POMOCE DYDAKTYCZNE
METODY OBLICZEC
STATYCZNYCH
FUNDAMENTÓW PALOWYCH
Autor opracownia:
Dr inż. Adam Krasiński
Konsultacja:
Prof. dr hab. inż. Andrzej Tejchman
Dr hab. inż. Kazimierz Gwizdała, prof. PG
Kierownik Katedry Geotechniki:
Prof. dr hab. inż. Bohdan Zadroga
Gdańsk, 2004
Obliczenia statyczne fundamentów palowych
A. Krasiński
Katedra Geotechniki Politechniki Gdańskiej; [e-mail]
1. WST
P
Fundamenty palowe, tak jak każde inne konstrukcje, wymagają odpowiednich obliczeń statycznych do właściwego
ich zaprojektowania. Obliczanie ich nastręcza zwykle więcej trudności niż innych konstrukcji ze względu na
współpracę pali z gruntem, który jest materiałem dużo mniej przewidywalnym i bardziej skomplikowanym w opisie
niż takie materiały jak beton czy stal. Obliczenia fundamentów palowych wykonuje się w celu określenia sił
wewnętrznych w palach i w konstrukcji oczepowej oraz przemieszczeń i odkształceń całego układu. Znaczny postęp
w metodach obliczeniowych nastąpił po wprowadzeniu komputerowych technik obliczeniowych. Postęp ten wynika
nie tyle z rozwoju wiedzy teoretycznej, bo ta była na wysokim poziomie już dużo wcześniej, co z pojawienia się
narzędzi, w postaci programów komputerowych, do rozwiązywania układów wielokrotnie statycznie niewyznaczal-
nych. Metody obliczeniowe dla fundamentów palowych możemy podzielić na dwie grupy:
1) metody klasyczne
2) metody numeryczne
W metodach klasycznych wprowadza się znaczne uproszczenia w schematach statycznych konstrukcji palowych,
pozwalające na wykonanie podstawowych obliczeń bez użycia komputera. Najpopularniejszą wśród nich jest
metoda sztywnego oczepu, w której uproszczenia polegają na modelowaniu oczepu za pomocą sztywnej bryły oraz
pali za pomocą wahaczy (prętów obustronnie przegubowych) lub za pomocą podpór sprężystych. Metodami kla-
sycznymi możemy nadal z wystarczającą dokładnością obliczać niektóre konstrukcje palowe płaskie i przestrzenne,
złożone z kilku lub kilkunastu pali. Bardziej szczegółowy opis w dalszej części artykułu.
Metodami numerycznymi możemy obliczać praktycznie wszystkie palowe układy konstrukcyjne, jeżeli dyspo-
nujemy odpowiednim programem komputerowym do obliczeń statycznych konstrukcji. Wykorzystuje się tutaj
typowe programy z mechaniki budowli do obliczania metodą przemieszczeń płaskich i przestrzennych układów
ramowych, rusztów belkowych oraz obliczania metodą elementów skończonych układów płytowych, płytowo-
prętowych, czy powłokowo-prętowych. Metodami numerycznymi możemy rozwiązywać również układy palowe
sprowadzone do schematów jak w metodach klasycznych (np. układy ze sztywnym oczepem). W zależności od
rodzaju rozwiązywanego zadania, pale w metodach numerycznych możemy modelować za pomocą prętów
współpracujących ze sprężystym lub sprężysto-plastycznym ośrodkiem gruntowym, za pomocą specjalnych prętów
zastępczych lub za pomocą pojedynczych podpór sprężystych liniowych lub liniowych i obrotowych.
2. METODA KLASYCZNA  SZTYWNEGO OCZEPU
W metodzie tej oczep palowy traktuje się jak nieskończenie sztywną bryłę, a pale wyraża się w postaci prętów
obustronnie przegubowych, liniowych podpór sprężystych lub połączenia jednych i drugich (rys. 1). Przy takim
założeniu z obliczeń można otrzymać jedynie rozkład sił osiowych w palach, a momenty zginające w palach
otrzymuje się zerowe. Siły wewnętrzne w oczepie można wyznaczyć metodą pośrednią, poprzez odwrócenie układu,
w którym siły w palach stają się obciążeniami działającymi na oczep. W niektórych przypadkach metoda sztywnego
oczepu jest wystarczająca do bezpiecznego obliczenia fundamentu palowego. Ma to miejsce np. w przypadku
masywnego oczepu (bloku lub grubej płyty) opartego na palach pionowych i obciążonego siłami pionowymi
i momentami lub w przypadku układów kozłowych obciążonych pionowo i poziomo, w których pale są faktycznie
połączone z oczepem przegubowo, w górnych odcinkach są wolne lub przechodzą przez bardzo słabe warstwy
gruntowe, a ich dolne końce są słabo utwierdzone w gruncie nośnym. Do pierwszej grupy możemy zaliczyć palowe
fundamenty blokowe i stopowe pod słupy, niektóre filary mostowe, słupy energetyczne itp., a do drugiej - pomosty,
pirsy, nabrzeża i inne konstrukcje portowe na palach.
1
Q Q Q Q
a) b) c) d)
"Lz=s
s=sb+"L �z=s s
podpora
pręt pręt
sprężysta
EAz EA
Kz
lub lub
Lz
pal
rzeczywisty
L
EA
L
sb
sb
Qb
Kzb
Rys. 1. Modele pali przyjmowane w metodzie sztywnego oczepu
Metodą sztywnego oczepu można obliczać proste układy palowe zarówno płaskie jak i przestrzenne obciążone
siłami pionowymi, poziomymi i momentami. Przy bardziej skomplikowanych układach nie można się już obejść bez
odpowiedniego programu komputerowego. Układy płaskie i przestrzenne możemy podzielić na statycznie wyzna-
czalne i statycznie niewyznaczalne. W układach statycznie wyznaczalnych sztywności osiowe pali EA lub sztyw-
ności podpór sprężystych Kz nie mają wpływu na rozkład sił. Natomiast w układach statycznie niewyznaczalnych
sztywności te odgrywają istotną rolę. Na sztywność osiową pala składa się sztywność pala w gruncie (związana
z osiadaniem sb) oraz sztywność własna trzonu pala (rys. 1a). W związku z tym w obliczeniach układów z palami
w postaci prętów należy stosować sztywności zastępcze pali EAz (rys. 1b), w przypadku układów z podporami
sprężystymi, sztywności tych podpór Kz lub Kzb (rys. 1c, d). Modele pali powinny się zachowywać podobnie jak pal
rzeczywisty, tzn. ulegać takim samym przemieszczeniom w głowicy (s = sb+"L) od działania tej samej siły Q.
Wartość s najlepiej jest wyznaczać z próbnych obciążeń statycznych lub z obliczeń osiadania pala pojedynczego,
a w przypadku większych grup palowych  z obliczeń osiadania pali w grupie (szerzej w pkt. 3.2).
Sztywność osiową pręta zastępczego wyznacza się z zależności:
Q Q �" Lz
"Lz = �" Lz = s EAz = [kN] (1)
EAz s
Sztywności podpór sprężystych zaznaczonych na rys. 1c i 1d wyznacza się ze wzorów:
Q Q
Kz = [kN/m] , Kzb = [kN/m] (2)
s sb
Skrócenie trzonu pala "L można w przybliżeniu określić ze wzoru:
Q + Qb
"L H" �" L (3)
2EA
Skrócenie to może odgrywać duże znaczenie np. w palach konstrukcji portowych i morskich, w których są duże
długości wolne pali oraz w palach opartych na skałach, w których osiadanie sb jest bardzo małe. Zwykle operuje się
całkowitym osiadaniem głowicy pala s, bez wnikania w podział na "L i sb. Przy braku dokładniejszych danych,
z pewnym przybliżeniem dla pala pojedynczego wciskanego można przyjąć, że przy nośności pala Nt jego osiadanie
wynosi s = 0.01D (D  średnica pala), co potwierdzają liczne wyniki próbnych obciążeń pali. Przy powyższych
założeniach wzory na sztywności EAz i Kz można oszacować następująco:
Nt �" Lz Nt
EAz = [kN] K = [kN/m] (4)
z
0.01D 0.01D
W przypadku pala wyciąganego, jego przemieszczenie przy mobilizacji nośności Nw niewiele zależy od średnicy D
w w
i wynosi sw = 3 � 5 mm. Sztywności EAz i Kz takiego pala można określić następująco:
w w
N �" Lz N
w w
EAz = [kN] Kz = [kN/m] (5)
sw sw
2
2.1. Układy płaskie
2.1.1. Układy dwu i trójpalowe
Układy płaskie dwu i trójpalowe są układami statycznie wyznaczalnymi i oblicza się je na podstawie prostych
równań równowagi układu sił zbieżnych i niezbieżnych. Rozwiązania mogą być analityczne lub graficzne.
