Politechnika Wrocławska 21.01.2010r.
Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego
Instytut Inżynierii Lądowej
Zakład Dynamiki Budowli
Rok Akademicki 2009/2010
Semestr III
Zadanie projektowe
Podstawy Statyki Budowli
Prowadząca: Wykonał:
Dr inż. Monika Podwórna Bartłomiej Matusiak
Nr Indeksu 169576
1 | S t r o n a
Spis treści
1. Belka ................................................................................................................................................ 3
1.1 Sprawdzanie geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności ............................... 3
1.1.1. Warunek ilościowy: ......................................................................................................... 3
1.1.2. Warunek jakościowy: ...................................................................................................... 3
1.2 Wyznaczanie reakcji podporowych ......................................................................................... 4
1.3 Wyznaczenie sił przekrojowych ............................................................................................... 5
1.4 Wykresy sił przekrojowych ...................................................................................................... 7
1.5 Wyznaczanie wartości R oraz Mą metodą kinematyczną ....................................................... 8
1.5.1 Wyznaczanie R ........................................................................................................................ 8
1.5.2 Wyznaczanie MÄ… .................................................................................................................... 9
2. Rama .............................................................................................................................................. 11
2.1 Sprawdzenie geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności ............................. 11
2.1.1 Warunek ilościowy ........................................................................................................ 11
2.1.2 Warunek jakościowy...................................................................................................... 11
2.2 Wyznaczanie reakcji podporowych ....................................................................................... 12
2.3 Wyznaczanie sił przekrojowych ............................................................................................. 14
2.4 Wykresy sił przekrojowych .................................................................................................... 17
2.5 Wyznaczanie wartości R oraz Mą metodą kinematyczną ..................................................... 18
2.5.1 Wyznaczanie R ............................................................................................................... 18
2.5.2 Wyznaczanie MÄ… ........................................................................................................... 20
3. Kratownica ..................................................................................................................................... 21
3.1 Sprawdzanie geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności ............................. 21
3.1.1. Warunek ilościowy .............................................................................................................. 21
3.1.2 Warunek jakościowy............................................................................................................. 21
3.2 Wyznaczenie reakcji podporowych ....................................................................................... 22
3.3 Wyznaczenie sił w prętach graficzną metodą równoważenia węzłów (sposób Cremony) ... 23
3.4 Wyznaczenie sił we wskazanych prętach metodą analityczną.............................................. 27
3.5 Sprawdzanie analityczne równowagi węzła .......................................................................... 28
3.6 Wyznaczenie siły w dowolnym pręcie metodą kinematyczną. ............................................. 29
2 | S t r o n a
1. Belka
1.1 Sprawdzanie geometrycznej niezmienności i statycznej
wyznaczalności
1.1.1. Warunek ilościowy:
e = 3t
e = 1 + 1 + 2 + 2 = 6
t = 2
Warunek spełniony
1.1.2. Warunek jakościowy:
Korzystamy z twierdzenia o 3 tarczach. Tarcza lewa jest połączona z ostoją za pomocą 2 więzi
elementarnych. Tarcza prawa również jest połączona z ostoją za pomocą 2 więzi elementarnych.
Tarcze pomiędzy sobą są połączone przegubem, czyli dwoma więziami elementarnymi. Środki obrotu
tych tarcz nie leżą na jednej linii, więc zgodnie z twierdzeniem o 3 tarczach układ jest geometrycznie
niezmienny.
PodsumowujÄ…c:
Z warunków ilościowego i jakościowego wynika, że przedstawiony układ tarcz jest geometrycznie
niezmienny i statycznie wyznaczalny.
