Politechnika Warszawska
Wydział Fizyki
24
Laboratorium Fizyki I
Irma Śledzińska
POMIAR DA
UGOÅšCI FALI ÅšWIETLNEJ
ZA POMOC
SIATKI DYFRAKCYJNEJ I SPEKTROMETRU
1. Podstawy fizyczne
Fala elektromagnetyczna sÄ… to rozchodzÄ…ce siÄ™ w przestrzeni periodyczne zmiany pola
elektrycznego i magnetycznego. Wektory natÄ™\
enia pola elektrycznego E i indukcji magnetycznej
B fali elektromagnetycznej są do siebie prostopadłe a ich wartości proporcjonalne. Dlatego przy
opisie zjawisk falowych wystarczy wybrać jeden z nich np. E. Falę elektromagnetyczną
rozchodzącą się wzdłu\
osi X mo\
emy opisać za pomocą funkcji falowej:
E(x,t) = E0sin(Ét  kx) (1a)
gdzie: E0 jest amplitudÄ… natÄ™\
enia pola elektrycznego, argument funkcji sinus, (Ét  kx)
nazywamy fazÄ… fali, É  czÄ™stoÅ›ciÄ… koÅ‚owÄ…, k  liczbÄ… falowÄ… zwiÄ…zanÄ… z dÅ‚ugoÅ›ciÄ… fali 
zale\
nością :
2Ä„
k = . (1b)

Jak wynika ze wzorów (1a) i (1b) przebycie przez falę drogi "x =  powoduje zmianę fazy
fali o kÄ…t 2Ä„. Poniewa\
2Ą jest okresem funkcji sinus to wszystkie punkty, w których fazy będą
ró\
niły się o wielokrotność 2Ą, będą miały takie same wartości natę\
enia pola elektrycznego E.
Mówimy wówczas, \
e drgania natÄ™\
enia pola w tych punktach sÄ… zgodne w fazie.
Fala elektromagnetyczna jest falÄ… poprzecznÄ… co oznacza, \
e wektory natÄ™\
enia pola
elektrycznego i indukcji magnetycznej są zawsze prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali.
W przypadku fali opisywanej równaniem (1a) będą się one zmieniały tylko wzdłu\
osi X  będą
natomiast stałe w płaszczyznach YZ prostopadłych do osi X. Wszystkie punkty na danej
płaszczyz
nie YZ będą miały jednakową fazę. Falę taką nazywamy falą płaską.
Zjawisko interferencji powstaje w wyniku nało\
enia się dwóch lub więcej fal w danym
punkcie przestrzeni. Obraz interferencyjny mo\
emy zaobserwować wówczas gdy:
1. y
ródła są monochromatyczne (wysyłają fale o jednej długości fali).
2. y
ródła interferujących fal są spójne (koherentne)  tzn. fale wysyłane przez te z
ródła
zachowują stałą w czasie ró\
nicÄ™ faz.
1.1. Siatka dyfrakcyjna.
Obraz interferencyjny mo\
na wytworzyć za pomocą układu równoległych szczelin, który
nazywamy siatkÄ… dyfrakcyjnÄ…. Podstawowym parametrem charakteryzujÄ…cym siatkÄ™ dyfrakcyjnÄ…
jest odległość między szczelinami d. Oświetlenie siatki dyfrakcyjnej równoległą wiązką światła
powoduje powstanie na ekranie umieszczonym za siatkÄ… obrazu interferencyjnego w postaci
prÄ…\
ków przedstawionych na rysunku 1a. Obraz jest dobrze widoczny, jeśli są spełnione podane
wy\
ej warunki oraz gdy stała siatki jest porównywalna z długością fali świetlnej. Dla zakresu
światła widzialnego o długości z zakresu od 400 do 700 nm odległość między szczelinami powinna
wynosić okoÅ‚o 1 µm. Oznacza to, \
e wiązka światła o szerokości 2 mm oświetla 2000 szczelin.
Pomiar długości fali świetlnej za pomocą siatki dyfrakcyjnej i spektrometru
2
wiązka światła
Rys. 1a. Powstawanie i rozkład natę\
eń w obrazie interferencyjnym.
Opis powstania takiego obrazu na ekranie nale\
y rozpocząć od przypomnienia zasady
Huygensa. Mówi ona o tym, \
e ka\
dy punkt przestrzeni, do którego dociera fala mo\
e być
traktowany jako z
ródło nowej, wtórnej fali kulistej. Fala kulista rozchodzi się we wszystkich
kierunkach, a obserwowana fala jest zło\
eniem (superpozycjÄ…) wszystkich kulistych fal
elementarnych. Punkty w przestrzeni posiadajÄ…ce takÄ… samÄ… fazÄ™ tworzÄ… front falowy 
w przypadku fali płaskiej front falowy stanowi płaszczyznę.
wiÄ…zka
światła

Rys. 1b. Ilustracja zasady Huygensa.
