Silnik cieplny
W silnikach (maszynach) cieplnych ciepło zamieniane jest na pracę. Elementami silnika są: z
ródło ciepła
(grzejnik) o temperaturze T1, chłodnica o temperaturze T2 i substancja robocza.
II zasada termodynamiki: ciepło pobrane z grzejnika nie może być w całości
zamienione na pracę. Część ciepła musi zostać oddana chłodnicy.
Pracę silnika charakteryzuje sprawność
Q1
T1
(wydajność). Sprawność silnika określa, jaka
ciepło pobrane
temperatura z
ródła ciepła
część energii pobranej na sposób ciepła może
być przekazana innemu układowi na sposób
pracy.
W =�Q1 -�Q2
praca wykonana ciepło oddane
substancja robocza
wykonana praca
W Q1 -�Q2
sprawność
h� =� =�
Q1 Q1
ciepło pobrane
Q2
T2
ciepło oddane temperatura chłodnicy
Cykl przemian termodynamicznych
Jeśli po kilku przemianach gaz ma takie parametry, jak w stanie początkowym, mówimy, że powstał cykl przemian
termodynamicznych.
Przykłady cykli termodynamicznych
p p
Praca równa jest polu pod wykresem w układzie pV
W W
Praca wykonana przez gaz (W1 > 0)
Praca wykonana przez siłę zewnętrzną.
Praca gazu jest ujemna. (W2 < 0)
V
V
W =�W1 +�W2 =�W1 -�W2z
Całkowita praca wykonana przez gaz równa jest polu powierzchni zawartej wewnątrz wykresu w układzie pV
Cykl Carnota
Cykl Carnota składa się z dwóch izoterm i dwóch adiabat.
" AB  rozprężanie izotermiczne. Gaz wykonuje pracę kosztem ciepła Q1
WAB > 0,
pobranego z grzejnika o temperaturze T1.
A
T1 = const
p
" BC  rozprężanie adiabatyczne. Gaz wykonuje pracę kosztem swojej
energii wewnętrznej, temperatura obniża się do wartości T2.
Q1
B
" CD  sprężanie izotermiczne. Siła zewnętrzna wykonuje pracę, ciepło Q2
Q = 0
jest oddawane do chłodnicy o temperaturze T2.
Q = 0
WDA < 0,
WBC > 0,
" DA  sprężanie adiabatyczne. Siła zewnętrzna wykonuje pracę, energia
Q2
D
wewnętrzna zwiększa się, temperatura wzrasta do wartości T1.
C
T2 = const
Całkowita praca wykonana przez gaz W =� WAB +� WBC +�WCD +�WDA
WCD < 0,
równa jest polu wewnątrz wykresu.
V
praca wykonana ciepło oddane
Sprawność � silnika Carnota (idealnego)
temperatura chłodnicy
W Q1 -�Q2 T1 -�T2
h� =� =� =�
Q1 Q1 T1
temperatura grzejnika
ciepło pobrane
T1 -�T2
Wartość h� =� jest maksymalną sprawnością silnika dowolnego typu, który pracuje między temperaturami T1 i T2
T1
Przykłady
Zadanie 1
T1 -�T2
h� =�
Wyprowadz
wzór na sprawność silnika Carnota
T1
WAB > 0,
Rozwiązanie:
A
T1 = const
p
Z definicji sprawności silnika:
Q1 -�Q2
Q1
h� =�
Q1 B
Q = 0
Q = 0
Q1 to ciepło pobrane w przemianie izotermicznej AB, Q2 to ciepło
WDA < 0,
WBC > 0,
oddane w przemianie izotermicznej CD. Z I zasady termodynamiki dla
Q2
D
przemiany izotermicznej mamy:
C
ć� �� T2 = const
��VB ��
Q1 =�WAB =� n ��R ��T1 ��ln
��V ��
WCD < 0,
Ł� A ł�
ć� ��
��VC ��
Q2 =�WCD =� n ��R ��T2 ��ln
V
��V ��
Ł� D ł�
k� +�1
VT =� const
Korzystamy z równań dla przemian adiabatycznych BC i DA:
VB VC
T1ln -�T2 ln VBT1k� -�1 =�VCT2k� -�1
Q1 -�Q2 VA VD
równania dzielimy stronami
h� =� =�
VB
Q1
VAT1k� -�1 =�VDT2k� -�1
T1ln
VA
VB VC
=�
VA VD
VB VB
T1ln -�T2 ln
Q1 -�Q2 VA VA T1 -�T2
h� =� =� =�
VB
Q1 T1
T1ln
VA
Przykłady
Zadanie 2
Sprawność idealnego silnika cieplnego wynosi 25%, temperatura chłodnicy 270C. Oblicz temperaturę z
ródła
ciepła.
