Zadanie 2.1
1
2
3
: : : 14 15
1
2
3
: : : 15 16
(a) Wyznaczyć znaki permutacji
;
:
15 14 13 : : :
2
1
16 15 14 : : :
2
1
1
2
3
: : : n
1 n
(b) Dla dowolnego n 2 N wyznaczyć znak permutacji
.
n n
1 n
2 : : :
2
1
(c) Pokazać, ·ze dla ka·zdego naturalnego n 3 grupa alternuj ¾
aca An jest generowana przez cykle
d÷
ugości 3.
(d) Dla parzystych permutacji z punktów (a), (b) wyznaczyć ich rozk÷ady w postaci iloczynów cykli d÷
ugości 3.
Zadanie 2.2
Pokazać, ·ze je·zeli zbiory X i Y s ¾
a równoliczne, to ich grupy symetryczne S(X) i S(Y ) s ¾
a izomor-
…czne.
Zadanie 2.3
x y
Niech M =
2 M
0 0
2;2(R) : x; y 2 R
b ¾
edzie podzbiorem zbioru M2;2(R) rzeczywistych macierzy kwadratowych wymiaru 2
2. Zbadać, ·ze M z dzia÷aniem b ¾
ed ¾
acym mno·zeniem macierzy tworzy pó÷-
grup ¾
e. Zbadać w tej pó÷grupie istnienie prawo- i lewostronnych elementów neutralnych. Wyznaczyć jej elementy, które maj ¾
a lew ¾
a- lub praw ¾
a odwrotność wzgl ¾
edem jej elementów neutralnych (jedno-stronnych lub dwustronnych).
Zadanie 2.4
Niech X b ¾
edzie dowolnym zbiorem. Pokazać, ·ze 2X; [ oraz 2X; \ s ¾
a monoidami. Wyznaczyć ich
elementy maj ¾
ace odwrotności. Czy s ¾
a to grupy? Czy te monoidy s ¾
a izomor…czne?
Zadanie 2.5
Dla ka·zdej pary (a; b) 2 R
R de…niujemy odwzorowanie
T(a;b) : R ! R;
T(a;b) (t) = at + b:
Niech T = T(a;b) 2 RR : (a; b) 2 R
R oznacza zbiór wszystkich takich odwzorowań. Czy zbiór T ze sk÷adaniem odwzorowań jest grupoidem, pó÷grup ¾
a, monoidem, grup ¾
a? Wyznaczyć mo·zliwie
najwi ¾
ekszy podzbiór T 0 zbioru T , dla którego (T 0; ) jest podgrup ¾
a grupy symetrycznej S(R). Czy
grupa ta jest abelowa? Wyznaczyć centrum Z(T 0) grupy T 0, czyli zbiór wszystkich elementów U 2
T 0, takich ·ze U V = V U dla ka·zdego U 2 T 0.
Zadanie 2.6
Niech R oraz R oznaczaj ¾
a odpowiednio multiplikatywn ¾
a i addytywn ¾
a grup ¾
e liczb rzeczywistych. Pokazać,
·
ze istnieje odwzorowanie F : R ! R spe÷niaj ¾
ace warunek
F (a b) = F (a) + F (b) dla ka·zdych a; b 2 R : ( )
Pokazać, ·ze ·zadne z odwzorowań F : R ! R spe÷niaj ¾
ace warunek ( ) nie jest ró·znowartościowe (w szczególności nie jest bijekcj ¾
a). Czy izomor…czne s ¾
a grupy R oraz
oznacza grup ¾
e multi-
+
R (R+
plikatywn ¾
a dodatnich liczb rzeczywistych z mno·zeniem liczb rzeczywistych)?
W zbiorze X = Q \ [0; 1] określamy dzia÷ania Z; Y : X
X ! X,
a; je _zeli a
b;
a; je _zeli b
a;
a Z b = min(a; b) =
a Y b = max(a; b) =
b; je _zeli b
a;
b; je _zeli a
b:
Pokazać, ·ze (X; Z), (X; Y) s ¾
a przemiennymi monoidami spe÷
niaj ¾
acymi prawa rozdzielności:
(a Y b) Z c = (a Z c) Y (b Z c) ;
a Y (b Z c) = (a Y b) Z (a Y c)
dla ka·zdych a; b; c 2 X. Wyznaczyć grupy elementów odwracalnych dla tych monoidów. Czy monoidy (X; Z), (X; Y) s ¾
a izomor…czne?