3 | S t r o n a
1.2 Wyznaczanie reakcji podporowych
Warunek konstrukcyjny:
5ØCÜ
5Ø@Ü4 = 0 - 10 " 5 " 2,5 + 5ØIÜ5Ø6Ü " 5 - 40 = 0
55ØIÜ5Ø6Ü = 165
5ØIÜ5Ø6Ü = 335ØXÜ5ØAÜ
Warunki globalne:
5Ø@Ü5Ø4Ü = 0 - 10 " 2 + 10 2 " 3 - 5ØIÜ5Ø5Ü " 5 + 10 " 5 " 10,5 - 5ØIÜ5Ø6Ü " 13 + 40 = 0
55ØIÜ5Ø5Ü = 158,43
5ØIÜ5Ø5Ü = 31,69 5ØXÜ5ØAÜ
5Ø@Ü5Ø6Ü = 0 - 10 " 15 + 5ØIÜ5Ø4Ü " 13 - 10 2 " 10 + 5ØIÜ5Ø5Ü " 8 - 10 " 5 " 2,5 + 40 = 0
135ØIÜ5Ø4Ü = 122,9
5ØIÜ5Ø4Ü = 5Ø;Ü5Ø4Ü = 9,45 5ØXÜ5ØAÜ
5ØKÜ = 0 - 5Ø;Ü5Ø4Ü - 10 2 - 5Ø;Ü5Ø6Ü = 0
5Ø;Ü5Ø6Ü = -23,59 5ØXÜ5ØAÜ
Minus świadczy, że zwrot jest przeciwny do założonego na rysunku.
4 | S t r o n a
Warunek sprawdzajÄ…cy:
5Ø@Ü5ØFÜ = 0 - 5ØIÜ5Ø4Ü " 2 - 5Ø;Ü5Ø4Ü " 2 - 5ØIÜ5Ø5Ü " 7 + 10 " 5 " 12,5 + 40 - 5ØIÜ5Ø6Ü " 15 + 5Ø;Ü5Ø6Ü " 5 = 0
-9,45 " 2 - 9,45 " 5 - 31,69 " 7 + 10 " 5 " 12,5 + 40 - 33 " 15 + 23,59 " 5 = 0
-0,03 = 0
Równanie sprawdzające poprawne  błąd wynika z przyjęcia zaokrąglenia pierwiastków.
5ØIÜ5Ø4Ü = 9,45 5ØXÜ5ØAÜ
5Ø;Ü5Ø4Ü = 9,45 5ØXÜ5ØAÜ
5ØIÜ5Ø5Ü = 31,69 5ØXÜ5ØAÜ
5ØIÜ5Ø6Ü = 33 5ØXÜ5ØAÜ
5Ø;Ü5Ø6Ü = -23,59 5ØXÜ5ØAÜ
1.3 Wyznaczenie sił przekrojowych
IdÄ…c po belce od strony lewej  od poczÄ…tku belki do punktu oznaczonego jako 1 nie pojawiajÄ… siÄ™
żadne siły jak również momenty.
PrzedziaÅ‚ 1  A x1 Îð ð<ð0ð,ð2ð>ð ð
M(x) = -10*x
T = -10
N = 0
M(0) = 0 M(2)= -10*2 = -20 kNm
T = -10 kNm
5 | S t r o n a
PrzedziaÅ‚ A  3 x2 Îð ð<ð0ð,ð3ð>ð ð
M(x) = -20  (10-9,45) * x
T = -10 + 9,45
N = 9,45 kN
M(0) = -20kNm M(3) = -20-0,55*3 = -21,65 kNm
T = -0,55 kN
PrzedziaÅ‚ 3  B x3 Îð ð<ð0ð,ð2ð>ð ð
M(x) = -21,65  (0,55+14,14) * x
T = -0,55  14,14 = -14,69 kN
N = 23,59 kN
M(0) = -21,65 kNm
M(2) = -21,65-14,69*x = -51,03kNm
PrzedziaÅ‚ B  4 x4 Îð ð<ð0ð,ð3ð>ð ð
M(x) = -51,03 + (31,69-14,69)*x
T = 31,69  14,69 = 17 kN
N = 23,59 kN
M(0) = - 51,03 kNm
M(3) = -51,03 + 17,01*x = 0 kNm
PrzedziaÅ‚ 4  C x5 Îð ð<ð0ð,ð5ð>ð ð
M(x) = 17x  5*x2
T = 17  10x
N = 23,59 kN
M(0) = 0 kNm M(5) = 17*5  5*25 = -40 kNm
T(0) = 17 kN T(5) = 17  50 = - 33 kN
6 | S t r o n a
1.4 Wykresy sił przekrojowych
M
[kNm]
T
[kN]
