Cewki indukcyjne
d� di
L
u = = L �"
dt dt
i(t)
Symbol:
t
1
i(t) = u(�)d� + i(0)
+"
u(t)
L
0
Wielkość L nazywamy indukcyjnością własną, jej jednostką jest henr [H].
Energia jest gromadzona w cewce w polu magnetycznym. Idealna cewka
jest elementem bezstratnym (o zerowej rezystancji). Cewka składa się ze
zwojnicy wykonanej z przewodu elektrycznego, nawiniętej na korpusie
(karkas). W cewkach powietrznych strumień magnetyczny zamyka się
przez powietrze  są to elementy liniowe (stała indukcyjność). Cewki
nawinięte na rdzeniu ferromagnetycznym są nieliniowe (krzywa
magnesowania)  ich indukcyjność zależy od płynącego prądu.
Cewka nie jest elementem idealnym, w dokładniejszym schemacie
zastępczym prócz indukcyjności należy uwzględnić rezystancję modelującą
straty mocy i pojemność własną cewki.
Cewki służące do redukcji składowej zmiennej prądu (wygładzania prądu)
nazywamy dławikami. Występują ponadto jako uzwojenia w
transformatorach.
Wyznaczanie parametrów:
UV
XL
UV
Z =
R =
-
IA XL = Z2 R2 L =
�
IA
Filtry pasywne
Czwórnikiem nazywamy część obwodu elektrycznego, mającą 4 zaciski  z
reguły 2 z nich służą do przyłączenia z
ródła zasilania, 2 pozostałe do
przyłączenia odbiornika. Ważną grupę czwórników stanowią filtry
częstotliwościowe. Są to czwórniki, służące do przepuszczania sygnałów o
żądanym zakresie częstotliwości, a tłumienia sygnałów o częstotliwościach
leżących poza tym zakresem. Działanie to może dotyczyć również
składowych harmonicznych sygnału okresowego niesinusoidalnego.
Uwe Uwy
Jeżeli moc sygnału wyjściowego jest zawsze mniejsza od mocy sygnału
wejściowego, filtr nazywamy pasywnym (nie zawiera on elementów
aktywnych); w przeciwnym razie  filtr aktywny. Filtry częstotliwościowe
można klasyfikować wg różnych kryteriów. Największe znaczenie ma
klasyfikacja pod względem amplitudowej charakterystyki częstotliwościo-
wej  jest to zależność stosunku wartości (skutecznej lub amplitudy) sinu-
soidalnego napięcia wyjściowego do wejściowego w funkcji częstotliwości.
Według tej klasyfikacji filtry można podzielić na:
dolnoprzepustowe górnoprzepustowe,
pasmowe (środkowoprzepustowe) zaporowe (środkowozaporowe)
Pasmo przepustowe (3 dB)  przedział pulsacji, dla których stosunek
Uwy/Uwe maleje nie więcej niż 2  krotnie w stosunku do wartości
maksymalnej.
3
Uwy
�# ś#
-
Uwy
1
20
ś# ź# -3
20logś# =
więc:
= 10 H" 0.707 H"
Uwe ź#
Uwe
�# # 2
Pulsację (częstotliwość) sygnału wejściowego, dla której spełniony jest ten
warunek nazywamy pulsacją (częstotliwością) graniczną.
Można klasyfikować filtry także pod względem konfiguracji połączeń
układu  wyróżniamy np. filtry typu: �, , T:
Uwe Uwy Uwe Uwy
filtry typu �
Uwe Uwy Uwe Uwy
filtr typu T filtr typu 
Prócz charakterystyki amplitudowej określa się dla filtrów także
charakterystykę fazową - jest to zależność kąta przesunięcia fazowego
między sinusoidalnym napięciem wyjściowym i wejściowym w funkcji
częstotliwości tych napięć.
W obwodach małych mocy (układy elektroniczne, przetwarzanie
sygnałów) najczęściej stosowane są filtry pasywne typu RC (złożone z
rezystorów i kondensatorów), rzadziej filtry RLC (zawierają także cewki);
w obwodach energetycznych  dla ograniczenia strat mocy czynnej w
paśmie przepustowym  lepiej zastosować filtry reaktancyjne LC (o
pomijalnie małych rezystancjach).
Filtr nazywamy symetrycznym, jeżeli zamiana miejscami z
ródła i
odbiornika (zamiana wejścia i wyjścia) nie zmienia jego charakterystyk
częstotliwościowych (czyli sposobu działania).
Uwaga! Charakterystyki filtrów wyznaczamy przy podaniu na zaciski
wejściowe sygnału sinusoidalnie przemiennego o zmiennej częstotliwości,
przy nieobciążonych (otwartych) zaciskach wyjściowych.
Filtr dolnoprzepustowy RC rzędu 1-go (typu �):
I
R
C
Uwe Uwy
Uwe Uwe �" j�C
I = =
1
1 + j�RC
R +
j�C
1 Uwe
Uwy = I =
j�C 1 + j�RC
Uwy
1 1
= = e-jarctg(�RC)
Uwe 1 + j�RC
1 + (�RC)2
1 1 1
2
= �! 1 + (�gRC) = 2 �! �g =
Pulsacja graniczna:
2
RC
1 + (�gRC)2
1
2
charakterystyka
amplitudowa
Uwy
Ku =
Uwe
charakterystyka
fazowa
- 45o
�u = arg(Uwy )- arg(Uwe )
�
Daleko poza pasmem przepustowym wzmocnienie jest odwrotnie
�g
proporcjonalne do pulsacji.
