Politechnika Wroclawska Wroclaw 21.01.2004 r.
Wydzial Budownictwa Ladowego i Wodnego
Instytut Inzynierii Ladowej
Zaklad Dynamiki Budowli
rok akadem. 2003/2004
semestr III
ZADANIE PROJEKTOWE
STATYKA BUDOWLI
Prowadzaca: Wykonal:
Dr inz. Monika Podwórna Marcin Kocjan
Nr indeksu 124614
ZADANIE PROJEKTOWE ........................................................................................... 1
1. Belka............................................................................................................................................3
1.1. Sprawdzenie geometrycznej niezmiennosci i statycznej wyznaczalnosci ...........................3
1.1.1. warunek ilosciowy.......................................................................................................3
1.1.2. warunek jakosciowy.....................................................................................................3
1.2. Wyznaczenie reakcji podporowych. ....................................................................................4
1.3. Wyznaczenie sil przekrojowych...........................................................................................5
1.4. Wyznaczenie wartosci R, Ma, Ta metoda kinematyczna ....................................................7
1.4.1. Wyznaczenie  R..........................................................................................................7
1.4.2. Wyznaczenie  Ma.......................................................................................................7
1.4.3. Wyznaczenie  Ta ........................................................................................................8
2. Rama............................................................................................................................................9
2.1. Sprawdzenie geometrycznej niezmiennosci i statycznej wyznaczalnosci ...........................9
2.1.1. warunek ilosciowy.......................................................................................................9
2.1.2. warunek jakosciowy...................................................................................................10
2.2. Wyznaczenie reakcji podporowych. ..................................................................................11
2.3. Wyznaczenie sil przekrojowych.........................................................................................12
2.4. Wyznaczenie wartosci R, Ma, Ta metoda kinematyczna ..................................................16
2.4.1. Wyznaczenie  R........................................................................................................16
2.4.2. Wyznaczenie  Ma.....................................................................................................17
2.4.3. Wyznaczenie  Ta ......................................................................................................19
3. Kratownica................................................................................................................................21
3.1. Sprawdzenie geometrycznej niezmiennosci i statycznej wyznaczalnosci .........................21
3.1.1. warunek ilosciowy.....................................................................................................21
3.1.2. warunek jakosciowy...................................................................................................21
3.2. Wyznaczenie reakcji podporowych. ..................................................................................22
3.3. Wyznaczenie sil w pretach graficzna metoda równowazenia wezlów (sposób Cremony) 23
3.4. Wyznaczenie sil we wskazanych pretach metoda analityczna...........................................24
3.4.1. wyznaczenie sily w precie 1-8 ..................................................................................24
3.4.2. wyznaczenie sily w precie 5-7 ..................................................................................25
3.4.3. wyznaczenie sily w precie 3-5 ..................................................................................25
