Politechnika Wrocławska Wroclaw 21.01.2004 r.
Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego
Instytut Inżynierii Lądowej
Zakład Dynamiki Budowli
rok akadem. 2009/2010
semestr III
ZADANIE PROJEKTOWE
STATYKA BUDOWLI
Prowadzaca Wykonal:
Dr inz. Monika Podwórna Michał Muskała
Nr indeksu 169614
Spis treści:
BELKA
2
" Sprawdzanie geometrycznej zmienności i statycznej wyznaczalności układu& &
3
" Wyznaczanie reakcji& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
4
" Równania charakterystyczne& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
6
" Wykres momentów sił tnących i zginających & & & & & & & & & & & & ........
7
" Zasada prac przygotowanych& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ...
RAMA
9
" Sprawdzanie geometrycznej zmienności i statycznej wyznaczalności układu& &
10
" Wyznaczanie reakcji& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
12
" Równania charakterystyczne& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
13
" Wykres momentów sił tnących i zginających & & & & & & & & & & & & & & .
15
" Zasada prac przygotowanych& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ...
KRATOWNICA
17
" Sprawdzanie geometrycznej zmienności i statycznej wyznaczalności układu& &
18
" Wyznaczanie reakcji& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
19
" Obliczanie sił w prętach metodą analityczną & & & & & & & & & & & & & & ..
23
" Zasada prac przygotowanych& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ...
24
" Obliczanie sił we wszystkich prętach sposobem Cremony& & & & & & & & & ..
26
" Sprawdzenie równowagi węzła& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
 SPRAWDZENIE GEOMETRYCZNEJ ZMIENNOÅšCI I STATYCZNEJ
WYZNACZALNOÅšCI UKA
ADU:
Warunek ilościowy geometrycznej niezmienności:
e = 3t
gdzie:
e  liczba wiezi
t  liczba tarcz
9 = 3Å" 3
Tarcza pierwsza z ostoją tworzą jedną tarcza. Wynika to z twierdzenia o dwóch tarczach.
Jeżeli dwie tarcze połączone są trzema więziami i więzi te nie przecinają się w jednym
punkcie ani nie są do siebie równoległe to dwie tarcze można zastąpić jedną.
Tarcza druga, trzecia i ostoja tworzÄ… jednÄ… tarcze. Wynika to z twierdzenia o trzech tarczach.
Jeżeli każda z tarcz połączona jest z pozostałymi dwiema więziami i środki chwilowego
obrotu nie leżą na jednej prostej ani wszystkie środki chwilowego obrotu nie znajdują się w
nieskończoności to układ ten tworzy jedną tarcze.
Wniosek: Układ jest geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
WYZNACZANIE REAKCJI
Równania równowagi:
M = 0 M = -2RX -10 " 5 " 4,5 + 7R5
BP BP
M = 0 M = 5 " 5 " 2,5 +10 *1+ 20 - 7RX -10 " 5 " 9.5 +12R5
