniczkowalnej funkcji produkcji Q = TP = f (K, L) udowodnij
analitycznie, że w krótkim okresie maksymalna produktywność przeciętna pracy L
(zmiennego czynnika produkcji) odpowiada takiej wielkości produkcji, przy której
produktywność przeciętna pracy jest równa produkcyjności krańcowej.
8. Wyznacz krańcową stopę technicznej substytucji kapitału pracą oraz elastyczność
substytucji kapitału przez pracę dla danych funkcji. Zinterpretuj wyniki, jeżeli wiadomo,
że obecnie w procesie produkcji zużywa się 100 jednostek kapitału i 64 jednostek pracy.
a) Q = 5 KL ,
b) Q = 2 K + 2 L ,
c) Q = K + 3 L ,
3
d) Q = K Å" L ,
3 1
4
e) Q = K L4 .
9. Ustal krańcową stopę technicznej substytucji kapitału pracą w przypadku funkcji
produkcji:
Ä…
a) Q = A Å" K L1-Ä… (gdzie: A > 0 to parametr proporcjonalnoÅ›ci),
Ä…
b) Q = K L² .
1 2
3
10. Proces produkcyjny firmy opisany jest funkcjÄ… Q = TP = 12K L3 . Wyznacz poziom
zatrudnienia czynników wytwórczych K i L gwarantujący najniższy koszt
wyprodukowania 480 jednostek dobra X . Cena czynnika K to 32 j.p., natomiast
czynnika L jest czterokrotnie niższa j.p.
1 1
2
11. Funkcja produkcji ma postać Q = TP = 2K L2 . Ile jednostek kapitału i pracy powinna
zatrudniać firma, której celem jest minimalizacja kosztów wyprodukowania 72 sztuk
wyrobu gotowego? Ceny czynników produkcji to r = 6, w = 24 .