Filtr dolnoprzepustowy reaktancyjny LC:
Filtry reaktancyjne najczęściej
L L
C
Uwe
Uwy projektuje się w postaci filtrów
symetrycznych.
Uwe 1 Uwe
Uwy = �" =
1
j�C
1 - �2LC
j�L +
j�C
Charakterystyka amplitudowa: Charakterystyka fazowa:
1
ż#
Uwy
1 0 dla � <
�#
Ku = =
�#
LC
�u =
Uwe 1 - �2LC �#
1
�#
- Ą dla � >
�#
LC
�#
1
Oznaczając pulsację charakterystyczną:
�0 =
LC
otrzymamy następujące charakterystyki filtru:
Ku
charakterystyka
amplitudowa
�u
charakterystyka
fazowa
�
�0
Praktyczne wykorzystanie filtru dolnoprzepustowego
przebiegi odpowiedzi układu na zadane wymuszenie impulsowe -
- sygnał przed filtracją w 2 różnych stanach badanego obiektu:
- ten sam sygnał po filtracji
Filtr górnoprzepustowy RC rzędu 1-go (typu �):
Uwe Uwe Uwe
Uwy = �" R = =
1 1 1
C
Uwe Uwy
R
R + 1 + 1 - j
j�C j�RC �RC
1
�# ś#
jarctg
ś# ź#
Uwy
1
�RC
�# #
= e
Uwe
1
1 +
(�RC)2
Charakterystyka amplitudowa: Charakterystyka fazowa:
Uwy
1
1
ś#
Ku = =
�u = arctg�#
ś# ź#
Uwe
1
�RC
1 + �# #
(�RC)2
Pulsacja graniczna:
1 1 1 1
= �! 1 + = 2 �! �g =
2
RC
1 2
(�gRC)
1 +
2
(�gRC)
1
2
charakterystyka
amplitudowa
Uwy
Ku =
Uwe
charakterystyka
fazowa
+ 45o
�u = arg(Uwy )- arg(Uwe )
�
Daleko poza pasmem przepustowym wzmocnienie jest wprost
�g
proporcjonalne do pulsacji.
1 �
�g
�# ś#
Ku = H" dla � << �g
ś# ź#
�u = arctgś# ź#
�g 2 �g
�# ś#
�
�# #
1 + ś# ź#
ś# ź#
�
�# #
Dla sygnałów okresowych dowolnie zmiennych w czasie (niesinu-
soidalnych) uwe(t), uwy(t) mamy: uwy
d
C (uwe - uwy )=
dt R
ale dla f << fg zachodzi uwy << uwe więc:
duwe
uwy H" RC
dt
Czyli dla sygnałów o częstotliwości znacznie mniejszej od częstotliwości
granicznej filtru zachowuje się on w przybliżeniu jak układ różniczkujący
 na jego wyjściu uzyskamy napięcie o przebiegu zbliżonym do pochodnej
napięcia wejściowego względem czasu.
Zbadajmy odpowiedz
filtru na sygnał okresowy o kształcie prostokątnym
przy 3 różnych relacjach między częstotliwością sygnału, a częstotliwością
graniczną filtru:
uwe
uwy (f=10fg) uwy (f=fg) uwy (f=0.1fg)
Filtr górnoprzepustowy reaktancyjny LC:
Uwe Uwe
C C
Uwy = �" j�L =
Uwe
1 1
Uwy
L
j�L + 1 -
j�C
�2LC
Charakterystyka amplitudowa:
Charakterystyka fazowa:
Uwy
1
1
ż#
Ku = =
dla � <
�#Ą
Uwe 1 - 1
�#
LC
�u =
�#
1
�2LC
�#
0 dla � >
�#
LC
�#
1
Oznaczając pulsację charakterystyczną:
�0 =
LC
otrzymamy następujące charakterystyki filtru:
Ku
charakterystyka
amplitudowa
�u
charakterystyka
fazowa
�
�0
Inny aspekt praktyczny
R1 CK
Uwe
R2
CL Uwy
Obserwacja napięcia przy pomocy oscyloskopu z zastosowaniem
rezystancyjnego dzielnika napięcia  wskutek niezerowej pojemności kabla
i wejścia oscyloskopu CL przebiegi będą odkształcone.