AP AP
X = 0 X = H -10 - RY
" " A
"Y = 0 "Y = -VA + 5 " 5 +10 - RX -10 " 5 + R5
M = 0 M = -M + 5VA - 60
AL AL
M = -2RX -10 " 5 " 4,5 + 7R5 = 0
BP
{M = 5 " 5 " 2,5 +10 *1+ 20 - 7RX -10 " 5 " 9.5 +12R5 = 0
AP
- 2RX -10 " 5 " 4,5 + 7R5 = 0
{5 " 5 " 2,5 +10 *1+ 20 - 7RX -10 " 5 " 9.5 +12R5 = 0
- 2RX + 7R5 = 225
{62,5 + 30 - 7RX - 475 +12R5 = 0
25R5 = 810
- 2RX + 7R5 = 225
R5 = 32,4kN
{- 7RX +12R5 = 382,5
14RX - 24 *32,4 = -765
14RX = 12,6
-14RX + 49R5 = 1575
RX = 0,9kN
{14RX - 24R5 = -765
RY = RX = 0,9kN
X = H -10 - RY = 0
" A "Y = -VA + 5 " 5 +10 - RX -10 " 5 + R5 = 0
H -10 - 0,9 = 0 -VA + 5 " 5 +10 - 0.9 -10 " 5 + 32,4 = 0
A
VA = 25 +10 - 0.9 - 50 + 32,4
H = 10,9kN
A
VA = 16,5kN
M = -M + 5VA - 60 = 0
AL
- M + 5"16,5 - 60 = 0
M = 82,5 - 60
M = 22,5kNm
Sprawdzenie:
M1 = -M - 60 + 5 " 5 " 7,5 + 20 +10 " 6 -12Rx -10 " 5"14,5 +17R5 =
= -22,5 - 60 +187,5 + 20 + 60 -12 " 0,9 - 725 +17 "32,4 =
= -540 -10,8 + 550,8 = 0
RÓWNANIA CHARAKTERYSTYCZNE:
Momenty: Siły tnące: Siły osiowe:
Przedział: 1- 2 x "(0,2)
T( x1) = Va N( x1) = -Ha
M(x1) = Va x - M
T( x1) = 16,5kN N( x1) = -10,9kN
M = 16,5x - 22,5
( x1)
M = -22,5kNm
( x1=0)
M = 33 - 22,5 = 10,5kNm
( x1=2)
Przedział: 2 - A x " (2,5)
T( x2) = Va N(x2) = -Ha
M(x2) = Va x - M - 60
T( x2) = 16,5kN N(x2) = -10,9kN
M = 16,5x - 22,5 - 60 = 16,5x - 82,5
( x2)
M(x2=2) = -49,5kNm
M = 0
( x2=5)
Przedział: A - 3 x " (5,6)
T( x3) = Va - 5(x - 5) N( x3) = -Ha
(x - 5)2
M(x3) = Va x - M - 60 - 5
T( x3) = 16,5 - 5(x - 5) N(x3) = -10,9kN
2
(x - 5)2
T( x3=5) = 16,5kN
M = 16,5x - 82,5 - 5
( x3)
2
T( x3=6) = 11,5kN
M = 0
( x3=5)
M = 14kNm
( x3=6)
Przedział: 5 - 4 x " (0,5)
T( x4) = R5 -10x N(x4) = 0
x2
M(x4) = -R5x +10
T( x4) = 32,4 -10x
2
x2
T( x4=0) = 32,4kN
M = -32,4x +10
( x4)
2
T( x4) = -17,6kN
M = 0
( x4=0)
M = -37kNm
( x4=5)
Przedział: 4 - B x " (5,7)
T( x5) = R5 -10 *5 - RX N( x5) = -RY
M(x5) = -R5x +10"5(x - 2,5) + RX (x - 5)
T( x5) = 32,4 - 50 - 0,9 N(x5) = -0,9kN
M(x5) = -32,4x + 50(x - 2,5) + 0,9(x - 5)
T( x5) = -18,5kN
M = -162 +125 = -37kNm
( x5=5)
M = -226,8 + 225 +1,8 = 0
( x5=7)
Przedział: B - 3 x " (7,11)
x6) x6)
(x - 7)2 T( = R5 -10 *5 - RX + 5(x - 7) N( = -RY -10
M(x6) = -R5x +10"5"(x - 2,5) + RX (x - 5) - 5
T( x6) = 32,4 - 50 - 0,9 + 5(x - 7) N( x6) = -0,9 -10
2
N( x6) = -10,9kN
(x - 7)2 T( x6=7) = -18,5kN
M(x6) = -32,4x + 50(x - 2,5) + 0,9(x - 5) - 5
2
T( x6=11) = 1,5kN
M(x6=7) = -226,8 + 225+1,8 = 0
M(x6=11) = -356,4 + 425+ 5,4 - 40 = 34kNm
Określenie ekstremów i punktów przecięcia z osią:
Przedział: B - 3 x " (7,11)
(10,7 - 7)2
M(x6=10,7) = -32,4*10,7 + 50(10,7 - 2,5) + 0,9(10,7 - 5) - 5
