Zestawy zada« z pierwszego kolokwium (rok akademicki 2003/2004).

1. Sprawd¹, ile wynosi ∇( ∇· ~B), je»eli ~B = %~i% +3 ϕ~iϕ +4 %~iz. (8 punktów) ³

´

2. Oblicz dwoma znanymi metodami strumie« pola ~

H =

1

√

x~ix + y~iy

x 2+ y 2

przechodz¡cy przez powierzchni¦ zamkni¦t¡ b¦d¡c¡ poªow¡ kuli o promieniu 4, której zmienno±¢ parametrów ograniczona jest do obszaru

z ≤ 0. (12 punktów)

1. Sprawd¹, ile wynosi ∇·( ∇× ~

A), je»eli ~

A = 2 ~i

r r + 3 sin2 θ~iθ + sin θ sin ϕ~iϕ.

(8 punktów)

2. Oblicz cyrkulacj¦ pola ~E = (1 − z) ~i% + ~iϕ + (2 z − %) ~iz po konturze otrzymanym z pªaszczyzn % = 3, % = 7 przeci¦tych pªaszczyzn¡ z = 4

dla k¡ta ϕ zmieniaj¡cego si¦ w zakresie < 3 π, 7 π > . Zastosuj dwa znane 4

4

sposoby. (12 punktów)

1. Sprawd¹, ile wynosi ∇( ∇( ~B · ~C)), je»eli ~B = r 3 ~ir − sin θ 2 ~iθ + 3 r cos ϕ~iϕ, ³

´

~

C =

1

√

x~ix + y~iy . (10 punktów)

x 2+ y 2

2. Oblicz dwoma znanymi metodami strumie« pola ~

H = r~ir + r 2 ~iΘ +

r tg Θ ~iϕ przechodz¡cy przez powierzchni¦ zamkni¦t¡ b¦d¡c¡ ¢wiartk¡

kuli o promieniu 5, której zmienno±¢ parametrów ograniczona jest do obszaru x, y ≤ 0. (10 punktów)

1. Sprawd¹, ile wynosi ∇( ∇( ~B× ~F )), je»eli ~B = r 3 cos ϕ~ir− sin θ 2 cos ϕ~iθ+

3 r cos ϕ~iϕ, ~

F = r cos ϕ sin ϕ~ir + cos ϕ~iθ + r~iϕ. (10 punktów) 2. Oblicz cyrkulacj¦ pola ~E = ρ cos ϕ~iρ − 2 ρ sin ϕ~iϕ − 5 ρz~iz po brzegu

¢wiartki koªa o promieniu 4 umieszczonej w pªaszczy¹nie z = − 3 przy x < 0 i y < 0. Zastosuj dwa znane sposoby. (10 punktów) 1. Policz kierunek najwi¦kszego spadku funkcji ∇( ~

K × ~

W ), je»eli ~

K =

r 2 ~ir − sin θ~iθ + cos ϕ~iϕ, ~

W = sin θ~ir(10 punktów)

2. Oblicz dwoma znanymi metodami strumie« pola ~E = ρ 2 sin ϕ~i

~

ρ − cos ϕ i

ρ

ϕ

przechodz¡cy przez powierzchni¦ zamkni¦t¡ b¦d¡c¡ ¢wiartk¡ walca o

promieniu 3, którego zmienno±¢ parametrów ograniczona jest do ob-

szaru x ≤ 0, y ≥ 0. (10 punktów)

1. Oblicz ªadunek zawarty w wycinku kuli ograniczonym pªaszczyznami r = 1, r = 3, θ = π , θ = π , ϕ = π , ϕ = 3 π , je»eli g¦sto±¢ ªadunku 6

3

4

4

h

i

dana jest nast¦puj¡c¡ funkcj¡ %( r, θ, ϕ) = ~

M · ∇n C , je»eli ~

M =

m 3

cos ϕ~i

~

r −

1

i

r cos θ θ + 3 r 2 sin3 θ~iϕ, n = 2 r sin θ. (10 punktów) 2. Oblicz cyrkulacj¦ pola ~E = 2 ~iρ + ρ cos ϕ~iϕ + 2 z 2 sin2 ϕ~iz po konturze wyznaczonym przez przeci¦cie si¦ powierzchni ρ = 2, z = 1, z = 0, ϕ = π , ϕ = π . Zastosuj dwa znane sposoby. (10 punktów) 6