Układy dwupalowe oblicza się tak jak układ sił zbieżnych, korzystając z dwóch równań równowagi: ŁX = 0 i ŁY = 0
lub metodą graficzną (rys. 2). Konstrukcje dwupalowe, których pale i obciążenia nie zbiegają się w jednym punkcie,
przy założeniu pali jako prętów obustronnie przegubowych są geometrycznie zmienne i od strony teoretycznej
niemożliwe do obliczenia. Gdy w rzeczywistości pale są sztywno połączone z oczepem lub gdy są odpowiednio
utwierdzone w gruncie, takie układy przestają być statycznie chwiejne, jednak ich obliczenie nie może być
wykonane metodą sztywnego oczepu chyba, że mamy do czynienia z fundamentem na dwóch palach pionowych,
obciążonych tylko siłami pionowymi. Wówczas układ taki można obliczyć według procedury podanej na rys. 5.
Układy trójpalowe oblicza się jak układ sił niezbieżnych, korzystając z trzech równań równowagi: ŁX = 0,
ŁY = 0 i ŁM = 0 lub graficznie, jak na rys. 2.
rozwiązanie graficzne:
schemat
V
Q
H
V
Q
N1
N2
H
N2
rozwiązanie analityczne:
N1
ŁX = 0
N1, N2
ŁY = 0
Rys. 2. Rozwiązywanie płaskiego układu dwupalowego, zbieżnego
schemat rozwiązanie graficzne:
ŁV
N1
Q
ŁM0
Q z
z
ŁH
0
N2
N3
N1 N3
N2
EB
rozwiązanie analityczne:
Ł X = 0
N1, N2, N3
Ł Y = 0
Ł M = 0
Rys. 3. Rozwiązywanie płaskiego układu trójpalowego, niezbieżnego
Rozwiązania niektórych układów trójpalowych według założeń metody sztywnego oczepu mogą czasami dawać
dość paradoksalne wyniki. Świadczy o tym przykład pokazany na rys. 4, przedstawiający konstrukcję palową
przypominającą fundament przyczółka mostowego lub konstrukcji oporowej. Paradoksem wydaje się tutaj siła
wyciągająca w palu nr 1 i bardzo duża siła wciskająca w palu nr 2. Obliczenia tego samego układu, ale przy
przyjęciu sztywnego połączenia pali z oczepem oraz sprężystej współpracy pali z gruntem (metodą uogólnioną) dały
zupełnie inny rozkład sił w palach, bardziej odpowiadający rzeczywistości i przede wszystkim bardziej racjonalny.
Z przykładu tego nasuwa się istotny wniosek, że metoda sztywnego oczepu z palami w postaci prętów obustronnie
przegubowych nie powinna być raczej stosowana do układów palowych z palami ukośnymi, obciążonych siłami
pionowymi i poziomymi. Potwierdzi to również przykład przedstawiony w końcowej części artykułu.
3
rozwiązanie graficzne:
rozwiązanie metodą
uogólnioną:
Q
N3
schemat
z
z 149 140 140
N2
ŁV
N1
ŁM0 Q
ŁH
65 64 65
Q
0.65 2.20 1.50 0.65
N1
EB = 0.65 M [kNm]
N3
dla Q = 1000 kN:
N [kN]
N1 = 1070 kN (wyciąganie)
N2
N2 = 4100 kN (wciskanie)
N1=597 N2=350
N3 = 2100 kN (wyciąganie) N3=30
Rys. 4. Przykład bardzo nieracjonalnego rozkładu sił w palach otrzymanego z obliczeń metodą sztywnego oczepu
2.1.2. Układy wielopalowe
Układy wielopalowe (więcej niż trójpalowe) są układami statycznie niewyznaczalnymi, w których liczba niewia-
domych jest większa niż równań równowagi. Dawniej do obliczania takich złożonych układów, obciążonych piono-
wo i poziomo stosowana była metoda N�ekkentveda, która w swojej pierwotnej wersji jest na dzień dzisiejszy mało
praktyczna ze względu dużą pracochłonność. Obecnie układy takie, można bardzo szybko obliczać za pomocą prog-
ramu komputerowego do obliczeń płaskich układów ramowych, przygotowując schemat statyczny (rys. 5) z zacho-
waniem tych samych założeń co w metodzie N�ekentvedta.
schemat
V1
V2
q
ŁV
rozwiązanie :
M1
H1
ŁM0
EJ="
H2
ŁH 1) metoda klasyczna
np. wg N�kkentveda
N1
N3
2) metoda numeryczna
N4 N5
np. programem komputerowym
EAz1 EAz3 EAz5
N2
EAz4
do statyki układów prętowych
EAz2
Rys. 5. Rozwiązywanie złożonego płaskiego układu wielopalowego metodą sztywnego oczepu
Niektóre szczególne przypadki układów wielopalowych można obliczać dużo prościej, bez korzystania z metody
N�ekkentveda, czy z programu komputerowego. Do takich przypadków możemy zaliczyć układy z pionowymi
palami, obciążone siłami pionowymi i momentami. Procedurę obliczeniową dla takich układów przedstawiono na
rysunku 6.
rozwiązanie:
V1 V2
q
ŁV
schemat
V M
" "
M1
0
ŁM0
N = EAzj + �" EAzj �" x
j j
EAzi " (EAzi �" xi2 )
"
0
0
Uwagi:
N1 N2 N3 N4
Lz EAz EAz EAz3 EAz4
1) punkt  0  środek geometryczny układu pali
2) w przypadku podpór sprężystych w miejsce
x2 x3
x4
x1
EAzi należy wstawić sztywności Kzi.
x(-) x(+)
Rys. 6. Rozwiązywanie metodą sztywnego oczepu płaskiego układu z palami pionowymi
4
Możliwym do szybkiego rozwiązania jest również układ obciążony pionowo i poziomo z kilkoma palami piono-
wymi i z jednym palem ukośnym (rys. 7). W takim układzie wiadomo, że obciążenia poziome przejęte zostaną tylko
przez pal ukośny, a właściwie jego składową poziomą. Siłę w tym palu wyznacza się z równowagi sił poziomych
ŁX = 0, a następnie składową pionową tej siły przykłada się do układu jako dodatkową siłę zewnętrzną, i dalej
całość oblicza się jak układ z palami pionowymi, według procedury przedstawionej na rys. 6.
schemat obliczeniowy
V1 schemat zmodyfikowany
V2
q
ŁV
V1
V2
H1
ŁM0
N5v
q
EJ="
H2
0
x02 x03
N1 N2 N3 N4 N5
x01 x04
EAz1 EAz2 EAz3 EAz4
EAz1 EAz2 EAz3 EAz4
ą
 0  środek układu pali
składowa pionowa
siła w palu ukośnym
H
H v "
"
N5 = N5 �"cosą =
N5 =
tgą
sin ą
Rys. 7. Rozwiązywanie metodą sztywnego oczepu płaskiego układu palowego z jednym palem ukośnym
2.2. Układy przestrzenne
Trójwymiarowe układy palowe z palami pionowymi oraz obciążone pionowo i momentami można obliczyć jak
analogiczne układy płaskie, według procedury przedstawionej na rys. 8. W układach niesymetrycznych we wzorze
na wyznaczanie sił w palach Nj należy uwzględniać dewiacyjny moment bezwładności układu pali Jxy. W przypadku
symetrii układu przynajmniej względem jednej z osi X lub Y wzór ulega znacznemu uproszczeniu.