Załó\
my teraz, \
e fala płaska pada na siatkę dyfrakcyjną o stałej d, w której szczeliny są
bardzo wÄ…skie. Zgodnie z zasadÄ… Huygensa ka\
da ze szczelin siatki dyfrakcyjnej staje siÄ™ z
ródłem
nowej fali kulistej o jednakowej fazie poczÄ…tkowej (rysunek 1b). Oznacza to, \
e w przestrzeni za
siatką rozchodzą się fale kuliste. Liczba tych fal jest równa liczbie szczelin oświetlonych przez
wiązkę świetlną. Do ka\
dego punktu przestrzeni za siatkÄ… docierajÄ… fale pochodzÄ…ce ze
wszystkich z
ródeł i zachodzi zjawisko interferencji. Interferencją nazywamy nakładanie się
w danym punkcie przestrzeni przeliczalnej ilości fal, które mo\
e prowadzić w skrajnych
przypadkach do ich wzmocnienia lub wygaszenia, w zale\
ności od ró\
nicy faz. Maksimum
natÄ™\
enia występuje w punktach, w których interferujące fale będą zgodne w fazie, czyli
ró\
nica faz będzie równa:
"Ć Å"2Ä„ Ä…1, Ä…
"Ć Å" Ä„ Ä… Ä…
"Ć = mÅ" Ä„ (gdzie m=0, Ä… Ä…2, ...). (2a)
"Ć Å" Ä„ Ä… Ä…
Przy zało\
eniu równości faz początkowych wszystkich fal kulistych wytwarzanych prze
siatkę dyfrakcyjną, ró\
nica faz w dowolnym punkcie P przestrzeni zale\
y tylko od ró\
nicy dróg
optycznych (dróg geometrycznych dla pró\
ni) (patrz rysunek 1c) "x = x2  x1. Oznacza to, \
e
"Ć Å"" Ä„/ Å""
"Ć Å"" Ä„  Å""
"Ć = kÅ""x = (2Ä„ )Å""x. (2b)
"Ć Å"" Ä„  Å""
rozkład nat
Ä™\

enia
Å›
wiatła w
obrazie interferencyjnym
siatka
dyfrakcyjna
ekran
front falowy
Pomiar długości fali świetlnej za pomocą siatki dyfrakcyjnej i spektrometru
3
Porównując wzory (2b) z (2a) otrzymuje się zale\
ność
m "x . (2c)
 = "
 "
 "
Tak więc wzmocnienie (maksimum interferencyjne) następuje wówczas, gdy ró\
nica
dróg optycznych jest równa wielokrotności długości fali.
y
ródła fal
1 x1 P
kulistych
x2
"x
2
Rys. 1c. Interferencja fal pochodzących z dwóch z
ródeł.
m = 1
d m = 0
d
m = 1
Åš
Åš
Åš
Åš
m = 0
m = - 1
m = - 2
"x
m = - 3
Rys. 1d. Powstawanie maksimów interferencyjnych w przypadku siatki dyfrakcyjnej.
Opisywane zjawiska wy\
ej zjawiska zachodzą w siatce dyfrakcyjnej. Punkty, w których
zachodzi wzmocnienie fali układają się na liniach prostych  patrz rysunek 1d (dla uzyskania
większej czytelności rysunku pokazano jedynie fronty fal kulistych pochodzące od dwóch
siatka dyfrakcyjna
Pomiar długości fali świetlnej za pomocą siatki dyfrakcyjnej i spektrometru
4
sąsiednich szczelin). Linie te wyznaczają kierunek, pod którym obserwowane są na ekranie
kolejne prÄ…\
ki interferencyjne. Na rysunku 1d linie dla jednakowych wartości m nale\
Ä… do
jednego prÄ…\
ka interferencyjnego; na tym rysunku nie mo\
na przedstawić ekranu, gdy\
skala
rysunku wynosi w przybli\
eniu 1000:1. Ze względu na ogromną odległość ekranu od siatki w
porównaniu do stałej siatki (kilka centymetrów w porównaniu do mikrometra) mo\
na zało\
yć, \
e
promienie dajÄ…ce na ekranie prÄ…\
ek (maksimum) są równoległe. Wówczas ró\
nica dróg
optycznych "x równa się dsinŚ, jak przedstawiono na rysunku. Oznacza to, \
e:
"x = dsinÅš = m. (3)
Kąt Ś w tym wzorze oznacza kąt, pod którym widoczne jest na ekranie maksimum
Åš
Åš
Åš
rzędu m-tego.