Uwe Uwy
1
Aby temu zapobiec stosuje się dodat-
�CL R2 CK R2
=
=
stąd:
kową pojemność kompensującą CK:
1
R1
CL R1
�CK
Filtr pasmowy RC:
R
j�C
Uwe �"
R
1
R +
j�C
Uwy =
Uwe C
R
1
j�C
R + +
R
1
C Uwy j�C
R +
j�C
R
Uwe �"
Przyjmując:
j�RC
1 + j�RC
Uwy = = Uwe �" �
1
&! =
1 + j�RC R
�0 =
1 - (�RC)2 + 3j�RC
+ �0
RC
j�C 1 + j�RC
Uwy
j&! 1
Uwy
1
= =
Ku = =
Uwe
ś#
3j&! + 1 - &!2 3 + j�#&! - 1 ź#
2
stąd:
Uwe
ś#
1
�#&! - ś#
&!
�# #
+ 9
ś# ź#
&!
�# #
�#
1 - &!2 ś#
ź#
�u = arc tgś#
oraz:
ś# ź#
3&!
�# #
1
Ku
3
1
3 2
charakterystyka
amplitudowa
�u
45o
charakterystyka
fazowa
- 45o
~ 0.3 ~ 3.3
�
�0
1
�
� = �0 =
Ponieważ dla: , czyli: , mamy maksymalną wartość Ku
&! = = 1
RC
�0
Uwy
1 1
Ku = = =
2
Uwe 3 stąd dla wyznaczenia pulsacji granicz-
1
�#&! - ś#
+ 9
ś# ź#
nych należy rozwiązać równanie:
&!
�# #
1 1
=
2
3 2
1
�#&! - ś#
+ 9
ś# ź#
czyli:
&!
�# #
2
1
�#&! - ś#
+ 9 = 18
ś# ź#
&!
�# #
zatem:
1
&! - = 3 �! &!2 - 3&! - 1 = 0 �! &! H" 3.3
&!
lub
1
&! - = -3 �! &!2 + 3&! - 1 = 0 �! &! H" 0.3
&!
Filtr zaporowy ( podwójne T ):
1
2 1 1
U1�# + j2�Cś# - Uwe �" - Uwy �" = 0
ś# ź#
R R
R R R
�# #
2C
2
U2�# + j2�Cś# - Uwe �" j�C - Uwy �" j�C = 0
ś# ź#
2
R
�# #
C C 1 1
�#
-
ź#
Uwy Uwy ś# R + j�Cś# U1 �" - U2 �" j�C = 0
Uwe R/2
R
�# #
Wyznaczając z 1-go równania U1, z 2-go U2 i wstawiając do równania 3-go
otrzymujemy równanie wiążące napięcia Uwe i Uwy.
Uwy
Uwe
U1(2 + j2�RC)= Uwe + Uwy �! U1 = +
(2 + j2�RC) (2 + j2�RC)
Uwy �" j�RC
Uwe �" j�RC
U2(2 + j2�RC)= Uwe �" j�RC + Uwy �" j�RC �! U2 = +
(2 + j2�RC) (2 + j2�RC)
Uwy Uwy �"(�RC)2
Uwe Uwe �"(�RC)2
Uwy(1 + j�RC)- - + + = 0
(2 + j2�RC) (2 + j2�RC) (2 + j2�RC) (2 + j2�RC)
Uwy(2 - 2(�RC)2 + 4j�RC)- Uwy + Uwy �"(�RC)2 = Uwe - Uwe �"(�RC)2
Uwy
1 - (�RC)2
=
Uwe 1 -
(�RC)2 + 4j�RC
Uwy
1 �
1 - &!2
�0 = &! = = �RC
Podstawiając: , oraz: mamy:
=
RC �0
Uwe
1 - &!2 + 4j&!
czyli: oraz:
1 - &!2
Uwy
4&!
ś#
�u = ąarc tg�#
Ku = = ś# ź#
2
Uwe &!2 - 1
�# #
( - &!2 + 16&!2
1 )
Analizując przebieg funkcji Ku=f(&!) można stwierdzić, że dla &!=1, czyli
1
� = �0 =
dla: Ku osiąga minimalną wartość równą 0, natomiast dla
RC
&!=0 oraz &!" wartość Ku jest maksymalna i wynosi 1.
Dla wyznaczenia pulsacji granicznych rozwiązujemy równanie:
&! H" 0.25
1 - &!2
1
=
stąd:
lub
2
2
(1 - &!2) + 16&!2
&! H" 4.19
Ku
1
2
charakterystyka
amplitudowa
�u
charakterystyka
fazowa
45o
- 45o
~ 0.25 ~ 4.19
�
�0
W analizie obwodów, a w szczególności w teorii filtrów, często posługujemy
się rachunkiem operatorowym  transformacją Laplace a. Przekształca
ona dowolną funkcję czasu f(t) w nową funkcję F(s) zmiennej zespolonej s
zgodnie ze wzorem:
"
L{f(t)}= F(s)= f(t)e-stdt
/
gdzie :
s = � + j�
+"
0
Wprowadzając to przekształcenie dla rzeczywistych, zmiennych w czasie
prądów i(t) oraz napięć u(t) w obwodzie, można rozwiązywać obwód dla
transformat I(s) oraz U(s), a na końcu  w razie potrzeby  zastosować
przekształcenie odwrotne, aby uzyskać rzeczywiste przebiegi czasowe.