T2 1 T2 3
h� =� 1-� =� =� T1 =� 400K
T1 4 T1 4
Zadanie 3
Silnik wykonał pracę W = 20 kJ, a do chłodnicy oddane zostało ciepło Q = 80 kJ. Oblicz sprawność silnika.
Mamy W =�Q 1 -� Q dlatego,
W 1
h� =� =�
h� =� 20%
W +�Q 5
Przykłady
Zadanie 4
Na wykresie został przedstawiony zamknięty cykl termodynamiczny. Oblicz jaką pracę wykonał gaz w tym cyklu.
p
B
C
p3
W czasie przemiany AB oraz CD praca nie jest
wykonywana. Praca jest wykonywana w czasie
p2
przemian BC oraz DA.
W czasie przemiany BC gaz wykonuje pracę, a
p1
A D
podczas przemiany DA praca jest wykonywana nad
gazem przez siłę zewnętrzną.
W =�WBC -�WDA
V
V1 V2
WBC =� p3(� -�V1)�
V2
WDA
(pole pod wykresem) składa się z pola prostokąta oraz z pola półkola.
2
V2 -�V1
p�r p�(�p2 -� p1)�(�V2 -�V1)�
r =�
r =� p2 -� p1 P =� =�
Promień półkola: ale także , pole półkola
2
2 4
p�(�p2 -� p1)�(�V2 -�V1)�
WDA =� p1(� -�V1)�+�
V2
4
Praca wykonana przez gaz w tym cyklu to:
p�(�p2 -� p1)�(�V2 -�V1)�
W =� (�p3 -� p1)�(� -�V1)�-�
V2
4
Przykłady
Zadanie 5
Jaka jest sprawność silnika o cyklu przedstawionym na wykresie? W przemianach uczestniczy 1 mol gazu.
Rozwiązanie:
Ciepło przekazywane jest do układu w czasie przemian AB oraz BC, a
p
w kolejnych przemianach ciepło jest odbierane przez chłodnicę.
B
C
p2
Sprawność silnika wyraża się wzorem:
W W
h� =� =�
p1
D
A
Q QV +�Qp
Pracę obliczamy jako pole pod wykresem:
V
W =� (�p2 -� p1)�(� -�V1)� V1 V2
V2
Ciepło w przemianie izochorycznej AB jest równe zmianie energii wewnętrznej:
QV =� ncV (�TB -�TA )�
Ciepło w przemianie izobarycznej BC jest równe zmianie energii wewnętrznej oraz pracy wykonanej
przez układ:
Qp =� ncV (�TC -�TB )�+� p2(� -�V1)�
V2
Temperaturę obliczamy z równania stanu gazu:
p1 p2V1 p2V2
V1
TA =� TB =� TC =�
n =� 1
nR nR nR
Wstawiamy do wzoru na Q:
ł�
��
p2V1 p1 p2V2 p2V1 cV �� R
V1
�� ć� ��
�� ��ś�
Q =� cV ć� -� +� cV -� +� p2(� -�V )� =� V2 ��
V2 1 ę�V1(�p2 -� p1)�+� p2(� -�V1)�ć�1+�
�� �� �� ��
R R R R R cV ����
Ł� ł� Ł� ł�
Ł� ł�
��
R(�p2 -� p1)�(�V2 -�V1)�
h� =�
�� ł�
��
R
�� ��ś�
cV ę�V1(�p2 -� p1)�+� p2(�V2 -�V1)�ć�1+�
��
cV ����
Ł� ł�
��
Przykłady
Zadanie 6
Mol powierza został izochorycznie oziębiony, na skutek czego jego energia wewnętrzna zmniejszyła się o "U.
Następnie rozprężając się izobarycznie wykonał pracę W. Znane są parametry początkowe stanu gazu: p1 i T1.
Oblicz p2, T2, V1 i V3.
p
p1 A (T1)
Zmiana energii wewnętrznej:
D�U
D�U =� cv (�T1 -�T2)���T2 =�T1 -�
p2
C
B (T2)
cv
Z równania stanu gazu:
RT1
V
V1 V3
V1 =�
p1
ć� ��
D�U
��
p1��T1 -� ��
cv ��
RT2 Ł�
ł�
p2 =� =�
V1 T1
Praca w przemianie izobarycznej:
WT1
W =� p2(� -�V1)���V3 =�V1 +�
V3
ć� ��
D�U
��
p1��T1 -� ��
cv ��
Ł� ł�
Przykłady
Zadanie 7
Gaz doskonały został poddany przemianom AB i BC przedstawionym na rysunku. Objętość gazu zmieniła się o D�V = 0,2 m2.