N
[kN]
7 | S t r o n a
Obliczenie ekstremum momentu zginajÄ…cego:
Punkt, w którym wykres momentów osiąga ekstremum to punkt w którym pochodna (czyli siły tnące)
jest równa 0:
T(x) = 0
17  10x = 0
X = 1,7
M(ex) = M(1,7) = 17*1,7  5*2,89 = 14,45 kNm
1.5 Wyznaczanie wartości R oraz Mą metodą kinematyczną
1.5.1 Wyznaczanie R
Rozkładam obciążenie rozłożone na dwie siły skupione i umiejscawiam je na koocach obciążenia
rozłożonego. (50/2 = 25kN)
Następnie rozkładam moment znajdujący się w prawej podporze na te same punkty, w których
rozłożyłem obciążenie rozłożone, na parę sił, których wartośd wynosi 40/5 = 8kN.
Wyliczam zależności pomiędzy deltami:
"1 "2 3
= "2= "1
2 3 2
8 | S t r o n a
"2 "3 5 5
= "3= "2= "1
3 5 3 2
"4 "2 8
= "4= "2= 4"1
8 3 3
Równanie pracy:
L = 0
5Ø?Ü = 10 " "1 - 10 2 " "2 + 5ØEÜ " "3 - - 8 " "4= 0
25
3 5
10 " "1 - 10 2 " "1 + 5ØEÜ " "1 - 17 " 4"1= 0
2 2
5
10 - 15 2 + 5ØEÜ - 68 = 0
2
5
5ØEÜ = 58 + 15 2
2
5ØEÜ = 31,69 5ØXÜ5ØAÜ
1.5.2 Wyznaczanie MÄ…
Rozkładam obciążenie rozłożone na dwie siły skupione i umiejscawiam je na koocach obciążenia
rozłożonego. (50/2 = 25kN)
Następnie rozkładam moment znajdujący się w prawej podporze na te same punkty, w których
rozłożyłem obciążenie rozłożone, na parę sił, których wartośd wynosi 40/5 = 8kN.
9 | S t r o n a
Wyliczam zależności pomiędzy deltami i kątami:
"1= "2
"2 "1
5Øß1 = =
2 2
"1
5Øß2 =
3
"3 "1 2
= "3= "1
2 3 3
"4 "1
= "4= "1
3 3
Równanie pracy:
L = 0
5Ø?Ü = 10 " "1 + 5Ø@Ü5ØüÞ " 5Øß1 + 5Ø@Ü5ØüÞ " 5Øß2 - 10 2 " "3 + 25 - 8 " "4= 0
"1 "1 2
10 " "1 + 5Ø@Ü5ØüÞ " + 5Ø@Ü5ØüÞ " - 10 2 " "1 + 17 " "1= 0
2 3 3
5
5Ø@Ü5ØüÞ = -17,57
6
5Ø@Ü5ØüÞ = -21,09 5ØXÜ5ØAÜ5ØZÜ
10 | S t r o n a
2. Rama
2.1 Sprawdzenie geometrycznej niezmienności i statycznej
wyznaczalności
2.1.1 Warunek ilościowy
e = 3t
e = 2 + 2 + 2 = 6
t = 2
Warunek spełniony
2.1.2 Warunek jakościowy
Korzystamy z twierdzenia o 3 tarczach. Tarcza lewa jest połączona z ostoją za pomocą 2 więzi
elementarnych. Tarcza prawa również jest połączona z ostoją za pomocą 2 więzi elementarnych.