3

1. Oblicz ªadunek zawarty w obj¦tosci ograniczonej pªaszczyznami ρ = 1, ρ = 2, ϕ = π , ϕ = π, z = − 1, z = 1, je»eli g¦sto±¢ ªadunku dana 2

³

³

´´

jest nast¦puj¡c¡ funkcj¡ %

~

v( ρ, ϕ, z) = κ ∇ A · ~

B

· ~

C, je»eli ~

A =

ρϕ 2 ~i

~

ρ +

1 ρ 2 ~i

i

cos ϕ

ϕ, ~

B = z sin2 ϕ cos ϕ~iϕ +cos ϕ~iz, ~

C = ρ~iρ + ρ tg ϕ~iϕ − 1 z 2 z, κ = 1 . (10 punktów)

sin ϕ

2. Oblicz cyrkulacj¦ pola ~

H = r~ir + θ~iθ + ϕ~iϕ po konturze powstaªym z przeci¦cia sfery o promieniu równym 2 z nast¦pujacymi pªaszczyznami θ = π , θ = π , ϕ = π, ϕ = π . Zastosuj dwa znane sposoby. (10 punktów) 2

6

2

1. Kiedy ªadunek zawarty w obj¦tosci ograniczonej pªaszczyznami ρ = ρ 1, ρ = ρ 2, ϕ = 0, ϕ = π, z = z 1, z = z 2 ( ρ 1 < ρ 2, z 1 < z 2) jest równy ³

źeru, je»eli g¦sto±¢ ªadunku wynosi %

~

v( ρ, ϕ, z) = ∇ A × ~

B ? Podaj

przykladowe parametry ρ 1, ρ 2, z 1 i z 2, dla ktorych jest to spelnione.

Dane: ~

A = ρϕ 2 ~iρ + z 2 cos ϕ~iϕ, ~

B = tg ϕ~iρ + ρ~iϕ. (12 punktów)

2. Oblicz strumie« pola ~E = ( ρ 2 ϕ 2 − z 2 sin ϕ) ~iz + ρ~iρ + ρ 2 sin ϕ~iϕ wypªy-waj¡cy z obj¦tosci ograniczonej nast¦pujacymi pªaszczyznami ρ = 1, ρ = 2, ϕ = π, ϕ = π , z = 1, z = − 1 Zastosuj dwa znane sposoby. (8

2

punktów)

1. Podaj kierunek najwi¦kszego wzrostu funkcji f = ∇( ∇( ~

A · ~

B)) w ukla-

dzie sferycznym w punkcie (1 , π, π), je»eli ~

A = r~ir + ϕ~iθ + sin θ~iϕ

~

B = r~ir + 2 ~iθ + r 2 ~iϕ. (8 punktów) ³

´

2. Oblicz dwoma znanymi metodami strumie« pola ~

H =

1

√

x~ix + y~iy

x 2+ y 2

przechodz¡cy przez powierzchni¦ zamkni¦t¡ b¦d¡c¡ poªow¡ kuli o promieniu 2, której zmienno±¢ parametrów ograniczona jest do obszaru

y ≥ 0. (12 punktów)

³

´

1. Sprawd¹, ile wynosi ∇ ∇ ~

A + ~

A · ~

B + ~

A × ~

B, je»eli ~

A = r sin θ~ir +

cos θ~iθ, ~

B = r~ir + r 2 sin2 ϕ~iϕ. (10 punktów) 2. Oblicz cyrkulacj¦ pola ~

M = (3 − z) ~i% − 4 ~iϕ + (2 z 2 − % 2) ~iz po konturze otrzymanym z pªaszczyzn % = 3, % = 7 przeci¦tych pªaszczyzn¡ z = − 2

dla k¡ta ϕ zmieniaj¡cego si¦ w zakresie < 3 π, 7 π > . Zastosuj dwa znane 4

4

sposoby. (10 punktów)