Jak widać z powy\
szego wzoru, kąty pod którymi obserwujemy główne maksima nie zale\
Ä…
od liczby szczelin w siatce, natomiast zale\
ą od długości fali światła padającego i od odległości
między szczelinami, d  zwanej stałą siatki. Dlatego te\
za pomocÄ… siatki dyfrakcyjnej mo\
emy
rozło\
yć padającą wiązkę światła na składowe odpowiadające ró\
nym długościom fal.
b)
a)
Eo
E
Õ
Eo
E
Ä…
Eo
Rys.2 a) Wektorowa ilustracja równania (1a): E0  amplituda fali, Ä… = (Ét  kx)  faza,
E = E0siną. Wektor obraca się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek
zegara.
b) Wektorowe dodawanie dwu fal, Ć  ró\
nica faz, Ew  amplituda wypadkowa.
NÕ
R
Õ
Õ
R
Ew
Õ
Õ
R
Õ
2
2
Õ
Õ
Eo
Eo
b)
a)
Rys.3 Graficzne dodawanie funkcji falowych pochodzących od N równoległych szczelin,
dla których ró\
nica faz pomiędzy sąsiednimi szczelinami wynosi Ć. Rysunek wykonano dla
N = 5 szczelin.
Pomiar długości fali świetlnej za pomocą siatki dyfrakcyjnej i spektrometru
5
sin2(NĆ/2)
1
0
Ć
sin2(Ć/2)
1
0
Ć
I/Io
25
0 -3Ä„ -2Ä„ -Ä„ 0
Ä„
2Ä„
3Ä„
Ć
Rys.4 Obraz interferencyjny dla pięciu szczelin. Przedstawiono poszczególne czynniki
z równania (7) oraz ich iloraz. Główne maksima przedzielone są szeregiem mniejszych
maksimów bocznych.
Przeanalizujemy teraz, jak będzie wyglądał obraz interferencyjny w punktach
znajdujących się pomiędzy maksimami głównymi, dla siatki mającej N szczelin. W tym celu
posłu\
ymy siÄ™ metodÄ… graficznÄ…. W metodzie tej, natÄ™\
enie pola E opisywane równaniem (1a)
przedstawiamy za pomocą wektora, którego długość wynosi E0 a kąt ą jaki tworzy on z osią X
równy jest wartości jego fazy.
Poniewa\
faza zmienia się w czasie, wektor ten obraca się przeciwnie do wskazówek
zegara (rys.2). Poniewa\
ró\
nica faz między falami pochodzącymi od sąsiednich szczelin wynosi
Ć, wektorowy diagram zaburzeń będzie zawierał N wektorów o równych długościach E0 i kącie
między sąsiednimi wektorami równym Ć.
Jak widać na rys.3, końce tych wektorów le\
ą na okręgu, którego promień R dany jest
zale\
nością:
1 Õ
E0 = R sin . (4)
2 2
Wypadkowa amplituda Ew jest podstawą równoramiennego trójkąta o bokach równych R i
kącie przy wierzchołku równym NĆ. Stąd:
NÕ
Ew = 2Rsin . (5)
2
A
Ä…czÄ…c te dwa wyra\
enia, otrzymamy wzór na wypadkową amplitudę:
Pomiar długości fali świetlnej za pomocą siatki dyfrakcyjnej i spektrometru
6
sin(N Õ 2)
Ew = E0 . (6)
sin(Õ 2)
Wypadkowe natÄ™\
enie tj. średnia moc przenoszona przez falę jest proporcjonalne do
kwadratu amplitudy i wynosi:
2
sin (N Õ 2)
I = I0 2 . (7)
sin (Õ 2)
Zale\
ność natę\
enia I od kąta Ć (który z kolei zale\
y od kÄ…ta ¸, (równanie 2c)) zawiera
zmienny czynnik sin2(NĆ/2), modulowany przez znacznie wolniej zmienne wyra\
enie sin2(Ć/2).
Ka\
dy z tych czynników jak i ich iloraz przedstawiono na rysunku 3. Wartość wyra\
enia dla kąta Ć
= 0, mo\
na obliczyć stosując przybli\
enie sin(Ć/2) ~ (Ć/2) i przechodząc z Ć0. Otrzymamy
wówczas I = I0N2. Odpowiada to sytuacji, gdy wszystkie fale mają te same fazy, czyli Ew = NE0.