Tarcze pomiędzy sobą są połączone przegubem, czyli dwoma więziami elementarnymi. Środki obrotu
tych tarcz nie leżą na jednej linii, więc zgodnie z twierdzeniem o 3 tarczach układ jest geometrycznie
niezmienny.
11 | S t r o n a
PodsumowujÄ…c:
Z warunków ilościowego i jakościowego wynika, że przedstawiony układ tarcz jest geometrycznie
niezmienny i statycznie wyznaczalny.
2.2 Wyznaczanie reakcji podporowych
Warunek konstrukcyjny:
5 2
5ØCÜ
5Ø@Ü2 = 0 5ØIÜ5Ø5Ü " 5 - 5Ø;Ü5Ø5Ü " 5 - 10 " 5 2 " = 0
2
55ØIÜ5Ø5Ü - 55Ø;Ü5Ø5Ü - 250 = 0
5ØIÜ5Ø5Ü - 5Ø;Ü5Ø5Ü = 50
12 | S t r o n a
Warunki globalne:
5ØKÜ = 0 5Ø;Ü5Ø4Ü - 5Ø;Ü5Ø5Ü - 5 2 " 5 2 = 0
5Ø;Ü5Ø4Ü - 5Ø;Ü5Ø5Ü = 50
5ØLÜ = 0 5ØIÜ5Ø4Ü + 5ØIÜ5Ø5Ü + 10 - 5 2 " 5 2 - 5 " 3 " 0,5 = 0
5ØIÜ5Ø4Ü + 5ØIÜ5Ø5Ü = 47,5
5ØCÜ 5Ø?Ü 5Ø?Ü
5Ø@Ü2 = 5Ø@Ü2 + 5Ø@Ü2 = 5Ø@Ü2 - 5 " 3 " 0,5 " 4 - 5Ø;Ü5Ø4Ü " 6 + 5ØIÜ5Ø4Ü " 6 = 0
5ØIÜ5Ø4Ü - 5Ø;Ü5Ø4Ü = 5
Rozwiązanie równao:
5ØIÜ5Ø5Ü = 50 + 5Ø;Ü5Ø5Ü
5ØIÜ5Ø4Ü + 50 + 5Ø;Ü5Ø5Ü - 47,5 = 0 5ØIÜ5Ø4Ü = -5Ø;Ü5Ø5Ü - 2,5
-5Ø;Ü5Ø5Ü - 2,5 - 5Ø;Ü5Ø4Ü - 5 = 0 5Ø;Ü5Ø4Ü = -5Ø;Ü5Ø5Ü - 7,5
-5Ø;Ü5Ø5Ü - 7,5 - 5Ø;Ü5Ø5Ü - 50 = 0 5Ø;Ü5Ø5Ü = -28,75 5ØXÜ5ØAÜ
5Ø;Ü5Ø4Ü = 28,75 - 7,5 = 21,25 5ØXÜ5ØAÜ
5ØIÜ5Ø4Ü = 28,75 - 2,5 = 26,25 5ØXÜ5ØAÜ
5ØIÜ5Ø5Ü = 50 - 28,75 = 21,25 5ØXÜ5ØAÜ
Warunek sprawdzajÄ…cy:
5Ø@Ü5ØFÜ = 0 5ØIÜ5Ø4Ü " 8,5 - 5Ø;Ü5Ø4Ü " 3,5 - 5 " 3 " 0,5 " 6,5 + 10 " 2,5 - 5ØIÜ5Ø5Ü " 2,5 + 5Ø;Ü5Ø5Ü " 2,5 = 0
26,25 " 8,5 - 21,25 " 3,5 - 7,5 " 6,5 + 25 - 21,25 " 2,5 - 28,75 " 2,5 = 0
223,125 - 74,375 - 48,75 - 53,1215 - 71,875 = 0
Równanie sprawdzające poprawne.