T( x6) = 32,4 - 50 - 0,9 + 5(x - 7) = 0
2
-18,5 + 5x - 35 = 0 M = -346 ,68 + 410 + 5,13 - 34,225
( x 6=10 ,7 )
5x = 53,5
M(x6=10,7) = 34,225kNm
x = 10,7
Przedział: 5 - 4 x " (0,5)
3,242
M = -32,4 *3,24 +10
( x4=3,24)
T( x4) = 32,4 -10x = 0
2
M = -104,976 + 52,488
10x = 32,4
( x4=3,24)
x = 3,24
M = -52,488kNm
( x4=3,24)
Przedział: 1- 2 x "(0,2)
M = 16,5x - 22,5 = 0
( x1)
16,5x = 22,5
x = 1,(36)
ZASADA PRAC PRZYGOTOWANYCH:
" Dla przekroju alfa:
a) Momenty
h' h
=
h h
4 5
tg² = tgÄ… =
3 5
4
h'= h
5
M Å" tg² - 60 Å" tg² +12,5 Å" h +10 Å" h'-20 Å" tgÄ… = 0
h h 4 h
M Å" - 60 Å" +12,5 Å" h +10 Å" h - 20 Å" = 0
3 3 5 5
M
- 20 +12,5 + 8 - 4 = 0
3
M
= 3,5
3
M =10,5 kNm
b) TnÄ…ce
h' h
=
h
4 5
tgÄ… =
4 5
h'= h
5
- T Å" h +12,5 Å" h +10 Å" h'-20 Å"tgÄ… = 0
4 h
- T Å" h +12,5 Å" h +10 Å" h - 20 Å" = 0
5 5
- T +12,5 + 8 - 4 = 0
T =16,5kN
" Dla reakcji
h' h
=
h' h'' h'
2 5
tg² = =
5 1 5
2 1 2
2 1 2
2
h' ' = h Å" = h
tg² = h Å" = h
h' = h
5 5 25
5 5 25
5
-10Å" h''-20Å"tg² -12,5Å" h'-25Å" h - R Å" h = 0
2 2 2
-10 Å" h - 20 Å" h -12,5Å" h - 25Å" h - R Å" h = 0
25 25 5
4 8 25
- - - - 25 = R
5 5 5
- 32,4kN = R
SPRAWDZENIE GEOMETRYCZNEJ ZMIENNOÅšCI I STATYCZNEJ
WYZNACZALNOÅšCI UKA
ADU:
Warunek ilościowy geometrycznej niezmienności:
e = 3t
gdzie:
e  liczba wiezi
t  liczba tarcz
6 = 3Å" 2
Tarcza pierwsza z ostoją tworzą jedną tarcza. Wynika to z twierdzenia o dwóch tarczach.
Jeżeli dwie tarcze połączone są trzema więziami i więzi te nie przecinają się w jednym
punkcie ani nie są do siebie równoległe to dwie tarcze można zastąpić jedną.
Tarcza druga z ostoją tworzą jedną tarcza. Wynika to z twierdzenia o dwóch tarczach. Jeżeli
dwie tarcze połączone są trzema więziami i więzi te nie przecinają się w jednym punkcie ani
nie są do siebie równoległe to dwie tarcze można zastąpić jedną.
Wniosek: układ jest geometrycznie nie zmienny i statycznie wyznaczalny.
WYZNACZANIE REAKCJI PODPOROWYCH:
Równania równowagi:
M = 0 M = 5R4 - 40 Å" 3 + 20 Å" 3
AP AP
"Y = 0 "Y = R4 + 20 -Va
X = 0 X = 40 + 20 - R2 +10 +10 Å" 3
" "
M = 0 M = 20 Å" 3 - 20 Å" 2 +10 Å" 3 +Va Å"11+10 Å" 3Å" 4,5 - M
4 4
M = 5R4 - 40 Å" 3 + 20 Å" 3 = 0
AP
5R4 -120 + 60 = 0
5R4 = 60
R4 = 12kN
"Y = R4 + 20 -Va = 0
12 + 20 -Va = 0
32 -Va = 0
Va = 32kN
X = 40 + 20 - R2 +10 +10 Å" 3 = 0
"
60 - R2 +10 + 30 = 0
- R2 +100 = 0
R2 = 100kN
M = 20 Å" 3 - 20 Å" 2 +10 Å" 3 +Va Å"11+10 Å" 3Å" 4,5 - M = 0
4
60 - 40 + 30 + 32 Å"11+135 - M = 0
60 - 40 + 30 + 352 +135 - M = 0
537 - M = 0
M = 537kNm
Sprawdzenie:
M1 = -M +10 Å" 3Å"1.5 + 3R2 + 20 Å" 9 - 3Å" 40 +11R4 =
= -537 + 45 + 3Å"100 +180 -120 +11Å"12 =
= -537 + 45 + 300 +180 -120 +132 = 0