Identyczny wynik uzyskamy dla wszystkich kątów spełniających warunek: Ć = 2mĄ. W
miarę jak kąt Ć wzrasta od wartości 0, stosunek kwadratów dwóch sinusów we wzorze (7)
zaczyna maleć i pierwsze minimum dyfrakcyjne otrzymamy wówczas gdy licznik wyra\
enia (7)
przyjmuje wartość zerową, czyli gdy (NĆ/2) = Ą, to znaczy NĆ = 2Ą.
W interpretacji wektorowej, oznacza to, \
e wektory reprezentujące N fal zataczają pełne
koło i wracają do punktu wyjścia, czyli Ew = 0. Dalsze zwiększanie fazy Ć, prowadzi do
zwiększenia amplitudy wypadkowej i pojawienia się maksimum bocznego. Maksima boczne
występują dla kątów Ć dla których licznik wyra\
enia (7) równy jest 1, są one jednak znacznie
słabsze od maksimów głównych (rys.4).
1.2. Zdolność rozdzielcza siatki.
Jak ju\
wspominaliśmy, siatkę dyfrakcyjną mo\
emy wykorzystać do rozdzielania fal o
ró\
nych długościach. Pytamy jaka mo\
e być najmniejsza ró\
nica między długościami fal  i  ,
aby mo\
na je było rozró\
nić za pomocą siatki dyfrakcyjnej? Wprowadz
my w tym celu pojęcie
zdolności rozdzielczej R, siatki, którą definiujemy jako:

R = , (8)
"
gdzie:   jest jedną z długości fali dwu linii widmowych a " =  -  jest ró\
nicą długości fal
między nimi.
 
Rys.5 Ilustracja kryterium Rayleigha.
Powszechnie stosowanym warunkiem na rozdzielanie dwóch fal o bliskich sobie
długościach jest tzw. kryterium Rayleigha, które mówi, \
e aby dwa maksima główne były
rozró\
niane, to odległość kątowa powinna być taka, aby minimum jednej linii przypadało
w maksimum drugiej linii rys.5). Jak wiemy, pierwsze minimum dyfrakcyjne wypada w odległości
Pomiar długości fali świetlnej za pomocą siatki dyfrakcyjnej i spektrometru
7
Ć = (2Ą/N) od maksimum głównego (zerowanie się licznika w równaniu (6)), taka ró\
nica faz
odpowiada ró\
nicy długości dróg optycznych (/N). A więc warunek na pierwsze minimum dla
widma m-tego rzędu mo\
emy zapisać:

d sin¸ = m + . (9)
N
Równocześnie dla fali o długości  musimy otrzymać w tym miejscu maksimum natę\
enia, czyli:
dsin¸ = m .
OdejmujÄ…c stronami te dwa wyra\
enia otrzymujemy po przekształceniu:

R = = mN (10)
"
gdzie: " =  -  , m jest rzędem widma, N jest liczbą szczelin.
Widzimy, \
e zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej jest tym większa im więcej biorących
udział w interferencji szczelin zawiera siatka i im wy\
szy jest rzÄ…d widma. Mo\
emy ten fakt Å‚atwo
sprawdzić, obserwując obrazy interferencyjne za pomocą spektrometru z siatką dyfrakcyjną,
którą oświetlamy lampą neonową. Prą\
ki w widmie drugiego rzędu są lepiej rozdzielone ni\

pierwszego, ale pojawia się pewna trudność w ich obserwacji, poniewa\
mają one słabsze
natÄ™\
enie w porównaniu z prą\
kami pierwszego rzędu. Dlaczego tak się dzieje?
Z dotychczasowych rozwa\
ań wynika, \
e wszystkie maksima główne powinny mieć takie
samo natÄ™\
enie. Pamiętajmy jednak, \
e wynik ten uzyskaliśmy zakładając, \
e szczeliny siatki sÄ…
na tyle wÄ…skie, \
e mo\
emy zaniedbać ró\
nice faz między punktami w obrębie jednej szczeliny. W
rzeczywistości warunek ten nie jest spełniony i musimy w naszych rozwa\
aniach uwzględnić
dyfrakcję na pojedynczej szczelinie. Aby otrzymać wzór na natę\
enie światła ugiętego na
pojedynczej szczelinie postępujemy podobnie jak w przypadku siatki dyfrakcyjnej. Dzielimy
szczelinę na M równych, bardzo wąskich pasków. Jeśli przechodzimy w granicy z M "
zachowując stałą ró\
nicę faz ą = MĆ między jednym brzegiem szczeliny a drugim, to kąt Ć we
wzorze (7) staje się tak mały, \
e słusznie jest przybli\
enie: sin(ą/M) ~ (ą/M). Wówczas I0 = I0 M2 
gdzie I0 jest natÄ™\
eniem światła wysyłanych przez jeden z pasków, na które podzieliliśmy
szczelinÄ™. Wyra\
enie na natÄ™\
enie światła ugiętego na pojedynczej szczelinie przyjmuje postać:
sin2 (Ä… / 2)
Idyf . = I0 , (11)
(Ä… / 2)2
gdzie: ą  oznacza ró\
nicę faz między promieniami pochodzącymi z dwóch brzegów szczeliny, I0 
jest natÄ™\
eniem światła wysyłanym przez jedną szczelinę.
