Politechnika Wroclawska Wrocław 21.01.2011 r.
Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego
Instytut Inżynierii Lądowej
Zakład Dynamiki Budowli
rok akademicki: 2010/2011
semestr III
ZADANIE PROJEKTOWE
PODSTAWY STATYKI
BUDOWLI
Prowadząca: Wykonał:
Dr inż. Monika Podwórna Paweł Horak
1. Belka .................................................................................................................................... 3
1.1. Sprawdzenie geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności ...................... 3
1.1.1. Warunek ilościowy .................................................................................................. 3
1.1.2. Warunek jakościowy ............................................................................................... 3
1.2. Wyznaczenie reakcji podporowych ................................................................................ 4
1.3. Wyznaczenie sił przekrojowych...................................................................................... 5
1.4. Wyznaczenie wartości: Ma�, Ta�, RC metodą kinematyczną............................................. 7
1.4.1. Wyznaczenie RC ...................................................................................................... 7
1.4.2. Wyznaczenie Ma� ..................................................................................................... 8
1.4.3. Wyznaczenie Ta� ...................................................................................................... 9
2. Rama ................................................................................................................................. 10
2.1. Sprawdzenie geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności .................... 10
2.1.1. Warunek ilościowy ................................................................................................ 10
2.1.2. Warunek jakościowy ............................................................................................. 11
2.2. Wyznaczenie reakcji podporowych .............................................................................. 12
2.3. Wyznaczenie sił przekrojowych................................................................................... 13
2.4. Wyznaczenie wartości: Ma�, Ta�, HA metodą kinematyczną. ......................................... 19
2.4.1. Wyznaczenie HA.................................................................................................... 19
2.4.2. Wyznaczenie Ma� .................................................................................................. 20
2.4.3. Wyznaczenie Ta� .................................................................................................... 22
3. Kratownica .................................................................................................................... 26
3.1. Sprawdzenie geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności .................... 26
3.1.1. Warunek ilościowy ................................................................................................ 26
3.1.2. Warunek jakościowy ............................................................................................. 27
3.2. Wyznaczenie reakcji podporowych .............................................................................. 27
3.3. Wyznaczenie sil w prętach graficzną metodą równoważenia węzłów
(sposób Cremony) ......................................................................................................... 28
3.4. Wyznaczenie sił w trzech wybranych prętach metodą analityczna .............................. 30
3.5. Sprawdzenie równowagi w wybranym węz
le ............................................................... 31
3.6. Sprawdzenie trzech sił w wybranych prętach metodą kinematyczną. ......................... 32
2
1. Belka
1.1. Sprawdzenie geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności
1.1.1. Warunek ilościowy
t = 3
e = 3 + 2*2 + 2*1 = 9
e = 3t
Geometrycznie niezmienny, statycznie wyznaczalny  jakościowo
1.1.2. Warunek jakościowy
( 0 + 1 ) = K - sztywne połączenie tarczy 1 z ostoją
( K + 2 ) = L - na podstawie twierdzenia o dwóch tarczach
( L + 3 ) = 0 - na podstawie twierdzenia o dwóch tarczach
Układ jest geometrycznie niezmienny, statycznie wyznaczalny jakościowo
3
1.2. Wyznaczenie reakcji podporowych
p
S�M3 =� -5*4*2 +� 4*Rc =� 0
Rc =�10kN
L
S�M1 =� - 5*8*7 +� 6*RBY +� 10*11 =� 0
6*RBY =� 170
R =� 28,333kN =� RBX
BY
S�MA =� - M -15*5 +� 28,333*11- 40 *12 +� 10 *16 =� 0
M =� - 75 +� 311,663 - 480 +�160
M =� - 83,333kNm
S�X =� HA - 28,333+� 5 3 *8 =� 0
HA =� 97,615kN
S�Y =� - VA +�15 +� 40 - 28,333-10 =� 0
VA =�16,667kN
Sprawdzenie:
S�M4 =� -10* 2 - 40*6 +� 28,333*7 -15*13 +�16,66*18 - 83,333 =� 0
M =� - 83,333kNm
VA =� 16,667kN
HA =� 97,615kN
RBY =� RBX =� 28,333kN
RC =� 10kN
4
1.3. Wyznaczenie sił przekrojowych
p
Mc =� 0
M3 =� 0
x �=� �<� 0�,�8� >�
x
P
MC-�2 (x) =� -�5x * +�10x =� - 2,5x +�10x =� - 2,5x (x - 4)