RÓWNANIA CHARAKTERYSTYCZNE:
Momenty: Siły tnące : Siły osiowe:
Przedział: 4 - 3 x " (0,3)
T( x1) = -40kN N(x1) = 12kN
M(x1) = 40x
M = 0
( x1=0)
M = 120kNm
( x1=3)
Przedział: 3 - 5 x " (0,2)
T( x2) = 12kN N(x2) = 40kN
M(x2) = -12x +120
M(x2=0) = 120kNm
M = 96kNm
( x2=2)
Przedział: 5 - A x " (2,5)
T( x3) = 12 + 20 N( x3) = 60kN
M(x3) = -12x +120 - 20(x - 2)
T( x3) = 32kN
M = 96kNm
( x3=2)
M = 0
( x3=5)
Przedział: 2 - A x " (0,3)
T( x4) = 100kN N( x4) = 0
M(x4) = -100x
M = 0
( x4=0)
M = -300kNm
( x4=3)
Przedział: A - 6 ą "(0,90)
T(Ä… = cosÄ… Å"30 + sinÄ… Å"32 N(Ä… ) = cosÄ… Å"32 - sinÄ… Å"30
M(Ä…) = -30Å"3Å"sinÄ… -32Å"(3-3Å"cosÄ…) -300 )
T(Ä… =0) = 30kN N(Ä… =0) = 32kN
M(Ä… =0) = -300kNm
T(Ä… =15) = 37,26kN N(Ä… =15) = 23,16kN
M(Ä… =15) = -326,5kNm
T(Ä… =30) = 41,98kN N(Ä… =30) = 12,71kN
M(Ä… =30) = -357,8kNm
T(Ä… =45) = 41,98kN N(Ä… =45) = 1,41kN
M(Ä… =45) = -391,7kNm
T(Ä… =60) = 41,98kN N(Ä… H"46.5) = 0kN
M(Ä… =60) = -425,9kNm
T(Ä… =75) = 38,67kN N(Ä… =60) = -9,98kN
M(Ä… =75) = -458kNm
T(Ä… =90) = 32kN N(Ä… =75) = -20,69kN
M(Ä… =90) = -486kNm
N(Ä… =90) = -30kN
Przedział: 1- 6 ą "(0,90)
T(Ä… ) = sinÄ… Å"32- cosÄ… Å"sinÄ… Å"3Å"10
N(Ä…) = -cosÄ… Å"32-3Å"sin2 Ä… Å"10
(3Å"sinÄ…)2
M(Ä…) = -10Å" +32Å"(3-3Å"cosÄ…)-537
T(Ä… =0) = 0kN
N(Ä… =0) = -32kN
2
M(Ä… =0) = -537kNm
T(Ä… =15) = 0,78kN
N(Ä… =15) = -32,9kN
M(Ä… =15) = -536,7kNm
T(Ä… =30) = 3,01kN
N(Ä… =30) = -35,211kN
M(Ä… =30) = -535,3kNm
T(Ä… =45) = 7,63kN
N(Ä… =45) = -37,62kN
M(Ä… =45) = -531,3kNm T(Ä… =60) = 14,72kN
N(Ä… =60) = -38,5kN
M(Ä… =60) = -522,7kNm T(Ä… =75) = 23,41kN
N(Ä… =75) = -36,3kN
M(Ä… =75) = -507,8kNm T(Ä… =90) = 32kN
N(Ä… =90) = -30kN
M(Ä… =90) = -486kNm
ZASADA PRAC PRZYGOTOWANYCH:
" Dla przekroju alfa:
a) Momenty
| AA''|= " M
M
40 Å" " - Å" " = 0 40 = M = 120kNm
3 3
| AA''|=| BB''|
b) TnÄ…ce
| AA''|= "
- 40Å" " -T Å" " = 0 - 40 - T = 0 T = -40kN
| AA''|=| BB''|
" Dla reakcji
| AA''|= "
- 40 Å" " - 20 Å" " -10 Å" " -15 Å" " -15 Å" " + R Å" " = 0
| AA''|=| BB''|
- 40 - 20 -10 -15 -15 = -R
| AA''|=| CC''|
-100 = -R
| AA''|=| DD''|
100kN = R
| AA''|=| EE"'|
| AA''|=| FF''|
 SPRAWDZENIE GEOMETRYCZNEJ ZMIENNOÅšCI I STATYCZNEJ
WYZNACZALNOÅšCI UKA
ADU:
Warunek ilościowy geometrycznej niezmienność:
R + P = 2W
Gdzie:
R  ilość reakcji
P  ilość prętów
W  ilość węzłów
3 + 25 = 2 Å"14
Traktując każdy pręt jako tarcze możemy stwierdzić że układ jest geometrycznie
niezmienny. Gdyż 3 tarcze połączone ze sobą przegubami tworzą jedną tarcze. Idąc po kolei
jak na rysunku za każdym razem korzystamy z twierdzenie o trzech tarczach przez co można
stwierdzić ze górna część kratownicy jest jedną tarczą.