3.5. Sprawdzenie analityczne równowagi wezla 4....................................................................26
3.6. Wyznaczenie sily w precie 3-5 metoda kinematyczna.......................................................26
1. Belka
Ä…
1.1. Sprawdzenie geometrycznej niezmiennosci i statycznej wyznaczalnosci
1.1.1. warunek ilosciowy
t = 3
G.N., S.W.  ilosciowo
e = 3 + 2 + 2 + 1+ 1 = 9
n = 3 Å"t - e
n = 3 Å"3 - 9 = 0
1.1.2. warunek jakosciowy
(1+ 0) 01  pierwsza sztywno polaczona z ostoja
(01 + 2) 02  z twierdzenia o dwóch tarczach
(02 + 3) 03  z twierdzenia o dwóch tarczach
(0 +1 + 2 + 3) 0 G.N., S.W.  jakosciowo
3
1.2. Wyznaczenie reakcji podporowych.
Å„Å‚
10Å"2-VC = 0
Å„Å‚
M3P = 0 VC = 20kN
Å„Å‚
"
ôÅ‚
ôÅ‚M ôÅ‚M = 80kNm
MC = 4 Å"VC C = 4Å"VC
ôÅ‚
C
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
45
M1P = 0
ôÅ‚
5Å"4Å"2+5Å"5+10Å"6+10Å"10-9Å"VC -4Å"VB = 0
"
ôÅ‚
= =11,25kN
ôÅ‚VB
ôÅ‚
ôÅ‚
4
òÅ‚V = H ôÅ‚
B B
ôÅ‚H = 11,25kN
òÅ‚V = HB
B
ôÅ‚
òÅ‚
Ò! B
ôÅ‚5Å"9+5+10+10-V -VB -VC = 0
"Y = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
A
155
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
VA = = 38,75kN
X = 0
"
ôÅ‚ ôÅ‚HA - HB +10= 0
4
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚M +5Å"VA -5Å"5Å"2,5 = 0
M1L = 0
ôÅ‚H A = -21,25kN
"
ół
A
ół
ôÅ‚
ôÅ‚M = -131,25kNm
A
ół
spr.
M + VA Å" 7 - 5 Å"7 Å"3,5 +15 + 5 Å" 2 Å"1-VB Å" 2 +10 Å" 4 +10 Å"8 -VC Å"11+ M =
A C
= 0
"M 2
= -131,25 + 38,75 Å"7 + 22,5 -11,25Å" 2 - 20 Å"11+ 80 = 0
VC = 20 kN
MC= 80 kNm
VB = 11,25 kN
HB = 11,25 kN
VA = 38,75 kN
HA = -21,25 kN
MA= -131,25 kNm
4
1.3. Wyznaczenie sil przekrojowych
I. x1 "(0,7)
5
M = - Å" x2 + 38,75Å" x -131,25
2
M = -131,25
x = 0
x = 5 M = 0
x = 7 M = 17,5
T = -5Å" x + 38,75
T = 38,75
x = 0
x = 5 T = 13,75
x = 7 T = 3,75
N = -21,25
II. x1 "(7,9)
5 5
M = - Å" x2 + 38,75Å" x -131,25 +15 - 5Å"(x - 7) = - Å" x + 33,75 Å" x -151,25
2 2
x = 7 M = 32,5
x = 9 M = 20
T = -5Å" x + 38,75 - 5 = -5 Å" x + 33,75
T = -1,25
x = 7
T = -11,25
x = 9
N = -21,25
III. x2 "(7,9)
M = -80 + 20Å" x -10(x - 3)-10(x - 7) = 20
T = 0
N = -10
IV. x2 "(3,7)
M = -80 + 20Å" x -10(x - 3) = 10 Å" x - 50
x = 3 M = -20
x = 7 M = 20
T = -20 + 10 = -10
N = -10
V. x2 "(0,3)
M = -80 + 20 Å" x
x = 0 M = -80
x = 3 M = -20
T = -20
N = 0
5
6
1.4. Wyznaczenie wartosci R, Ma, Ta metoda kinematyczna
1.4.1. Wyznaczenie  R
L = 0
" " "
= - R Å" " + 25 Å" " + (20 + 5 - 7,5) Å" -10 Å" +10 Å" " = 0
1
2 2 2
" 17,5 10
= R - 25 - - -10 = 0
2
2 2 2
= " R = 38,75kN
3
1.4.2. Wyznaczenie  Ma
L = 0
M M
(10 + 5 - 7,5)Å" " - Å" " - Å" " -10 Å" " + 10Å" 2 Å" " = 0
2 2
= "
1
M + 7,5 - 5 -10 +10 - 20 = 0
= 2"
2
M = 17,5kNm
7
´
2
"
´
3
´
1
"
´
1
´
2
1.4.3. Wyznaczenie  Ta
Ä…
Ä…
L = 0
- T Å" " + 5Å" " - T Å" " + (7,5 - 5 - 5)Å" " +10 Å" " -10 Å" 2" = 0
= "
1
2 Å"T = 5 + 7,5 - 20
= 2"
2
T = -3,75kN
8
´
2
´
1
"
"
2. Rama
Ä…
2.1. Sprawdzenie geometrycznej niezmiennosci i statycznej wyznaczalnosci
2.1.1. warunek ilosciowy
t = 3
G.N., S.W.  ilosciowo
e = 3 + 2 + 2 + 1+ 1 = 9
n = 3 Å"t - e
n = 3 Å"3 - 9 = 0
9
2.1.2. warunek jakosciowy
(1,2)
2
(3,2)
3
(1,3)
(1+ 2 + 3) 01  z twierdzenia o trzech tarczach (trzy srodki obrotu nie leza na jednej prostej