2
-10
p
xmax =� =� 2m, MC-2 (2) =� 10kNm
- 5
p
M =� 0 =�>� x =� {0, 4}, MC-2 (8) =� -�80kNm
ML =� -�80 +� 84,999 =� 5kNm
2
ML =� 75 -�83,333 =� -�8,333kNm
A
M1 =� 0
dM
P
TC-�2(x) =� -� =� 5x -�10
dx
P
TC =� -10kN
P
T2 =� 5*8 -10 =� 40kN
L
TC =� 30 - 28,333 =� 1,667kN
P
TA =� 1,667kN
NC =� 0
NP =� - 8*5 3 =� -�69,282kN
2
NL =� - 69,282 -� 28,333 =� -�97,615kN
2
NA =� -� 97,165kN
5
 6
1.4. Wyznaczenie wartości: Ma�, Ta�, RC metodą kinematyczną.
1.4.1. Wyznaczenie RC
Tarcze 1 i 2 są nieruchome
L =� R * 2D� �-� �2�0� *� D� �=� �0�
C
2R =� 20
C
R =� 10kN
C
7
1.4.2. Wyznaczenie Ma�
�
�
1 1
(�2 0)�(�3 0)�
5 4
d� 3D�
=� =�>� d� =� D�
1� 3�
Ma� Ma� M�a�
L =� 10*3D� -� *3D� -� *3D� �-� 2�0�*� D� -� *D� =� 0�
3 4 4�
Ma�
30 -� 20 -� Ma� -� (3 +�1) =� 0�
4
2Ma� =�10
Ma� =� 5 kNm
8
1.4.3. Wyznaczenie Ta�
�
1 1
(�2 0)�
(�3 0)�
5 4
d� 3D�
=� =�>� d� =� D�
1� 3�
L =� 10*3D� -� Ta� *3D� -� Ta� *3D� �-� 2�0�*� D� =� 0�
30 -� 20 -� 6Ta� =� 0�
6Ta� =�10
Ta� =� 1,667 kN
9
2. Rama
2.1. Sprawdzenie geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności
2.1.1. Warunek ilościowy
t = 3
e = 5*2 = 10
n = 10 - 3*3 = 1
Układ jest jednokrotnie przesztywniony.
10
Aby układ stał się statycznie wyznaczalny zamieniamy prawą podporę przegubową na podporę
przesuwną.
t = 3
e = 4*2 + 1 = 9
n = 9 - 3*3 = 0
układ geometrycznie
niezmienny, statycznie
wyznaczalny ilościowo
2.1.2. Warunek jakościowy
( 1 + 2 + 3 ) = K - trzy tarcze wzajemnie połączone przegubami,
które nie leżą na jednej prostej
(twierdzenie o trzech tarczach)
( K + 0 ) = 0 - tarcza K tworzy z ostoją układ niezmienny, ponieważ
połączona jest z nią przegubem i podpora przesuwną, której
kierunek nie przechodzi przez przegub (twierdzenie o
dwóch tarczach)
Układ jest geometrycznie niezmienny, statycznie wyznaczalny jakościowo.
11
2.2. Wyznaczenie reakcji podporowych
S�X =� HA - 7,5 2 -� 2,5 3 *8 =� 0
HA =� 25,762kN
S�MA =� - 25*1,5 - VB *11*8,75*12,75 -� 8,75 3 *8 =� 0
11VB =� - 47,181
VB =� -�4,289 kN
S�Y =� - VA -� 25 +� 8,75 +� 7,5 2 +� 4,289 =� 0
VA =� -�1,354kN
Sprawdzenie:
S�MC =� - 25,762*4 - 1,354*3 +� 28*1,5 +� 4,289*8 +� 7,5 2 *5 -� 7,5 2 *4 +� 8,75*7,75 -�
-�8,75 3 *4 =� 0
S�ML =� - N * 4 -� 25* 4,5 +�1,354 * 6 +� 25,762 *8 =� 0
E
N =� 25,43 kN
12
2.3. Wyznaczenie sił przekrojowych
4� 3
sina� �=� � , cosa� �=� �
5� 5�
3
a �=� � *25,762 =�15,457 kN
5�
4
b �=� � *25,762 =� 20,61 kN
5�
3
x �=� � *1,354 =� 0,813 kN
5�
4
y �=� � *1,354 =�1,083 kN
5�
3
c �=� � *25 =�15 kN
5�
4
d �=� � *25 =� 20 kN
5�
3
e �=� � *25,43 =�15,258 kN
5�
4
f �=� � *25,43 =� 20,344 kN
5�
NA =� �15,457 -� 1,083 =� 14,374 kN
TA =� � 20,61 +� 0,813 =� 21,423 kN
13
Odcinek A  F idąc od lewej:
MA =� 0
MC =� -�TA *2,5 =� -� 21,423*2,5 =� - 53,56 kNm
MD =� -21,423*5 +� 15 * 2,5 =� - 69,61 kNm
MF =� 0
P
TA =� -�21,423 kN
P
TC =� -�21,423 +�15 =� -�6,42 kN
P
TD =� 6,42 +� 20,344 =� 13,92 kN
L
TF =� 13,92 kN
NP =� -14,37 kN
A
P
NC =� -14,37 - 20 =� - 34,37 kN
NP =� - 34,37 +� 15,258 =� -19,12 kN
D
Odcinek F  G idąc od lewej :
MF =� 0
