Zadanie 4.1 Pokazać, ·ze grupy R
S1 i
+
C s ¾
a izomor…czne. Korzystaj ¾
ac z izomor…zmu grup
R+ = R, wywnioskować st ¾
ad, ·ze C jest izomor…czna z grup ¾
a R
S1 (walec). Napisać dzia÷anie
de…niuj ¾
ace struktur ¾
e grupy w walcu
R
S1 = (t; x; y) 2 R3 : x2 + y2 = 1 : Zadanie 4.2
(a) Wskazać w grupie (Z; +) takie elementy k1; k2, ·ze hk1i 6= Z 6= hk2i i hk1; k2i = Z.
(b) Wskazać w tej grupie takie elementy s1; s2; s3, ·ze hs1; s2i, hs1; s3i, hs2; s3i s ¾
a w÷
aściwymi pod-
grupami grupy Z (czyli ·zadna z nich nie jest Z, ·zadna nie jest jej podgrup ¾
a trywialn ¾
a f0g) oraz
hs1; s2; s3i = Z.
(c) Dla ka·zdego naturalnego n
2 wskazać taki skończony n-elementowy podzbiór Z generuj ¾
acy
grup ¾
e addytywn ¾
a Z, ·ze ka·zdy jego w÷aściwy podzbiór nie generuje Z.
Zadanie 4.3 Udowodnić, ·ze ·zaden skończony podzbiór addytywnej grupy liczb wymiernych Q nie generuje tej grupy. Podać przyk÷ad w÷aściwego podzbioru liczb wymiernych, który j ¾
a generuje.
Zadanie 4.4 Rozwa·zmy grup ¾
e Map([0; 1] ; R), czyli grup ¾
e funkcji rzeczywistych określonych na przedziale
[0; 1] z dzia÷
aniem b ¾
ed ¾
acym dodawaniem funkcji oraz niech N =
f 2 Map([0; 1] ; R) : f(1) = 0 .
4
Pokazać, ·ze N C Map([0; 1] ; R) oraz Map([0; 1] ; R)=N = R:
Zadanie 4.5 Niech
= fm + in 2 C : m; n 2 Zg
oznacza zbiór wszystkich liczb Gaussa. Pokazać, ·ze jest dzielnikiem normalnym grupy addytywnej C i korzystaj ¾
ac z pierwszego twierdzenia o homomor…zmie grup wykazać, ·ze C= = S1
S1:
Zadanie 4.6 Niech G b ¾
edzie grup ¾
a oraz N C G. Pokazać, ·ze jeśli M jest podgrup ¾
a grupy ilorazowej
G=N oraz
M = a 2 G : Na 2 M ;
to M jest podgrup ¾
a grupy G oraz M
N . Wykazać, ·ze jeśli M normaln ¾
a podgrup ¾
a G=N , to M jest
normaln ¾
a podgrup ¾
a G.
Zadanie 4.7 Niech dane b ¾
ed ¾
a grupy G1 i G2 z elementami neutralnym odpowiednio e1 i e2. Niech G = G1
G2 oznacza iloczyn kartezjański grup. Wykazać, ·ze: (a) N = G1
fe2g = G1;
(b) N = G1
fe2g C G;
(c) G=N = G2:
Zadanie 4.8 Pokazać, ·ze je·zeli ' : G ! G0 jest homomor…zmem grupy G na grup ¾
e G0 oraz N C G,
to '[N ] C G0.
Zadanie 4.9 Niech M i N b ¾
ed ¾
a takimi normalnymi podgrupami grupy G, ·ze M \ N = feg, gdzie e jest elementem neutralnym w grupie G. Wykazać, ·ze mn = nm dla dowolnych m 2 M, n 2 N.
Zadanie 4.10 Niech T0 oznacza zbiór wszystkich translacji w C o liczb ¾
e ca÷
kowit ¾
a, czyli
T0 = f 2 CC : 9n 2 Z 8z 2 C f(z) = z + n : Pokazać, ·ze T0 < S(C), lecz T0 nie jest dzielnikiem normalnym grupy S(C).
Zadanie 4.11 Rozwa·zmy grup ¾
e addytywn ¾
a G = R3 oraz niech
H = (x1; x2; x3) 2 R3 : x1 + x2
x3 = 0 :
Pokazać, ·ze H jest dzielnikiem normalnym R3 oraz opisać elementy grupy ilorazowej R3=H. Jakie zbiory s ¾
a elementami R3=H? Znaleźć k 2 N, takie ·ze R3=H = Rk, gdzie Rk jest grup ¾
a addytywn ¾
a
b ¾
ed ¾
ac ¾
a (prostym) iloczynem kartezjańskim grupy addytywnej liczb rzeczywistych.
Zadanie 4.12 Niech G b ¾
edzie grup ¾
a. Pokazać, ·ze
= f(g; g) 2 G
G : g 2 Gg
jest podgrup ¾
a grupy G
G izomor…czn ¾
a z G. Wykazać, ·ze
C G G wtedy i tylko wtedy, gdy G
jest abelowa.
Zadanie 4.13 Niech G b ¾
edzie grup ¾
a zawieraj ¾
ac ¾
a podgrup ¾
e H o indeksie n 2 N. Wykazać, ·ze istnieje wówczas homomor…zm ' grupy G w grup ¾
e Sn, dla którego jG= ker 'j dzieli si ¾
e przez n oraz dzieli n!.