(01 + 0) 0  z twierdzenia o dwóch tarczach
G.N., S.W.  jakosciowo
10
2.2. Wyznaczenie reakcji podporowych.
Å„Å‚
"X = 0
HB =
Å„Å‚ -5 HB =
Å„Å‚ -5kN
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
Ò!
òÅ‚
"M = 0 Ò! ôÅ‚
òÅ‚- 5 Å" 7 -10Å" 3Å"1,5 + 40 - 5Å" 5Å" 5,5 + VA Å"8 = 0 òÅ‚V = 22,1875kN
B A
ôÅ‚
ôÅ‚V = -27,1875kN
ôÅ‚ ół A ół B
"Y = 0 ôÅ‚V + VB + 3Å"10 - 5 Å"5 = 0
ół
spr.
= 0 -VA Å" 3 + 5Å" 5Å" 5,5 + 40 -VB Å"11-10Å" 3Å"12,5 - 5 Å" 7 = -22,1875Å" 3 + 27,1875 Å"11- 232,5 = 0
"M1
HB = -5 kN
VB = -27,1875 kN
VA = 22,1875 kN
11
2.3. Wyznaczenie sil przekrojowych.
4 3 5
L
= 0 VA Å" 5 - 5 Å"5 Å" 2,5 - z Å" 5 - z Å" 4 = 0 Ò! z = 48,4375Å" Ò! z = 7,5684
"M 2
5 5 32
4
z = 7,5684
kN
y = z
5
y = 6,0547 kN
3
x = z
x = 4,5410 kN
5
Xa-b  sila wewnetrzna X na precie a-b w punkcie a w strone b
pret 5 7
M7-5 = 0 kN
M5-7 =5 Å"3 = 15kNm
T7-5 = -5 kN
T5-7 = -5 kN
N5-7 = 0 kN
N7-5 = 0 kN
pret 5 6
M6-5 = 0 kNm
M5-6 =10 Å"3Å"1,5 = 45 kNm
T5-6 = -30 kN
T6-5 = 0 kN
N5-6 = 0 kN
N6-5 = 0 kN
pret 3 5
M3-5 = 0 kNm
M4-3 = y Å" 3 = 18,1641 kNm
M4-5 = y Å" 3 + 40 = 58,1641kNm
M5-4 = y Å" 8 + 40 = 88,4375 kNm
12
T3-5 = T5-3 = y = 6,0547 kN
N3-5 = N5-3 = -x = -4,5410 kN
pret 3 1
M3-1 = M1-3 = 0 kNm
T3-1 = T1-3 = 0 kN
N3-1 = N1-3 = -z = -7,5684 kN
pret 1 A
MA-1 = - x Å" 4= -18,1641 kN
M1-A = 0 kN
T1-A= TA-1= -y = -6,0547 kN
N1-A= NA-1 = x = 4,5410 kN
pret A 2
0
MA-2= - y Å" 0 - x Å" 4 + VA Å"0 - 5Å" 0 Å" = -18,1641 kNm
2
5
M2-A= - y Å" 5 - x Å" 4 + VA Å"5 - 5 Å"5 Å" = 0 kNm
2
a
Mmax = Ma = - y Å" a - x Å" 4 +VA Å" a - 5 Å" a Å" =7,8627 kNm
2
b
Mb = - y Å" b - x Å" 4 + VA Å"b - 5Å" b Å" = 0 kNm b = 1,4531
2
TA-2 = - y + VA - 5 Å" 0 =16,1328 kN
T2-A = - y + VA - 5 Å"5 = -8,8672 kN
Ta = - y + VA - 5 Å" a = 0 kN a = 3,2266
NA-2 = N2-A = x = 4,5410 kN
pret 2 B
M2-B = - y Å" 5 - x Å"4 +VA Å"5 - 5Å"5Å" 2,5 = 0 kNm