MI =� -1,354*8 +� 25,43 *4 +� 25*6,5 - 25,765*8 =� 47,29 kNm
L
MG =� -1,354*11 +� 25,43 *4 +� 25*9,5 - 25,765*8 =� 86,41 kNm
P
TF =� 25 -�1,354 =� 23,65 kN
TIP =� 23,65 -� 7,5 2 =� 13,04 kN
NP =� - 25,762 +� 25,43 =� - 0,33 kN
F
NP =� - 0,33 +� 7,5 2 =� 10,27 kN
I
14
P
NG =� 10,27 kN
15
Odcinek H  G idąc od prawej:
x = <0 ; 3,5>, m
x
M(x) =� - 2,5 * x * =� -1,25 x2
2
xekstr =� 0
M(0) =� 0
M(3,5) =� -1,25*3,52 =� -15,31 kNm
M(1,5) =� -1,25*1,52 =� - 2,81 kNm
dM
T(x) =� -� =� 1,25 * 2 * x =� 2,5x
dx
T(0) =� 0
T(3,5) =� 8,75 kN
N(x) =� - 2,5* 3x
N(0) =� 0
N(3,5) =� - 8,75 3 =� -15,16 kN
Odcinek B  E idąc od dołu:
M =� 0
T =� 0
N =� 4,289 kN
Odcinek E  G idąc od dołu:
ME =� 0
D
MG =� 25,43* 4 =� 101,72 kNm
G
TE =� -�25,43kN
D
TG =� -�25,43kN
D
NG =� 4,289kN
Odcinek E  G:
M =� 0
T =� 0
N =� -�25,43 kN
16
 17
Sprawdzenie równowagi węzła G
S�M =� 86,41+�15,31-�101,72 =� 0
S�X =� -10,27 - 15,16 +� 25,43 =� 0
S�Y =� -13,04 +� 8,75 +� 4,29 =� 0
Węzeł G jest w równowadze
18
2.4. Wyznaczenie wartości: Ma�, Ta�, HA metodą kinematyczną.
2.4.1. Wyznaczenie HA
Plan przemieszczeń rzeczywistych
(1+2+3) = K - na podstawie twierdzenia o trzech tarczach
L =� Ha� * D� -� 7,5 2 * D� -� 8,75 3 * D� =� 0
Ha� =� 25,762
19
2.4.2. Wyznaczenie Ma�
Wyznaczenie środków obrotu tarcz
2 1 3 1
(�3 1)� (�3 0)� (�2 0)� (�4 0)�
4 5 1 3
20
Plan przemieszczeń obróconych
3� 3 9 1,75 7 1,5 21
tga� �=� � , tgb� �=� � =� , tgg� �=� � =� , tgd� �=� � =�
20 20
4� 20 2 8 80
3 3
D� 3 4
2D� 3 8
=� =�>� e =� D�
=� =�>� a =� D� ,
a 4 3 e 4 3
b 9 6
c 21 7
,
=� =�>� b =� D�
=� =�>� c =� D�
8
20 5 8
80 10
D�
D�
3 3
7
D� +�1,75
7 7 8 7 52
10
=� =�>� D� +�1,75 =� (2 +� d - D�) =�>� d =�
8
8 10 3 8 15
2 +� d - D�
3
21
6 8 7 8
L =� -12,5 * D� +� 7,5 2 * D� -� 7,5 2 * D� - 8,75 * D� -� 8,75 3 * D� -�
5 3 10 3
M 8 52 M 4
-� * D� +� M * D� -� * D� =� 0
2 3 15 2 3
4 52 2
��
Mć� -� +� -� =� 74,596
�� ��
3 15 3
Ł� ł�
22
M =� 74,596
15
M =� 50,86 kNm
2.4.3. Wyznaczenie Ta�
Wyznaczenie środków obrotu tarcz
�
2 1 3 1
(�3 1)� (�3 0)� (�2 0)� (�4 0)�
4 5 1 3
22
Plan przemieszczeń obróconych
3� 3 9 1,5 21
tga� �=� � , tgb� �=� � =� , tgd� �=� � =�
20 20
4� 20 80
3 3
D� 3 4
2D� 3 8
=� =�>� e =� D�
,
=� =�>� a =� D�
e 4 3
a 4 3
23
b 9 6 c 21 7
=� =�>� b =� D� , =� =�>� c =� D�
8 8
20 5 80 10
D� D�
3 3
4
D�
2 2 8
3
tgy� =� � =� D� tgg� �=� � =� ,
10
5 1,75 7
3
8
2 +� d - D�
8 8 7 7 8 52
3
=� =�>� ( D� +� ) =� 2 +� d - D� =�>� d =�
7
7 7 10 4 3 15
D� +�1,75
10
f 2 8
=� D� � � � � � � �=�>� � � � � � � � �f =� D�
4
5 15
3
24
6 8 7 8 8 52
L =� -12,5* D� +� 7,5 2 * D� -� 7,5 2 * D� - 8,75* D� -� 8,75 3 * D� +� T * D� -� T * D�
5 3 10 3 15 15
8 52
��
Tć� -� =� 74,596
�� ��
Ł�15 15 ł�
44
T =� 74,596
15
T =� - 25,43
25
3. Kratownica
3.1. Sprawdzenie geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności
3.1.1. Warunek ilościowy
Liczba reakcji: r = 3
Liczba prętów: p = 25
Liczba węzłów: w = 14
r + p = 3 + 25 = 28 = 2*14 = 2*w
Układ jest statycznie wyznaczalny, geometrycznie niezmienny ilościowo.