�g
1
�# ś#
Ku = H" dla � >> �g �
2
�u = -arctgś# ź#
�
ś# ź#
�# ś#
�g
�
�# #
ś# ź#
1 +
ś# ź#
�g
�# #
Dla sygnałów okresowych dowolnie zmiennych w czasie (niesinu-
soidalnych) uwe(t), uwy(t) mamy:
duwy
uwy + RC = uwe
dt
ale dla f >> fg zachodzi uwy << uwe więc:
t
1
uwy H" uwe(�)d� + uwy (0)
+"
RC
0
Czyli dla sygnałów o częstotliwości znacznie większej od częstotliwości
granicznej filtru zachowuje się on w przybliżeniu jak układ całkujący  na
jego wyjściu uzyskamy napięcie o przebiegu zbliżonym do całki z napięcia
wejściowego [napięcie quasi-stałe o wartości średniej (składowa stała)
napięcia wejściowego].
Filtry często bada się, obserwując ich odpowiedz
na sygnał okresowy o
kształcie prostokątnym. Zbadajmy odpowiedz
filtru dla takich sygnałów
przy 3 różnych relacjach między częstotliwością sygnału, a częstotliwością
graniczną filtru:
uwe
uwy (f=0.1fg) uwy (f=fg) uwy (f=10fg)
Aby uzyskać bardziej stromą charakterystykę amplitudową w obszarze
częstotliwości granicznej, należałoby zbudować filtr wyższego rzędu.
Najprostszy sposób  szeregowe (kaskadowe) połączenie kilku filtrów 1-go
rzędu; np. filtr 3-go rzędu będzie układem jak poniżej:
R1 R2 R3
Uwe Uwy
C1 C2 C3
Należy zwrócić uwagę, że połączenie szeregowe n filtrów 1-go rzędu, każdy
o częstotliwości granicznej fg, daje filtr n-go rzędu, ale o innej
częstotliwości granicznej (w tym przypadku mniejszej). Aby uzyskać taką
samą częstotliwość graniczną, należy inaczej dobrać parametry elementów
filtru.
Charakterystyka całego filtru łańcuchowego nie jest iloczynem
charakterystyk jego poszczególnych ogniw składowych, gdyż ogniwa te
wzajemnie wpływają na siebie (obciążają się prądowo)  jest to tzw.
interakcja. Utrudnia to analizę układu i dobór elementów  zawsze
konieczna jest tu analiza filtru jako całości. Załóżmy, że w tym układzie
jest: R1=R2=R3=R oraz C1=C2=C3=C .
I0 I2 I4
I1 I3 I4
R R R
Uwy
Uwe
U1 U2
C C C
I4 = j�CUwy U2 = Uwy + I4R = Uwy + j�CUwyR = Uwy (1 + j�RC)
(- ) (- )
I3 = j�CU2 = Uwy �2RC2 + j�C I2 = I3 + I4 = Uwy �2RC2 + j2�C
U1 = U2 + I2R = Uwy (1 + j�RC)+ Uwy(- �2R2C2 + j2�RC)=
= Uwy(1 - �2R2C2 + j3�RC)
I1 = j�CU1 = Uwy(- 3�2RC2 + j�C - j�3R2C3)
I0 = I1 + I2 = Uwy[- 4�2RC2 + j(3�C - �3R2C3)]
Uwe = U1 + I0R =
= Uwy[(1 - �2R2C2 + j3�RC)+(- 4�2R2C2 + j3�RC - j�3R3C3)]=
= Uwy{ [1 - 5(�RC)2]+ j[6(�RC)- (�RC)3] }
Uwy
1 1
=
Uwe
(1
[1 - 5(�RC)2]+ j[6(�RC)- (�RC)3]= - 5x2)+ jx(6 - x2)
gdzie x=�RC, czyli :
Uwy
1 1
Ku = = =
2 2
Uwe
2
(1 - 5x2) + x2(6 - x2)
Aby wyznaczyć pulsację graniczną należy rozwiązać równanie:
2 2
(1 - 5x2) + x2(6 - x2) = 2
Po rozwiązaniu otrzymamy pierwiastek: xH"0.1943 , a zatem:
0.1943
�g H"
RC
Stąd dla danych R i C można obliczyć �g, albo dobrać R i C tak, aby
otrzymać określone �g.
Dobierając elementy tak, aby dla tego filtru 3-go rzędu otrzymać taką
samą pulsację graniczną, jak dla filtru rzędu 1-go, można porównać ich
charakterystyki  amplitudową i fazową:
Ku
charakterystyka
amplitudowa
�u
charakterystyka
fazowa
�
Filtr 1-go rzędu Filtr 3-go rzędu �g
Filtr dolnoprzepustowy reaktancyjny LC:
Filtry reaktancyjne najczęściej
L L
C
Uwe
Uwy projektuje się w postaci filtrów
symetrycznych.
Uwe 1 Uwe
Uwy = �" =
1
j�C
1 - �2LC
j�L +
j�C
Charakterystyka amplitudowa: Charakterystyka fazowa:
1
ż#
Uwy
1 0 dla � <
�#
Ku = =
�#
LC
�u =
Uwe 1 - �2LC �#
1
�#
- Ą dla � >
�#
LC
�#
1
Oznaczając pulsację charakterystyczną:
�0 =
LC
otrzymamy następujące charakterystyki filtru:
Ku
charakterystyka
amplitudowa
�u
charakterystyka
fazowa
�
�0