5ØIÜ5Ø4Ü = 26,25 5ØXÜ5ØAÜ
5Ø;Ü5Ø4Ü = 21,25 5ØXÜ5ØAÜ
5ØIÜ5Ø5Ü = 21,25 5ØXÜ5ØAÜ
5Ø;Ü5Ø5Ü = -28,75 5ØXÜ5ØAÜ
13 | S t r o n a
2.3 Wyznaczanie sił przekrojowych
PrzedziaÅ‚ 4  3 x1 Îð ð<ð0ð,ð2ð>ð ð
M(x) = 10x
T = - 10 kN
N = 0 kN
M(0) = 0 kNm
M(2) = 2 *10 = 20 kNm
PrzedziaÅ‚ 1  5 x2 Îð ð<ð0ð,ð3ð>ð ð
!5ØeÜ 5 5
= !5ØeÜ = 5ØeÜ
5ØeÜ 3 3
5ØeÜ 1 5
5Ø@Ü 5ØeÜ = -5ØeÜ " !5ØeÜ " " = - 5ØeÜ3
3 2 18
5ØQÜ5Ø@Ü 5 5
5ØGÜ 5ØeÜ = = - " 35ØeÜ2 = - 5ØeÜ2
5ØQÜ5ØeÜ 18 6
N = 0 kN
M(0) = 0 kNm M(3) = -7,5 kNm
T(0) = 0 kN T(3) = -10/3 kN
PrzedziaÅ‚ 5  2 x3 Îð ð<ð0ð,ð3ð>ð ð
M(x) = -7,5  7,5x
T = -7,5 kN
N = 0 kN
M(0) = -7,5 kNm
M(3) = -7,5  7,5*3 = - 30 kNm
14 | S t r o n a
PrzedziaÅ‚ B  2 s Îð ð<ð0ð,ð5 2>ð ð
ð
5ØGÜ1
= 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü5ØüÞ 5ØGÜ1 = 5ØIÜ5Ø5Ü " 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü5ØüÞ 5ØAÜ1 = 5ØIÜ5Ø5Ü " 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü5ØüÞ
5ØIÜ5Ø5Ü
5ØGÜ2 = 5Ø;Ü5Ø5Ü " 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü5ØüÞ 5ØAÜ2 = 5Ø;Ü5Ø5Ü " 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü5ØüÞ
2
5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü5ØüÞ = 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü5ØüÞ =
2
2
5ØGÜ1 = 5ØAÜ1 = 21,25 " 5ØXÜ5ØAÜ
2
2
5ØGÜ2 = 5ØAÜ2 = 28,75 " 5ØXÜ5ØAÜ
2
5Ø`Ü
5Ø@Ü 5Ø`Ü = 5ØGÜ1 + 5ØGÜ2 " 5Ø`Ü - 10 " 5Ø`Ü " = 35,3555Ø`Ü - 55Ø`Ü2
2
5ØQÜ5Ø@Ü
-5ØGÜ 5Ø`Ü = = 35,355 - 105Ø`Ü
5ØQÜ5Ø`Ü
Aby policzyd moment ekstremalny przyrównujemy T(s) do 0.