Dane jest ciśnienie gazu w stanie A: pA = 30 kPa. Obliczyć:
a) zmianę energii wewnętrznej D�U w przemianie ABC,
b) pracę W wykonaną przez gaz w przemianie ABC,
c) Wykazać, że zmiana energii wewnętrznej D�U jest równa sumie pracy wykonanej nad gazem i ciepła dostarczonego.
p
A
B
PA
C
T
TC
Rozwiązanie:
W przemianie BC ciśnienie jest wprost proporcjonalne do temperatury, więc jest to przemiana izochoryczna (WBC = 0).
TC =� TA
Z wykresu wynika, że
D�UABC =� ncV (�TC -�TA )� =� 0
a)
WABC =�WAB =� pA �� D�V =� 600J
b) Praca wykonana przez gaz:
c) Praca wykonana przez siłę zewnętrzną: Wz =� -�pA �� D�V
Ciepło pobrane przez gaz:
QABC =�QAB +�QBC =� ncp (�TB -�TA )�+� ncV (�TC -�TA )� =� n(�cp -�cV )�(�TB -�TA )� =� nR(�TB -�TA )�
VA VB VA +� D�V
Dla przemiany AB:
=� =�
TA TB TB
nRTA
Z równania stanu gazu w stanie A: VA =�
pA
nRTA +� pAD�V nRTA +� pAD�V
QABC +�Wz =� 0
TB =� QABC =� nR -� nRTA =� pAD�V
nR nR
Zadania do samodzielnego rozwiązania.
1. Opona zawiera powietrze o ciśnieniu p w temperaturze t. O ile wzrośnie ciśnienie powietrza w oponie, przy
stałej objętości, jeśli jego temperatura wzrośnie o D�t ?
pD�t
D�p =�
Odp. Ciśnienie wzrośnie o
t +� 273
2. Ile powietrza z atmosfery należy wpompować do zbiornika o pojemności 2 m3 aby, bez zmiany temperatury,
osiągnąć ciśnienie dziesięciokrotnie większe od atmosferycznego?.
Odp. Trzeba wpompować powietrze o objętości 20 m3
3. Ogrzano gaz w balonie, przy stałym ciśnieniu, od temperatury t1 = 70C do temperatury t2 = 1070C.
Oblicz objętość końcową gazu, jeśli objętość początkowa wynosiła 28 m3.
Odp. Objętość końcowa gazu wynosiła 37 m3
4. Sprawność idealnego silnika cieplnego wynosi 20%, temperatura z
ródła ciepła 1270C. Oblicz temperaturę
chłodnicy.
Odp. Temperatura chłodnicy wynosi 320 K, czyli 470C
5. Silnik pobrał ciepło Q1 =2000 J, a do chłodnicy odprowadzono ciepło Q2 = 1800 J Jaka praca została
wykonana?
Odp. Praca wynosi 200 J
6. Na wykresie został przedstawiony zamknięty cykl termodynamiczny. Oblicz jaką pracę wykonał gaz w tym cyklu.
p
1
B
C
(�p2 ę�V3 (�V2 ś�
p2 Odp.: W =� -� p1)���(� -�V1)�-� -�V1)�ł�
2
�� ��
p1
D
A
V
V3
V1 V2
7. Silnik cieplny pobiera 3 razy więcej ciepła niż oddaje do chłodnicy. Oblicz sprawność tego silnika.
2
Odp.:
h� =�
3
8. Gaz doskonały uległ przemianie przedstawionej na wykresie. O ile zmieniła się jego temperatura?
p[kPa]
Odp.: "T = 0
A
4
B
1
0
V[m3]
4
1
9. Ile ciepła jest dostarczane oraz odbierane z idealnego silnika, który wykonuje pracę W, jeśli temperatura
grzejnika wynosi T1 a temperatura chłodnicy T2?
T1W
T1W
Q2 =� -�W
Odp.: Q1 =�
T1 -�T2
T1 -�T2
10.Jakie jest ciepło pobrane oraz jaką pracę wykonuje silnik Carnota o sprawności �, jeśli w każdym cyklu oddaje
do chłodnicy ciepło Q2.
Q2 h�Q2
Q1 =� W =�
Odp.:
1-�h�
1-�h