Y0
Rozwiązanie:
Położenie środka układu pali:
2 2
(xi �" ki ) ( yi �" ki )
" "
2 2
x0 = y0 =
ŁMy0
ki ki
" "
X0 Momenty bezwładności:
ŁMx0
0
ŁV
2 2
J = (ki �" x0i ) , J = (ki �" y0i ) J = (ki �" x0i �" y0i )
" " "
y
0j x y xy
Siła w palu  j :
y
0
x y
i i
x0j
V �" k M �" J + M �" J M �" J + M �" J
j x xy y x y xy x y
N = + �" k x0 j - �" k y0 j [kN]
j j j
2 2
ki J x �" J y - J
" J �" J - J
xy x y xy
x
0
W przypadku układu symetrycznego:
Przyjęto następujące podstawienia:
V �" k M
M
j y
x
N = + �" k x0 j - �" k y0 j [kN]
j j j
V = V , M = M , M = M
" " "
x x0 y y0 ki J J
"
y x
EAzi Kzi
ki = lub ki =
1kN 1kN / m
Rys. 8. Rozwiązywanie metodą sztywnego oczepu trójwymiarowego układu z palami pionowymi
Przestrzenne układy palowe z palami ukośnymi, obciążone pionowo i poziomo oraz w przypadku symetrii wzglę-
dem przynajmniej jednej z osi X lubY można z pewnym przybliżeniem obliczyć rozkładając układ na dwa układy
płaskie  w kierunku X-X i w kierunku Y-Y (rys. 9). Po obliczeniu sił w palach w obu układach płaskich należy
dokonać superpozycji odpowiednich sił według procedury podanej na rysunku 9. Przy dokonywaniu superpozycji
należy pamiętać, że nie można dublować obciążeń, dlatego obciążenia pionowe należy zadać tylko w jednym z ukła-
dów płaskich.
Bardziej skomplikowane przestrzenne układy palowe, a szczególnie niesymetryczne, nawet przy zastosowaniu
uproszczeń i założeń metody sztywnego oczepu, należy obliczać wyłącznie za pomocą programów komputerowych
do przestrzennej analizy konstrukcji prętowych lub płytowo-prętowych. Uproszczenia polegające np. na rozkładzie
na układy płaskie mogłyby doprowadzić do wyników zbyt odbiegających od rzeczywistości.
5
Y0
i=4
ŁMy0
i=3
ŁMx0 X0
ŁHx 0
ŁV
i=2
ŁHy
i=1
j=1 j=2 j=3
Superpozycja:
Układ X - X
Niy N
jx
Nij = + [kN]
ŁMy0 ŁMy0 3 4
ŁHx ŁHx
Uwaga:
Liczby 3 i 4 odnoszą się do przedsta-
wianego przykładu i oznaczają liczbę
pali w kierunku X i Y
N1x N2x N3x
4 pale 4 pale 4 pale
j=1 j=2 j=3
Rys. 9. Propozycja rozwiązywania układu palowego trójwymiarowego poprzez rozłożenie na dwa układy płaskie
3. METODY NUMERYCZNE
Metody numeryczne pozwalają na dużo dokładniejszą analizę układów palowych i stosowanie schematów bardziej
zbliżonych do rzeczywistości niż opisane wyżej metody klasyczne. W zależności od rodzaju konstrukcji i charakteru
obciążeń możemy tutaj zastosować mniej lub bardziej zaawansowane schematy: od płyt i belek na podporach
sprężystych, poprzez płaskie układy ramowe lub przestrzenne płytowe, z palami jako prętami współpracującymi ze
sprężystym lub sprężysto-plastycznym ośrodkiem gruntowym, aż po metodę elementów skończonych, w której
grunt modelowany jest jako ośrodek ciągły, współpracujący z palami według określonego prawa konstytutywnego.
Ta ostatnia  metoda elementów skończonych  nie jest jeszcze w obliczaniu układów palowych zbyt rozpowszech-
niona, ze względu na przestrzenny charakter oddziaływania pala na grunt, trudny do wymodelowania. Większość
współczesnych programów komputerowych MES z dziedziny geotechniki ogranicza się do układów w płaskim
stanie odkształcenia. Procedury i rozwiązania MES dla układów przestrzennych (nie osiowosymetrycznych) są
dopiero w fazie badań i rozważań naukowych.
Metody numeryczne pozwalają na otrzymywanie kompletnych wyników obliczeń, zawierających zarówno siły
i momenty w palach, siły wewnętrzne w oczepach i w innych pozostałych elementach konstrukcji (przy włączeniu
tych elementów do współpracy) oraz przemieszczeń i odkształceń całych układów.
3.1. Metoda sprężystego oczepu na podporach sprężystych
W metodzie tej pale modeluje się podobnie jak w metodzie sztywnego oczepu, tzn. za pomocą wahaczy lub podpór
sprężystych, natomiast oczep modeluje się o rzeczywistej sztywności. Taką metodę należy zastosować wówczas,
gdy w konstrukcji palowej oczep jest odkształcalną belką lub płytą. W praktyce takimi konstrukcjami są np. belki
poddz
wigowe na palach, ruszty belkowe pod budynki murowane, konstrukcje słupowe lub szkieletowe oraz płyty
fundamentowe na dużej liczbie pali pod zbiorniki, silosy lub inne konstrukcje budowlane. Zastosowanie
w obliczeniach sprężystego oczepu jest w takich przypadkach bardzo istotne dla uzyskania zbliżonego do
rzeczywistości rozkładu sił w palach oraz sił wewnętrznych w oczepach.
6
x0
x0
Ł
M
Ł
M
Ł
V
Ł
V
y
y
Uk
ł
ad Y - Y
Ł
H
Ł
H
1y
2y
3y
4y
3 pale
3 pale
3 pale
3 pale
N
N
N N
i=1
i=2
i=3
i=4
Rowiązywanie układów ze sprężystym oczepem najlepiej jest wykonywać za pomocą typowych programów
komputerowych z mechaniki budowli. W przypadku belek lub rusztów na niewielkiej liczbie pali można stosować
inne, klasyczne metody obliczeń, jednak są one pracochłonne i mniej dokładne. W przypadku dość regularnych
belek na podporach stałych istnieją stabelaryzowane rozwiązania (np. tablice Winklera). W przypadku belek na
podporach sprężystych, takich rozwiązań nie ma. Opracowanie ich byłoby zresztą trudne, ponieważ w takich sche-
matach wyniki uzależnione są od relacji pomiędzy sztywnością podpór Kz i sztywnością giętną belek EJ. Mimo to
w praktyce spotykane są przypadki wykorzystywania tablic Winklera do obliczania belek na palach oraz generalnie
obliczania sprężystych fundamentów na palach jak konstrukcji na podporach stałych. Obliczenia takie dają wyniki
dużo odbiegające od rzeczywistości i szczególnie w odniesieniu do momentów zginających w oczepach zaniżone
wartości momentów dodatnich. Dla podkreślenia istoty błędnego modelowania sprężystych fundamentów na palach
za pomocą belek lub płyt na stałych podporach przedstawiono obrazowo na rys. 10. W przykładzie A pokazano, że
w przypadku gdy siła zewnętrzna działa na fundament dokładnie nad palem, to w schemacie z podporami stałymi
cała wartość tej siły przekazuje się na ten jeden pal, a pozostałe pale pozostają nie obciążone i nie ma również
zginania oczepu. W rzeczywistości wiadomo, że będzie w przybliżeniu tak jak przedstawiono na schemacie z pod-
porami sprężystymi. W przykładzie B natomiast pokazano, że w przypadku gdy siła zewnętrzna działa w przęśle
między palami, to dwa najbliższe pale obciążone będą dużymi siłami wciskającymi, a następne pale  siłami wy-
ciągającymi. Ponadto otrzymuje się w oczepie zawyżone momenty podporowe (nad palami) a zaniżone w przęśle.
Tu podobnie bliższe prawdy są wyniki otrzymane dla schematu z palami w postaci podpór sprężystych. Zarówno
w przykładzie A jak i B na ostateczny obraz wyników duży wpływ ma wzajemna relacja pomiędzy sztywnością pali
i sztywnością oczepu.
V V
A)
Kz Kz Kz Kz Kz
0 0 0 0
[ M ] [ M ]
[ R ] [ R ]
R1`"0 R5`"0
0 0 0 0
R3=V
R2>0 R4>0
ŁR = V
R3
B) V
V
Kz Kz Kz Kz
[ M ] [ M ]
[ R ]
R1 R1 [ R ]
R1 R4
Ma
R2 R3
R2 Mb R3
ŁR = V
R2+R3 > V
Mb>Ma
Rys. 10. Zobrazowanie istoty błędnego obliczania fundamentów palowych jako belek (płyt) na podporach stałych
3.2. Obliczanie fundamentów palowych
z uwzględnieniem nierównomiernej sztywności osiowej pali
W omawianych w poprzednim punkcie obliczeniach metodą sprężystego oczepu często stosuje się jednakowe
charakterystyki dla wszystkich podpór sprężystych, modelujących pale i oszacowane w dość przybliżony sposób, na
podstawie np. osiadania pala pojedynczego. W rzeczywistości charakterystyki te dla poszczególnych pali w funda-
mencie mogą się między sobą znacznie różnić i dużo odbiegać od wartości ustalonej na podstawie osiadania pala
pojedynczego. Chodzi tu o zjawisko wzajemnego oddziaływania na siebie pali pracujących w grupie i związanego
z tym zwiększonego i nierównomiernego ich osiadania. Pale skrajne, znajdujące się na obrzeżach grupy (fundamen-
tu) osiadają mniej, a pale wewnątrz grupy osiadają więcej. Tym samym zmieniają się oraz ulegają zróżnicowaniu
sztywności podłużne pali i określone wzorem (2) sztywności podpór sprężystych. Pale zewnętrzne stają się sztyw-
niejsze, a pale wewnętrzne mniej sztywne. Na ostateczny rozkład osiadania pali w grupie ma wpływ również
sztywność oczepu, który w dużej mierze krępuje nierównomierność tego osiadania, co jednak odbywa się kosztem
zwiększonych w nim momentów zginających i większym jego ugięciem. Również zmianie ulega rozkład sił
w palach w stosunku do przypadku z palami o jednakowych sztywnościach. Ideowo zjawisko nierównomiernego
osiadania pali w grupie i wpływ tego zjawiska na zginanie płyty fundamentowej oraz rozkład sił w palach
zilustrowano na rys. 11.