T(s) = 0 -35,355 + 10s = 0 10s = 35,355 s=3,536
M(ex) = M(3,536) = 35,355 * 3,536  5*12,503 = 62,5
N = N2  N1 = 20,329  15,026 = 5,303 kN
M(0) = 0 kNm M(5 2) = 0 kNm
T(0) = -35,355 kN T(5 2) = 35,355 kN
PrzedziaÅ‚ A  3 s1 Îð ð<ð0ð,ð4ð 2>ð
5ØAÜ4
= 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü5ØüÞ 5ØGÜ3 = 5ØIÜ5Ø4Ü " 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü5ØüÞ 5ØAÜ4 = 5ØIÜ5Ø4Ü " 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü5ØüÞ
5ØIÜ5Ø4Ü
5ØGÜ4 = 5Ø;Ü5Ø4Ü " 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü5ØüÞ 5ØAÜ3 = 5Ø;Ü5Ø4Ü " 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü5ØüÞ
2
5ØPÜ5Ø\Ü5Ø`Ü5ØüÞ = 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[Ü5ØüÞ =
2
5ØGÜ3 = 5ØAÜ4 = 18,562 5ØXÜ5ØAÜ
5ØGÜ4 = 5ØAÜ3 = 15,026 5ØXÜ5ØAÜ
5Ø@Ü 5Ø`Ü = 5ØGÜ3 - 5ØGÜ4 " 5Ø`Ü = 3,5365Ø`Ü
15 | S t r o n a
5ØQÜ5Ø@Ü
5ØGÜ 5Ø`Ü = = 3,536 5ØXÜ5ØAÜ
5ØQÜ5Ø`Ü
M(0) = 0 kNm M(4 2) = 20 kN
N = -N3  N4 = - (18,562+15,026) = -33,588 kN
PrzedziaÅ‚ 3  2 s2 Îð ð<ð0ð,ð2ð 2>ð ð
5ØAÜ5 = 5ØGÜ5 = 5 2 5ØXÜ5ØAÜ
M(s) = 20  20 + (3,536 + 5 2)s = 10,607s
5ØGÜ 5Ø`Ü = 5ØQÜ5Ø@Ü = 10,607 kN
5ØQÜ5Ø`Ü
N = -33,588 - 5 2 = -40,659 kN
M(0) = 0 kNm M(2 2) = 30 kNm
Sprawdzenie równowagi węzła:
Suma momentów w pokazanym węz
le
wynosi 0  poprawnie.
5ØKÜ = 0 21,25 + 28,75 - 50 = 0
Obie strony wynoszÄ… 0  poprawnie
5ØLÜ = 0 7,5 - 36,25 + 50 - 21,25 = 0
Obie strony wynoszÄ… 0  poprawnie
16 | S t r o n a
2.4 Wykresy sił przekrojowych
17 | S t r o n a
2.5 Wyznaczanie wartości R oraz Mą metodą kinematyczną
2.5.1 Wyznaczanie R
Plan przemieszczeo obróconych:
Obciążenie równomiernie rozłożone rozłożyłem na 2 siły i umiejscowiłem je na kraocach obciążenia 
powodują taki sam skutek jak obciążenie rozłożone. Środki obrotu 2 tarcz są bardzo proste do
wyznaczenia  co widad na powyższym rysunku.
18 | S t r o n a
Biegunowy plan przemieszczeo obróconych:
" "
5Ø@Ü5Ø\Ü = 0 10 " + 5ØEÜ " " + 25 " " - 7,5 " = 0
2 6
7,5
5ØEÜ + 25 - + 5 = 0
6
5ØEÜ = -28,75 5ØXÜ5ØAÜ
19 | S t r o n a
2.5.2 Wyznaczanie MÄ…
Plan przemieszczeo obróconych:
Biegunowy plan przemieszczeo obróconych:
5Ø@Ü5ØüÞ 5Ø@Ü5ØüÞ
5Ø@Ü5Ø\Ü = 0 7,5 " 0,711" - " - " "= 0
2 2 4 2
5Ø@Ü5ØüÞ 5Ø@Ü5ØüÞ
+ = 5,33
2 2 4 2
5Ø@Ü5ØüÞ = 10,05 5ØXÜ5ØAÜ5ØZÜ
20 | S t r o n a
3. Kratownica
3.1 Sprawdzanie geometrycznej niezmienności i statycznej
wyznaczalności
3.1.1. Warunek ilościowy
r + p = 2w
3 + 19 = 22
Warunek spełniony.