Transformacja odwrotna Laplace a jest określona wzorem:
a+j"
1
L-1{F(s)}= f(t)= F(s)estds
/
+"
2Ąj
a-j"
Rozwiązanie obwodu, zwłaszcza w stanach przejściowych, dla zmiennych
operatorowych (transformat Laplace a) prowadzi z reguły do prostszych
rachunków, ale uzyskanie z funkcji zmiennej s rzeczywistego przebiegu
czasowego często jest złożonym procesem obliczeniowym (o ile nie
znajdziemy gotowego wzoru w tablicach).
Dla transformat Laplace a obowiązują następujące zależności:
df f(0+)
ń#
L{f(t)}= F(s) Lż# �# = sĄ#F(s)- = sF(s)- f(0+)
/ /
Jeżeli to przy czym
�#dt Ź#
ó# Ą#
s
�# �# Ł# Ś#
ż#t �#
F(s)
df
dla f(0+)=0, oraz
L�# f(�)d�Ź# =
/
Lż# �# = sF(s)
/
+"
�#dt Ź#
s
�# �#
�#0 �#
Impedancja operatorowa dwójnika jest to iloraz transformaty napięcia
U(s) na zaciskach tego dwójnika do transformaty prądu I(s) płynącego
przez ten dwójnik przy zerowych warunkach początkowych.
u(t) U(s)
i(t) I(s)
U(s)
Z(s) =
I(s)
Rezystancja:
U(s)
u(t)
i(t) I(s)
R R
U(s) = RI(s)
u(t) = Ri(t)
U(s)
ZR (s) = = R
I(s)
Indukcyjność:
U(s)
u(t)
i(t) I(s)
L sL
i(0+ )
ń#
di
U(s) = LsĄ#I(s) - = sLI(s)
u(t) = L
ó# Ą#
s
Ł# Ś#
dt
U(s)
dla i(0+)=0, więc:
ZL(s) = = sL
I(s)
U(s)
Pojemność:
u(t)
I(s)
i(t)
1
C
sC
t
1
1 I(s) 1
u(t) = i(�)d� + u(0+ )
+"
dla u(0+)=0, mamy:
U(s) = �" = I(s)
C
0
C s sC
U(s) 1
ZC(s) = =
I(s) sC
Opierając się na tych impedancjach operatorowych, możemy rozwiązywać
obwody klasycznie  z wykorzystaniem praw Kirchhoffa, które spełnione
będą także dla transformat prądów i napięć, tzn. dla dowolnego węzła:
In(s) = 0
"
n
zaś dla dowolnego oczka w obwodzie:
(Ek (s), Uk (s))= 0
"
k
Przykładowo dla dolnoprzepustowego filtru pasywnego RC w dziedzinie
operatorowej otrzymamy:
Uwe (s) 1 Uwe (s)
R
1
Uwy (s) = �" =
Uwy(s)
Uwe(s)
1
sC 1 + sRC
R +
sC
sC
Uwy (s)
1
Ku(s) = =
stąd: . Wielkość tę nazywamy transmitancją
Uwy (s) 1 + sRC
operatorową filtru.
Zauważmy, że transmitancję operatorową możemy otrzymać natychmiast
z wyznaczonej charakterystyki częstotliwościowej filtru, obliczonej dla
amplitud zespolonych:
Uwy
1
=
Uwe 1 + j�RC
jeżeli w miejsce czynnika j� podstawimy zmienną s.
Metoda operatorowa może służyć do rozwiązywania obwodów przy
wymuszeniach o różnym charakterze, w stanach ustalonych i
nieustalonych, ale dla przebiegów sinusoidalnych w stanach ustalonych
można przyjąć dla: s=�+j�, że �=0, a zatem: s=j�.
�
� s
&! =
Wprowadzając wielkości bezwymiarowe: oraz: S = j&! = j =
�0
�0 �0
gdzie �0 jest pulsacją graniczną, otrzymamy dla rozpatrywanego filtru
pasywnego 1-go rzędu:
1 1
Ku(S) = =
1 + �0RCS 1 + ąS
1
1
natomiast podstawiając: �0 = otrzymamy tutaj: Ku(S) =
RC
1 + S