Tak więc wzór na natę\
enie obrazu interferencyjnego z siatki dyfrakcyjnej będzie
zło\
eniem wzorów (7) i (11):
2
sin (NÕ / 2)
I = Idyf . . (12)
sin2 (Õ / 2)
Na rysunku (6) przedstawiono obraz interferencyjny dla siatki dyfrakcyjnej z N=5
szczelinami, z uwzględnieniem dyfrakcji na pojedynczej szczelinie, której szerokość a = d/3,
gdzie d  jest odległością między szczelinami. W tym przypadku łatwo zauwa\
yć, \
e ą = Ć/3, a
więc wyra\
enie (11) zmienia siÄ™ znacznie wolniej ni\
(7), dlatego otrzymujemy stopniowe
zmniejszanie się jasności prą\
ków dla dalszych części widma. Przedstawiony na rysunku 5 rozkład
natÄ™\
eń został otrzymany przy zało\
eniu idealnych szczelin o ostrych równoległych brzegach.
Poprzez odpowiedni dobór kształtu szczelin, mo\
emy znalez
ć postać czynnika modulującego, Idyf.,
we wzorze (12), na przykład w ten sposób aby lepiej widoczne były dalsze rzędy widma
posiadające lepszą zdolność rozdzielczą.
Pomiar długości fali świetlnej za pomocą siatki dyfrakcyjnej i spektrometru
8
Rys.6 Rozkład natę\
eń dla siatki dyfrakcyjnej w której szerokość szczeliny a = (d/3),
gdzie d jest odległością między szczelinami.
3. Wykonanie ćwiczenia
1. Włączyć lampę sodową i ustawić siatkę dyfrakcyjną na stoliku spektrometru prostopadle do
wiązki światła wychodzącej z kolimatora.
2. Zmierzyć kąty pod którymi widać kolejne rzędy widma, po prawej i lewej stronie względem
kierunku wiązki padającej. Jeśli kąty ugięcia mierzone po lewej i prawej stronie ró\
niÄ… siÄ™ o
więcej ni\
5 - nale\
y dokonać korekty ustawienia siatki.
śółty prą\
ek światła sodowego składa się w rzeczywistości z dwóch bardzo bliskich linii o
długościach fal: 1 = 589,6 nm i 2 =589,0 nm. Zaobserwować dla którego rzędu ugięcia
widoczny jest rozdzielony dublet sodowy.
3. Włączyć lampę neonową lub ksenonową (w zale\
ności od zaleceń prowadzącego) i wykonać
pomiary kątów dla obserwowanych prą\
ków.
4. Opracowanie wyników
1. Na podstawie pomiarów wykonanych z lampą sodową wyznaczyć stałą siatki (wzór (3)) oraz
jej błąd. Długość fali światła sodowego przyjąć równą Na= 589,3 nm.
2. Znając stałą siatki wyznaczyć długość fal wysyłanych przez atomy drugiego z gazów i obliczyć
błędy pomiarowe. Wyniki końcowe porównać z danymi tablicowymi.
3. Na podstawie pomiarów i obserwacji przeprowadzonych w p.3 w wykonaniu ćwiczenia,
wyznaczyć zdolność rozdzielczą siatki dyfrakcyjnej i obliczyć liczbę szczelin N biorących
udział interferencji (wzór (10)).
5. Pytania kontrolne
1. Kiedy mo\
emy zaobserwować obraz interferencyjny?
2. Podaj interpretację wzoru na poło\
enie maksimów natę\
eń obrazu interferencyjnego (wzór
3).
3. Co to jest zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej i w jaki sposób mo\
emy ją zwiększyć?
4. Dlaczego dalsze rzędy widma są coraz słabiej widoczne?
6. Literatura
1. D.Halliday i R.Resnick, Fizyka, PWN(1984 r.) t.II rozdział 46,47.
2. J.Orear, Fizyka, PWN (1990 r.) t.II rozdział 22.