01. PODSTAWOWE POJ
CIA I ROZKA
ADY STATYSTYCZNE
1 PODSTAWOWE POJ
CIA
Celem STATYSTYKI jest opisywanie w matematyczny sposób wyników
obserwacji/doświadczenia/eksperymentu będącego doświadczeniem losowym.
Cecha statystyczna  właściwość populacji, która jest przedmiotem badania
statystycznego.
Populacja generalna  zbiorowość statystyczna, zbiór wszystkich elementów
podlegających obserwacji pod względem pewnej wybranej cechy, np. średnica
wewnętrzna wszystkich tulei wyprodukowanych w ciągu jednej zmiany.
Próba statystyczna  zbiór elementów wylosowanych z populacji generalnej. Oczekuje
się, że pobrana próba będzie reprezentatywna względem populacji generalnej. Oznacza
to, że wyliczone na podstawie próby statystyki (np. średnia, odchylenie standardowe,
wariancja), rozkłady prawdopodobieństwa lub zależności pomiędzy badanymi cechami,
nie będą się istotnie różnić od tych wielkości w populacji generalnej. W tym celu
konieczne jest:
f& właściwe dobranie do próby elementów z populacji generalnej. Najczęściej
poprzez losowanie ze zwracaniem, czyli każdy element ma taką samą szansę na
dostanie się do próby;
f& pobranie do próby odpowiednio dużej liczby elementów (liczność próby). Im
większa próba, tym wynik jest bardziej wiarygodny, ale również rosną koszty
takiego badania.
Zdarzenie elementarne  dowolny możliwy wynik doświadczenia/obserwacji, np. rzut
kostką ma 6 zdarzeń elementarnych.
Zmienna losowa (X)  funkcja przyporządkowująca zdarzeniom elementarnym liczby
rzeczywiste:
f& ciągła  może przybierać dowolną wartość, np. ciężar, grubość blachy;
f& dyskretna  skokowa, może przybierać tylko niektóre wartości liczbowe,
najczęściej liczby naturalne, np. liczba wadliwych detali w serii, liczba  oczek na
kostce, wypadnięcie orła lub reszki w rzucie monetą.
Realizacja zmiennej losowej (x)  zaobserwowana wartość zmiennej losowej.
populacja próbka cecha zdarzenie el. zmienna losowa realizacja
seria tulei 30 szt. średn. wew. odczytana wart. wartość średnicy 24,5 mm
Rozkład prawdopodobieństwa:
f& zmiennej losowej dyskretnej  zestawienie możliwych wartości zmiennej losowej z
"
ich prawdopodobieństwami;
"P(X =xi ) = 1
i
"
f& zmiennej losowej ciągłej  gęstość rozkładu prawdopodobieństwa; f (x)dx = 1;
+"
-"
Dystrybuanta
f& określa prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmuje wartości d" x 
F(x) = P(X d" x);
f& jeżeli zmienne losowe mają takie same dystrybuanty, to znaczy, że mają taki sam
rozkład  dystrybuanta w pełni charakteryzuje rozkład prawdopodobieństwa;
f& przyjmuje wartości z przedziału F(x)"[0,1] i jest niemalejąca;
f& prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmuje wartości należące do
przedziału [a,b], jest równe przyrostowi dystrybuanty na tym przedziale -
P(a d" X d" b) = F(b)- F(a);
f& dla ciągłej zmiennej losowej, dystrybuanta też jest ciągła, dla dyskretnej 
dyskretna:
Wartość oczekiwana/przeciętna/średnia/nadzieja matematyczna EX  spodziewany
wynik doświadczenia losowego. Charakteryzuje miejsce skupienia rozkładu.
Odchylenie standardowe DX  miara zmienności, podstawowa miara charakteryzująca
rozproszenie wartości zmiennej losowej wokół jej średniej
[=ODCH.STANDARDOWE(dane)]
Wariancja D2X  miara zmienności, kwadrat odchylenia standardowego, średnia
arytmetyczna kwadratów różnic miedzy poszczególnymi wartościami cechy a wartością
oczekiwaną.
[=WARIANCJA(dane)]
Oznaczenia głównych statystyk
populacja
statystyka próba rozkład normalny
generalna
średnia EX x m
odch.stdt DX s �
wariancja D2X s2 �2
liczność próby --- n ---
2 ROZKA
ADY CI
GA
E
2.1 ROZKA
AD NORMALNY/GAUSSA/NATURALNY/KRZYWA DZWONOWA
[=ROZKA
AD.NORMALNY(dane)]
EX = m D2X = �2
Zmiana położenia rozkładu normalnego Kształt rozkładu normalnego w zależności
w zależności od wartości oczekiwanej od wartości odchylenia standardowego
Zapis skrócony: N(m, �)
Standardowy rozkład normalny: N(0, 1)
Charakterystyka:
f& jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa, gdyż często opisuje
zjawiska w przyrodzie, technice, medycynie, ekonomii, socjologii itd.;
f& Centralne Twierdzenie Graniczne mówi, że jeżeli badana cecha wynika z wielu
różnych czynników, to cecha ta ma rozkład zbliżony do normalnego, bez względu
na rozkłady każdego z tych czynników z osobna;
f& łatwy matematycznie;
f& wiele zjawisk, które nie podlegają rozkładowi normalnemu, po odpowiedniej
transformacji /np. zlogarytmowanie zmiennej losowej/ mogą być opisane
rozkładem normalnym;
f& jest modelem losowych błędów pomiarów i losowych zakłóceń przesyłanych
sygnałów;
f& około 68% wszystkich wartości zmiennej losowej znajduje się pod wykresem
gęstości rozkładu normalnego w odległości jednego odchylenia standardowego od
średniej, następnie 95,5% w odległości 2� i 99,7% w odległości 3� /patrz rysunek
poniżej/
m
6� 3� 2� � � 2� 3� 6�
2
2.2. ROZKA
AD �
Jeżeli niezależne zmienne losowe X1, X2, & , Xn mają rozkład normalny N(0,1), to zmienna
n
2 2
2
losowa � = X ma rozkład zwany rozkładem � o � = n  1 stopniach swobody
" i
i=1
2
/liczba niezależnych składników zmiennej losowej � /. Alternatywną definicją zmiennej
2
nS
2
2
losowej � jest � = .
2
�
EX = � D2X = 2�
Charakterystyka:
f& wraz ze wzrostem liczby stopni swobody /liczności próby/ zbliża się do rozkładu
normalnego,
f& jest stosowany w estymacji przedziałowej /gdy badana cecha w populacji
generalnej ma rozkład normalny/, w testach parametrycznych i
nieparametrycznych dla małych prób.
2.3. ROZKA
AD T-STUDENTA
Jeżeli niezależne zmienne losowe X1, X2, & , Xn mają rozkład normalny N(m, �), to
X - m
zmienna losowa t = � ma rozkład zwany rozkładem t-Studenta.
S
Jedynym parametrem tego rozkładu jest liczba stopni swobody �
i oblicza się ją � = n  1.
�
EX = 0 D2X =
� - 2
Charakterystyka:
f& jest symetryczny;
f& jest bardziej spłaszczony, niż rozkład normalny, ale dla dużych wartości � zmierza
do N(0, 1);
f& jest stosowany w estymacji przedziałowej /gdy badana cecha w populacji
generalnej ma rozkład normalny/, w testach parametrycznych dla małych prób.