MB-2 = - y Å" 8 - x Å" 4 +VA Å" 8 - 5 Å"5 Å"5,5 = -26,6016 kNm
T2-B = TB-2 = - y + VA - 5 Å"5 = -8,8672 kN
N2-B = NB-2 = x = 4,5410 kN
pret B 5
MB-5= - x Å" 4 - y Å" 8 +VA Å" 8 - 5 Å"5 Å"5,5 = -26,6016 kNm
M5-B= - x Å" 0 - y Å"8 +VA Å"8 - 5 Å"5 Å"5,5 - H Å" 4 = -28,4375 kNm
B
TB-5 = T5-B = x - H = -0,4590 kN
B
NB-5 =N5-B = y + VB -VA + 5Å" 5 = 36,0547 kN
13
m
28,4375kNm 15kNm
3
18,1641kNm
M
45kNm
58,1641kNm
88,4375kNm
18,1641kNm
26,6016kNm
26,6016kNm
7,8627kNm
1,4531m
3,2266m
-5 kN
m
6,0547 kN 6,0547 kN
-0,4590 kN
3 -5 kN
T
16,1328 kN
-30 kN
-0,4590 kN
-6,0547 kN
-8,8672 kN -8,8672 kN
3,2266m
14
m
36,0547kN
3
-4,5410kN
-4,5410kN
-7,5684kN
N
4,5410kN
4,5410kN
36,0547kN
-7,5684kN
15
2.4. Wyznaczenie wartosci R, Ma, Ta metoda kinematyczna
2.4.1. Wyznaczenie  R
Wyznaczenie srodków obrotu tarcz
(01,0)
"
1 2 + 3 = 01
+
m
(1,2)
2
1
(3,4)
(3,1)
3
e1 e2
0 0
Plan przemieszczen
5 kN
m
10 kN/m
40 kNm
"
5 kN/m
R
L = 0 X = 0
"
5 Å" " - R Å" " = 0
R = 5 kN
16
2.4.2. Wyznaczenie  Ma
Wyznaczenie srodków obrotu tarcz
(2,0)
m
(1,2)
2
(4,2)
1
(1,0) (1,4)
(3,1) (3,0) (3,4)
3 4
(4,0)
e
4 4 3 2
3 0 2 3 2 0 1 0
e 1 4 3
(2,3)
Plan przemieszczen obróconych
(2,0)
5 kN
6
6''
40 40
kN kN
5 5
15 kN 15 kN
(2)
2
4
5
M
kN
2
4''
2''
5''
(1)
M M
3
kN kN
2 2
25 25
kN kN
3''
2 2
M
(4)
(3)
kN
2
1
1''
(3,0)
(4,0)
17
Biegunowy plan przemieszczen obróconych
1,5"
0,8684"
0,5211"
0
1''
0,1316"
40
kN
5
6'' 5 kN
0,6526"
25
kN
2
M
5''
4''
kN
2''
0,3474"
2
15 kN
M M
3''
kN kN
2 2
15 kN
40
kN
5
L = 0
25 M M M 40
Å"1,5" + 5Å" 0,1316" + Å"0,6526" -15Å" 0,5211" - Å"1" - Å"1" + Å" 0,8684" = 0
2 2 2 2 5
M Å" 0,6737 = 18,5387
M = 27,5177 kNm
18
2.4.3. Wyznaczenie  Ta
Wyznaczenie srodków obrotu tarcz
(2,0)
4 4 3 2
3 0 2 3 2 0 1 0
e 1 4 3
(2,3)
(4,2)
"
m
(1,2)
2
1
(3,1) (3,4)
(3,0) 3
4
(4,0)
(1,0)
e
Plan przemieszczen obróconych
(2,0)
6''
6
5''
7''
2''
4''
5
7
2
4
4'
3'
3
3''
1
1''