7
q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
s
s 7
s 6
1 s
2
s s
3 5
s
4
Kz1 Kz2 Kz3 Kz4 Kz5 Kz6 Kz7
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7
[M]
(7)
(1)
(2) (6)
(3) (5)
(4)
Rys. 11. Wpływ nierównomiernego osiadania pali w grupie na pracę całego fundamentu
Procedurę obliczania fundamentów palowych z uwzględnieniem nierównomiernej sztywności pali opisano między
innymi w pracach zespołu naukowego, którego autor jest członkiem (Krasiński i inni,1998; Tejchman i inni 2002,
2004). Właściwe określenie charakterystyk podpór sprężystych reprezentujących pale w grupie jest zagadnieniem
trudnym. Wyznacza się je na podstawie obliczeń osiadania pali w grupie i główna trudność związana jest z oszaco-
waniem tych osiadań. Zagadnienie osiadania pali pojedynczych oraz grup palowych zostało szczegółowo omówione
w referacie K. Gwizdały i I. Dyki. Do dnia dzisiejszego nie zostało ono wystarczająco rozwiązane i jest nadal przed-
miotem badań i analiz wielu badaczy na całym świecie.
Poniżej, na rys. 12 przedstawiono przykładowy fundament płytowy na palach dużego zbiornika stalowego na
materiały płynne, dla którego wykonano porównawcze obliczenia metodą sprężystego oczepu na podporach
sprężystych o jednakowych sztywnościach, określonych na podstawie osiadania pala pojedynczego oraz na
podporach o nierównomiernych sztywnościach, określonych na podstawie osiadania pali w grupie. Obliczenia
osiadań pali wykonano według propozycji polskiej normy PN-83/B-02482. Dla równomiernego obciążenia
wszystkich pali siłami Qi = 625 kN otrzymano osiadanie pala pojedynczego s1 = 3.7 mm, a osiadanie pali w grupie
si = 19.4 � 24.5 mm. Obliczone następnie odpowiadające wartości sztywności podpór sprężystych Kz1 i Kzi wprowa-
dzono do odpowiednich schematów statycznych fundamentów (rys. 13).
Dzb = 15.8 m
płaszcz zbiornika
18 19
q = 70 kN/m2
płyta, h = 0.9 m
20
17
ą 0.0
7 8
6 9
Pd, ID = 0.35
16 21
E0 = 35 MPa
2 - 3.0
zwg
15 10 22
5 3
1
T/Nm
3.0 3.0 1.8
E0 = 1.5 MPa
14 4 11
- 8.0
28 23
13 12
27
24 Pd, ID = 0.50
E0 = 50 MPa
26
25
- 13.0
DF = 17.0 m
pale Vibro-Fundex
Ć456mm, L = 12.0 m
Rys. 12. Przyjęty do analizy przykładowy fundament palowy zbiornika stalowego
8
a) b) q + gpł
q + gpł
Kz [kN/m]
Q [kN]
M [kNm/m]
Rys. 13. Wyniki obliczeń płyty fundamentowej zbiornika posadowionego na grupie pali:
a) przy założeniu jednakowych sztywności podpór sprężystych na podstawie osiadań pali pojedynczych,
b) przy założeniu nierównomiernej sztywności podpór sprężystych na podstawie osiadania pali w grupie.
Przedstawione na rys. 13 wykresy momentów zginających w płycie fundamentowej i rozkłady sił w palach wyka-
zują istotne różnice w wynikach obliczeń dla jednego i drugiego schematu. W schemacie b) otrzymano o kilka-
dziesiąt procent większe wartości momentów zginających w płycie niż w schemacie a). W odniesieniu do sił
w palach  w schemacie a) większe siły otrzymano w palach środkowych, a mniejsze w palach na obrzeżach płyty,
a odwrotnie w schemacie b).
Biorąc pod uwagę, że nierównomierne i zwiększone osiadanie pali w grupie jest faktem udowodnionym
naukowo, schemat b) grupowego fundamentu palowego ze sprężystymi podporami o zróżnicowanej sztywności Kzi
należy uznać za bardziej odpowiadający rzeczywistości i bardziej miarodajny tym bardziej, że daje bardziej
niekorzystne wyniki obliczeń. Zdarzają się jednak przypadki, w których nie jest z góry określone, który ze
schematów jest bardziej niekorzystny dla konstrukcji fundamentu. Wtedy należy równolegle przeanalizować oba
schematy, gdyż nie mamy pewności, który z nich w rzeczywistości wystąpi.
Uwzględnianie wzajemnego oddziaływania pali na siebie i nierównomiernego ich osiadania w grupie jest
szczególnie istotne w obliczeniach fundamentów płytowych i rusztów belkowych opartych na dużej liczbie pali,
a głównie fundamentów zbiorników, silosów, kominów, budynków wysokich i fundamentów płytowych o znacz-
nych wymiarach w planie. Na marginesie można dodać, że identyczną procedurę obliczeniową należy stosować do
podobnych fundamentów posadowionych bezpośrednio (Gwizdała i inni, 2001).
Nierównomierna sztywność osiowa pali może wynikać również z innych powodów, np. z nierównomiernych
warunków gruntowych, z różnej długości pali lub różnych średnic pali, czy też z niejednakowej jakości wyko-
nawstwa pali. W sytuacjach, w których mogą wystąpić takie powody należy nierównomierność sztywności pali
uwzględniać w obliczeniach fundamentów.
3.3. Obliczanie konstrukcji palowych metodą współpracy pali
ze sprężysto-plastycznym ośrodkiem gruntowym
W scharakteryzowanych wyżej metodach obliczeniowych sztywnego oczepu i sprężystego oczepu, pale wyrażano
w sposób uproszczony za pomocą prętów obustronnie przegubowych lub podpór sprężystych. W wynikach obliczeń
dla pali otrzymywano więc tylko siły osiowe bez momentów zginających (a właściwie zerowe momenty zginające).
Takie założenie sprowadzało fundament palowy do ramy płaskiej lub przestrzennej, w której pale zachowywały się
jak pręty znajdujące się w ośrodku, nie wykazującym żadnej reakcji na przemieszczanie się w nim konstrukcji (jak
np. w wodzie czy powietrzu). Uwzględniana jest tylko reakcja ośrodka na przemieszczenia podłużne pali.
W rzeczywistości pale zagłębione są w gruncie i otoczone gruntem, który jest ośrodkiem o określonej sztyw-
ności i reagującym na przemieszczenia zagłębionej w nim konstrukcji. Ta reakcja gruntu sprawia, że trzony pali
ulegają również zginaniu, nawet przy przegubowym ich połączeniu z oczepem oraz, że duża część obciążeń pozio-
mych działających na fundament jest przejmowana przez tę reakcję. Wpływa to znacząco na ogólną pracę całej kon-
strukcji.
W związku z powyższym opracowano metody obliczeniowe uwzględniające współpracę pali ze sprężystym lub
sprężysto-plastycznym ośrodkiem gruntowym. W Polsce prekursorem takiej metody jest M. Kosecki, który w swo-
jej pracy (Kosecki 1988) przedstawił obszerny i szczegółowy opis procedury obliczania ustrojów palowych tzw.
metodą uogólnioną. Metodę tę opisano również w Wytycznych IBDiM (1993). W niniejszym artykule przedsta-
wiono ogólną i skróconą charakterystykę tej metody wraz z przykładem obliczeniowym. W celu bardziej szczegóło-
wego zapoznania się z metodą odsyła się czytelników do z
ródłowych opracowań i publikacji M. Koseckiego.
