MECHANIKA PA
YNÓW
Płyn - Każda substancja, która może płynąć, tj. pod wpływem
znikomo małych sił dowolnie zmieniać swój kształt w
zależności od naczynia, w którym się znajduje, oraz może
swobodnie się przemieszczać (przepływać), np. być
przepompowywana przez rury.
Pojęcia płynu nie należy utożsamiać tylko z cieczą, gdyż płynami są nie
tylko ciecze, ale także wszystkie gazy, a nawet takie mieszaniny różnych
faz fizycznych jak piana, emulsja, zawiesina i pasta.
Mierzalną cechą płynów jest ich lepkość, czyli miara oporu
wewnętrznego, jaki stawia płyn poddawany naprężeniom ścinającym
zmuszającym go do przepływu. Tej właściwości płynów jednak nie
wez
miemy pod uwagę w naszych rozważaniach.
W płynach siły nie występują przy deformacji kształtu, ale tylko przy
zmianie objętości. Dlatego siły działające na dowolnie usytuowaną
powierzchnię w płynie, zwane siłami parcia, są do niej prostopadłe.
Parcie - Siła nacisku, jaką płyn wywiera na daną powierzchnię.
Ciśnienie - Stosunek siły parcia na dowolną powierzchnię w płynie do
wielkości tej powierzchni.
Jednostki ciśnienia
paskal bar at atm Tr
paskal (Pa), 1 Pa =1 N/m2 1,02×10-5 0,987×10-5 7,5×10-3
1 10-5
bar, 1 bar =105 Pa 1,02 0,987
105 1 750
0,981×105 0,981 0,968
atmosfera techniczna (at), 1 736
1 at =1 kG/cm2
1,013×105 1,013 1,033
atmosfera fizyczna (atm), 1 760
1 atm = 760 Tr
tor, 1 Tr =1 mm Hg 1,33×10-3 1,36×10-3 1,32×10-3
133 1
Mechanika płynów 1
Prawo Pascala
Ciśnienie zewnętrzne wywierane na płyn jest przenoszone we
wszystkich kierunkach jednakowo.
Ciśnienie na pewnej głębokości w cieczy znajdującej się w polu
grawitacyjnym
Grawitacja wywołuje zmianę ciśnienia w zależności od głębokości - im
niżej tym większe ciśnienie. Wzrost ciśnienia wywołujany jest naciskiem
(ciężarem) ze strony słupa cieczy położonego nad punktem pomiaru.
Przyjmijmy:
Á - gÄ™stość cieczy
g - przyspieszenie ziemskie
p0 - ciśnienie na poziomie górnym
p - ciśnienie na głębokości h
Zachodzi:
F "l - F0 "l0 = S0 "l0 Á g h
üÅ‚
ôÅ‚
F = p S
ôÅ‚
Ò! p = p0 + Á g h
żł
F0 = p0 S0
ôÅ‚
ôÅ‚
S "l = S0 "l0
þÅ‚
Prawo Archimedesa
Siły działające na boczne ścianki cylindra są
skierowane prostopadle do ścianek i znoszą
się. Siły działające na dolną i górną
powierzchniÄ™:
S p2 = S ( p0 + Á gh2)
S p1 = S ( p0 + Á gh1)
Mechanika płynów 2
Prawo Archimedesa, cd.
S p2 = S ( p0 + Á gh2) , S p1 = S ( p0 + Á gh1)
Siła wypadkowa:
W = S ( p0 + Á gh2) - S ( p0 + Ágh1) = Á gV , V = S(h2 - h1)
Na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu równa ciężarowi
wypartej przez to ciało cieczy.
Przepływ (ruch) płynów
Strumień, struga - Uporządkowany ruch cząstek płynu poruszających
siÄ™ jednym kierunku
Przepływ - Przepływ jest laminarny, jeśli strumień płynu może
laminarny być rozłożony na warstwy, w których wektor
prędkości jest równoległy do kierunku przepływu.
Tory sąsiednich warstw płynu są w tym przypadku
równoległe. Nie występuje mieszanie się sąsiednich
warstw płynu.
Przepływ - W przepływie turbulentnym zachodzi mieszanie się
turbulentny poszczególnych warstw płynu.
Przepływ ustalony,- W danym punkcie przestrzeni prędkość
(stacjonarny) przepływającego płynu nie zależy od czasu.
Równanie ciągłości dla cieczy nieściśliwych
Załóżmy, że przepływ jest stacjonarny.
Przez przekrój "1" i "2" w czasie dt
przepływają te same objętości cieczy.
Å1 S2
S1Å1 dt = S2Å2 dt Ò! =
Å2 S1
Prędkości cieczy w strudze są odwrotnie proporcjonalne do
powierzchni przekrojów strugi.
Mechanika płynów 3
Prawo Benoulliego
Załóżmy, że przepływ cieczy doskonałej (w której nie występują siły
lepkości) następuje od przekroju S1 do przekroju S2
Siły parcia:
F1 = p1 S1
F2 = p2 S2
Obliczmy pracę sił parcia w odcinku czasu dt
dAp = F1Å1 dt - F2Å2 dt = p1 S1Å1 dt - p2 S2Å2 dt = ( p1 - p2) dV
W nieobecności sił lepkości praca ta równa jest zmianie energii
kinetycznej i potencjalnej mas dmcieczy zawartej między przekrojami
2 2
S1 i S1 oraz S2 i S2 , dAp = dEk + dEp , czyli
22
dmÅ2 dmÅ1
( p1 - p2) dV = - + dm g h2 - dm g h1
22
dm
UwzglÄ™dniajÄ…c, że = Á , gdzie Á jest gÄ™stoÅ›ciÄ… cieczy, otrzymujemy
dV
22
ÁÅ1 ÁÅ2
p1 ++ Á g h1 = p2 ++ Á g h2
22
Ogólnie możemy więc napisać
ÁÅ2
p + + Á gh = const równanie Bernoulliego
2
Suma ciśnienia oraz energii kinetycznej i potencjalnej jednostki
objętości ustalonego przepływu cieczy doskonałej jest wielkością
stałą.
Mechanika płynów 4
Prawo Bernoulliego, cd.
ÁÅ2
OtrzymaliÅ›my p + + Á gh = const
2
W przypadku pomijalnie małych zmian wysokości przepływu zachodzi:
ÁÅ2
p + = const = p0 (inna postać równania Bernoulliego)
2
p - ciśnienie statyczne
ÁÅ2
- ciśnienie dynamiczne
2
p0 - ciśnienie całkowite
Pomiar ciśnienia dynamicznego i statycznego
Pomiary tych ciśnień wykonuje się za pomocą układu rurek Pitota.
Rurki są zgięte pod kątem prostym, a części rurek zanurzone w cieczy są
ustawione wzdłuż strumienia. Powierzchnia otworu rurki a , służącej do
pomiaru ciśnienia całkowitego, jest skierowana prostopadle do wektora
prędkości przepływającej cieczy. Powierzchnia otworu rurki b jest do tego
wektora równoległa. Różnica wysokości "H wskazań obu rurek
umożliwia wyznaczenie ciśnienia dynamicznego
ÁÅ2
= p0 - p = Á g "H
2
Można stÄ…d wyznaczyć prÄ™dkość przepÅ‚ywajÄ…cej cieczy: Å = 2 g "H .
Mechanika płynów 5