Przekształcenia liniowe
Niech ( V 1 , +1), ( V 2 , +2) będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K.
Definicja 1 Przekształcenie φ : V 1 → V 2 nazywamy przekształceniem liniowym, jeśli spełnione są warunki:
1. ∀u, v ∈ V 1 φ( u +1 v) = φ( u) +2 φ( v)
2. ∀α ∈ K ∀v ∈ V 1 φ( α · 1 v) = α · 2 φ( v)
Uwaga. Superpozycja przekształceń liniowych jest przekształceniem liniowym.
Własności przekształceń liniowych
1. ∀α 1 , . . . , αn ∈ K
∀v 1 , . . . , vn ∈ V φ( α 1 v 1 + · · · + αnvn) = α 1 φ( v 1) + . . . + αnφ( vn).
2. φ(O V ) = O W , gdzie O V , O W - wektory zerowe odpowiednich przestrzeni.
3. φ( −v) = −φ( v).
Uwaga. Jeżeli w = α 1 v 1 + · · · + αnvn, αi ∈ K, vi ∈ V , dla i = 1 , . . . , n i układ wektorów {v 1 , . . . , vn}
jest lnz, to αi są wyznaczone jednoznacznie, czyli
α 1 v 1 + · · · + αnvn = β 1 v 1 + · · · + βnvn ⇒ αi = βi, i = 1 , . . . , n.
Twierdzenie 2 Jeżeli dim V = n i {v 1 , . . . , vn} - baza V , to dla każdej przestrzeni liniowej W i wektorów w 1 , . . . , wn ∈ W istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe φ : V → W , takie że φ( vi) =
wi dla i = 1 , . . . , n.
Wniosek 3 Jeżeli dim V = n i {v 1 , . . . , vn} - baza V oraz istnieją przekształcenia liniowe φ : V → W , ψ : V → W , takie że φ( vi) = ψ( vi) dla każdego i = 1 , . . . , n, to φ = ψ.
4. Jeżeli V 1 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V i φ : V → W - przekształcenie liniowe, to φ( V 1) = {φ( v) : v ∈ V 1 } jest podprzestrzenią liniową przestrzeni W .
5. Jeżeli W 1 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni W , to φ− 1( W 1) = {v ∈ V : φ( v) ∈ W 1 } jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V .
W szczególności:
(a) { O W } - podprzestrzeń liniowa przestrzeni W , stąd φ− 1( { O W }) = {v ∈ V : φ( v) = O W } jest podprzestrzenią przestrzeni V , nazywamy ją jądrem przekształcenia liniowego φ, ozn. ker φ.
(b) φ( V ) = {φ( v) : v ∈ V } jest podprzestrzenią przestrzeni W , nazywamy ją obrazem przekształcenia liniowego φ, ozn. Im φ.
Uwaga. Niech φ : V → W przekształcenie liniowe. Jeśli φ( v 1) = φ( v 2) dla v 1 , v 2 ∈ V , to v 1 −v 2 ∈ ker φ.
Uwaga. O V ∈ ker φ dla dowolnego przekształcenia liniowego φ : V → W .
Twierdzenie 4 Przekształcenie liniowe φ : V → W jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy, gdy ker φ = { O V }.
Twierdzenie 5 Jeżeli φ : V → W jest przekształceniem liniowym, dim V < ∞, to
dim V = dim ker φ + dimIm φ.
Definicja 6 Liczbę dimIm φ nazywamy rzędem przekształcenia φ i oznaczamy r( φ) .
1
Definicja 7 Przekształcenie liniowe różnowartościowe nazywamy przekształceniem nieosobliwym.
Wniosek 8 Przekształcenie liniowe φ : V → W jest nieosobliwe ⇔ ker φ = { O V } ⇔ r( φ) = dim V .
Definicja 9 Przekształcenie liniowe nieosobliwe φ : V → W nazywamy izomorfizmem, jeśli jest
”na”, tzn. Im φ = W . V i W nazywamy wtedy przestrzeniami izomorficznymi.
Uwaga. Jeżeli przestrzenie liniowe V i W są izomorficzne, to dim V =dim W . (Jeśli φ : V → W
- izomorfizm przestrzeni liniowych i {v 1 , . . . , vn} - baza przestrzeni V , to {φ( v 1) , . . . , φ( vn) } - baza przestrzeni W .)
Uwaga. Jeżeli dim V =dim W < ∞ (przestrzenie skończonego wymiaru), to dla każdego przekształcenia liniowego φ : V → W następujące warunki są równoważne:
1. φ jest nieosobliwe,
2. φ jest izomorfizmem.
Twierdzenie 10 Każda przestrzeń liniowa wymiaru n nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią K n.
2