9
z
z
z
z
z
z
K =31870
K =27650
K =25650
K =25650
K =27650
K =31870
z
z
z
z
z
z
K =169000
K =169000
K =169000
K =169000
K =169000
K =169000
34
34
75
75
180
180
120
253
145
145
288
288
195
195
Q = 744
-134
Q = 744
-134
Q = 690
Q = 690
Q = 663
Q = 663
Q = 659
-112
Q = 757
-35
Q = 808
-85
Q = 808
-85
Q = 757
-35
Q = 659
-112
W metodzie uogólnionej współpracę pala z ośrodkiem gruntowym wyraża się za pomocą układu podpór sprężystych
gęsto rozstawionych wzdłuż pobocznicy pala i podpór sprężystych w podstawie (rys. 14). Wzdłuż pobocznicy
umieszcza się w węzłach podpory sprężyste prostopadłe do pobocznicy o sztywnościach kxi i styczne do pobocznicy
o sztywnościach kti. Rozstaw podpór (i węzłów), zaleca się przyjmować co około 0.5 m. Podpory prostopadłe
wyrażają reakcję gruntu na przemieszczenia poprzeczne pali, a podpory styczne  reakcję gruntu na przemiesz-
czenia podłużne pali. W podstawie pala umieszcza się podporę sprężystą osiową względem pala o sztywności Kp,
prostopadłą o sztywności Kb i podporę na obrót o sztywności Kr.
Przedstawiony model pala bardzo dokładnie odwzorowuje jego rzeczywistą współpracę z ośrodkiem grunto-
wym, jednak jest bardzo żmudny w przygotowywaniu. Zdaniem autora, dla celów projektowych w większości
przypadków można uznać za mało znaczące i zrezygnować z charakterystyk utwierdzenia podstawy pala Kr i Kb
oraz z podpór sprężystych stycznych wzdłuż pobocznicy pala o sztywnościach kti. Globalną sztywność osiową
gruntu względem pala można wówczas wyrazić za pomocą pojedynczej podpory podłużnej pod podstawą o sztyw-
ności Kz, a wzdłuż pobocznicy zostawić tylko podpory poziome (kxi) (rys. 14c). Podpora sprężysta pod podstawą
pala (Kz ) powinna być zawsze ustawiono osiowo względem pala.
kxi
kxi
kti
pręt pręt
EAp, EJp EAp, EJp
pal
rzeczywisty
E, Ap, Jp
Kb
Kr
Kz
Kp
Rys. 14. Model pala przyjmowany do obliczeń metodą uogólnioną (Kosecki, 1988)
3.3.1. Wyznaczanie sztywności podpór sprężystych kxi i Kz
Sztywności kxi podpór sprężystych prostopadłych do pala wyznacza się na podstawie wartości i rozkładu modułu
reakcji poziomej gruntu Kx, którego wartość w warstwie  j oblicza się ze wzoru:
K = n1 �" n2 �" Snj �" � �" � �" E0 j [kPa] (6)
xj j
w którym:
n1, n2  współczynniki zależne od rozstawu pali i liczby rzędów pali w ustroju, według wzorów (7),
Snj  współczynnik technologiczny,
�  współczynnik zależny od kształtu poprzecznego pala,
�j  współczynnik uwzględniający wpływ długotrwałości działania obciążeń i obciążeń powtarzalnych,
E0j  pierwotny moduł odkształcenia ogólnego gruntu w warstwie  j .
Współczynniki n1 i n2 oblicza się według wzorów, zawartych w normie palowej PN-83/B-02482:
R1 (1 - �) �" (R2 - D)
n1 = d" 1.0 , n2 = � + d" 1.0 (7)
D0 1.8 �" D0
gdzie:
R1 i R2  rozstaw osiowy pali w kierunku odpowiednio prostopadłym i równoległym do kierunku działania
obciążenia poziomego (rys. 15),
D0  zastępcza średnica pala, dla pali o D d" 1.0 m D0 = 1.5D + 0.5m,
a dla pali o D > 1.0 m D0 = D + 1.0m
�  współczynnik zależny od liczby szeregów pali prostopadłych do kierunku działania obciążenia,
według rys. 15.
10
rząd I rząd II rząd III
kierunek obciążenia
poziomego
R1
Liczba
rzędów pali �
R1 D
1 1.0
kierunek obciążenia
2 0.6
poziomego
3 0.5
R1
e" 4 0.45
R2 R2
R2 R2
Rys. 15. Wielkości do wzorów (7) na współczynniki n1 i n2
W przypadku pali kozłowych przyjmuje się: n1 = 1.0 i n2 = 1.0.
Współczynnik technologiczny Sn zależy od technologii wykonywania pali i rodzaju gruntów:
 pale prefabrykowane wbijane w gruntach niespoistych: Sn = 1.1
 pale prefabrykowane wwibrowywane w gruntach niespoistych:  ID > 0.33 Sn = 1.1
 ID d" 0.33 Sn = 1.2
 pale monolityczne wbijane: Sn = 1.15
 pale monolityczne wiercone: Sn = 0.9
 pozostałe przypadki pali: Sn = 1.0
Współczynnik kształtu � uwzględnia przestrzenny charakter reakcji gruntu przed palem, który zależy od kształtu
przekroju poprzecznego pala:
 dla pali o przekroju prostokątnym (również pale z profili dwuteowych): � = 1.4
 dla pali o przekroju kołowym: � = 1.2
 dla ścin szczelnych, szczelinowych i palisad ciągłych: � = 1.0
Współczynnik � < 1.0 należy przyjmować w przypadku konstrukcji stałych i narażonych na działanie obciążeń
długotrwałych lub powtarzalnych, według poniższych propozycji:
 grunty niespoiste o ID > 0.67 i spoiste o IL d" 0.0: � = 0.65
 grunty niespoiste o ID = 0.33 � 0.67 i spoiste o IL = 0.0 � 0.25: � = 0.45
 grunty niespoiste o ID = 0.20 � 0.33 i spoiste o IL = 0.25 � 0.50: � = 0.35
 pozostałe grunty w tym grunty organiczne: � = 0.30
W przypadku konstrukcji tymczasowych i przy obliczaniu pośrednich etapów realizacji konstrukcji można
przyjmować � = 1.0.
Obliczona według wzoru (6) wartość modułu Kx jest wartością maksymalną, która mobilizuje się dopiero na pewnej
głębokości krytycznej zc, mierzonej od pierwotnego poziomu terenu lub zastępczego poziomu interpolacji. Do głę-
bokości zc wartość Kx rośnie liniowo od zera do Kx według (6), a głębiej pozostaje już stała (rys. 16).
zc1
Warstwa 1
h1 (słaba) ł1,
hz Kx1
zc zc2
Warstwa 2
(nośna) ł2,
ł1 �" h1
Kx2
hz = 0.65
ł2
Kx
Rys. 16. Interpolacja modułu reakcji poziomej gruntu Kx po głębokości
Wartość zc zależy od spoistości gruntu i można w przybliżeniu przyjmować:
 dla gruntów niespoistych: zc = 5.0 m
 dla gruntów małospoistych: zc = 4.0 m
 dla gruntów średnio spoistych: zc = 3.0 m
 dla gruntów zwięzło spoistych: zc = 2.0 m
 dla gruntów bardzo spoistych i organicznych: zc = 1.0 m
11
Przeliczanie modułu reakcji poziomej gruntu Kx na sztywności podpór sprężystych kx odbywa się na podobnej zasa-
dzie jak zamiana obciążenia ciągłego na układ sił skupionych (rys. 19):
kxi = Kxi �" ai [kN/m] (8)
Sztywność Kz podpory sprężystej pod podstawą pala należy wyznaczać według takich samych zaleceń jak w oma-
wianych wyżej metodach sztywnego i sprężystego oczepu  wzory (2), (4), (5), a w przypadku dużych grup
palowych i wzajemnego oddziaływania pali na siebie  według zaleceń podanych w pkt. 3.2.
3.3.2. Reakcje graniczne podpór sprężystych
Przy dużych przemieszczeniach ustroju palowego w niektórych podporach sprężystych mogą się wzbudzić reakcje
przekraczające graniczny opór gruntu w danym rejonie. Po przekroczeniu tego oporu dalsze przemieszczenia kon-
strukcji odbywają się już bez przyrostu reakcji gruntu. W rejonie tym następuje uplastycznie gruntu. W obliczeniach
do celów projektowych wystarczające jest przyjęcie najprostszego modelu sprężysto-plastycznego reakcji gruntu,
przedstawionego na rys. 17.