26
3.1.2. Warunek jakościowy
Tarcze 1, 2 i 3 składają się z prętów budujących trójkąty. Są to układy niezmienne na podstawie
twierdzenia o trzech tarczach. Z kolei pary tarcz - 1, 2 oraz 2, 3 tworzą układy niezmienne na
podstawie twierdzenia o dwóch tarczach, ponieważ połączone są przegubem i więzią która nie
przechodzi przez ten przegub. A zatem tarcze 1, 2 i 3 tworzą jedną tarczę, połączoną z ostoją
trzema niezbieżnymi i nierównoległymi więziami.
Układ geometrycznie niezmienny, statycznie wyznaczalny jakościowo.
3.2. Wyznaczenie reakcji podporowych
S�X =� 0 =�>� HA =�10kN
S�MA =� 0 =�>� 10*4 +�10*8 -�10*2 +�10*10 -� VB *12
VB =�16,667kN
S�MB =� 0 =�>� -�10*2 -�10*2 -�10*4 -�10*8 -� VA *12
VA =�13,333kN
Spr:
S�Y =� 0 =�>� 30 -� VA +� VB =� 30 -�13,333-�16,667 =� 0
27
3.3. Wyznaczenie sil w prętach graficzną metodą równoważenia węzłów
(sposób Cremony)
Plan Cremony
28
Siła występująca w pręcie
Lp.
Pręty rozciągane [kN] Pręty ściskane [kN]
1 a h 13,333
2 h i 29,81
3 a i 26,67
4 i j 0
5 a j 26,67
6 j k 0
7 h k 29,81
8 k l 3,33
9 a m 33,33
10 m l 7,45
11 m n 0
12 l o 0
13 n o 7,45
14 n p 3,33
15 p r 14,91
16 b r 20
17 r s 11,18
18 c s 5
19 s t 26,09
20 d t 23,33
21 p t 10
22 e p 23,33
23 e o 16,67
24 e l 16,67
25 f h 10
29
3.4. Wyznaczenie sił w trzech wybranych prętach metodą analityczna
S�MOk =� 10*2 +� K*2-16,667*4 =� 0
K =� 23,333 kN
S�MOS =� -10*2 -�10*2 -S*2 =� 0
S =� 20 kN
5
S�h� =� Gh -�10 +�16,667 =� G -�10 +�16,667
5
5
G =� - 6,667* =� -�14,91 kN
5
30
 Sprawdzenie równowagi w wybranym węz
le
5�
sina� �=� �
5�
2 5�
cosa� �=� �
5�
5 5 5
S�h� �=� �-�1�0� -�1�4�,�9�1�*� +�11,18* +� 26,09* =� 0
5 5 5
2 5 2 5 2 5
S�x� �=� �1�4�,�9�1�*� +�11,18* -� 26,09* =� 0
5 5 5
31
3.5. Sprawdzenie trzech sił w wybranych prętach metodą kinematyczną.
4 1
(�1 0)�(�2 0)�
5 3
-10 * 4D� -�10 * D� -�10 * D� -�10 * 2D� -� NY * 4D� -� 2NY * 2D� -� NY * 2D� =� 0
-� 80 +� 6NY =� 0
NY =� 13,333
5
N =� NY =� 29,81kN
5
2
(�1 0)�
3
D� 3
10 * 2D� +�10 * -�10 * D� +�10 * D� -� P * D� =� 0
2 2
3
P =� 25 =�>� P =� 16,667 kN
2
32
2
(�1 0)�
3
-� F* D� -�10 * D� =� 0
F =� -�10 kN
33