(1,0) (3,0) (4,0)
19
Biegunowy plan przemieszczen obróconych
1,9912 1,1947
1,1947"
3''
T kN
0,7965"
1''
0
25 kN
2
4,0088"
40 kN
6''
5 5 kN
1,1947"
7''
2''
5''
0,7965"
15 kN
T kN
4''
15 kN
40 kN
5
L = 0
25 40
- Å"1,1947" + T Å" 0,7965" + Å"1,9912" + 5Å" 4,0088" +
2 5
+ T Å"(1,1947 + 4,0088 + 0,7965)" -15 Å"1,1947 = 0
6,7965 Å"T = 3,11935
T = 0,4590 kN
20
3. Kratownica
3.1. Sprawdzenie geometrycznej niezmiennosci i statycznej
wyznaczalnosci
3.1.1. warunek ilosciowy
p = 16
w = 10
G.N., S.W.  ilosciowo
r = 4
n = p + r - 2 Å" w
n = 16 + 4 - 10 Å" 2 = 0
3.1.2. warunek jakosciowy
(0,2)
(1,2)
(0,1)
0
1 2
0
0
z twierdzenia o trzech tarczach G.N., S.W.  jakosciowo
21
3.2. Wyznaczenie reakcji podporowych.
1 3 5 8 10
RA HB
VB
2 4 7 9
10 kN
N2 N1
10 kN 20 kN
6
N2 N1
Y
HC
X
VC
L
Å„Å‚
M = 0
5
10Å"3+10Å"6-N2Y Å"2-N2X Å"3= 0
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚NY = 3 Å" N X
ôÅ‚NY = 3Å"NX
ôÅ‚
2
ôÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚10Å"3-10Å"10-N Å"6-N2X Å"3-VB Å"4+20Å"2=0
"M = 0
8
ôÅ‚
2Y
ôÅ‚
ôÅ‚H B = VB
ôÅ‚H =VB
B
òÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚VB -10-20-N2Y -N1Y =0
"Y = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
HC + N1X - N2 X = 0
ôÅ‚ ôÅ‚HC +N1X -N2X =0
ôÅ‚V + N2Y + N1Y = 0
ôÅ‚V +N2Y +N1Y =0
C
C
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ -10+HC -HB =0
X = 0
ółRA
"
ół
Å„Å‚ 3
N2 X = - 5
Å„Å‚
kN
ìÅ‚ ÷Å‚
X
ôÅ‚- 30 - N2 Å"ëÅ‚2 Å" 2 + 3öÅ‚ = 0
íÅ‚ Å‚Å‚ ôÅ‚N - 7,5
ôÅ‚
kN
=
2
Y
ôÅ‚
ôÅ‚ 3
ôÅ‚VB = 7,5 kN
Y X
ôÅ‚N = 2 Å" N
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚H = 7,5 kN
B
ôÅ‚4 Å"VB = -50 - 6 Å" N2Y - 3Å" N
2
X
ôÅ‚ ôÅ‚
=
òÅ‚H = VB òÅ‚N Y -15 kN
1
B
ôÅ‚ ôÅ‚N = -10 kN
1
X
VB
ôÅ‚ - 30 - N2Y - N1Y = 0
ôÅ‚
ôÅ‚H + N1X - N2 = 0 ôÅ‚
HC = 5 kN
C
X
ôÅ‚ ôÅ‚
C
ôÅ‚VC + N2Y + N1Y = 0 ôÅ‚V = 22,5 kN
ôÅ‚ ôÅ‚RA
= 12,5 kN
ół
ôÅ‚RA -10 + H - H = 0
ół C B
spr.