R [kN]
R
gr
stan plastyczny
stan sprężysty
k
x
R = k �"� d" R
x gr
k [kN/m]
x
1
� � [m]
gr
Rys. 17. Schemat modelu sprężysto-plastycznego reakcji gruntu
Obliczeniowy graniczny opór boczny gruntu w warstwie  j na głębokości z można wyznaczyć za pomocą wzoru:
2
q(r) (z) = mi �" Snj �" D(r) �"[�ł(zr) �" Kqj + c(jr) �" Kcj ] [kN/m] (9)
xgrj
w którym:
mi  współczynnik korekcyjny według normy palowej równy 0.8 dla gruntów niespoistych
i 0.7 dla gruntów spoistych,
D(r)  obliczeniowa średnica zastępcza pala, według wzoru (10),
2
�ł(zr )  składowa pionowa obliczeniowego naprężenia efektywnego w gruncie na głębokości z,
c(jr )  obliczeniowa spójność gruntu w warstwie  j ,
Kqj ,Kcj  współczynniki oporu poziomego gruntu, odczytywane z nomogramów Brinch Hansena
(Kosecki, 1988, Wytyczne IBDiM, 1993) na rys. 18.
Obliczeniowe wartości parametrów gruntów proponuje się przyjmować następująco:
Ć( r ) = łm �" Ć( n ) , ł( r ) = łm �" ł( n ) , c( r ) = 0.4 �" c( n )
Współczynnik materiałowy łm należy przyjmować z dokumentacji geotechnicznej, a w przypadku metody B wyzna-
czania parametrów geotechnicznych przyjmuje się łm = 0.9.
Przy określaniu średnicy zastępczej pala D(r), uwzględnia się przestrzenny charakter oporu poziomego gruntu przed
palem i nachodzenie na siebie stref oddziaływania na grunt sąsiednich pali. Średnicę tę wyznacza się ze wzoru:
D( r ) = n1 �" n2 �" n3 �" D0 (10)
w którym:
n3 = 1.0 dla pali o przekroju prostokątnym oraz n3 = 0.85 dla pali o przekroju kołowym.
12
Kq Kc
100 400
80
Ć(r)=
Ć(r)=
60
45� 45�
40 200
40�
40�
20 100
35�
35�
80
60
30�
10
30�
8
40
25�
6 25�
20�
20�
20
4
15�
15�
10�
2 10
5�
10�
8 0�
6
1
4
0.8
5�
0.6
z/D z/D
0.4 2
0 4 8 12 16 20 0 4 8 12 16 20
Rys. 18. Nomogramy do wyznaczania współczynników oporu bocznego gruntu Kq i Kc według Brinch Hansena
(Kosecki, 1988; Wytyczne IBDiM, 1993)
Wartości q(r) wyznaczone przy wykorzystaniu współczynników Kq i Kc odczytywanych z nomogramów Brinch
xgr
Hansena (rys. 18) wydają się być zawyżone. Może to wynikać z tego, że współczynniki te prawdopodobnie zostały
wyznaczone z badań modelowych i bezpośrednio przeniesione do skali rzeczywistej, bez uwzględnienia efektu
skali. Dlatego autor przedstawia alternatywną propozycję przyjmowania Kq = Kph oraz Kc = 2 K , gdzie Kph jest
ph
współczynnikiem odporu granicznego gruntu, który można obliczać z uwzględnieniem kąta tarcia gruntu
o powierzchnię pali �p ze wzoru:
cos2 Ć
K = (11)
ph
2
�ł �ł
�ł1- sin( Ć - �p )�" sinĆ �ł
�ł
cos�p �ł
�ł łł
lub przyjmować z tabel np. według rozwiązań Caquot-Kerisela.
Wartości kąta tarcia gruntu o powierzchnię pali �p należy przyjmować z przedziału �p = -1/3Ć � -Ć, w zależności od
szorstkości pobocznicy pali i rodzaju gruntu.
Propozycja autora przyjmowania współczynników Kq i Kc jest jego zdaniem bezpieczniejsza.
Obliczanie reakcji granicznych Rgri podpór sprężystych na podstawie qxgr odbywa się podobnie jak w przypadku
sztywności kxi na zasadzie zamiany obciążenia ciągłego na układ sił skupionych zaczepionych w węzłach (rys. 19):
Rxgri = q( r ) ( zi )�" a [kN] (12)
xgri
Na rynku istnieją również programy, w których sprężyste oddziaływanie gruntu wzdłuż pali i reakcję graniczną
można wyrażać w sposób ciągły.
3.3.4. Procedura obliczeniowa
W zależności od stopnia zaawansowania wykorzystywanego programu komputerowego obliczenia z uwzględnie-
niem sprężysto-plastycznego modelu reakcji gruntu mogą się odbywać tzw. sposobem  ręcznym lub automatycznie
przez program. W sposobie  ręcznym  iteracyjnym, po pierwszym kroku obliczeń dokonuje się weryfikacji
reakcji w podporach sprężystych w stosunku do reakcji granicznych Rgri. W węzłach, w których następuje przekro-
czenie reakcji granicznych usuwa się podpory sprężyste, a w ich miejsce wstawia się siły skupione równe reakcjom
granicznym Rgri. Po dokonaniu takiej modyfikacji przeprowadza się kolejny krok obliczeń i po nim ponownie
sprawdza siły w podporach sprężystych. Obliczenia można uznać za zakończone, gdy po danym kroku obliczeń
reakcje we wszystkich pozostałych podporach sprężystych nie przekraczają już reakcji granicznych. Można zauwa-
żyć, że po każdym kolejnym kroku iteracji wzrastają przemieszczenia układu i momenty zginające w palach.
13
Profil Moduły reakcji Graniczny opór Pal z podporami Reakcje graniczne
geotechniczny poziomej gruntu boczny gruntu sprężystymi podpór sprężystych
Kx [kPa] qxgr [kPa] kxi [kN/m] Rxgri [kPa]
Warstwa 1
qxgr1
Kx1
ł1, Ć1, c1, E01
zc
ai
Warstwa 2
ai
(słaba)
kxi
Kx2
qxgr2 ai Rgri
ł2, Ć2, c2, E02
Pal
Warstwa 3
ł3, Ć3, c3, E03 Kx3
qxgr3
Warstwa 4
qxgr4
Kx4
ł4, Ć4, c4, E04
Rys. 19. Przygotowywanie modelu pracy pala z ośrodkiem gruntowym
W sposobie automatycznym, w danych wejściowych do programu podaje się dla każdej podpory sprężystej oprócz
sztywności kxi, również reakcję graniczną Rgri lub przemieszczenie graniczne �gri (rys. 17) oraz liczbę stopni
narastania obciążeń zewnętrznych "Q (liczbę kroków obliczeniowych np. 5 lub 10). Po uruchomieniu program
wykonuje obliczenia dla kolejnych stopni obciążeń. Wyniki obliczeń z danego kroku sumowane są z wynikami ze
wszystkich kroków poprzedzających, a następnie dokonywana jest weryfikacja reakcji w podporach sprężystych Ri
w stosunku do reakcji granicznych Rgri lub przemieszczeń węzłów �i w stosunku do przemieszczeń granicznych �gri.
W momencie gdy w pewnych węzłach następują przekroczenia wartości granicznych reakcji lub przemieszczeń, to
w kolejnym kroku w tych węzłach usuwane są podpory sprężyste lub zerowana jest sztywność tych podpór.
Możliwy jest oczywiście inny proces obliczeniowy prowadzący do tego samego rezultatu.
Uplastycznienia gruntu od oddziaływania poziomego pali występują zwykle w górnych odcinkach pali.
Obliczanie ustrojów palowych z uwzględnieniem sprężysto-plastycznej współpracy pali z ośrodkiem gruntowym
zwiększa pracochłonność tych obliczeń i wprowadza duże komplikacje szczególnie w sytuacjach, gdy do przeanali-
zowania mamy kilka kombinacji różnych schematów obciążeń. Wówczas nie można przeprowadzać oddzielnych
obliczeń dla poszczególnych schematów obciążeń, a następnie dokonywać superpozycji wyników z tych schematów
zgodnie z daną kombinacją. Należy wykonywać globalne, oddzielne obliczenia dla każdej kombinacji obciążeń.
Procedury obliczeniowe jeszcze bardziej się komplikują, gdy chcemy uwzględnić nieliniowość materiałową i teorię
drugiego rzędu.