Górna część kratownicy jest przymocowana 3 witeziami do podłoża które nie są
zbieżne do jednego punktu i nie są równoległe do siebie z czego możemy stwierdzamy że
kratownica z ostoją tworzą niezmienny układ.
Wniosek:
Układ jest geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
WYZNACZANIE REAKCJI PODPOROWYCH:
Równania równowagi:
M = 0 M = 3Å"10 + 5 Å"10 - 4 Å"10 + 3Å"10 +12 Å" 20 -15 Å"Vb +18 Å"10
A A
"Y = 0 "Y = Va + Vb -10 - 20 -10
X = 0 X = -Ha +10 +10 -10
" "
M = 3Å"10 + 5 Å"10 - 4 Å"10 + 3Å"10 +12 Å" 20 -15Å"Vb +18Å"10 = 0
A
30 + 50 - 40 + 30 + 240 + 180 = 15 Å"Vb
490 = 15 Å"Vb
2
Vb = 32 kN
3
"Y = Va + Vb -10 - 20 -10 = 0
2
Va + 32 -10 - 20 -10 = 0
3
1
Va = 7 kN
3
X = -H +10 +10 -10 = 0
" a
- H + 10 + 10 -10 = 0
a
H = 10kN
a
Sprawdzenie
M = 6 Å"VA + 4 Å" H -10 Å"1 -10 Å" 3 + 10 Å"1 + 20 Å" 6 - 9 Å"VB + 10 Å"12 =
G A
1 2
= 6 Å" 7 + 4 Å"10 -10 - 30 +10 +120 - 9 Å" 32 +120 =
3 3
= 44 + 40 -10 - 30 +10 +120 - 294 +120 = 0
OBLICZANIE SIA
WE WSKAZANYCH PR
TACH METODA ANALITYCZN
:
2
M = 4 Å" R1 + 6 Å"10 - 3Å" 32 = 0
C
3
4 Å" R1 = 98 - 60 = 38
R1 = 9,5kN
1
(15 + x) = 3Å" x
(15 + x) Å" = H
3
15 + x = 3Å" x
{x Å"1 = H
15 = 2 Å" x
7.5 = x
2
M = 7,5 Å" 9,5 - 7,5 Å" R2 -10 Å" 2,5 - 4,5 Å" 20 +10 Å" 3,5 +1,5 Å" 32 +10 Å"1,5 = 0
D
3
71,25 - 25 - 90 + 35 + 49 + 15 = 7,5 Å" R2
55,25 = 7,5 Å" R2
11
7 kN = R2
30
3 2
M = -5 Å" P4 +10 Å" 5 -10 Å" 4 + 3Å" 20 - 6 Å" 32 +10 Å" 9 = 0
E
3
10
15
50 - 40 + 60 -196 + 90 = P4
10
15
- 36 = P4
10
12 10
- kN = P4
5
M = -3Å" P5 + 3Å" Ha + 3Å"Va = 0
F
1
3 Å"10 + 3 Å" 7 = 3 Å" P5
3
30 + 22 = 3 Å" P5
1
17 kN = P5
3
1
(12 + x) = 3Å" x
(12 + x) Å" = H
3
12 + x = 3Å" x
{x Å"1 = H
12 = 2 Å" x
6 = x
3 1
M = 6Å" P5 - 6R3 +1Å" P4 + 9Å" P4 -10Å"1+10Å" 2 + 20Å"12 -VB Å"15 +10Å"18 = 0
G
10 10
1 3 12 10 1 12 10 2
6 Å"17 - Å" - 9 Å" - 10 + 20 + 240 - 32 Å"15 + 180 = 6R3
3 5 5 3
10 10
36 108
104 - - - 10 + 20 + 240 - 490 + 180 = 6R3
5 5
1
15 = 6R3
5
8
2 kN = R3
15
12*10-12*20+N*20+4*10-5*10-3*10-3*10=0
120-240+40-50-30-30=-20N
-190=-20N
9,5kN=N
WYZNACZANIE SIA
W PR
TACH METOD
CREMONY:
SPRAWDZENIE RÓWNOWAGI W
ZA
A:
8,957 5,374
X = -17, (3) + 7,2 + + =
"
2 2
= -17, (3) + 7,2 + 6,333 + 3,799 E" 0
=
"Y = 2,533 - 8,957 + 5,374
2 2
= 2,533 - 6,333 + 3,799 E" 0