= 0 12,5 Å"3 -10 Å" 4 - 22,5 Å" 2 - 5 Å"3 + 20Å" 8 - 7,5 Å"10 - 7,5 Å"3 = 0
"M 4
22
3.3. Wyznaczenie sil w pretach graficzna metoda równowazenia
wezlów (sposób Cremony)
m
1 5
3 8 10
12,5 kN 7,5 kN
D
a c e
b d f
7,5 kN
B
2 4 7 9
10 kN
g
E
10 kN 20 kN
F
A
6
5 kN
H
22,5 kN
G
E
g
d
c
D A C
B=f=a
e
F G
23
sila Ba Ca Cc Cd Cf Ef Fe Fg
Scisk./Roz. + + + - + - -
Wartosc
0 12,5 0,8333 4,1667 12,5 9,0139 3,3334 18,0278
[kN]
sila Hg Hb ab bc cg gd de ef
Scisk./Roz. - + + - + - - +
Wartosc
9,0139 3,3333 12,0185 12,0185 3,0046 3,0046 15,0231 15,0231
[kN]
3.4. Wyznaczenie sil we wskazanych pretach metoda analityczna
3.4.1. wyznaczenie sily w precie 1-8
m
1 3 5 8
12,5 kN 7,5 kN
7,5 kN
N1
2 4 7
10 kN
10 kN Ä… 20 kN
6
5 kN
22,5 kN
= 0 N1Y + 7,5 - 20 = 0 N1Y = 12,5
"YP
13
N1 = N1Y Å" N1 = 12,5 Å"1,2019
3
N1 = 15,0231 kN
24
3.4.2. wyznaczenie sily w precie 5-7
m
7,5 kN
1 3 5
8
12,5 kN
7,5 kN
N2
2 4
10 kN
7
10 kN 20 kN
²
6
5 kN
22,5 kN
P
= 0 - 7,5 Å" 4 + 20 Å" 2 + N2X Å" 3 + N2Y Å" 2 = 0
"M8
ëÅ‚ 2 3 öÅ‚
N1 Å"ìÅ‚3 Å" + 2 Å" ÷Å‚ +10 = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
13 13
íÅ‚ Å‚Å‚
13
N2 = Å" N2X
13
2
N2 = -10 Å"
12
13
N2 = Å" N2Y
3
N2 = -3,0046 kN
3.4.3. wyznaczenie sily w precie 3-5
m
1 3 5 8
N3
12,5 kN 7,5 kN
7,5 kN
2 4 7
10 kN
10 kN 20 kN
6
5 kN
22,5 kN
25
3.5. Sprawdzenie analityczne równowagi wezla 4
5
N4-3
N4-5
4
2
N4-2
N4-6
Y
X
6
Å„Å‚
N4-2 X + N4-3 X + N + N4-6 X = 0
Å„Å‚
"X = 0 òÅ‚
ôÅ‚
4-5
X
òÅ‚
+ N + N4-5Y + N4-6Y = 0
ôÅ‚
4-2 4-3
"Y = 0 ółN Y Y
ół
Å„Å‚- 3,3333 + 6,6667 +1,6667 - 5 = 0
równowaga wezla jest spelniona
òÅ‚0 -10 + 2,5 + 7,5 = 0
ół
3.6. Wyznaczenie sily w precie 3-5 metoda kinematyczna
Wyznaczenie srodków obrotu tarcz
m
(2,0)
(3,2)
(1,0)
N3
N3
1
3
2
(3,0)
(1,3)
1
3 0
2
26
Plan przemieszczen obróconych
m
(2,0)
(1,0) 3
N3 N3
1
3''
(3,0)
3
2
1'' 2''
1
4
2
4''
Biegunowy plan przemieszczen obróconych
4''
N3
3''
0
1'' 2''
L = 0 10 Å"30a -10Å" 20a - 20 Å" 4a - N3 Å" 24a = 0
N3 = 0,8333 kN
27