3.3.5. Przykładowe obliczenia porównawcze
Dla celów porównawczych i w celu lepszego zobrazowania istoty doboru odpowiedniej metody obliczeniowej
przedstawiono przykład prostego fundamentu palowego w układzie płaskim, który obliczono trzema metodami
omawianymi w pracy: metodą sztywnego oczepu, metodą sprężystego oczepu oraz metodą uogólnioną. Układ
geometryczny analizowanego fundamentu wraz z obciążeniami i warunkami geotechnicznymi przedstawiono na
rys. 20. Wyniki obliczeń wykonanych metodą uogólnioną przedstawiono na rys. 21, przy czym przyjęto dwa
warianty połączenia głowic pali z oczepem: a) ze sztywnym zamocowaniem i b) z przegubowym połączeniem.
Wyniki obliczeń wykonanych metodami klasycznymi przedstawiono na rys. 22.
Zaprezentowane wyniki obliczeń porównawczych wykazały znaczne różnice pomiędzy metodą uogólnioną,
a metodami klasycznymi, dotyczące zarówno rozkładu sił w palach jak i w momentach zginających w oczepie.
Z metody uogólnionej uzyskano znacznie więcej informacji, a ponadto najkorzystniejszy rozkład sił w palach
(szczególnie mniejsze siły wciskające i wyciągające w palach ukośnych). Jest to niewątpliwie duża korzyść stoso-
wania tej metody. Wynika z tego, że metoda uogólniona pozwala nie tylko na bezpieczne, ale i oszczędne projekto-
wanie fundamentów palowych. Bezpieczeństwo metody polega na tym, że dzięki odpowiedniemu modelowaniu
pozwala na dokładniejsze, a więc i pewniejsze odwzorowanie rzeczywistej pracy konstrukcji.
14
V1=1000 kN
V2=800 kN
V1
V2
M1=1500
q=60 kN/m
q
H1=300 kN kNm
H2=200 kN
H1 M1
H2
0.8 m
-1.0
1.0 3.5 5.0 1.5 1.0
EJF
Pd, ID=0.35
-3.0
EJp
kxi
T/Nm
-8.0
Pd, ID=0.50
-10.0
Pd, ID=0.70
-12.0
pale Vibro
Ć460 mm
Kz
Rys. 20. Rysunek przykładowego fundamentu palowego do obliczeń i schemat do metody uogólnionej
a)
7.0
72
1.0
8.0
191 169 79
49
49
62 60
M [kNm] � [mm]
N [kN]
N3=623 N4=41
N1=1088 N2=902
b)
9.0
1.3
8.0
99
99
98
98
M [kNm]
� [mm]
N [kN]
N3=707 N4=23
N1=1028 N2=896
Rys. 21. Wyniki obliczeń fundamentu palowego z rys. 20 metodą uogólnioną:
a) ze sztywnymi połączeniami pali z oczepem, b) z przegubowymi połączeniami pali z oczepem
15
457
150
211
184
50
712
1316
307
254
83
764
1417
a) b)
N4=798
N4=809
N2=714
N2=773
N1=990
N1=953
N3=1752
N3=1740
M [kNm]
M [kNm]
N [kN]
N [kN]
Rys. 22. Wyniki obliczeń fundamentu palowego z rys. 20 metodami klasycznymi:
a) metodą sprężystego oczepu, b) metodą sztywnego oczepu
3.3.6. Układy przestrzenne
Przedstawione wyżej wytyczne do metody uogólnionej obliczania ustrojów palowych zostały podane dla układów
płaskich ram palowych, ale równie dobrze można je zastosować do układów palowych trójwymiarowych. Należy
wówczas wzdłuż pobocznic pali rozmieścić poziome podpory sprężyste w kierunku X (kxi) i w kierunku Y (kyi).
Sztywności kxi i kyi wyznacza się w identyczny sposób, pamiętając tylko o oddzielnym wyznaczeniu współczyn-
ników n1 i n2 dla kierunku X i dla kierunku Y.
Układy przestrzenne najlepiej jest obliczać przy użyciu programów do rozwiązywania układów trójwymiaro-
wych, a w przypadku posiadania tylko programu do układów płaskich, układ przestrzenny można rozłożyć, podob-
nie jak w metodzie sztywnego oczepu, na dwa układy płaskie w kierunku X X i w kierunku Y-Y, a następnie
dokonać superpozycji wyników obliczeń z obu układów (rys. 23). Operacja taka jest w zasadzie możliwa tylko
wtedy, gdy układ jest symetryczny przynajmniej względem jednej z osi X lub Y.
Y0
i=4
ŁMy0
i=3
ŁMx0 X0
ŁHx 0
ŁV
i=2
ŁHy
i=1
j=1 j=2 j=3
Superpozycja:
Układ X-X
Niy N
ŁMy0 ŁMy0
jx
ŁHx ŁHx Nij = + [kN]
3 4
M1x M2x M3x
2 2
Miy M
�ł �ł �ł �ł
jx
�ł �ł �ł �ł
Mij = + [kNm]
�ł �ł �ł �ł
3 4
4 pale 4 pale 4 pale
�ł łł �ł łł
Uwaga:
Liczby 3 i 4 odnoszą się do przedstawianego
j=1 j=2 j=3
przykładu i oznaczają liczbę pali w kierunku X i Y
N1x N2x
Rys. 23. Propozycja obliczania trójwymiarowego układu palowego poprzez rozłożenie na dwa układy płaskie
16
1486
1503
439
569
195
302
207
1360
140
1305
3y
4y
M M
x0
x0
Ł
M
Ł
M
N
2y
3y
4y
Ł
V
Ł
V
y
y
Uk
ł
ad Y-Y
Ł
H
Ł
H
1y
2y
M M
3 pale
3 pale
3 pale
3 pale
i=1
i=2
i=3
i=4
1y
N N N
3.4. Uproszczenia do metody uogólnionej
Istotnym mankamentem obliczania ustrojów palowych metodą współpracy pali ze sprężysto-plastycznym ośrodkiem
gruntowym jest jej duża pracochłonność, szczególnie na etapie przygotowywania schematów obliczeniowych
i wprowadzania danych do programów komputerowych. Dodatkowo w przypadku dużej liczby pali może pojawić
się problem z przekroczeniem pamięci operacyjnej wykorzystywanej przez program (chociaż dla współczesnych
komputerów i programów problem ten przestaje być aktualny) oraz z interpretacją wyników, ze względu na to, że
każdy pal modelowany jest za pomocą kilkunastu lub kilkudziesięciu elementów prętowych.
W związku z tymi mankamentami możliwe są pewne uproszczenia w schematach statycznych, pozwalające na
sprawniejsze przeprowadzanie obliczeń, a nie powodujące zbyt dużego obniżenia ich dokładności. Do tych uprosz-
czeń możemy zaliczyć modelowanie pali za pomocą ekwiwalentnych prętów zastępczych (tzw. superelementów)
lub za pomocą układu sprężystej podpory liniowej razem z podporą sprężystą na obrót.
3.4.1. Modelowanie pali współpracujących z gruntem za pomocą prętów zastępczych
Zastępowanie pali jako prętów współpracujących ze sprężystym ośrodkiem gruntowym prętami zastępczymi odby-
wa się na zasadzie, że pręty zastępcze w swoich głowicach zachowują się podobnie (ekwiwalentnie) do prętów rze-
czywistych (z podporami sprężystymi), co zobrazowano na rysunku 24.
Charakterystyki prętów zastępczych określa się na podstawie obliczeń pojedynczego pręta współpracującego ze
sprężystym gruntem, poddanego wymuszonym jednostkowym przemieszczeniom w poziomie głowicy.
a) b)
x0=1 x0=1 x0=1 x0=1
M1 M=M1 T=T1 T2 M2 T=T2 M=M2
T1 T1 T=T1
�0=1 �0=1
E,Az,Jz
E,Apz,Jpz
Lz E,Az,Jz
Lz
Lz
Kx K
kxi
kxi kx
E,Ap,Jp
E,A,J
E,A,J
Kz Kz Kz
Rys. 24. Zastępowanie pali jako prętów zagłębionych w sprężystym ośrodku gruntowym ekwiwalentnymi prętami zastępczymi:
a) pala z głowicą utwierdzoną, b) pala z głowicą przegubową
Dla pręta zastępczego o głowicy utwierdzonej jego sztywność głowicowa Kg przedstawia się następująco:
K00 0 0
�ł łł
�ł
� = 0 K11 K12 śł , (13)
g
�ł śł
�ł 0 K21 K22 �ł
śł
�ł
a dla pręta z głowicą przegubową:
K00 0
�ł łł
� = . (14)
g �ł
0 K11śł
�ł �ł
17
Występujące w macierzach (13) i (14) wielkości ustala się następująco (patrz również rys. 23):
T1 M M1 T2
2
K00 H" K [kN/m], K11 = [kN/m], K22 = [kN/rad] K12 = K21 = = [kN] (15)
z
x0 �0 x0 �0
Charakterystyki zastępczych prętów palowych ustala się z poniższych związków:
2K12 4K22 �" Lz - K11 �" L3 K00 �" Lz 12EJ �" K11
z z
Lz = - [m], J = [m4], Az = [m2], K = [kN/m] (16)
z x
K11 4 �" E E
12EJ - K11 �" L3
z z
Gdy obliczone wartości Jz lub Kx wychodzą ujemne to oznacza, że rozpatrywany pal jest za krótki i należy go
wydłużyć lub należy zmniejszyć długość pręta zastępczego Lz.
