lista3 5

Lista zadań do wykładu trzeciego

3.1. Korzystając z metody uzmiennia stałej rozwiązać równania różniczkowe liniowe niejednorodne lub zagadnienia początkowe:

a) y0 + y = sin t;

b) ty0 − 2 y = t 3 cos t;

c) ty + et − ty0 = 0;

d) y0 − y = 1, y(3) = 3;

e) ty0 + y = t + 1, y(1) = 0; f) y0 sin t cos t = y + sin3 t, y

= 0.

3.2. Rozwiązać podane równania różniczkowe Bernoulliego:

a) y0 + 2 ty = 2 ty 2;

b) 3 ty 2 y0 − 2 y 3 = t 3;

c) t y0 + y 2 = y;

√

y0 − 2 y = √y sin t;

e) y0 +

= ty y, t > 0;

f) y0 = y y 2 et − 1.

3.3. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych Bernoulliego oraz wyznaczyć prze-działy, na których są one określone:

a) t 2 y0 + 2 ty = y 3, t > 0 y(1) = − 1; b) ty0 + y = y 2 ln t, y(1) = 1; y

c) y0 − 2 y = 2 √yet ln t, y(1) = 0; d) 2 y0 ln t +

, y( e) = √e.

3.4. a) W obwodzie elektrycznym połączono szeregowo opornik o oporności R = 10 [Ω], cewkę o indukcyjności L = 2 [H] oraz źródło napięcia stałego E( t) = 12 [V]. Wyznaczyć graniczne natężenie prądu w obwodzie, gdy t → ∞. Naszkicować funkcję I( t) [A], jeżeli I(0) = 0 . 2 [A].

b) W obwodzie elektrycznym połączono szeregowo opornik o oporze R = 5 [Ω], cewkę o indukcyjności L = 2 . 5

[H] oraz zewnętrzną siłę elektromotoryczną E( t) = 10 sin t [V]. Wyznaczyć natężenie prądu I( t) [A] w obwodzie, jeżeli I(0) = 0.

3.5. Wyznaczyć rozwiązania podanych równanań rzędu drugiego: 2

a) t 2 y00 − ( y0) = 0;

b) ty00 − y0 = t 2 et;

c) 2 ty0y00 = ( y0) − 1;

d) y00t = 2 y0 + 4 t 5.

3.6. Rozwiązać (scałkować) podane równania różniczkowe:

( y0)2

a) y 3 y00 + 1 = 0;

b) 2 yy00 − 3 ( y0)2 = 4 y 2;

c) ( y − 1) y00 = 2 ( y0)2;

d*) y00 +

= ye−y ( y0) .

3.7. Rozwiązać podane równania różniczkowe z zadanymi warunkami początkowymi: y0

t 2

a) y00 =

, y(2) = 0, y0(2) = 4;

b) ty00 = 2 ( t + y0), y(1) = 0, y0(1) = − 1.

3.8. Znaleźć krzywą y = y( t), która przechodzi przez punkt (0 , 1) i jest w nim styczna do prostej t + y = 1 oraz 2

spełnia równanie różniczkowe yy00 + ( y0) = 1 .