3.1.2 Warunek jakościowy
Na poczÄ…tku korzystamy z twierdzenia o 3 tarczach idÄ…c od prawej strony:
5-11 + 5-4 + 4-11 = 1 tarcza (dalej nazywana T1)
T1 + 10-11 + 4-10 = 1 tarcza (dalej T1)
T1 + 4-7 + 7-10 = 1 tarcza (dalej T1)
T1 + 4-3 + 7-3 = 1 tarcza (dalej T1)
Teraz idąc od lewej strony, korzystamy również z twierdzenia o 3 tarczach:
21 | S t r o n a
1-2 + 1-8 + 2-8 = 1 tarcza (dalej nazywana T2)
T2+ 2-9 + 8-9 = 1 tarcza (dalej T2)
T2+ 2-6 + 9-6 = 1 tarcza (dalej T2)
T2 + 2-3 + 6-3 = 1 tarcza (dalej T2)
Teraz T1 oraz T2 są połączone za pomocą przegubu i więzi elementarnej, więc z twierdzenia o 2
tarczach możemy uznad je za jedną tarczę  nazywaną T.
Tarcza T jest połączona z ostoją za pomocą 3 pojedynczych więzi elementarnych, więc z twierdzenia o
2 tarczach możemy uznad je za jedną tarczę.
Powyższy układ jest geometrycznie niezmienny i statycznie wystarczalny.
3.2 Wyznaczenie reakcji podporowych
5Ø@Ü5Ø5Ü = 0 5ØIÜ5Ø4Ü " 12 + 10 " 4 + 10 " 2 = 0
5ØIÜ5Ø4Ü = -5 5ØXÜ5ØAÜ
5ØLÜ = 0 - 10 + 5ØIÜ5Ø4Ü + 5ØIÜ5Ø5Ü = 0
5ØIÜ5Ø5Ü = 15 5ØXÜ5ØAÜ
5ØKÜ = 0 10 - 5Ø;Ü5Ø5Ü = 0
5Ø;Ü5Ø5Ü = 10 5ØXÜ5ØAÜ
22 | S t r o n a
3.3 Wyznaczenie sił w prętach graficzną metodą równoważenia węzłów
(sposób Cremony)
Metodą Cremony można jedynie zacząd rozwiązywad kratownice z prawej oraz z lewej strony, gdyż
po pewnym momencie nie ma węzła z jedynie dwoma niewiadomymi, przez co będzie trzeba
posłużyd się metodą przecięd. Poniżej zamieszczam kompletny plan Cremony, ale będę stopniowo
opisywał jak było dochodzone do poszczególnych elementów.
23 | S t r o n a
Idąc od prawej strony możemy rozwiązad węzły (w następującej kolejności)
WÄ™zeÅ‚ 5 Ä…ð WÄ™zeÅ‚ 11
Następnie przechodzimy na lewą stronę  zauważamy, że pręt 1-8 jest prętem 0 z analizy węzła 1. A
następnie rozwiązujemy węzły:
WÄ™zeÅ‚ 1 Ä…ð WÄ™zeÅ‚ 8
Następnie należy dokonad przecięcia  wybieram takie cięcie, które od razu pozwoli mi rozwiązad
jeden z zaznaczonych prętów analitycznie, dzięki czemu nie będę musiał tej operacji powtarzad.
24 | S t r o n a
Zastosowane oznaczenia  strzałki na prętach pokazują, które pręty już zostały rozwiązane
(korzystając z biegunowego planu Cremony). Minus przed liczbą oznacza, że pręt jest ściskany, brak
minusa  pręt rozciągany.
Korzystając z punktów Ritterowskich obliczamy siły w prętach D i G:
5ØCÜ
5Ø@Ü5ØBÜ5Ø7Ü = 0 5Ø7Ü " 4 + 10 " 4 - 15 " 6 + 10 " 8 = 0
5Ø7Ü = -7,5 5ØXÜ5ØAÜ
5ØCÜ
5Ø@Ü5ØBÜ5Ø:Ü = 0 5Ø:Ü " 4 - 10 " 4 + 15 " 2 = 0
5Ø:Ü = 2,5 5ØXÜ5ØAÜ
Siłę w pręcie K obliczamy korzystając z sumy rzutów na oś prostopadłą do prętów D i G:
5Ø>Ü
5ØLÜ = 0 + 15 - 10 = 0
2
5Ø>Ü = -5 2 = -7,07 5ØXÜ5ØAÜ
25 | S t r o n a
Następnie obliczam węzeł 10 korzystają z równao równowagi węzła, aby potem móc przejśd z
powrotem na sposób graficzny Cremony.