Przykładowe zastąpienie schematu fundamentu palowego z palami współpracującymi z gruntem uproszczonym
schematem z prętami zastępczymi przedstawiono na rysunku 25. Wyniki obliczeń dla takiego schematu są
w zasadzie wystarczające do zaprojektowania pali, gdyż otrzymujemy w nich zarówno siły i momenty zginające
w palach oraz w miarę rzeczywiste przemieszczenia układu. Trzeba mieć jednak na względzie, że w schemacie
z prętami zastępczymi utrudnione jest uwzględnienie uplastycznienia gruntu w reakcji poziomej w stosunku do pali.
V1 V2 V1 V2
q q
M1
H1 H1 M1
H2 H2
EJF EJF
E,Az,Jz
EJp
Lz
kxi
Kx
Kz
Rys. 25. Zastosowanie schematu fundamentu palowego z palami w postaci prętów zastępczych
3.4.2. Uproszczenia dla fundamentów z palami pionowymi obciążonych pionowo
Fundamenty płytowe lub belkowe na pionowych palach i obciążone pionowo można z dostateczną dokładnością
obliczać metodą sprężystego oczepu, według procedury opisanej w pkt. 3.1 i 3.2. Jednak w schematach z palami
w postaci tylko liniowych podpór sprężystych nie uwzględnia się sztywności giętnej pali i przejmowania przez nie
momentów zginających z oczepu. Może to być istotne przy palach sztywno połączonych z oczepem i o sztywności
giętnej porównywalnej ze sztywnością oczepu. Aby efekt przekazywania momentów wymodelować nie trzeba
stosować schematu statycznego według metody uogólnionej. Wystarczające jest wymodelowanie każdego pala za
pomocą dwóch podpór sprężystych: podpory pionowej o sztywności Kz i podpory na obrót o sztywności Kr  jak to
pokazano na rysunku 26. Sztywność Kz określa się według typowych zasad, natomiast sztywność Kr na podstawie
obliczeń pala pojedynczego obciążonego w głowicy wymuszonym obrotem jednostkowym �0 = 1, tak jak w meto-
dzie prętów zastępczych (rys. 24a):
M
2
Kr = [kNm/rad] (17)
�0
Poprzez wymodelowanie sztywności na obrót podpór palowych uzyskuje się redukcję momentów zginających
w oczepie i możliwość oszacowania momentów zginających w głowicach pali.
18
V1 V1 V2 V3
V2 V3
q q
M3 M3
M1 M1
Kr
Kz
V1
V2 V3
q
M3
M1
M01 M02 M03 M04 M05 M06
N1 N2 N3 N4 N5 N6
Rys. 25. Zastępczy schemat fundamentu palowego obciążonego pionowo uwzględniający sztywność osiową i giętną pali
5. PODSUMOWANIE I WNIOSKI
Przedstawione w niniejszej pracy metody obliczania statycznego fundamentów palowych wskazują na duże zróżni-
cowanie tych metod i równie duże zróżnicowanie otrzymywanych wyników obliczeń. Stosowanie metod klasycz-
nych, uproszczonych wynikało dawniej głównie z braku odpowiednich urządzeń i technik obliczeniowych. Rozwią-
zania teoretyczne były już wówczas na bardzo wysokim poziomie i znacznie wyprzedzały możliwości techniczne
maszyn liczących. Dopiero pojawienie się elektronicznych i numerycznych technik obliczania pozwoliło na
praktyczne i pełne wykorzystanie osiągnięć wiedzy teoretycznej i umożliwiło sprawne i dokładne rozwiązywanie
złożonych układów konstrukcyjnych, w tym i złożonych ustrojów palowych.
Spośród wymienionych i scharakteryzowanych w pracy metod obliczania statycznego fundamentów palowych
za najbardziej uniwersalną i najbardziej zalecaną należy uznać metodę współpracy pali ze sprężysto-plastycznym
ośrodkiem gruntowym zwaną również metodą uogólnioną. Pozwala ona na bardzo dobre odwzorowanie w sche-
macie obliczeniowym rzeczywistej pracy pali w ośrodku gruntowym, a tym samym bezpieczne i optymalne zapro-
jektowanie całej konstrukcji palowej. Uproszczone metody obliczeniowe, takie jak metoda sztywnego oczepu, czy
sprężystego oczepu mogą być i są nadal wykorzystywane do obliczania nieskomplikowanych układów palowych,
a głównie układów złożonych z pali pionowych i obciążonych siłami pionowymi. Wyniki obliczeń takich funda-
mentów z użyciem tych metod są wystarczająco dokładne i miarodajne do bezpiecznego zaprojektowania fun-
damentu. Nie zalecane jest natomiast stosowanie metod klasycznych do obliczania układów palowych obciążonych
poziomo i z palami ukośnymi, gdyż uzyskiwane wyniki obliczeń przy użyciu tych metod mogą bardzo odbiegać od
rzeczywistości. Dowiodły tego zaprezentowane w pracy przykłady obliczeniowe.
W pracy nie przytoczono i nie scharakteryzowano innych, rozpowszechnionych dawniej metod klasycznych
obliczania fundamentów palowych, takich jak. np. metoda N�kkentveda, Smorodyńskiego, Antonowa-Majersona,
Schiela i innych, z racji całkowitego ich wyparcia przez bardziej wygodne i dokładniejsze nowoczesne metody
numeryczne.
Należy pamiętać, że warunkiem uzyskania miarodajnych wyników obliczeń fundamentów palowych jak również
innych konstrukcji geotechnicznych jest oprócz odpowiedniego wymodelowania schematu statycznego, przyjęcie
właściwie zbadanych i miarodajnych parametrów geotechnicznych podłoża gruntowego.
BIBLIOGRAFIA
1. Gwizdała, K., Wilk, Z., Brzozowski, T. (2001). Influence of subsoil deformation on the construction of concrete
reinforced foundations for containers. V International Seminar on Renovation and Improvements to Existing
Quay Structures, Technical University of Gdańsk.
2. Kosecki, M. (1988). Statyka ustrojów palowych. Zasady obliczania metodą uogólnioną. Biuletyn Nr 1/88
PZIiTB O/Szczecin.
19
3. Krasiński, A., Świniański, J., Gwizdała, K., Tejchman, A. (1998). Obliczanie fundamentów palowych
z uwzględnieniem zmiennej podatności pali. Materiały I Problemowej Konferencji Geotechniki:  Współpraca
budowli z podłożem gruntowym , Białystok-Wigry.
4. Rafalska, W., Tejchman, A. (1980). Metody obliczeń ustrojów palowych. Politechnika Gdańska, Instytut
Hydrotechniki, pomoce dydaktyczne.
5. Rosiński, B. (1976). Fundamentowanie. PWN A
ódz
-Warszawa.
6. Tejchman, A., Krasiński, A., Słabek, A. (2002). A proposal of calculation of piled raft foundations. Proc.
of Ninth International Conference on Piling and Deep Foundations, Nice, 3-5 June 2002. Presses Ponts
et Chauss�es.
7. Tejchman, A, Gwizdała, K, Słabek, A. (2004). Obliczanie fundamentów płytowo-palowych. Materiały
II Problemowej Konferencji Geotechniki:  Współpraca budowli z podłożem gruntowym , Białystok-Białowieża.
8. PN-83/B-02482. Fundamenty budowlane. Nośność pali i fundamentów palowych.
9. Wytyczne techniczne projektowania pali wielkośrednicowych w obiektach mostowych. Instytut Badawczy Dróg
i Mostów, Warszawa, 1993.
20