5ØKÜ = 0 7,5 - 12,5 + 5ØFÜ25ØeÜ = 0
5ØFÜ25ØeÜ = 5
5ØFÜ25ØeÜ 5 = 5ØFÜ2
5ØFÜ2 = 5 5 = 7,07 5ØXÜ5ØAÜ
5ØLÜ = 0 5ØFÜ25ØLÜ + 5ØFÜ1 = 0
5ØFÜ25ØLÜ = 25ØFÜ25ØeÜ = 2 " 5 = 10 5ØXÜ5ØAÜ
5ØFÜ1 = -5ØFÜ25ØLÜ = -10 5ØXÜ5ØAÜ
Powracam teraz na plan Cremony i dalej rozwiązuję zagadnienie korzystając już tylko z tej metody
Zestawienie sił w prętach:
af = -10 kN; ai = -7,5 kN; ak = 2,5 kN; an = 5 kN; bn = -11,18 kN; dm = -12,5 kN; nm = -5,59 kN;
ml = 11,18 kN; lk = -7,07 kN; lj = -10 kN; dj = -7,5 kN; kj = -7,07 kN; ji = 7,07 kN; jh = 10 kN;
dg = -2,5 kN; gh = -11,18 kN; ih = 7,07 kN; fg = 5,59 kN; ef = 0 kN;
26 | S t r o n a
3.4 Wyznaczenie sił we wskazanych prętach metodą analityczną
Jeden pręt został wyznaczony podczas rozwiązywania kratownicy  wyniki przepisuję, ponieważ
przydadzą się do dalszych przecięd.
5Ø7Ü = -7,5 5ØXÜ5ØAÜ
5Ø:Ü = 2,5 5ØXÜ5ØAÜ
5Ø>Ü = -5 2 = -7,07 5ØXÜ5ØAÜ
Przecięcie nr 2:
Można wyznaczyd bez problemu wszystkie reakcje, jednak chodzi jedynie o wyznaczenie K2, więc
skupimy siÄ™ na niej:
5ØLÜ = 0 - 10 + 15 + 5Ø>Ü25ØLÜ = 0
5Ø>Ü25ØLÜ = -5 5ØXÜ5ØAÜ
5
5Ø>Ü2 = 5Ø>Ü25ØLÜ " = -5,59 5ØXÜ5ØAÜ
2
27 | S t r o n a
Przecięcie nr 3:
5ØCÜ
5Ø@Ü5ØBÜ5Ø>Ü3 = 0 5Ø7Ü " 4 + 5Ø>Ü35ØLÜ " 2 + 10 " 6 - 15 " 4 + 10 " 4 = 0
-30 + 25Ø>Ü35ØLÜ + 60 - 60 + 40 = 0
5Ø>Ü35ØLÜ = -5 5ØXÜ5ØAÜ
5Ø>Ü3 = 5Ø>Ü35ØLÜ 2 = -5 2 = -7,07 5ØXÜ5ØAÜ
3.5 Sprawdzanie analityczne równowagi węzła
2
5ØLÜ = 0 - 10 + 11,18 " = 0
5
Równanie prawidłowe.
1
5ØKÜ = 0 7,5 - 12,5 + 11,18 " = 0
5
Równanie prawidłowe.
28 | S t r o n a
3.6 Wyznaczenie siły w dowolnym pręcie metodą kinematyczną.
Plan przemieszczeo obróconych:
(15ØRÜ0)
2
Biegunowy plan przemieszczeo obróconych:
5Ø@Ü5Ø\Ü = 0
"
10 " " + 10 " + 5ØAÜ " 2"= 0
2
25ØAÜ = -15
5ØAÜ = -7,5 5ØXÜ5ØAÜ
29 | S t r o n a